三維擴張管分離流之探討

國 立 交 通 大 學

機械工程研究所

碩士論文

三維擴張管分離流之探討

A Study of the Separation Flow in Three-Dimensional Sudden

Expansion Ducts

研 究 生：王宏文

指導教授：崔燕勇

三維擴張管分離流之探討

A Study of the Separation Flow in Three-Dimensional Sudden

Expansion Ducts

研 究 生：王宏文 Student：Hong-Wen Wang 指導教授：崔燕勇 Advisor：Yeng-Yung Tsui 國 立 交 通 大 學 機械工程研究所 碩 士 論 文 A Thesis

Submitted to Institute of Mechanical Engineering College of Engineering

National Chiao Tung University in Partial Fulfillment of the Requirements

for the Degree of Master of Science

in

Mechanical Engineering August 2004

Hsinchu, Taiwan, Republic of China

三維擴張管分離流之探討

研究生：王宏文 指導教授：崔燕勇 博士

國立交通大學機械工程研究所

摘 要

本文是以數值方法探討穩態，不可壓縮流體，層流，且為牛頓流體之三維突 張管流體分離現象，使用有限體積法作為離散化的方法，並使用非結構性網格, 以 SIMPLE 法則求解。

由於影響流場的主要參數為雷諾數（Reynolds number），擴張比(expansion ratio)

和高寬比(aspect ratio)，因此本文主要是探討擴張比固定不變時，雷諾數（Reynolds number）和高寬比(aspect ratio) 對流場的影響。 由於在三維突張管入口之速度分佈為均勻流場，為了使速度分佈能在擴張部 前形成完全發展流，因此計算不同高寬比時能形成完全發展流所需之管道長度， 而決定三維突張管之入口管道長度。對於計算結果的驗證，則是模擬相關之實 驗，並且比對計算結果和實驗數據，同時測試格點對流場的影響。 對於雷諾數對流場的影響，則是計算在不同高寬比時，雷諾數的變化對流場 對稱性所造成的影響，並且以管道中之迴流大小作為討論的依據，同時以管道的 四週璧面及不同截面之流線圖，來表示流場之結構，以及探討流場之分離現象。 高寬比對流場的影響，則是計算雷諾數在固定不變時，不同高寬比對流場所 造成的影響。最後則是探討探討不同高寬比管道及二維管道之臨界雷諾數，並且 計算管道的些微不對稱對流場的影響，同時以迴流大小及速度分歧圖(Bifurcation Diagram) 作為討論的依據。

A Study of the Separation Flow in

Three-Dimensional Sudden Expansion Ducts

Student：Hong-Wen Wang Advisor：Dr. Yeng-Yung Tsui

Institute of Mechanical Engineering

National Chiao Tung University

ABSTRACT

In this thesis,we study the bifurcation phenomenon of the steady, laminar, and incompressible flow in three- dimensional, sudden expansion ducts by numerical

simulation, and the SIMPLE algorithm is applied;in literature, a symmetric flow in sudden expansion duct become asymmetric as the Reynolds number is increased beyond a critical value and such a symmetry breaking flow phenomenon is influenced by the expansion ratio, and the aspect ratio of the duct.

Our study is mainly in discussing the influence of the Reynolds number of the flow of ducts with different aspect ratio and using flow topology to describe the flow structure. And compute the critical Reynolds numbers including the two-dimensional sudden expansion duct and compare with slightly asymmetric ducts by using bifurcation diagram.

誌謝

感謝崔燕勇教授细心的指導，使我在功課上，思考方式上能有更 新的啟發。同時也要感謝吳添成、胡育昌、呂治宇等學長的教導，以 及邱建仁、黃弼鑫同學們的幫助，還有謝崇民、唐宜甫、沈詩珍等學 弟妹們的陪伴，另外也感謝傅武雄教授與楊文美教授在論文上的建 議，在此至上深深的謝意。 特別感謝父母親多年的養育之恩，在我碩士生涯中，一直不斷鼓勵 著我，沒有他們就沒有今日的我，僅以此小小的成就獻給他們。最後 感謝每一位在我人生的路途上，伴我成長的師長、朋友、同學、伙伴 們，謝謝你們。 王宏文 2004.8.30 于交大機械研究所 計算流力實驗室

目 錄

中文摘要 i 英文摘要 ii 誌謝 iii 目錄 iv 圖目錄 vi 符號說明 ix 第一章 緒論………1 1.1 前言………..1 1.2 文獻回顧………..2 1.3 研究方向………..8 第二章 數學模式………..……..…9 2.1 幾何外形………..………..9 2.2 統御方程式………..………..9 2.3 邊界條件………..10 第三章 數值方法………..11 3.1 離散化………..11 3.1-1 對流項………...………11 3.1-2 擴散項………...………13 3.1-3 源項………...………14 3.1-4 計算邊界壓力………...………15 3.1-5 求解壁面之剪應力………...………16 3.1-6 計算面上質量流率………..16 3.2 SIMPLE 法則……….………….……….18

