國中數學單元v2的應用一一從學習紙張開始
李祐宗
澎湖縣立湖西國民中學壹、教材設計理念:
國中學生在接觸這玩意時，大部分都 是從認識正方形的對角線開始，接下來就 是直接進人相關的計算部份，若能將此單 元結合其他數學概念補充介紹在日常生活 中的應用，學生將更了解原來從小就一直 在我們身邊多年，包含在書桌上、或在書 包裡。 今天要談的教學主題是紙張，紙張是 我們一天當中，無論學習、辦公無可或缺 的文具用品之一，但是很少人知道紙張的 奧妙之處。其實紙張的設計都有其規格， 仔細一瞧這些規則都不難尋得。 學生在八年級學到畢氏定理、根號、比 例式以及九年及學到相似形概念之後，紙張 的問題都可以迎刃而解。隨著紙張由小而大， 比例也隨之跟著變動，紙張的美妙之處就在 於放大與縮小中所呈現的數學規律。現在讓 我們一頭栽進紙張的世界中吧!貳、教學對象:
國中八年級或九年級學生(九年級學 生為佳) 肆、能力指標: 7-n-17 能熟練比例式的基本運算。 8 叫 -01 能理解二次方根的意義。 8-n-04 能理解二次方根的加、滅、乘、除 規則。 8-a-09 能理解勾股定理的應用。 9-s-02 能對簡單的相似多邊形指出對應 邊成比例、對應角相等性質。伍、教學目標:
卜能認識我們常用的紙張。 2 、能了解常用紙張的數學問題。 3 、能了解在紙張上的應用。 4 、能計算紙張放大與縮小的問題。 5 、能利用摺紙驗證紙張的數學問題。陸、「連結」能力指標
C-R-Ol 能察覺生活中與數學相關的情境。 C-R-04 能察覺數學與人類文化活動相關。C-
T-03 能把情境中與數學相關的資料資 訊化。C-
T-04 能把待解的問題轉化成數學的問 題。 C-S-03 能熟悉解題的各種歷程:蒐集、觀 察、臆測、檢驗、推演、驗證、論藥、主題架構圖 圈中數學單元...fi的應用一從學習紙張開始 紙張的學問 主題活動說明 主題活動介紹 藉由剪裁過的紙張與原來的紙張讓學習者 主題活動一:猜猜誰是我 j 產生好奇與疑問，作為整個主題的開端。 介紹生活中不同的紙張，由同學發表生 主題活動二.紙張的秘密 活中的經驗，進一步探討紙張的奧秘。 研究常用紙張 A4 、 B5 等的長與寬，藉由填 主題活動三紙張的 SIZE
j
表找出規律性並且能加以推廣其他紙張。 主題活動四:影印機的放 影印是生活中常見的文書處理，研究過紙張大與縮小
後可以跟實務相結合，達到學以致用的目的 摺紙是學生常有的經驗，但是很多人不知 主題活動五摺出一片天j
道摺紙也可以用來驗證數學的幾何問題呢!捌、教學資源
卜電腦。 2 、學習單一、二(附件一、二)。 3 、各式紙張。 4 、影印機與紙張的約會簡報(power
point) 。科學教育月刊 第 345 期 中攀民國一 00 年十二月 張。 教學資源 學習單、 史、學習 單、壁報 紙、課 本、筆記
本等。
填寫學習單A4 紙
l
張、經過將學生分成三人一|減裁的類
組，每組各發三種不|似 A4 紙 2 同的紙張各一張。 I 張，共 3 教學主題一:猜猜誰是我?教師講解
|
學生活動
一、將學生分組，用尺來測量下列常見紙張的規格。 I 分組測量
卜市售紙張有哪些種類? (A 系列、 B 系列、 C~ 列、還有.) 2 、學校考試用的紙張是哪一種規格的紙?(B4)
3 、作班級壁報用的是哪一種規格的紙? 4 、我的課本又是那一種規格的紙? 待測量完畢後填寫學習單。 二、我們從小到大用過許多的紙張，但是許多同學都 不知道紙張有沒有分類，或是有沒有統一的規 格?現在我們先以最常用的 A4 紙張來教起，首 先，教師先發給各組三張長與寬都不同但很相近 的紙張﹒A
B
C
分組討論後先寫下 初步的答案。 然後請同學發表，哪一張才是真正的 A4 紙張。 學生討論完畢之後教師不要馬上給答案，先讓學 生存疑，待經過下面的教學之後便可以知道答案。 "鷹 ., JlLlt=====
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圈。恥
@續向也) 自I$~ 、 5萬毅、大鍋 '、 直 、， 教學主題二:紙張的秘密教師講解
|
學生活動
|教學資源
一、將學生帶到電腦教室進行下列操作:在同系列紙張中，如何知道紙張設計的標準? I 打開 WORD' 按下版面
設定，出現畫面如下:園中數學單元~的應用一從學習紙張開始 卜由上圖便可知道， A4 的長 (297 )正好等於 A3 的寬 (29 7) ，那麼的長 (420 )是否等於 A2 的 寬呢? 2 、我們將兩張 A4 的紙張拼拼看，是否剛好等於一|學生回答 張的呢?
