國立臺中教育大學數學教育學系碩士班碩士論文
指導教授：胡豐榮 教授
施淑娟 教授
重要度為基礎之教學系列化推估研究
－以國小分數加法教學課題之教學結構圖為例－
研究生：許敬平 撰
中 華 民 國 一 ○ 三 年 一 月
謝 誌
時光飛逝，終於要寫謝誌了，兩年半研究所的課程即將劃下句點，因 為念研究所，讓我能重拾書本，重溫當學生的感覺，工作與課業兩邊都要 兼顧，雖然忙碌，但很充實，回想在過去的日子裡，讓我體會到一本論文 的完成真的很不容易。 完成論文當然不是一人能完成的，而是需要指導教授、同學與家人的 協助與支持。在此，首先要對竭盡所能協助我完成此篇論文的胡豐榮教授 與施淑娟教授致上萬分的感謝，感謝教授在我讀研究所期間來對我的指導， 在這些日子，給了我很大的協助，從題目的訂定以及對研究方向與基本架 構的指引，直到論文的完成，字句上的修正以及論文方向的指導，若非教 授細心的指導與督促，本文難以順利完成，教授的建議都讓我的論文有很 大的幫助，謝謝兩位教授辛苦的指導。 另外，要感謝口試委員，許天維教授、辛俊德與鄭裕篤博士，百忙之 中撥空費心審閱論文，針對本論文的闕漏，給諸多建議，經過您們的提點 之後，著實讓我成長了不少，論文也更臻於完善。 還有感謝數學教育研究所的所有同學，在課業上的幫忙與經驗分享， 家人的支持與鼓勵，這麼多人的幫忙與付出，未來的日子裡，將秉持感恩 的心，對教育努力付出，不負眾望。 許敬平 謹誌 中華民國一０三年一月摘 要
教學策略雖可分成脈絡型、基礎型、非脈絡型與應用型四種型態，然而， 在教學現場，當教學者依循一定的順序教完一個單元時，能否客觀的描述其 是屬於上述的哪一種型態？這樣的問題，有其實務層面的需求，本研究根據 傳統教學系列化推估及加入重要度為基礎之教學系列化推估法，企圖探討上 述型態之推估問題。 基於此，本研究利用分數加法之教學結構圖，分別探討傳統教學系列化 推估與課題重要度融入傳統教學系列化推估之分析，並進行比較分析。 研究發現根據傳統教學系列化推估時，得到大多數教師所偏好之教學順 序 <9,10,11,12,1,7,2,3,8,4,5,6> 是屬於基礎型之教學策略，而以重要度 為基礎之教學系列化推估時，雖亦得到相同的結果，但所計算之推估函數 M(x) 值，從標準差的觀點，較能判讀推估類型。 本研究根據結論，提供若干對教育行政機關及學校之建議。 關鍵字：教學系列化理論、傳統教學系列化推估、重要度為基礎之教學系列 化推估、分數加法Abstract
According to strategic task sequencing theory, there are four kinds of teaching types which are contextual, fundamental, applicable and non-contextual types, respectively. The primary objective of this study is to propose an estimation method via the membership function in order to determine the teaching type, provided a teaching sequence is given.
In this research, the teaching hierarchy of fraction addition unit was utilized to analyze ESTS(estimation of strategic task sequencing) and IESTS (estimation of strategic task sequencing combined with important index) methods, respectively.
We found that a teaching sequence <9,10,11,12,1,7,2,3,8,4,5,6> taken by 80% teachers belongs to the fundamental type by ESTS method. Although the same estimation result was obtained by IESTS method, too. However, the value of M(x) is more easy to distinguish the estimation type which the teaching sequence should be belonged from the viewpoint of the standard error.
In accordance with research result, we propose some suggestions to educational authorities and schools.
Keywords: strategic task sequencing theory, estimation of strategic task
sequencing theory, fraction addition, membership function, estimation of strategic task sequencing method combined with important index
目 次
第一章 緒論………...1
第一節 研究動機………...1 第二節 研究目的………...2 第三節 名詞釋義………...3第二章 文獻探討………...5
第一節 傳統教學系列化理論………...5 第二節 傳統教學系列化推估理論………...6 第三節 重要度為基礎之教學系列化推估理論………..8 第四節 相關實證性研究………...10第三章 研究結果與討論………...19
第一節 傳統教學系列化實例推估計算...………...19 第二節 重要度為基礎之教學系列化推估計算..………...28 第三節 兩種推估方法之比較分析………...39第四章 結論與建議………...49
第一節 結論……...49 第二節 建議……...50參考文獻………...53
一、中文部分………53 二、日文部分………54 三、英文部分………54表 次
表 3-1-1 分數加法的教學課題………...19 表 3-2-1 有向邊重要度………...29 表 3-2-2 各課題的重要度………...30圖 次
圖 3-1-1 「分數加法」之教學結構圖………...19 圖 3-1-2 加入虛擬課題0之教學結構圖……….20 圖 3-1-3 ESTS 系列O之推估函數M x( )
...…....…...…....…...27 圖 3-2-1 加入虛擬課題0之教學結構圖……….28 圖 3-2-2 IESTS 系列O之推估函數M x( )
………..………...38 圖 3-3-1 在基礎型的ESTS與IESTS之比較圖………...………39 圖 3-3-2 在脈絡型的ESTS與IESTS之比較圖………..….42 圖 3-3-3 在應用型的ESTS與IESTS之比較圖………..….43 圖 3-3-4 在非脈絡型的ESTS與IESTS之比較圖………..….45 圖 3-3-5 ESTS系列O之推估函數M x( )
面積計算……...……….46 圖 3-3-6 IESTS 系列O之推估函數M x( )
面積計算……….……...47第一章 緒論
本研究將結合日本學者竹谷誠所提出的傳統系列化推估理論加入重要度 的概念針對彰化縣 80% 左右的國小現職教師在分數加法教學課題順序作推 估，進而比較與傳統系列化推估之異同並分析結果與討論，本章茲從研究動 機、研究目的、名詞釋義三節來進行說明。第一節 研究動機