3.2-1 壓力修正式……….……….18 3.2-2 求解步驟……….……….20 第四章 結果與討論………..21 4.1 入口長度的計算……….……….…21 4.2 計算的測試………..…..……….……23 4.2-1 管道擴張部長度之測試……..…..………..……23 4.2-2 格點之測試…..………..……..……24 4.2-3 實驗數據的比對………..……24 4.3 雷諾數對流場的影響……….……25 4.3-1 A=1/3 管道………...……25 4.3-2 A=1 管道………...……26 4.3-3 A=4 管道………...……28 4.3-4 A=8 管道………...……30 4.4 管道高寬比對流場的影響………...…….….34 4.5 不同高寬比時之臨界雷諾數……….…………37 4.5-1 A=1 管道………...……37 4.5-2 A=4 管道………...……38 4.5-3 A=8 管道………...……39 4.5-4 2-D 突張管………...……40 第五章 結論………. 43 參考文獻………..45

圖目錄 表 1 不同高寬比管道格點之安排方式……….……….………..…....….…...49 表 2 擴張部管道長度測試結果…….……….………..…....….…...50 表 3 格點測試結果……….……….……..…....….…...50 圖 2.1 三維平面對稱突張管幾何外形示意圖…….….………..……....….…...51 圖 4.1 入口管道幾何外形及格點安排示意圖…….…….……..……....….…...52 圖 4.2 a=24，Re=225，管道 y=0，z=0 中心截面，速度分佈曲線變化圖…………53 圖 4.3 a=9，Re=225，管道 y=0，z=0 中心截面，速度分佈曲線變化圖…………54 圖 4.4 a=3，Re=225，管道 y=0,z=0 中心截面，速度分佈曲線變化圖…………55 圖 4.5 a=1，Re=225，管道 y=0，z=0 中心截面，速度分佈曲線變化圖…….….…56 圖 4.6 不同高寬比管道中心截面之完全發展速度分佈曲線和解析解之比較 ………..57 圖 4.7 三維突張管幾何外形及格點安排示意圖(A=8)……….………..58 圖 4.8 管道中心截面之速度分佈曲線和實驗數據(Fearn 等人[6])的比對圖…59 圖 4.9 A=1/3 管道，不同雷諾數時中心截面之迴流大小………..….…….…... 60 圖 4.10 A=1/3，不同雷諾數時，管道中心截面之速度場流線圖………61 圖 4.11 A=1/3，不同雷諾數時，管道中心截面之壓力等值線圖………..……62 圖 4.12 A=1/3，Re=100 管道不同截面之流線圖……….……63 圖 4.13 A=1 管道，不同雷諾數時中心截面之迴流大小………64 圖 4.14 A=1，不同雷諾數時，管道中心截面之速度場流線圖………….……65 圖 4.15 A=1，不同雷諾數時，管道中心截面之壓力等值線圖……….…66 圖 4.16 A=1，Re=75 管道不同截面之流線圖……….….……67 圖 4.17 A=1，Re=180 管道不同截面之流線圖……….……68 圖 4.18 A=4 管道，不同雷諾數時中心截面之迴流大小………69 圖 4.19 A=4，不同雷諾數時，管道中心截面之速度場流線圖………….………70 圖 4.20 A=4，不同雷諾數時，管道中心截面之壓力等值線分佈圖………….…71 圖 4.21 A=4，Re=45 管道不同截面之流線圖………..…….….………72 圖 4.22 A=4，Re=90 管道不同截面之流線圖……….………..….……73 圖 4.23 A=4，Re=150 管道不同截面之流線圖……….…….…..…..……74 圖 4.24 A=8 管道，不同雷諾數時中心截面之迴流大小………75 圖 4.25 A=8，不同雷諾數時，管道中心截面之速度場流線圖………….………76 圖 4.26 A=8，不同雷諾數時，管道中心截面之壓力等值線分佈圖………..……77 圖 4.27-1 A=8，Re=40 管道不同截面之流線圖……….…..……78

圖 4.27-2 A=4，Re=40 管道不同截面之流線圖………..…..………79 圖 4.28-1 A=8，Re=120 管道不同截面之流線圖………..…....………80 圖 4.28-2 A=8，Re=120 管道不同截面之流線圖………..…....………81 圖 4.29-1 A=8，Re=180 管道不同截面之流線圖………..……....………82 圖 4.29-2 A=8，Re=180 管道不同截面之流線圖………....………83 圖 4.30 Re=90，不同高寬比時，管道中心截面之迴流大小………..…………84 圖 4.31 Re=90，不同高寬比時，管道中心截面之迴流大小………..…………85

