國中數學單元√2的應用一一從學習紙張開始

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國中數學單元v2的應用一一從學習紙張開始

李祐宗

澎湖縣立湖西國民中學

壹、教材設計理念:

國中學生在接觸這玩意時,大部分都 是從認識正方形的對角線開始,接下來就 是直接進人相關的計算部份,若能將此單 元結合其他數學概念補充介紹在日常生活 中的應用,學生將更了解原來從小就一直 在我們身邊多年,包含在書桌上、或在書 包裡。 今天要談的教學主題是紙張,紙張是 我們一天當中,無論學習、辦公無可或缺 的文具用品之一,但是很少人知道紙張的 奧妙之處。其實紙張的設計都有其規格, 仔細一瞧這些規則都不難尋得。 學生在八年級學到畢氏定理、根號、比 例式以及九年及學到相似形概念之後,紙張 的問題都可以迎刃而解。隨著紙張由小而大, 比例也隨之跟著變動,紙張的美妙之處就在 於放大與縮小中所呈現的數學規律。現在讓 我們一頭栽進紙張的世界中吧!

貳、教學對象:

國中八年級或九年級學生(九年級學 生為佳) 肆、能力指標: 7-n-17 能熟練比例式的基本運算。 8 叫 -01 能理解二次方根的意義。 8-n-04 能理解二次方根的加、滅、乘、除 規則。 8-a-09 能理解勾股定理的應用。 9-s-02 能對簡單的相似多邊形指出對應 邊成比例、對應角相等性質。

伍、教學目標:

卜能認識我們常用的紙張。 2 、能了解常用紙張的數學問題。 3 、能了解在紙張上的應用。 4 、能計算紙張放大與縮小的問題。 5 、能利用摺紙驗證紙張的數學問題。

陸、「連結」能力指標

C-R-Ol 能察覺生活中與數學相關的情境。 C-R-04 能察覺數學與人類文化活動相關。

C-

T-03 能把情境中與數學相關的資料資 訊化。

C-

T-04 能把待解的問題轉化成數學的問 題。 C-S-03 能熟悉解題的各種歷程:蒐集、觀 察、臆測、檢驗、推演、驗證、論

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藥、主題架構圖 圈中數學單元...fi的應用一從學習紙張開始 紙張的學問 主題活動說明 主題活動介紹 藉由剪裁過的紙張與原來的紙張讓學習者 主題活動一:猜猜誰是我 j 產生好奇與疑問,作為整個主題的開端。 介紹生活中不同的紙張,由同學發表生 主題活動二.紙張的秘密 活中的經驗,進一步探討紙張的奧秘。 研究常用紙張 A4 、 B5 等的長與寬,藉由填 主題活動三紙張的 SIZE

j

表找出規律性並且能加以推廣其他紙張。 主題活動四:影印機的放 影印是生活中常見的文書處理,研究過紙張

大與縮小

後可以跟實務相結合,達到學以致用的目的 摺紙是學生常有的經驗,但是很多人不知 主題活動五摺出一片天

j

道摺紙也可以用來驗證數學的幾何問題呢!

捌、教學資源

卜電腦。 2 、學習單一、二(附件一、二)。 3 、各式紙張。 4 、影印機與紙張的約會簡報(

power

point) 。

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科學教育月刊 第 345 期 中攀民國一 00 年十二月 張。 教學資源 學習單、 史、學習 單、壁報 紙、課 本、筆記

本等。

填寫學習單

A4 紙

l

張、經過

將學生分成三人一|減裁的類

組,每組各發三種不|似 A4 紙 2 同的紙張各一張。 I 張,共 3 教學主題一:猜猜誰是我?

教師講解

|

學生活動

一、將學生分組,用尺來測量下列常見紙張的規格。 I 分組測量

卜市售紙張有哪些種類? (A 系列、 B 系列、 C~ 列、還有.) 2 、學校考試用的紙張是哪一種規格的紙?

(B4)

3 、作班級壁報用的是哪一種規格的紙? 4 、我的課本又是那一種規格的紙? 待測量完畢後填寫學習單。 二、我們從小到大用過許多的紙張,但是許多同學都 不知道紙張有沒有分類,或是有沒有統一的規 格?現在我們先以最常用的 A4 紙張來教起,首 先,教師先發給各組三張長與寬都不同但很相近 的紙張﹒

A

B

C

分組討論後先寫下 初步的答案。 然後請同學發表,哪一張才是真正的 A4 紙張。 學生討論完畢之後教師不要馬上給答案,先讓學 生存疑,待經過下面的教學之後便可以知道答案。 "鷹 ., JlLlt

=====

司悶、。.filI~ ~

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圈。恥

@續向也) 自I$~ 、 5萬毅、大鍋 '、 直 、, 教學主題二:紙張的秘密

教師講解

|

學生活動

|教學資源

一、將學生帶到電腦教室進行下列操作:

在同系列紙張中,如何知道紙張設計的標準? I 打開 WORD' 按下版面

設定,出現畫面如下:

(4)

園中數學單元~的應用一從學習紙張開始 卜由上圖便可知道, A4 的長 (297 )正好等於 A3 的寬 (29 7) ,那麼的長 (420 )是否等於 A2 的 寬呢? 2 、我們將兩張 A4 的紙張拼拼看,是否剛好等於一|學生回答 張的呢?