教學結構圖對教學活動的進行與課程設計之影響深遠，就像建築工程時 扮演建築藍圖的角色，其重要性和應用，過去曾得以試題關聯結構以及知識 結構為題的理論與實證性研究之支持。其中，以知識結構圖計分之研究（鄭 雅云、楊世仁、胡豐榮、許天維，2004；廖寶貴、曾志鈿、胡豐榮、許天維， 2004；林瑞雪、陳佑誠、胡豐榮、許天維，2004；簡煌哲、劉湘川、郭伯臣， 2006），或以知識結構圖為基礎所開發之系統（劉育隆、曾筱倩、郭伯臣， 2006；曾彥鈞、張雅媛、郭伯臣，2006），或做為測驗編製之應用研究（曹 傑如、洪榮照、曾彥鈞、謝鴻達，2009），這一些研究亦可反應出正確的教 學結構圖之重要性。 以國小數學課程之單元教學為例，教師向來根據教科書和教師手冊的課 程編排順序，來進行教學活動，但即使相同的課程單元，比較了不同的教科 書版本，教材依序呈現的內容，通常可以發現有差異性，此時產生的迷思概 念或學習困難，很有可能是來自教科書的內容編排順序，持這樣觀點的國外學者，尤其以日本的行動計量學者相當的多（沼野一男，1976，1986；赤堀 侃司、清水康敬，1989；赤堀侃司，1992；竹谷誠，1992；竹谷誠、佐佐木 整，1993，1997；竹谷誠、船橋芳雄、中內辰哉，2007）。因此，在正確教 學結構圖的前提下，日本學者竹谷誠、船橋芳雄與中內辰哉三人於 2007 年， 用理論的觀點建構系列化順序(strategic task sequencing method,簡稱 STS 法)， 提出了四種不同的教學策略，分別是脈絡型、基礎型、非脈絡型、應用型四 種型態。 這樣的背景下，很自然產生一個相當實際的問題，就是在教學現場，教 師依循一定的順序教完了一個單元，如果用評鑑的立場，來檢視教學者的該 單元教學時，是否能夠很客觀的描述其是屬於型態的哪一種？類似的問題， 有實務層面的需求，最主要是來自外在教育環境的變革，教師進行例行每週 三的教學觀摩、校長或主任的教室走察、教師觀課等評鑑制度，此核心部分， 就是針對教學者的教學，能夠做出比較客觀性的評論。基於此，本研究參考 了日本學者竹谷誠等人的研究，提出了教學系列化之推估與加入重要度為基 礎之教學系列化推估，並將此技術應用在國小數學「分數加法」之教學上， 以提供數學教育或相關領域之教學評鑑時的參考。
第二節 研究目的
由於課題重要度，根據其定義可以發現考慮了教學結構圖的路徑，以及 進出節點的有向邊個數，因此，把重要度的概念，融入傳統的教學系列化推估之際，特別是教學結構圖有複雜路徑關係時，其推估的結果是否較傳統教 學系列化之推估有效率，在這樣的問題基礎下，以實例計算並進行兩者之比 較，將有助於教學系列化之推估，提供更具有參考價值之技術，基於此，本 研究之目的如下： 一、傳統教學系列化推估實例計算。 二、以重要度為基礎之教學系列化推估實例計算。 三、兩種推估方法之比較分析。
第三節 名詞釋義
針對本研究所涉及之相關名詞的界定與說明如下：一、教學結構圖
本研究所指教學結構乃由V 與E所構成之有向圖G，簡寫成G=( , )V E ， 其中V 是由基本概念或能力所成之集合，而為方便起見，V 中之元素簡稱為 課題。另外，E是由有向邊所成之集合，有向邊用來刻畫課題與課題兩兩間 之關聯性。二、傳統教學系列化
本研究所指傳統教學系列化乃由日本學者竹谷誠、船橋芳雄、中內辰哉 三 人 於 西 元 2007 年 提 出 之 STS 法 ， STS 法 可 以 將 非 線 型 的 教 學 結 構 圖 ( , ) G= V E ，根據其理論把V 中的元素，依序排出一直線之順序，因此，對於 非線型之教學結構圖，提供了先教哪個課題，再教哪個課題之功能；根據STS法，傳統教學系列化，共分四種類型，即脈絡型、基礎型、非脈絡型應用型 與應用型四型。
三、重要度
本研究之重要度為參考日本學者佐佐木整、竹谷誠兩人於西元1998年所 提出之圖解映射法(illustrative mapping method,簡稱IM法），針對V 中的每一
課題v，賦予一正數I v( )，稱為重要度，其定義如下： , ( ) ( ) ( , ) j j j j v V v v I v C v v C v v ∈ ≠ =
∑
+ ， 。 其中 ( , ) # ( ) # ( ), ( ) { : 存在以課題 為起點,課題 為終點之路徑}, ( ) { : 存在以課題 為起點,課題 為終點之路徑}, 符號 # 表示集合的個數 C u v A u R v A u z V z u R v z V v z 四、傳統教學系列化推估
教學者根據教學結構圖G=( , )V E ，自行定出一教學順序，以便完成V 中 所有課題之教學時，由STS法來檢視該教學者的教學是屬於或接近基礎型、脈 絡型、應用型與非脈絡型四型中的哪一型之分析，稱之。五、重要度為基礎之教學系列化推估
將課題重要度之概念，融入 STS 法所發展出之理論為基礎，進行教學者 所自行定出之教學順序，而完成之教學是屬於或接近基礎型、脈絡型、應用 型與非脈絡型四型中的哪一型之分析，稱為重要度為基礎之教學系列化推估。第二章 文獻探討
本章先針對此研究提及之相關理論作簡略的介紹，第一節描述傳統教學 系列化理論(strategic task sequencing method,簡稱STS法)，第二節為傳統教學 系列化理論之推估(estimation of strategic task sequencing theory,簡稱ESTS 法)，第三節將列出圖解映射法(illustrative mapping method, 簡稱IM法)與重要 度為基礎之教學系列化推估理論，第四節為支持本研究理論的一些相關文獻 與相關實證性研究。
第一節 傳統教學系列化理論
確定一個教學結構圖後，將此教學結構圖表示成G=( , )V E ，其中{
1, 2, , n}
V = v v v 表示基本概念或知識所成的集合，簡稱課題所成的集合，{
1, ,2 , n}
E= e e e 表示課題當中的順序關係。而教學系列化則意指從G中，適當 的選取了課題vi，依序排成一系列，就如系列O= v v1, 2,,vn ，即表示先教v1， 再教v2，ㄧ直教到vn之順序。本研究根據李柏儒等在 2012 年發表的論文所使 用之符號定義，將教學系列化（strategic task sequencing 簡稱 STS 法），並且 用符號S vp( )i 表示課題vi的前提課題（也可稱下位課題）所成之集合與用S vo( )i 來表示目標課題（也可稱上位課題）所成的集合，並用n S( )表示集合S的元 素個數，V 則k 表示 STS 法的進行過程當中，第k階段的候選課題所成之集合（李 柏儒、郭輝煌、王瑀、李仲瑜、許天維、胡豐榮，2012）。 STS 法根據(
α β 的取值，來定義四種教學策略。也就是當,)
(
α β,)
∈I1時， 可稱所得的系列化教學是屬於脈絡型教學策略，當(
α β,)
∈I2時，稱所得之系 列化教學是屬於基礎型教學策略，當(
α β,)
∈I3時，稱所得之系列化教學是屬 於非脈絡型教學策略，當(
α β,)
∈I4時，稱所得之系列化教學是屬於應用型教學策略，這裡:
(
)
{
}
(
)
{
}
(
)
{
}
(
)
{
}
1 2 3 4 , : 0 1, 0 1, 1 , , : 1 0, 0 1, 1 , , : 1 0, 1 0, 1 , , : 0 1, 1 0, 1 . I I I I α β α β α β α β α β α β α β α β α β α β α β α β = ≤ ≤ ≤ ≤ + = = − ≤ ≤ ≤ ≤ − + = = − ≤ ≤ − ≤ ≤ − − = = ≤ ≤ − ≤ ≤ − = 此外，在給定之(
α β 下，STS 法於各階段所建構系列化程序時，依據各,)
階段系列化指數θij =θ( ,v vi j)=αfij+βgij的最大值，可以決定應該從候選課題 集合中該挑出哪一個課題，如：在第 j階段，此時表示已經決定出課題 1, 2, , j 1 v v v− ，現在要決定第 j階段，要從候選課題之集合V 當j 中，選出哪一個 課題。因此，STS 法不斷的從Vj中，取出u∈Vj，來計算θ(vj−1, )u ，最後在挑出 達到最大值的課題，令其為vj，則課題vj必滿足θ(vj−1, )u ≤θ(vj−1,vj),∀ ∈u Vj。 以上之計算θ( ,v vi j)=αfij+βgij之處，值得注意的是本研究的 fij與gij之定 義與李柏儒等（2012）所定義的略不同，本研究並沒有除以n V( )之值，即將 fij 與gij定義成 fij =n S v(