A4
I
A4
這一點從實際操作及的與 A4 的長與寬便可 知道，那麼再請教同學:請問兩張的的紙可 不可以拼成一張 A2 的紙呢? 我想答案是肯定的。這樣代表什麼意義呢? 3 、現在讓我們來研究一下同系列紙張的長與寬比 例關條: 長 寬 比值M
一的一倒一的
297
420
257
210
297
182
257
1.
414
1
.4
14
1
.4
14
1
.4
14
364
我們可以發現無論是哪一系列紙張，它的長與 寬的比值皆是1.414 '請問同學對1.414 這個數 字是不是很像我們所學過的一個數呢?它像不像-rz呢?
二、接下來如何證明紙張的長與寬比值是花呢?
經過上面的討論同學可以知道，紙張設計有 兩大規則: l 、同系列紙張每一種尺寸面積差兩倍。 2 、小的紙張與大的紙張為相似形(長寬比為1
.4
14 :
I) 。 學生回答 (的的面積是 A4 的兩 倍)寫
填
並
料
資
詢單
查習
生學
學在
請同學發表，認為此數 是不是花。 電腦、學 習單科學教育月刊 第 345 期 中華民國一 00 年十二月
表中橫列的值都為、/立的等比數列，縱列的值由下而上也
是J2的等比數列，同樣的，
B
~列的紙張放大縮小設定
值也是﹒ 下今右削的一的
-m
一趴
叭的
-m-n
一刊
-HU
的一叫
-m-n
一刊
m-m
一山
-m-n
BI
282
200
141
100
那麼是否其他系列的紙張也是同樣的表格呢? 伍、不同系列的紙張放大縮小設定值應為何? 例如說 B5 要放大成 A4 '放大比例應該是多少? 這時候教師可以講學生去思考，既然放大比例要輸人的 是邊長的比例，所以只要拿這兩張紙的擅長相除就可知 道， A4 的長為 297mm'
B5 的長為 257mm' 297
.:,-257=
1.1
56= 116%
'那麼 B5 要放大成 A3 的話呢?這就要考慮的今 A4 今的之間的轉換，所以是1.156xJ2
=
1.
635
=
164%' 依此類推'的今 A2 需設定為 1.156xJ2
x
J2
=
2.312=231%
'所以我們可以表列如下: 學生回答 下今右Al
的一叫一的一位
M
一川一位一兒一圳
的一卅一川
82
58
nu-m
一卅一川一位
328
231
164
116
從上表知，橫列與直列的數列亦為等比數列。 經過這一段的學習，同學是否有一定的概念呢? 那麼如何把這張表永遠拿在身邊呢?記住這兩個數字-l 、 A4 的紙張寬是 210mm 0 2 、 A4 轉成 B4 要放大 100 .:，82 =
1. 22 倍。圈中數學單元..[2的應用一從學習紙張開始 教學主題五:猜猜誰是我答案揭曉! (摺紙證明) 教師講解 一、現在回到主題一，如何透過摺紙證明紙張的長與寬比
是、12
:
I 呢?答案揭曉:
若我們把寬當成卜則圖二正方形對角線為 vi時
學生活動 學生動手摺摺看 主題一的 A 、 B 、 C 紙張，哪一張 才是真正的 A4 紙張。 教學資源 (國一)可
(圖二) 摺出左上角正方形出現 對角線 A4 、 A3 紙 張 (國三)虛線為角平分線
(圖四) 發現邊長與正方形對角線 重合 (Vi=Vi)
二、除此之外，請同學思考，這張A4 紙的對角線長是多 少? (提示:畢氏定理) 三、接著再問學生若將 A4 紙張的對角線當成d玄，那麼 A3 、 A2 及 AI 紙張的長、寬與對角線長分別是多少? 表列如下:股為 l 及、/豆，透
過早氏定理可以 知道對角線長就是~
科學教育月刊 第 345 期 中華民國 -00 年十二月
長
I
2
I
2、/三
I
4
寬|花
I
2
I
2挖
對角線
|
而
|
♂
|
品