圖 4.32 Re=90，不同高寬比時，管道上璧面 limiting streamlines…..…..………86

圖 4.33 Re=90，不同高寬比時，管道下璧面 limiting streamlines…….…..………87

圖 4.34 Re=90，不同高寬比時，管道右側璧面 limiting streamlines…….…..……88

圖 4.35 Re=150，不同高寬比時，管道中心截面之迴流大小………….……..…89

圖 4.36 Re=150，不同高寬比時，管道中心截面之迴流大小………….……..…90

圖 4.37 Re=150，不同高寬比時，管道上璧面 limiting streamlines………..……91

圖 4.38 Re=150，不同高寬比時，管道下璧面 limiting streamlines….…………...92

圖 4.39 Re=150，不同高寬比時，管道右側璧面 limiting streamlines……....……93

圖 4.40 不對稱管道幾何外形示意圖……….………....……94 圖 4.41 A=1，對稱及不對稱管道中心截面之迴流大小……….……95 圖 4.42 對稱管道中心截面迴流大小之差距……….………....……95 圖 4.43 A=1，不同雷諾數時，X=6.375 截面，管道中心之 W 速度分量速度分歧 圖(Bifurcation diagram)……….………..…………....……96 圖 4.44 A=4，對稱及不對稱管道中心截面之迴流大小……….……97 圖 4.45 對稱管道中心截面迴流大小之差距……….………....……97 圖 4.46 A=4，不同雷諾數時，X=6.375 截面，管道中心之 W 速度分量速度分歧 圖(Bifurcation diagram)……….………..…………....……98 圖 4.47 A=8，對稱及不對稱管道中心截面之迴流大小……….……99 圖 4.48 對稱管道中心截面迴流大小之差距……….………....……99 圖 4.49 A=8，不同雷諾數時，X=6.375 截面，管道中心之 W 速度分量速度分歧 圖(Bifurcation diagram)………….………..……..…....……100 圖 4.50 2-D 突張管之幾何外形及格點安排示意圖…..……..…………...……101 圖 4.51 2-D 突張管，不同雷諾數時之迴流大小……..…………...………..…102 圖 4.52 2-D 突張管，不同雷諾數時迴流大小之差距……..………..…...……102 圖 4.53 2-D 突張管，不同雷諾數時，X=6.375，管道中心之 W 速度分量速度分 歧圖（Bifurcation diagram）..…...……….……….………..……103 圖 4.54 2-D，A=8 突張管，不同雷諾數時之迴流大小…….………..104 圖 4.55 2-D，A=8 突張管，不同雷諾數時，X=6.375，管道中心之 W 速度分量 速度分歧圖（Bifurcation diagram）..…...……….…………..….……104 圖 4.56 不同突張管時，中心截面之迴流大小…….………….………..105

符號說明

符號 定義 Re 雷諾數 E 擴張比 A 高寬比 max u 最大入口速度 m ean u 入口平均速度 Q 入口體積流率 h 入口處管道高度 H 管道擴張部分之高度 W 管道之寬度 1 L 入口處管道長度 2 L 管道擴張部分之長度 V→ 速度向量 u X 方向之速度分量 v Y 方向之速度分量 w Z 方向之速度分量 P 壓力 ν 動摩擦係數

ρ

_密度 µ 分子黏滯係數 m 質量流率 e 單位向量 f F 通量 f S 控容面之面積向量 P w 權重因子

P α αφ, 鬆弛因子 V ∆ 控容體之體積 τ 壁面之剪應力 x1 管道中心截面之第一迴流長度 x2 管道中心截面之第二迴流長度 x3 管道中心截面由擴張部入口至第三迴流區前端之長度 x4 管道中心截面由擴張部入口至第三迴流區末端之長度

ε

管道之不對稱參數

下標

b 邊界 C 控制體積周圍網格之中心格點 f 控容面面之中點 i 表x,y,z三方向 P 主格點 w 壁面 Φ 變數

上標

c 對流項 d 擴散項 p 壓力 UD 上風差分法

第一章 緒論

1.1 前言

: 本文是以數值方法探討三維突張管於穩態層流之流體分離現象 ，使用有限體積法作為離散化的方法，並使用非結構性網格，以 SIMPLE 法則求解。 在突張管道流中，由於管道截面的擴張，使流場產生壓力降，而 使流體在進入擴張部時形成迴流區；另外，由於流體的不穩定性，當 流體的雷諾數達到一臨界值時，會使對稱性流場產生對稱性破壞的現 象，而形成不對稱的迴流區，因此流體的不穩定性為產生對稱性破壞 的原因。 由於管道璧面的影響，在接近璧面處會因流體流動和非滑動璧面 產生剪應力的作用，而使兩側壁面產生之黏滯力影響到管道中心，使 管道中流場形成三維流動的現象；且對於對稱性擴張管而言，由於管 道高寬比的不同，璧面所造成的影響也不同。 因此，在三維平面對稱突張管流場中，影響流場的主要參數為雷 諾數（Reynolds number，Re），擴張比(expansion ratio，E)和高寬