p( )i ∩S vp( )j)
，gij =n S v(
o( )i ∩S vo( )j)
。第二節 傳統教學系列化推估理論
由於進行教學活動時，通常是一個系列化的活動，所以當某位教學者， 在教學結構圖G=( , )V E 的架構之下，完成教學活動時，即可表示得出一個系 列化O= v v1, 2,,vi−1, ,vi ,vn−1,vn 之結果。此時，根據 STS 法之理論，要如何 客觀推估此教學者的教學策略，到底是屬於哪一型教學策略的問題，即所謂 教學系列化之推估。 前一節提到之 STS 理論，在各階段還沒計算系列化指數α fij+βgij之前， 其實候選課題之集合，已經先決定出來了，例如 STS 法進行到第 j階段時， 則代表已決定出課題v v1, 2,,vj−1，在此時Vj的決定，與α β, 之值並無關。Vj是由滿足下面兩條件的課題所構成： ㄧ、若課題u被選入了Vj，則u必須和課題v v1, 2,,vj−1中的任何一個有緊鄰的 關係。 二、若課題u被選入了Vj，則u之所有下位課題所成之集合，必須成為
{
v v1, 2,,vj−1}
的子集。 教學系列化之推估，就是在既有O= v v1, 2,,vi−1, ,vi ,vn−1,vn 系列化下， 逐一檢視每個階段，怎樣的α β, 取值，會使該階段被教學者教了的課題之系 列化指數α fij +βgij達到最大。由於α β, 的取值，可以在平面座標的四個現象 分別考慮而決定，因此，假設第 j階段上述既有之系列O中，vj∈Vj，則在本 研究令第k象限（k=1, 2, 3, 4），α 與β之最佳解集合為Akj 與Bkj。利用集合直 積（product）之表徵，最佳解集合等價於下面之集合：(
)
(
) (
)
{
, : 1, 1, ,}
k k j j j j j j A ×B = α β θ v − u ≤θ v − v ∀ ∈u V 。 相反，假設第 j階段上述既有的系列O中，vj∉Vj，則令Akj =φ ， k j B =φ。 教學系列化之推估理論，是利用指標函數（indicator function）Fjk( )α 與 ( ) k j G β 來定義隸屬度函數（membership function）µ α 與k( ) η β ，其分別的定k( ) 義如下： 1 ( ) 0 k i k i k i A F A α α α ∈ = ∉ ， 1 ( ) 0 k i k i k i B G B β β β ∈ = ∉ ， 1 1 ( ) ( ) n k k i i F n µ α α = =∑
， 1 1 ( ) ( ) n k k i i G n η β β = =∑
， 此處n=n V( )
。 因為α β+ =1，故可得下面之性質： 1 1 ( ) (1 ) µ α =η −α ， 2 2 ( ) (1 ) µ α =η +α ， 3 3 ( ) ( 1 ) µ α =η − −α ， 4 4 ( ) ( 1) µ α =η α− 。 根據上面之性質，可以知道所建構教學系列化之推估理論，僅需計算µ α ，k( )1, 2, 3, 4 k= 即可。因此，定義教學系列化之推估函數M x( )，0≤ ≤x 1如下： 2 1 4 3 1 (4 1), 0 , 4 1 2 (4 1), , 4 4 ( ) 2 3 (4 2), , 4 4 3 (4 4), 1. 4 x x x x M x x x x x µ µ µ µ − ≤ ≤ − ≤ ≤ = − ≤ ≤ − ≤ ≤ 顯而易見，推估函數具有0≤M x( ) 1≤ 的性質。 再根據前一節所提四種的教學策略
(
α β,)
∈I1，(
α β,)
∈I2，(
α β,)
∈I3，(
α β,)
∈I4，其分別為脈絡型、基礎型、非脈絡型、應用型之教學性策略，所 以M x( )在0 1 4 x ≤ ≤ ，1 2 4≤ ≤x 4， 2 3 4 ≤ ≤x 4， 3 1 4≤ ≤x 的區間裡，剛好依序表示 基礎型、脈絡型、應用型、非脈絡型教學之策略。 藉由推估函數M x( )的圖型，找出最大值所在的區間，可決定出屬於的教 學型態，若最大值橫跨了兩個教學型態，則是以區間最長的部分所屬的教學 型態，來決定待推估系列化的教學策略之型態。第三節 重要度為基礎之教學系列化推估理論
以重要度為基礎之教學系列化推估，其理論基礎與前節之差異在θ(v vi, j) 之定義處，為明確與前節區別起見，本節以符號θI( ,v vi j)來表示，其定義如下: 亦即 , , , ( ) ( ) ( ), i v vi j fij gij I v vp i j v vi j θ =α +β +α +β 其中 , ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ), p i p j o i o j p i j v s v s v o i j v s v s v I v v I v I v v I v ∈ ∩ ∈ ∩ = =∑
∑
又因為 , ( ) ( ) ( , ) j j j j v V v v I v C v v C v v ∈ ≠ =
∑
+ ， 關於C( , ) 之性質，本研究參考 IM 法之理論，以及為了方便敘述起見，茲導 入三個定義及一個定理來說明。 定義 2.1.1非循環有向圖G V E( , )中，有向邊v vk l E 之重要度 ( k, )l 定義為 ( k, )l # ( k, ) ,l 其中 I v v I v v = C v v ( ,i j) {( ,i j) : k l 為起點 終點 之路徑 的經由邊}i j C v v = v v v v v v W 定義 2.1.2令 1( )i { j :存在路徑使得 與 分別為 之起點與終點j i } A v = v ∈V v v W 1( )i { j :存在路徑使得 與 分別為 之起點與終點j i } R v = v ∈V v v W 則稱A v1( )i 為頂點vi之下位頂點所成的集合，R v1( )i 為頂點vi之上位課題所成的 集合。 根據上述定義可得: 定理 2.1.3若G V E( , )為非循環有向圖，則 1 1 1 ( , )k l ( )k ( ) C v v = A v ×R V 證明:根據C v v( , )k l 與集合之直積的定義可得證本定理。 定理 2.1.4非循環有向圖G V E( , )中，若 1 , #V =n A, = aij ≤ ≤i j n為G V E( , )之鄰接矩 陣，且 1 , 為 ( , ) ij i j n R r G V E ≤ ≤ = 之可到達矩陣，則 1 1 ( , ) n n k l ik kl lj i j I v v r a r = = = ∑
∑
根據非循環有向圖之有向邊的重要度，學者竹谷誠進一步定義頂點之重要度 如下: 定義 2.1.5設G V E( , )為非循環有向圖，且(
) (
)
{
}
1, 1 ( ) , , n v i i j j i j j I v I v v I v v = ≠ =∑
+ 則稱I vv( )i 為IM法中頂點vi之重要度 有了IM法計算重要度之基礎，以實例來進行本節之推估時，假設待推估 之順序為O=( ,o o1 2,...)其步驟如下: 一、先設定虛擬頂點v0 =0。 二、根據前節 j V 需滿足之兩條件，決定V1。 三、檢視V1,計算滿足下式各象限α 與β 之值，亦即決定A B1k, 1k使得 1 1 ( , ) ( , ), I o v I o o v V θ ≤θ ∀ ∈ 。 四、重複步驟三，依序決定V2並計算滿足下式各象限α 與β 之值，亦即決定 2, 2 k k A B 使得 θI( , )o v1 ≤θI( ,o o1 2),∀ ∈v V2。 五、重複步驟四，直到課題On並定出A Bnk, nk。 六、根據A Bik, ik求出隸屬度函數µ α ，k( ) k =1, 2, 3, 4。 七、利用隸屬度函數µ α 來決定推估函數k( ) M x( )。 八、根據推估函數M x( )在0 1 4 x ≤ ≤ ，1 2 4 ≤ ≤x 4， 2 3 4 ≤ ≤x 4， 3 1 4 ≤ ≤x 的四個區 間之取值，來定出待推估之教學系列所屬的型態。第四節 相關實證性研究