A4

I

A4

這一點從實際操作及的與 A4 的長與寬便可 知道,那麼再請教同學:請問兩張的的紙可 不可以拼成一張 A2 的紙呢? 我想答案是肯定的。這樣代表什麼意義呢? 3 、現在讓我們來研究一下同系列紙張的長與寬比 例關條: 長 寬 比值

M

一的一倒一的

297

420

257

210

297

182

257

1.

414

1

.4

14

1

.4

14

1

.4

14

364

我們可以發現無論是哪一系列紙張,它的長與 寬的比值皆是1.414 '請問同學對1.414 這個數 字是不是很像我們所學過的一個數呢?它像不

像-rz呢?

二、接下來如何證明紙張的長與寬比值是花呢?

經過上面的討論同學可以知道,紙張設計有 兩大規則: l 、同系列紙張每一種尺寸面積差兩倍。 2 、小的紙張與大的紙張為相似形(長寬比為

1

.4

14 :

I) 。 學生回答 (的的面積是 A4 的兩 倍)

詢單

查習

生學

學在

請同學發表,認為此數 是不是花。 電腦、學 習單

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科學教育月刊 第 345 期 中華民國一 00 年十二月

表中橫列的值都為、/立的等比數列,縱列的值由下而上也

是J2的等比數列,同樣的,

B

~列的紙張放大縮小設定

值也是﹒ 下今右

削的一的

-m

一趴

叭的

-m-n

一刊

-HU

的一叫

-m-n

一刊

m-m

一山

-m-n

BI

282

200

141

100

那麼是否其他系列的紙張也是同樣的表格呢? 伍、不同系列的紙張放大縮小設定值應為何? 例如說 B5 要放大成 A4 '放大比例應該是多少? 這時候教師可以講學生去思考,既然放大比例要輸人的 是邊長的比例,所以只要拿這兩張紙的擅長相除就可知 道, A4 的長為 297mm

'

B5 的長為 257mm

' 297

.:,-

257=

1.1

56= 116%

'那麼 B5 要放大成 A3 的話呢?這就要考

慮的今 A4 今的之間的轉換,所以是1.156xJ2

=

1.

635

=

164%' 依此類推'的今 A2 需設定為 1.156xJ2

x

J2

=

2.312=231%

'所以我們可以表列如下: 學生回答 下今右

Al

的一叫一的一位

M

一川一位一兒一圳

的一卅一川

82

58

nu-m

一卅一川一位

328

231

164

116

從上表知,橫列與直列的數列亦為等比數列。 經過這一段的學習,同學是否有一定的概念呢? 那麼如何把這張表永遠拿在身邊呢?記住這兩個數字-l 、 A4 的紙張寬是 210mm 0 2 、 A4 轉成 B4 要放大 100 .:,­

82 =

1. 22 倍。

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圈中數學單元..[2的應用一從學習紙張開始 教學主題五:猜猜誰是我答案揭曉! (摺紙證明) 教師講解 一、現在回到主題一,如何透過摺紙證明紙張的長與寬比

是、12

:

I 呢?答案揭曉:

若我們把寬當成卜則圖二正方形對角線為 vi

學生活動 學生動手摺摺看 主題一的 A 、 B 、 C 紙張,哪一張 才是真正的 A4 紙張。 教學資源 (國一)

(圖二) 摺出左上角正方形出現 對角線 A4 、 A3 紙 張 (國三)

虛線為角平分線

(圖四) 發現邊長與正方形對角線 重合 (Vi=

Vi)

二、除此之外,請同學思考,這張A4 紙的對角線長是多 少? (提示:畢氏定理) 三、接著再問學生若將 A4 紙張的對角線當成d玄,那麼 A3 、 A2 及 AI 紙張的長、寬與對角線長分別是多少? 表列如下:

股為 l 及、/豆,透

過早氏定理可以 知道對角線長就

是~

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科學教育月刊 第 345 期 中華民國 -00 年十二月

