等可能条件下的概率--知识讲解
【学习目标】 1. 知道试验的结果具有等可能性的含义； 2. 会求等可能条件下的概率； 3. 能够运用列表法和树状图法计算简单事件发生的概率. 【要点梳理】 要点一、等可能性 一般地，设一个试验的所有可能发生的结果有 n 个，它们都是随机事件，每次试验有 且只有其中的一个结果出现.如果每个结果出现的机会均等，那么我们说这 n 个事件的发生 是等可能的，也称这个试验的结果具有等可能性. 要点二、等可能条件下的概率 1.等可能条件下的概率 一般地，如果一个试验有 n 个等可能的结果，当其中的 m 个结果之一出现时，事件 A发生，那么事件 A 发生的概率 P（A）=m
n
（其中 m 是指事件 A 发生可能出现的结果 数，n 是指所有等可能出现的结果数）. 当一个随机事件在一次试验中的所有可能出现的结果是有限个，且具有等可能性时， 只需列出一次试验可能出现的所有结果，就可以求出某个事件发生的概率. 2.等可能条件下的概率的求法 一般地，等可能性条件下的概率计算方法和步骤是： （1）列出所有可能的结果，并判定每个结果发生的可能性都相等； （2）确定所有可能发生的结果的个数 n 和其中出现所求事件的结果个数 m； （3）计算所求事件发生的可能性：P（所求事件）=m
n
. 要点三、用列举法计算概率 常用的列举法有两种：列表法和画树状图法. 1.列表法 当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所 有可能的结果，通常采用列表法. 列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发 生的可能的次数和方式，并求出概率的方法. 要点诠释： （1）列表法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题； （2）列表法适用于涉及两步试验的随机事件发生的概率. 2.树状图 当一次试验要涉及 3 个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通 常采用树形图，也称树形图、树图. 树形图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一 事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法. 要点诠释：(1)树状图法同样适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题； (2)在用树状图法求可能事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同. 【典型例题】 类型一、等可能性 1.如图所示，转盘停止后，指针落在哪个颜色区域的可能性大？为什么？ 【思路点拨】可以采用面积法计算各颜色所占的比例，比例大的，指针落在该区域的可 能性也大. 【答案与解析】 解：落在黄色区域的可能性大. 理由如下： 由图可知：黄色占整个转盘面积的 ； 红色占整个转盘面积的 ； 蓝色占整个转盘面积的 . 由于黄色所占比例最大，所以，指针落在黄色区域的可能性较大. 【总结升华】计算随机事件的可能性的大小，根据不同题目的不同条件确定解法，如面 积法、数值法等. 类型二、等可能条件下的概率 2.（2015•本溪）在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和 4 个黄球，它们除颜色 外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复 摸球实验发现，摸到黄球的频率是 0.2，则估计盒子中大约有红球（ ） A．16 个 B． 20个 C．25 个 D． 30 个 【思路点拨】利用大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动 的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固 定的近似值就是这个事件的概率． 【答案】A. 【解析】设红球有 x 个，根据题意得， 4：（4+x）=1：5，
解得 x=16． 故选 A． 【总结升华】用频率估计概率，强调“同样条件，大量试验”. 举一反三： 【变式】从分别标有 1 到 9 数字的 9 张卡片中任意抽取一张，抽到 所标数字是 3 的倍数的概率为（ ） A．
1
9
B．1
8
C．2
9
D．1
3
【答案】D. 3.如图，一个正六边形转盘被分成 6 个全等的正三角形，任意 旋转这个转盘 1 次，当旋转停止时，指针指向阴影区域的概率是（ ） A.1
2
B.1
3
C.1
4
D.1
6
【思路点拨】确定阴影部分的面积在整个转盘中占的比例，根据这个比例即可求出转盘停 止转动时指针指向阴影部分的概率． 【答案】B. 【解析】解：如图：转动转盘被均匀分成 6 部分，阴 影部分占 2 份，转盘停止转动时指针指向阴影部分的 概率是 2÷6=1
3
．故选 B． 【总结升华】本题考查了几何概率．用到的知识点为： 概率=相应的面积与总面积之比． 举一反三： 【变式 1】如图是地板格的一部分，一只蟋蟀在该地板格上跳来跳去， 如果它随意停留在某一个地方，则它停留在阴影部分的概率是_____. 【答案】P（停在阴影部分）=2
3
.【变式 2】如图，已知等边△ABC 的面积为 1，D、E 分别为 AB、AC 的中点，若向图 中随机抛掷一枚飞镖，飞镖落在阴影区域的概率是（不考虑落在线上的情形）（ ）
A.