壹、廖寶貴(2006)探討階層結構圖最少交錯邊之問題與應用-以國小一到六年 級「數」概念之階層結構圖為例。 一、研究動機：早期最先應用結構圖在兒童學習上的是於 1971 年，Joseph D. Novak 在康乃爾大學研究兒童科學概念所發現的，應用概念構圖的技術， 能使資料更有系統化，也可以藉此紀錄知識狀況和其變化情形，但是由 於資料量太過龐大，導致概念圖十分雜亂不易閱讀；一份概念圖中，若概念之間的關係非常複雜，則概念之間的聯線產生很大的交錯量，故減 少交錯邊的數目技術，變為十分重要之課題。且若一個概念圖中有過多 的交錯邊現象，將會降低概念圖可以被理解及閱讀之特性；再之相同性 質的概念群易分散，概念圖的本意，是為了讓學習者對所學的課程有更 透徹的理解；若是概念圖中，同性質的概念產生分散的現象，則概念圖 就失去了讓學習者追蹤概念的功能。故日本學者 Takeya 於 1993 年提出 illustrative mapping method（簡稱 IM 法），利用概念的重要度，解決了概 念之間交錯線過多的問題，以及同性質概念的分散問題。 二、研究目的：概念圖的大量資料造成交錯線過多，使得結構圖無法達到容 易理解的效果；這樣的問題，已經存在數年，有很多的學者嘗試解決這 個問題。本研究其主要目的是為針對解決交錯邊數的兩種主要方法進行 探討，並企圖對其方法做改善，使能讓結構圖有最佳的可讀性。主要目 的為：利用 PC 法、BC 法以及 IM 法對隨機模擬的階層結構圖進行減少交 錯邊的數目，比較三種方法之成效。以及實際應用於數學教材中比較重 心法和 IM 法的成效。 三、研究資料：將康軒版本的國小一到六年級教材中與「數」概念有關的單 元給予編號，並將六個年級分成六個階層，再根據教科書中的教材地位 圖判定其概念是否有關聯，繪製出概念階層結構圖。分別利用 BC 法以及 IM 法對原圖分析與重組後，得到的兩個新結構圖，並比較兩者之差異作 探討。 四、主要研究結果： (一)PM法的計算過程太過繁雜，計算量十分龐大，就算只有些許頂點， 也耗費比BC法、IM法還要多的時間。使用上較不符合經濟效益。 (二)BC法雖可以減少交錯邊數，但是沒有辦法有效的將單元分類，因此 相對的減少邊的數目有限；但在階層數為二，頂點數為四個以內時，BC
法會有比IM法較佳的效果。 (三)IM法在選擇法中，常發生因為數個頂點重要度相同，因此只好任選 其一進行放置；在任選的過程中可能因此造成結構圖的交錯邊增加，而 無法達到IM法的最佳效果。 (四)在探討使用IM法後的階層結構圗中，仍然有些許交錯邊是可以透過 肉眼觀察及手動調整就可以再繼續減少的；故研究者推測，是由於在IM 法的使用中，依照重要度的排列，強迫讓相關度高的概念(頂點)聚合； 因此，造成某些頂點在排序過程中被強制定位，而產生交錯邊。 (五)由於IM法在聚集來源相同的群組時，相對的解決交錯邊過於密集的 問題，因此計算使用IM法後的階層圖中的交錯線數，比重心法的交錯線 數少了11條，更有效的達到了減少交錯線的目的。 (六)透過減少交錯邊的技術，應用於數概念之階層結構圖後發現結構圖 可以分出乘除法結構、加減法結構、數的表徵、小數結構和分數的結構 五類群組。 五、評述： 在研究中，範例都只採用二階層的結構圖，但實際層面上，大部分 需要整理、排列的階層圖都是多階的；因此，在使用上建議以IM法做階 層結構分析，有較佳的群組效果。在使用IM法時，建議使用加權重要度 作為判斷的依據，較不易出現重要度完全相同，然而必須任選的情形。 貳、陳俊宏(2006)應用GM法於階層概念圖。 一、研究動機：美國康乃爾大學教育學教授Novak等人，自1970年，共同提出 一套方便的學習模式-概念構圖後，日本學者Sugiyama等人進一步提出， 讓人閱讀理解的概念圖應該具備： （一）概念需階層化的處理。
（二）關聯的交錯邊數要少。 （三）概念能分佈均勻對稱。 （四）連接的邊不要過長。 （五）關聯能以直線的方式繪製，這五項特質。 因此，這五項的特質，將藉由圖形理論轉換成四個具體的解決步驟，讓 概念圖能一目了然，分別為： （一）去循環邊。 （二）階層化。 （三）減少交錯邊。 （四）直線的繪製。 除此外，傳統在設計概念圖的程序，會將其主要的概念放置於中間， 而其它相關概念放在分枝的部分，形成樹狀結構圖的圖形，故在進行概 念構圖的製作，往往具有多個核心概念所組成的樹狀結構圖。因此，日 本學者佐佐木整&竹谷誠，進一步對針對階層概念圖的製作程序，提出 illustrative mapping method（簡稱IM法），用來改善在製作概念圖的 過程中，常面臨到的問題：一為當代表概念的節點數量多時，造成所形 成的關聯交錯邊過多，讓概念圖的脈絡交錯、複雜不便於理解。二為具 有相同的先備知識之概念群組，彼此分散開來，不利於知識的閱讀與比 較。 二、研究目的：本研究利用Matlab程式實作佐佐木整與竹谷誠所提出的IM法 和Sugiyama所提出的重心法以及將IM法結合貪婪交換法（Greedy Switching method）（往後簡稱GM法）並且模擬隨機資料代表階層概念 圖，來檢驗上述幾種方法對於減少交錯邊的成效，同時實際利用國小數 學科教材為例，實證分析IM法、重心法以及GM法在概念圖在閱讀理解的 可行性。針對本研究的目的，將限制在已階層化後的概念圖，以及無跨
階層邊的正規階層圖之模擬的資料產生，並且針對閱讀理解的特性，侷 限在交錯邊數的比較，及概念圖在視覺上的比較。 三、研究資料：本研究主要採實證性分析，利用Matlab 6.5版程式，撰寫重 心法、IM法以及GM法程式，用於驗證改善正規階層圖中的交錯邊數的成 效，並且利用Matlab程式隨機模擬一正規階層圖的連接矩陣，將連接矩 陣分別帶入重心法、IM法以及結合貪婪交換法則的IM法，檢視這三種方 法在減少交錯邊數的成效。此外，實際以國小數學科的數學教材製成階 層概念圖為實例，驗證階層概念圖分別在這三種方法在容易閱讀理解的 成效上。 四、主要研究結果： (一)在減少交錯邊數的研究中，模擬的階層資料說明，竹谷誠與佐佐木 整所提出的IM法，似同重心法在減少交錯邊的作用，是一種可行的方法， 但為要提升IM法在減少交錯邊的效益，將IM法結合貪婪交換法則的GM 法，將增加執行所需的時間。雖然模擬資料及實證資料的結果，都說明 IM法與GM法更優於重心法，但由於缺乏理論的基礎，及更多模擬資料的 相互比較，故無法說IM法和GM法一定優於重心法，不過IM法結合貪婪交 換法確實能改善IM法在減少交錯邊不足的部分。 (二)在閱讀理解的部分研究，階層化後的概念圖在經過減少交錯邊的方 法，會比沒經過減少交錯邊方法的階層概念圖，更易閱讀追蹤相關知識。 (三)在閱讀理解的實證分析研究，IM法在階層頂點的排列方式確實優於 重心法，和佐佐木整與竹谷誠所做出的研究結果一致。 (四)在閱讀理解的實證分析研究，GM法更能突顯出階層概念圖是具備多 個主要概念為主軸，所延伸出的樹狀結構圖。 五、評述： (一)針對隨機模擬資料的部分，可以再進一步的控制每一階層的頂點個
數，符合隨機的特性，同時階層和階層間的連線之機制，可以更隨 機，組合不同的隨機分佈，使連接矩陣更符合實際的階層概念圖。 (二)對於減少交錯邊數的效益，能更進一步的比較，哪種方式的減少交 錯邊的機制，最適合階層結構圖？ (三)、針對實證性的研究，建議能應用在更多領域的階層概念圖，如社 會科、自然科、國語科或者能力指標等的階層概念圖之繪製。 参、陳怡君(2009)IM法、邊路徑法與新邊路徑位序法在三階正規階層結構圖 上之比較分析。 一、研究動機：在1998 年，日本學者竹谷誠教授於，提出圖解映射法 (illustrative mapping method，簡稱IM法)，用來解決對於階層圖交錯 邊過多之問題。IM法是利用重要度的概念，來重新排序各層的頂點。它 的優點在於可以一次同時考慮兩層以上，同時排列頂點，這樣的排序方 法，根據竹谷誠與佐佐木整的實證性研究發現，的確比重心法更能有效 達到減少交錯邊的目的。接著，學者竹谷誠於 2004 年 4 月蒞臨台中師 範學院與台中健康管理學院演講時，對於IM法是否能真正的有效處理所 有階層圖，以達到減少交錯邊數的質疑時，仍然持保留的態度。因此， 驗證IM法在減少交錯邊上之效益，成為了最具有挑戰性的研究題材。基 於此，本研究參考柯雲萍之研究架構，設計MATLAB程式，探討IM法、邊 路徑法、以及新邊路徑位序法在解決減少交錯邊問題上之成效。 二、研究目的：若從理論的觀點出發，導出IM法、邊路徑法以及新邊路徑位 序法分別在三階正規非循環有向圖上，減少交錯數之成效；與用實例驗 證IM法、邊路徑法與新邊路徑位序法分別在三階正規非循環有向圖上， 減少交錯數之成效。 三、研究資料：本研究利用相關理論演算法推導，並以MATLAB程式撰寫、建