I

2

I

2、/三

I

4

寬|花

I

2

I

2挖

對角線

|

|

|

由上表可知,直行、橫列的數列也是等比數列。 四、接著再問學生,可以在 A3 的紙張找出..;s嗎?請用摺 紙的方法證明。

方法如下:假設 A3 的寬為 d豆、長為 2

A3

A2

Al

學生填表 學生動手操作

對角線是d右,再將紙上下

對摺(長分為兩個1) / / / / / / / / / d / / / / / / / / / / I, / / / / / / / ./...J. / / / / / / / / / /

時|

紅色的兩邊代表的

長度均為 l

學生用畢氏定理 證明:因為兩股 長分別為 l 和 2 ,所以藍色的線

為何

藍色的線即為所求。(可以請學生用辜氏定理證明。) 五、 A4 紙張與黃金矩形 紙張是矩形,所以在此可以探討紙張與黃金短形的關 條矩形的長與寬比為1. 618

: I

'而 A4 的長寬比為 1. 414:1 ,所以整體看來 A4 的紙張較黃金矩形為寬。

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玖、教學討論與省思

一、哥者曾試教過兩個班級,在教學前學 生幾乎都不知道紙張的長與寬的奧 秘之處,直到上完課才知道紙張的尺 寸原來是有學問在的。因此這是個很 容易引起動機又實用的教學主題。 二、主題活動二是教學重點所在,學生在 這部份的學習速度較慢,建請教師可 以放慢教學速度。尤其學生在填較 紙張的足寸時顯得有些遲疑,必要時 教師可以提供較齊全的各尺寸紙張, 讓學生能夠更加理解。 三、主題一的猜猜誰是我提供的 2 張變形 的 A4 紙張,建議以原先大於 A4 尺寸 的紙張下去做剪裁,使得變形後的 A4 會較真正的 A4 來的寬或長。此舉主 要的目的是學生通常在主題一都會

間件一

圈中數學單元..{2的應用一從學習紙張開始 猜最大張的的是 A4 本尊,原因是學 生通常認為其他較小的兩張是經由 A4 剪裁後的,所以分身的設計可以使 揮生較不容易猜出本尊是誰,從而進 一步更想了解真正的本尊是誰。 四、主題四的影印機教學也是重點所在, 畢竟這是實際應用的部份。部分學生 因對邊長放大倍數與面積放大倍數 之關條不甚理解,建議教師在此部份 可以補充此概念與調整教學速度,使 學生可以跟上,必要時可與學校相關 處室商量,安排讓學生做實際的影印 機操作實驗,想必印象會更深刻! 五、課後可以與學生分享生活中的其他紙 張足寸,如紙鈔、包裝紙或信封等, 討論它們與一般的紙張尺寸有何不同, 增進學生對週遭事物觀察的能力。 學習單一:生活中的紙張 a 口le

.

※ 這是一張壁報紙,大多數同學都有做過壁報,你可知道壁報紙的長與寬是多少嗎? 那長與寬的比為何呢? 猜猜看我的 size 為何? 長. 寬. 長/寬=

(9)

科學教育月刊 第 345 期 中華民國一 00 年十二月 ※ 拿起你的數學課本,並且量一下它的長與寬吧,看看又有何發現? 猜猜看我的 size 為何? 長: 寬: 長/寬= ※ 你身邊還有多少種紙張呢?請一一將它們拿出來量量看吧!並將心得寫在下面﹒ ※ 猜猜誰是我,現在每一組都拿到 3 張長的很像的紙,現在請同學猜猜看,哪一張才 是真正的 A4 呢? (老師先賣個關子,等到進行下列一連串的活動之後,同學就會知道哪一張才是真 正的 A4

! )

附件二

學習單二:影印機與紙張的約會學習單 a 叮le: 卜請同學上網查詢市售紙張有哪些規格?請填寫出這些規格的代號並註明網址: 2 、寫出下列紙張的規格(單位 em)

:

的:長:一一一一一、寬.一一一一一;

A4

:長:

B4

: 長 : 、 寬 ;

B5

:長: 3 、觀察每張紙的長與寬有何關條,將您的想法寫在下面. 4 、將下列表格空格部份推算出來(單位 em) 。

、寬:一一一一一;

、寬: 紙張

A4

邊長

A3

A2

AI

(10)

圈中數學單元"fi的應用一從學習紙張開始 紙張

B5

邊長

B4

B3

B2

長 寬 5 、影印機放大的倍率是以何為標準'邊長或面積? 6 、將下列影印機的放大倍率表格空格部份推算出來(單位:%)。

B5

B4

B3

B2

B5

B4

B3

B2

A4

A3

A2

Al

B5

B4

B3

B2

7 、摺紙活動:

a. 用摺紙證明紙張的長與寬為J2

:

I

0

b. 假設 A4 的寬為 I '長為挖,請寫出下列紙張的長與寬。

A3

A2

Al

長 寬 對角線

C. 請在 A3 的紙上摺出..;s。

數據

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參考文獻

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