由上表可知，直行、橫列的數列也是等比數列。 四、接著再問學生，可以在 A3 的紙張找出..;s嗎?請用摺 紙的方法證明。方法如下:假設 A3 的寬為 d豆、長為 2
A3
A2
Al
學生填表 學生動手操作對角線是d右，再將紙上下
對摺(長分為兩個1) / / / / / / / / / d / / / / / / / / / / I, / / / / / / / ./...J. / / / / / / / / / /時|
紅色的兩邊代表的長度均為 l
學生用畢氏定理 證明:因為兩股 長分別為 l 和 2 ，所以藍色的線為何
藍色的線即為所求。(可以請學生用辜氏定理證明。) 五、 A4 紙張與黃金矩形 紙張是矩形，所以在此可以探討紙張與黃金短形的關 條矩形的長與寬比為1. 618: I
'而 A4 的長寬比為 1. 414:1 ，所以整體看來 A4 的紙張較黃金矩形為寬。玖、教學討論與省思
一、哥者曾試教過兩個班級，在教學前學 生幾乎都不知道紙張的長與寬的奧 秘之處，直到上完課才知道紙張的尺 寸原來是有學問在的。因此這是個很 容易引起動機又實用的教學主題。 二、主題活動二是教學重點所在，學生在 這部份的學習速度較慢，建請教師可 以放慢教學速度。尤其學生在填較 紙張的足寸時顯得有些遲疑，必要時 教師可以提供較齊全的各尺寸紙張， 讓學生能夠更加理解。 三、主題一的猜猜誰是我提供的 2 張變形 的 A4 紙張，建議以原先大於 A4 尺寸 的紙張下去做剪裁，使得變形後的 A4 會較真正的 A4 來的寬或長。此舉主 要的目的是學生通常在主題一都會間件一
圈中數學單元..{2的應用一從學習紙張開始 猜最大張的的是 A4 本尊，原因是學 生通常認為其他較小的兩張是經由 A4 剪裁後的，所以分身的設計可以使 揮生較不容易猜出本尊是誰，從而進 一步更想了解真正的本尊是誰。 四、主題四的影印機教學也是重點所在， 畢竟這是實際應用的部份。部分學生 因對邊長放大倍數與面積放大倍數 之關條不甚理解，建議教師在此部份 可以補充此概念與調整教學速度，使 學生可以跟上，必要時可與學校相關 處室商量，安排讓學生做實際的影印 機操作實驗，想必印象會更深刻! 五、課後可以與學生分享生活中的其他紙 張足寸，如紙鈔、包裝紙或信封等， 討論它們與一般的紙張尺寸有何不同， 增進學生對週遭事物觀察的能力。 學習單一:生活中的紙張 a 口le.
※ 這是一張壁報紙，大多數同學都有做過壁報，你可知道壁報紙的長與寬是多少嗎? 那長與寬的比為何呢? 猜猜看我的 size 為何? 長. 寬. 長/寬=科學教育月刊 第 345 期 中華民國一 00 年十二月 ※ 拿起你的數學課本，並且量一下它的長與寬吧，看看又有何發現? 猜猜看我的 size 為何? 長: 寬: 長/寬= ※ 你身邊還有多少種紙張呢?請一一將它們拿出來量量看吧!並將心得寫在下面﹒ ※ 猜猜誰是我，現在每一組都拿到 3 張長的很像的紙，現在請同學猜猜看，哪一張才 是真正的 A4 呢? (老師先賣個關子，等到進行下列一連串的活動之後，同學就會知道哪一張才是真 正的 A4
! )
附件二
學習單二:影印機與紙張的約會學習單 a 叮le: 卜請同學上網查詢市售紙張有哪些規格?請填寫出這些規格的代號並註明網址: 2 、寫出下列紙張的規格(單位 em):
的:長:一一一一一、寬.一一一一一;
A4
:長:
B4
: 長 : 、 寬 ;B5
:長: 3 、觀察每張紙的長與寬有何關條，將您的想法寫在下面. 4 、將下列表格空格部份推算出來(單位 em) 。、寬:一一一一一;
、寬: 紙張A4
邊長A3
A2
AI
長圈中數學單元"fi的應用一從學習紙張開始 紙張