立階層矩陣資料，再分別使用三種方法IM圖法、邊路徑圖法分析、以及 新邊路位序圖法進行分析，也分別計算出重要度及交錯邊數，進而比較 三者之間的差異性作分析與探討。 四、主要研究結果： (一)此研究於三階正規非循環有向圖在減少交錯邊之處理上，以IM法與 邊路徑法，進行減少交錯邊處理後，所得結果的交錯總數相同。 (二)對本研究三階正規非循環有向圖而言，IM法、邊路徑法，以及新邊 路徑位序法，三法在減少交錯邊之處理後，為IM法與邊路徑法最 佳。但在某些情況下，各有處理得好與不好的情形。 (三)另外，三種方法在減少交錯邊之處理後，有時並無顯著有效的處理， 無法得到比原圖更少的交錯邊數。 (四)經由三種方法處理後，確實提升圖之可讀性，降低交錯邊數多而造 成的複雜性。 五、評述： (一)若後續研究發展，可將設計分類階層圖之準則，並在限定準則之下， 探討IM法、邊路徑法與新邊路徑位序法，三法分別在哪幾類階層圖 之減少交錯邊的成效最佳，利於實證性研究時可以快速有效分析階 層圖。 (二)本研究對於探討階層圖減少交錯邊問題時，只比較探討三種方法之 成效，對於階層圖實際的最少交錯數，並無法予以判斷，因此建議 後續研究，能結合圖形理論中之覆蓋問題，探討階層圖實際的最少 交錯邊問題，做為各種減少交錯邊演算法設計之參考。 (三)往後的後續研究，能擴展至非正規循環有向圖上，來探討減少交錯 邊問題，增加研究的應用價值。 (四)若後續研究，可以設計階層圖減少交錯邊之軟體或線上平台，以便
提供更廣泛的服務。 肆、賴慧鞠、許敬平、黃之敬、王櫻娜、許天維、胡豐榮(2013) 教學系列化 之推估與應用。 一、研究動機：在建築工程時建築藍圖扮演極為重要的角色，就好比教學結 構圖對於教學活動的進行之影響，其重要性和應用，過去曾有試題關聯 結構、知識結構為題的理論之實證性研究的支持。當中，以知識結構圖 計分之研究，或以知識結構圖為基礎所開發之系統，或應用於測驗編製 之研究，這一類研究也能反映出正確的教學結構圖之重要性。在國民小 學的數學課程單元教學中，教師常常根據教科書或教師手冊的編排順 序，來進行教學，即使相同的單元，但不同版本的教科書，其教材順序 所呈現的內容，能比較出有差異性，此時容易產生學習者的困難或迷思 概念，很有可能來自於教科書的編排順序，持有這樣的觀點，故日本學 者在進行相關研究時，並在正確的教學結構圖之前提下，於2007 年學者 竹谷誠、中內辰哉以及船橋芳雄，以理論的觀點來對教學結構圖進行系 列化順序，並提出四種不同的教學策略，分別為脈絡型、基礎型、非脈 絡型以及應用型四種型態。 二、研究目的：在教學現場中，教師遵循一定的順序教完一個單元，若從評 鑑的角度，來檢視教學者的單元教學時，是否能客觀的判定其教學順序 為四種教學策略之中的哪一類型。在實務層面上，這樣的問題是需要被 解決的，主因為外在教育環境的變革，教師在每週三進行例行性的教學 觀摩、由校長、主任或教師觀課等評鑑制度，其目的為針對教學者的教 學活動做出客觀性的評論。基於此本研究參考日本學者竹谷誠等人之研 究，提出了教學系列化之推估，並將此方法運用於國小數學「分數加法」 之教學活動上，以提供數學教育與相關領域之教學評鑑時之參考。
三、研究資料：針對分數加法的十二個教學課題進行教學系列化推估理論之 應用，依據課題與課題之間的數學邏輯關係，利用專家的詮釋結構分析 法得出教學結構圖，並調查彰化縣十所小學，「分數加法」之教學活動 設計，發現有八成的教師傾向於一系列來進行教學，而依據教學系列化 推估理論利用STS法計算之後，對此系列的教學順序推估所屬哪種教學策 略。 四、主要研究結果：利用教學系列化之推估方法用於分數加法的十二個教學 課題，得知彰化縣國小教師的一系列教學順序為基礎型之教學策略。 五、評述：由於教學系列化理論的實用價值，且在實務上一個單元的教學往 往根據教學者的經驗，或教科書版本的不同，而所得到之教學系列化， 也會隨之不同，進而產生不同的教學效果。在這樣的前提之下，以一種 客觀嚴謹的理論，倚靠著隸屬度函數，來評述教學者的教學型態，即為 本研究教學系列化之推估理論的精隨。教學系列化之推估理論，特別是 運用於教學評鑑的場合，文中推估理論應用於國小分數加法之教學上， 發現80%彰化縣國小教師所嚮往之教學順序，屬於應用型之教學策略，此 結果顯示較大多數的教師採用基礎型之教學策略在此課題上。根據此結 果，顯示教學系列化之推估理論，其貢獻不僅能夠客觀評估教學者所進 行之教學所呈現的風格或趨勢，亦能提供多元教學改進之參考，同時， 教學系列化之推估理論之貢獻，亦可做為教科書編撰時提供多元的教學 順序版本，讓使教學者可以依據學生的能力，選擇適合的教學順序版本， 進而設計出適當的教學策略。今後教學系列化之推估理論，也可修改隸 屬度函數之定義，或結合模糊理論、灰色理論等，進而發展至資訊化處 理或開發套裝軟體，使此推估中的計算更有效率，便能融入更多領域之 應用，這些皆可為後續研究有待開發之課題。
第三章 研究結果與討論
此章前兩節將進行傳統教學系列化實例推估與重要度為基礎之教學系列 化推估的計算，第三節再針對兩種推估方法之比較分析兩者的計算結果，觀 察兩種推估的差異。第一節 傳統教學系列化實例推估計算
根據李柏儒等人，在 2012 年發表論文中所提出之「分數加法」的教學 12 個課題，分別羅列如下表 3-1-1 所示： 表 3-1-1：分數加法的教學課題 課題1：同分母分數加法(不進位、不約分) 課題7：公因數 課題2：同分母分數加法的進位(不約分) 課題8：公倍數 課題3：同分母分數加法的約分(不進位) 課題9：真分數 課題4：同分母分數加法的進位與約分 課題10：假分數 課題5：異分母分數加法的通分 課題11：帶分數 課題6：異分母分數加法(含帶分數) 課題12：假分數化為帶分數 「分數加法」之 12 個課題，依據課題與課題之數學邏輯關係，利用專家 的詮釋結構分析法(Takeya, 1999)，今部分修正李柏儒等人之結構圖，得到 下圖 3-1-1 之教學結構圖： 圖 3-1-1：「分數加法」之教學結構圖 上面的結構圖之架構下，經調查彰化縣 10 所小學，「分數加法」之教學6
4
5
2
3
8
12 1
7
9 10 11
活動設計，80%的教師傾向以系列O= 9,10,11,12,1, 7, 2, 3,8, 4, 5, 6 來進行教學， 而依循此教學系列化，本節將借此詳述推估理論之計算過程，以確定其所屬 之教學策略類型。 茲詳述 STS 法推估系列O= 9,10,11,12,1, 7, 2, 3,8, 4, 5, 6 之計算過程，首先， 根據 STS 法須先加入虛擬課題 0，如下圖 3-1-2 所示： 圖 3-1-2：加入虛擬課題 0 之教學結構圖 一、根據 STS 理論，首先決定V1的課題集合，須遵循以下兩個步驟： (ㄧ)若課題9被選入V1，則必須找出與課題9有緊鄰關係的課題所成的集 合。 (二)若課題9被選入V1，則課題9之所有下位課題必須為(一)形成之集合 的子集。 故根據上述二步驟可得 V1=
{
7, 9,10,11}
， 滿足在既定的系列化之下，找出之條件為(
)
( )
(
)
( )
( )
( )
0,10 0, 9 0,11 0, 9 0, 7 0, 9 θ θ θ θ θ θ ≤ ≤ ≤ ， 此條件為第一階段所成的系列化指數α fi j, +βgi j, ，分別代入共同前提指數6
4
5
2
3
8
12 1
7
9 10 11