1
4
B.1
2
C.3
4
D.2
3
【答案】C. 类型三、用列举法计算概率 4．在一个口袋中有 4 个完全相同的小球，把它们分别标号为 1，2，3，4，随机地摸出一个小球不放回，再随机地摸出一个小球，则两次摸出的小球的标号的和为奇数 的概率是（ ） A．
1
3
B．2
3
C．1
6
D．5
6
【思路点拨】根据题意列出相应的表格，得出所有等可能的情况数，找出之和为奇数的 情况数，即可求出所求的概率． 【答案】B. 【解析】解：列表得： 所有等可能的情况有 12 种，其中之和为奇数的情况有 8 种， 则 p=8
2
12
3
，故选 B． 【总结升华】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情 况数之比． 举一反三： 【变式】现有四个外观完全一样的粽子，其中有且只有一个有蛋黄．若从中一次随机取出 两个，则这两个粽子都没有蛋黄的概率是（ ） A．1
3
B．1
2
C．1
4
D．2
3
【答案】B. 提示：解：用 A 表示没蛋黄，B 表示有蛋黄的，画树状图如下： ∵一共有 12 种情况，每种情况都是等可能的，两个粽子都没有蛋黄的有 6 种情况， ∴则这两个粽子都没有蛋黄的概率是6
1
12
2
. 5.（2015•朝阳）在学习概率的课堂上，老师提出问题：只有一张电影票，小明和小 刚想通过抽取扑克牌的游戏来决定谁去看电影，请你设计一个对小明和小刚都公平的方案． 甲同学的方案：将红桃 2、3、4、5 四张牌背面向上，小明先抽一张，小刚从剩下的三张 牌中抽一张，若两张牌上的数字之和是奇数，则小明看电影，否则小刚看电影． （1）甲同学的方案公平吗？请用列表或画树状图的方法说明；（2）乙同学将甲的方案修改为只用红桃 2、3、4 三张牌，抽取方式及规则不变，乙的方 案公平吗？（只回答，不说明理由） 【思路点拨】依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概 率公式求出该事件的概率，比较即可． 【答案与解析】 解：（1）甲同学的方案公平．理由如下： 列表法， 小明 小刚 2 3 4 5 2 （2，3） （2，4） （2，5） 3 （3，2） （3，4） （3，5） 4 （4，2） （4，3） （4，5） 5 （5，2） （5，3） （5，4） 所有可能出现的结果共有 12 种，其中抽出的牌面上的数字之和为奇数的有：8 种，故小明 获胜的概率为： = ，则小刚获胜的概率为： ， 故此游戏两人获胜的概率不相同，即他们的游戏规则不公平； （2）不公平．理由如下： 小明 小刚 2 3 4 2 （2，3） （2，4） 3 （3，2） （3，4） 4 （4，2） （4，3） 所有可能出现的结果共有 6 种，其中抽出的牌面上的数字之和为奇数的有：4 种，故小明 获胜的概率为： = ，则小刚获胜的概率为： ， 故此游戏两人获胜的概率不相同，即他们的游戏规则不公平． 【总结升华】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率， 概率相等就公平，否则就不公平． 举一反三： 【变式】不透明的口袋里装有白、黄、蓝三种颜色的乒乓球（除颜色外其余都相同），其 中白球有 2 个，黄球有 1 个，现从中任意摸出一个是白球的概率为