0
, i j f 與共同目標指數gi j, ，得到下列關係式： α β α β α β α β α β α β α β α β α β α β α β α β β + ≤ + + ≤ + + ≤ + + ≤ + + ≤ + + ≤ + ≥ 0,10 0,10 0,9 0,9 0,11 0,11 0,9 0,9 0,7 0,7 0,9 0,9 得到 7 7 , 得到 7 7 , 得到 6 7 , 上列三式求出 0 . f g f g f g f g f g f g 利用集合直積的表徵，與α + β =1分別在四個象限α β , 之解集合
[ ]
{ }
{ }
[ ]
{ }
{ }
1 2 1 1 3 4 1 1 1 2 1 1 3 4 1 1 0,1 , [ 1, 0] , 1 , 1 , 0,1 , [0,1] , 0 , 0 為第一象限 之解 為第二象限 之解 為第三象限 之解 為第四象限 之解 為第一象限 之解 為第二象限 之解 為第三象限 之解 為第四象限 之解 A A A A B B B B α α α α β β β β = = − = − = = = = = 二、同理根據 STS 理論，再來決定V2的課題集合，須遵循以下兩個步驟： (ㄧ)若課題10被選入V2，則必須找出與課題10有緊鄰關係的課題所成的 集合。 (二)若課題10被選入V2，則課題10之所有下位課題必須為(一)形成之集 合的子集。 故根據上述二步驟可得 V2 ={
7,10,11}
， 滿足在既定的系列化之下，找出之條件為( )
(
)
(
)
(
)
9, 7 9,10 9,11 9,10 θ θ θ θ ≤ ≤ , 此條件為第一階段所成的系列化指數α fi j, +βgi j, ，分別代入共同前提指數 , i j f 與共同目標指數gi j, ，得到下列關係式： α β α β α β α β α β α β α β α β β + ≤ + + ≤ + + ≤ + + ≤ + ≥ 9,7 9,7 9,10 9,10 9,11 9,11 9,10 9,10 得到 2 6 , 得到 6 6 , 上列二式求出 0 . f g f g f g f g 利用集合直積的表徵，與α + β =1分別在四個象限α β , 之解集合[ ]
{ }
{ }
[ ]
{ }
{ }
1 2 2 2 3 4 2 2 1 2 2 2 3 4 2 2 0,1 , [ 1, 0] , 1 , 1 , 0,1 , [0,1] , 0 , 0 為第一象限 之解 為第二象限 之解 為第三象限 之解 為第四象限 之解 為第一象限 之解 為第二象限 之解 為第三象限 之解 為第四象限 之解 α α α α β β β β = = − = − = = = = = A A A A B B B B 三、如同V V1, 2前二階段的選擇機制，選定V3的集合可得V3 ={
7,11}
且滿足(
10, 7)
(
10,11)
θ ≤θ 之系列化指數條件 10,7 10,7 10,11 10,11 3 6 0 f g f g α β α β α β α β β + ≤ + + ≤ + ≥ 得到 , 上式可求出 . 利用集合直積的表徵，與α + β =1分別在四個象限α β , 之解集合[ ]
{ }
{ }
[ ]
{ }
{ }
1 2 3 4 3 3 3 3 1 2 3 4 3 3 3 3 0,1 , [ 1, 0], 1 , 1 , 0,1 , [0,1], 0 , 0 , A A A A B B B B = = − = − = = = = = 四、依上述方法，選定V4的集合可得V4 ={
1, 7,12}
， 且滿足(
)
(
)
(
)
(
)
11,1 11,12 11, 7 11,12 θ θ θ θ ≤ ≤ ， 之系列化指數條件 11,1 11,1 11,12 11,12 11,7 11,7 11,12 11,12 2 5 2 4 3 2 4 0 , 0 f g f g f g f g α β α β α β α β α β α β α β α β β α β + ≤ + + ≤ + + ≤ + + ≤ + ≤ + ≥ 得到 , 得到 , 上二式可求出 . 利用集合直積的表徵，與α + β =1分別在四個象限α β , 之解集合{ }
{ }
1 2 3 4 4 4 4 4 1 2 3 4 4 4 3 3 1 1 , , , ,1 , 2 1 0 , , , , 0 . 2 A A A A B B B B = = ∅ = ∅ = = = ∅ = ∅ = − 五、同理，選定V5的集合可得V5 ={ }
1, 7 ，且滿足
(
12, 7)
(
12,1)
θ ≤θ ， 之系列化指數條件 α β α β α β α β α β + ≤ + + ≤ + + ≥ 12,7 12,7 12,1 12,1 得到 2 4 3 , 上式可求出 3 0 . f g f g 利用集合直積的表徵，與α + β =1分別在四個象限α β , 之解集合[ ]
[ ]
1 2 3 4 5 5 5 5 1 2 3 4 5 5 5 5 1 1 0,1 , , 0 , , ,1 , 4 4 3 3 0,1 , ,1 , , , 0 . 4 4 A A A A B B B B = = − = ∅ = = = = ∅ = − 六、同理，選定V6的集合可得V6 ={ }
2, 7 ， 且滿足( )
1, 2( )
1, 7 θ ≤θ ， 之系列化指數條件 α β α β α β α β α + ≤ + + ≤ + ≤ 1,2 1,2 1,7 1,7 得到 5 3 3 , 上式可求出 0 . f g f g 利用集合直積的表徵，與α + β =1分別在四個象限α β , 之解集合{ }
[
]
[
]
{ }
{ }
[ ]
[
]
{ }
1 2 3 4 6 6 6 6 1 2 3 4 6 6 6 6 0 , 1, 0 , 1, 0 , 0 , 1 , 0,1 , 1, 0 , 1 . A A A A B B B B = = − = − = = = = − = − 七、同理，選定V7的集合可得V7 ={
2, 3,8}
， 且滿足( )
( )
( )
( )
7, 3 7, 2 7,8 7, 2 θ θ θ θ ≤ ≤ ， 之系列化指數條件 α β α β α β α β α β α β α β α β α β + ≤ + + ≤ + + ≤ + + ≤ + + ≤ 7,3 7,3 7,2 7,2 7,8 7,8 7,2 7,2 得到 2 3 2 , 得到 2 3 2 , 上兩式可求出 0 . f g f g f g f g利用集合直積的表徵，與α + β =1分別在四個象限α β , 之解集合
[
]
[
]
1 2 3 4 7 7 7 7 1 2 3 4 7 7 7 7 1 1 , 1, , 1, 0 , 0, , 2 2 1 1 , 0, , 1, 0 , 1, . 2 2 A A A A B B B B = ∅ = − − = − = = ∅ = = − = − − 八、同理，選定V8的集合可得可得V8 ={ }
3,8 ， 且滿足( )
2,8( )
2, 3 θ ≤θ ， 之系列化指數條件 α β α β α β α β α β + ≤ + + ≤ + ≤ + 2,8 2,8 2,3 2,3 得到 5 2 , 上式可求出 0 4 . f g f g 利用集合直積的表徵，與α + β =1分別在四個象限α β , 之解集合[ ]
[ ]
1 2 3 4 8 8 8 8 1 2 3 4 8 8 8 8 1 1 0,1 , , 0 , , ,1 , 5 5 4 4 0,1 , ,1 , , , 0 . 5 5 A A A A B B B B = = − = ∅ = = = = ∅ = − 九、同理，選定V9的集合可得V9 ={ }
4,8 ， 且滿足( )
3, 4( )
3,8 θ ≤θ ， 之系列化指數條件 α β α β α β α β α β + ≤ + + ≤ + + ≤ 3,4 3,4 3,8 3,8 得到 7 2 2 , 上式可求出 5 0 . f g f g 利用集合直積的表徵，與α + β =1分別在四個象限α β , 之解集合[ ] [ ] 1 2 3 4 9 9 9 9 1 2 3 4 9 9 9 9 1 1 , 1, , 1, 0 , 0, , 6 6 5 5 , 0, , 1, 0 , 1, 6 6 A A A A B B B B = ∅ = − − = − = = ∅ = = − = − − 十、同理，選定V10的集合可得V10 =
{ }
4, 5 ， 且滿足( )
8, 5( )
8, 4 θ ≤θ ， 之系列化指數條件 α β α β α β α β α β + ≤ + + ≤ + + ≤ 8,5 8,5 8,4 8,4 得到 3 2 2 , 上式可求出 0 . f g f g 利用集合直積的表徵，與α + β =1分別在四個象限α β , 之解集合 [ ] [ ] 1 2 3 4 10 10 10 10 1 2 3 4 10 10 10 10 1 1 , 1, , 1, 0 , 0, , 2 2 1 1 , 0, , 1, 0 , 1, . 2 2 A A A A B B B B = ∅ = − − = − = = ∅ = = − = − − 十一、同理，可得V11={ }
5 ， 由於此階段候選課題只有一個，故無系列化指數，因此α∈R,β∈R ， 1 與 α β+ = 分別在四個象限α β , 之解集合為[ ]
[
]
[
]
[ ]
[ ]
[ ]
[
]
[
]
1 2 3 4 11 11 11 11 1 2 3 4 11 11 11 11 0,1 , 1, 0 , 1, 0 , 0,1 , 0,1 , 0,1 , 1, 0 , 1, 0 . A A A A B B B B = = − = − = = = = − = − 十二、同理，可得 V12 ={ }
6 ， 由於此階段候選課題只有一個，故無系列化指數，因此α∈R,β∈R ， 1 與 α β+ = 分別在四個象限α β , 之解集合為[ ]
[
]
[
]
[ ]
[ ]
[ ]
[
]
[
]
1 2 3 4 12 12 12 12 1 2 3 4 12 12 12 12 0,1 , 1, 0 , 1, 0 , 0,1 , 0,1 , 0,1 , 1, 0 , 1, 0 . A A A A B B B B = = − = − = = = = − = −因此，得到
( )
1 3 2 1 , 若 α= 0, , 若-1 α< 0, 3 2 μ(α) = μ α = 1 7 , 若α= 0, , 若 0 <α 1, 2 12 ≤ ≤ ( )
2 4 1 , 0, 2 5 1 , 0 , 12 6 1 1 1 , , 3 6 5 ( 5 1 1 , , 12 5 4 1 1 1 2 , , 2 4 2 5 1 , 1. 12 2 3 1 , 若-1 α - , 若 4 2 7 1 1 , 若- <α - , 若 12 2 4 2 1 1 , 若- <α - , 若 3 4 5 α) = 3 1 1 , 若- <α - , 若 4 5 6 1 若 , 若- <α< 0, 3 6 2 若 , 若α= 0, 3 α α α µ µ α α α α ≤ ≤ = ≤ < ≤ ≤ < ≤ = ≤ < ≤ < ≤ < ≤ 根據上面計算得到之µ α ，1
( )
µ α ，2( )
µ α ，3( )
µ α ，可繪製函數4( )
( )
M x 之圖 形，如下圖 3-1-3 所示： 圖 3-1-3：ESTS 系列O之推估函數M x( )
藉由M x( )之圖型，找到最大值所在之區間 0,1 4 ，是屬於基礎型之教學策略。 因此，論定待推估之系列O= 9,10,11,12,1, 7, 2, 3,8, 4, 5, 6 為基礎型之教學策略。 1 2 1 4 1 2 3 4 1( )
M x 1 12 3 4 1第二節 重要度為基礎之教學系列化推估計算
此節將詳述加入重要度計算結果，首先，根據 STS 法須先加入虛擬課題 0，如 下圖 3-2-1 所示：： 9,10,11,12,1, 7, 2, 3,8, 4, 5, 6 O= 圖 3-2-1：加入虛擬課題 0 之教學結構圖 首先根據重要度理論計算出有向邊的重要度，令I v v( , ) k l 為課題k與課題l的有向邊 之重要度，定義如下： ( , )k l # ( , ) ,k l 其中 I v v = C v v ( ,i j) {( ,i j) : k l 為起點 終點 之路徑 的經由邊}i j C v v = v v v v v v W ， 而再令 1( )i { j :存在路徑使得 與 分別為 之起點與終點j i } A v = v ∈V v v W ， 1( )i { j :存在路徑使得 與 分別為 之起點與終點j i } R v = v ∈V v v W ， 則稱A v1( )i 為頂點vi之下為頂點所成的集合，R v1( )i 為頂點vi之上位課題所成的 集合。 因此課題k l, 之間的重要度為 1 1 1 ( , )k l ( )k ( ) C v v =A v ×R V ， 以下為 12 個課題之有向邊重要度計算： (1)首先討論教學結構圖最下層的虛擬課題 0 以及課題 9，它們之間的重要度我們用 ( ,0 9) I v v 表示，第一步驟找尋課題 0 與課題 9 之共同下位課題為唯一的課題 0；6
4
5
2
3
8
12 1
7
9 10 11
0
第二步驟找尋課題 0 與課題 9 之共同上位課題為：課題 9、課題 12、課題 1、課題 2、 課題 3、課題 4、課題 6，共有七個共同上位課題；則 I v v( ,0 9)=A v1( )0 ×R v1( )9 =1 7=7× (2)利用上面計算其餘的有向邊之重要度，分別為I v v( ,0 10) 、I v v( ,0 11) 、I v v( ,0 7) 、 ( ,9 12) I v v 、I v v( , )9 1 、I v( 10,v12) 、I v( 10, )v1 、I v( 11,v12) 、I v( 11, )v1 、I v( 12,v2) 、 ( ,1 2) I v v 、I v v( ,1 3) 、I v v( ,7 3) 、I v v( ,7 8) 、I v v( ,2 4) 、I v v( ,3 4) 、I v v( ,8 5) 、 ( ,4 6) I v v 、I v v( ,5 6) ，此教學課程結構圖總共有 20 個有向邊。重要度之表格 如下： 表 3-2-1 :有向邊重要度 有向邊( ,v vi j) A v( )i 個數 R v( )j 個數 有向邊( ,v vi j) 重要度 ( ,v v0 9) 1 7 I v v( ,0 9) = 7 ( ,v v0 10) 1 7 I v v( ,0 10) = 7 ( ,v v0 11) 1 7 I v v( ,0 11) = 7 ( ,v v0 7) 1 6 I v v( ,0 7) = 6 ( ,v v9 12) 2 4 I v v( ,9 12) = 8 ( , )v v9 1 2 5 I v v( , )9 1 = 10 (v10,v12) 2 4 I v( 10,v12) = 8 (v10, )v1 2 5 I v( 10, )v1 = 10 (v11,v12) 2 4 I v( 11,v12) = 8 (v11, )v1 2 5 I v( 11, )v1 = 10 (v12,v2) 5 3 I v( 12,v2) = 15 ( ,v v1 2) 5 3 I v v( ,1 2) = 15 ( ,v v1 3) 5 3 I v v( ,1 3) = 15 ( ,v v7 3) 2 3 I v v( ,7 3) = 6 ( ,v v7 8) 2 3 I v v( ,7 8) = 6 ( ,v v2 4) 7 2 I v v( ,2 4) = 14 ( ,v v3 4) 7 2 I v v( ,3 4) = 14 ( ,v v8 5) 3 2 I v v( ,8 5) = 6 ( ,v v4 6) 10 1 I v v( ,4 6) = 10 ( ,v v5 6) 4 1 I v v( ,5 6) = 4 接著我們須計算12個課題個別的重要度，令I vv( )i 為課題i之重要度，其定義：
(
) (
)
{
}
1, 1 ( ) , , n v i i j j i j j I v I v v I v v = ≠ =∑
+ 其為將與此課題i緊連的所有課題 j之有向邊重要度總和得到課題i之重要 度，以下為各個課題之重要度： 表3-2-2 : 各課題的重要度 課題 ( )v i 與課題 ( )v 連接的i 有向邊 邊的重要度 課題 ( )v 的重要度 i 1 v (9,1) 10 60 (10,1) 10 (11,1) 10 (1,2) 15 (1,3) 15 2 v (12,2) 15 44 (1,2) 15 (2,4) 14 3 v (1,3) 15 35 (7,3) 6 (3,4) 14 4 v (2,4) 14 38 (3,4) 14 (4,6) 10 5 v (8,5) 6 10 (5,6) 4 6 v (4,6) 10 14 (5,6) 4 7 v (0,7) 6 18 (7,3) 6 (7,8) 6 8 v (7,8) 6 12 (7,5) 6 9 v (0,9) 7 25 (9,12) 8 (9,1) 10 10 v (0,10) 7 25 (10,12) 8 (10,1) 10表3-2-2 : 各課題的重要度(續) 11 v (0,10) 7 25 (10,12) 8 (10,1) 10 12 v (9,12) 8 39 (10,12) 8 (11,12) 8 (12,2) 15 一、根據 STS 理論，首先決定V1的課題集合，須遵循以下兩個步驟： (ㄧ)若課題9被選入V1，則必須找出與課題9有緊鄰關係的課題所成的集 合。 (二)若課題9被選入V1，則課題9之所有下位課題必須為(一)形成之集合 的子集。 故根據上述二步驟可得 V1=
{
7, 9,10,11}
， 滿足在既定的系列化之下，找出之條件為(
)
( )
(
)
( )
( )
( )
0,10 0, 9 0,11 0, 9 0, 7 0, 9 θ θ θ θ θ θ ≤ ≤ ≤ ， 此條件為第一階段所成的系列化指數αfi j, +βgi j, +αIpi j, +βIoi j, ，分別代入 共同前提指數 fi j, 與共同目標指數gi j, 以及共同前提課程之重要度指數 , pi j I 與共同目標課程之重要度指數Ioi j, ，得到下列關係式： 0,10 0,10 0,10 0,10 0,9 0,9 0,9 0,9 0,11 0,11 0,11 0,11 0,9 0,9 0,9 0,9 0,7 0,7 0,7 0,10 0,9 0,9 0,9 0,9 p o p o p o p o p o p o f g I I f g I I f g I I f g I I f g I I f g I I α β α β α β α β α β α β α β α β α β α β α β α β + + + ≤ + + + + + + ≤ + + + + + + ≤ + + + ， 求得7 27 255 7 27 255 7 27 255 7 27 255 6 27 127 7 27 255 α β α β α β α β α β α β α β α β α β α β α β α β + + + ≤ + + + + + + ≤ + + + + + + ≤ + + + ， 上列三式求出β ≥ 。 0 利用集合直積的表徵，與α + β =1分別在四個象限α β , 之解集合
{ }
{ }
{ }
{ }
α α α α β β β β = = − = − = = = = = 1 2 1 1 3 4 1 1 1 2 1 1 3 4 1 1 0,1 為第一象限 之解, [ 1,0{為第二象限 之解, 1 為第三象限 之解, 1 為第四象限 之解, 0,1 為第一象限 之解, [0,1{為第二象限 之解, 0 為第三象限 之解, 0 為第四象限 之解. A A A A B B B B 二、根據 STS 理論，接下來決定V2的課題集合，須遵循以下兩個步驟： (ㄧ)若課題10被選入V2，則必須找出與課題10有緊鄰關係的課題所成的 集合。 (二)若課題10被選入V2，則課題10之所有下位課題必須為(一)形成之集 合的子集。 故根據上述二步驟可得 V2 ={
7,10,11}
， 滿足在既定的系列化之下，找出之條件為( )
(
)
(
)
(
)
9, 7 9,10 9,11 9,10 θ θ θ θ ≤ ≤ ， 此條件為第一階段所成的系列化指數αfi j, +βgi j, +αIpi j, +βIoi j, ，分別代入 共同前提指數 fi j, 與共同目標指數gi j, 以及共同前提課程之重要度指數 , pi j I 與共同目標課程之重要度指數Ioi j, ，得到下列關係式： 9,7 9,7 9,7 9,7 9,10 9,10 9,10 9,10 9,11 9,11 9,11 9,11 9,10 9,10 9,10 9,10 p o p o p o p o f g I I f g I I f g I I f g I I α β α β α β α β α β α β α β α β + + + ≤ + + + + + + ≤ + + + ， 求得 3 27 87 6 27 230 6 27 230 6 27 230 α β α β α β α β α β α β α β α β + + + ≤ + + + + + + ≤ + + + ，上列二式求出β ≥ 。 0 利用集合直積的表徵，與α + β =1分別在四個象限α β , 之解集合
{ }
{ }
{ }
{ }
α α α α β β β β = = − = − = = = = = 1 2 2 2 3 4 2 2 1 2 2 2 3 4 2 2 0,1 為第一象限 之解, [ 1,0{為第二象限 之解, 1 為第三象限 之解, 1 為第四象限 之解, 0,1 為第一象限 之解, [0,1{為第二象限 之解, 0 為第三象限 之解, 0 為第四象限 之解. A A A A B B B B 三、如同V V1, 2前二階段的選擇機制，選定V3的集合可得 V3={
7,11}
且滿足(
10, 7)
(
10,11)
θ ≤θ ， 之系列化指數條件 10,7 10,7 p10,7 o10,7 10,11 10,11 p10,11 o10,11 f g I I f g I I α +β +α +β ≤α +β +α +β ， 求得 3 27 87 6 27 230 α + β + α + β α≤ + β+ α + β， 上式可求出 β ≥ ， 0 利用集合直積的表徵，與α + β =1分別在四個象限α β , 之解集合[ ]
{ }
{ }
[ ]
{ }
{ }
1 2 3 4 3 3 3 3 1 2 3 4 3 3 3 3 0,1 , [ 1, 0], 1 , 1 , 0,1 , [0,1], 0 , 0 . A A A A B B B B = = − = − = = = = = 四、同理，選定V4的集合可得V4 ={
1, 7,12}
， 且滿足(
)
(
)
(
)
(
)
11,1 11,12 11, 7 11,12 θ θ θ θ ≤ ≤ ， 之系列化指數條件 11,1 11,1 11,1 11,1 11,12 11,12 11,12 11,12 11,7 11,7 11,7 11,7 11,12 11,12 11,12 11,12 p o p o p o p o f g I I f g I I f g I I f g I I α β α β α β α β α β α β α β α β + + + ≤ + + + + + + ≤ + + + ， 求得 2 5 52 191 2 4 52 135 3 27 87 2 4 52 135 α β α β α β α β α β α β α β α β + + + ≤ + + + + + + ≤ + + + ，上式可求出β ≤ ， 260 α +49β ≥ 。 0 利用集合直積的表徵，與α + β =1分別在四個象限α β , 之解集合