比(aspect ratio，A)。

1.2

文獻回顧

對於三維平面對稱突張管流場中，相關的實驗文獻報告中: 在 Durst 等人 [3]的文獻報告中，使用流場視覺化及雷射測量儀，量測擴 張比(E=3)，高寬比(A=9.2)之平面對稱突張管流場之中心截面流場之 速度，得到以下結果：(１)Re=56 :對稱性流場，(２)Re=114 :不對稱性 流場，且在管道上下分別產生不同大小的迴流區，(３)Re=252 : 在管 道上下的其中一個璧面，會產生第三個迴流區；其中，雷諾數的定義 為: max Re u h ν ≡ ，u_max:最大入口速度，h:入口管道高度。 在 Cherdron 等人 [4]的文獻報告中，使用流場視覺化觀察 E=3， E=2 時，高寬比分別為 1，2，4，8 之平面對稱突張管流場之中心截 面流場，以 LDV 量測 E=2，A=2 之平面對稱突張管中心截面之速度， 得到以下結論：對於平面對稱突張管，當雷諾數在小於某一臨界值 時，存在一對稱性流場，並且流場在雷諾數很小的暫態範圍內，由對 稱性變為不對稱，其中:E=2，A=8，Re<150 時，流場為對稱性，且迴 流大小隨雷諾數增加而變大，當雷諾數介於 150 和 185 時，流場為暫 態，Re=185 時，流場變為不對稱;(其中，雷諾數的定義為: max Re u h ν ≡ ， :最大入口速度，h:入口管道高度)而經由速度的量測得知:雷諾數大 於臨界值時，在背階角落產生的速度擾動，會在 shear layer 產生放大 max u 2

的效果。 在 Fearn 等人[6]文獻報告中，分別以實驗及穩定性分析，研究以 Ｅ＝３，Ａ＝８之平面對稱突張管之非線性的流動現象，得到以下結 果：經由穩定性分析之計算，得到一臨界雷諾數 Re＝40.45

±

0.17% ；當雷諾數大於臨界雷諾數時，流場失去穩定性而產生對稱性破壞之 分離現象；另外經由實驗量測及觀察中心截面之速度分佈，得到以下 結果：(１)Re=26 : 對稱性流場，(２)Re=60 :不對稱性流場，且在管道 上下分別產生不同大小的迴流區，(３)Re=140 : 在管道上下的其中一 個璧面，產生第三個迴流區。其中，雷諾數的定義為: _Re max 2 h u ν ≡ ， : 最大入口速度，h:入口管道高度;另外量測及計算在管道出口方向 25.5MM 之截面管道中心之垂直速度分量，繪製速度分離圖( max u Ｂifurcation diagram)，計算結果為:在臨界雷諾數前，可計算出唯一之 穩定解，而雷諾數大於臨界雷諾數後，對於完全對稱之管道，計算結 果可得到兩個穩定之不對稱解，但實驗量測結果無法觀察到臨界雷諾 數，且大於臨界雷諾數後之量測結果於和計算結果無法吻合，因此另 外計算一不對稱管道，管道上半部高度增加 0.05MM，計算結果可得 到一個穩定之不對稱解，及一個不穩定之不對稱解，且量測結果和計 算結果吻合，因此對於實驗而言，無法實驗出完美之對稱管道。 3

在 Durst 等人 [7]的文獻報告中，使用流場視覺化及 LDV，量測 擴張比(E=2)，高寬比(A=8)之平面對稱突張管流場之中心截面流場， 並計算二維之非穩態 Navier-Stokes 方程式，均得到以下結果：Re>125 : 不對稱性流場，且在管道上下分別產生不同大小的迴流區，若雷諾數 持續升高，則較小之迴流其長度保持為常數，較大之迴流其長度隨雷 諾數升高而變大。 ( max Re u h ν ≡ ，u_max:最大入口速度，h:入口管道高度) 對於流場在管道上下所產生的分離現象(Ｂifurcation

phenomenon)的分析理論為穩定性分析，在 Sobey and Drazin[10]的文獻 報告中，分別以線性\非線性穩定性分析及實驗，研究二維管道(E=3) 之不穩定性及分歧現象，並且分析了 Jeffery-Hamel flow 之穩定性，結 果為：在低雷諾數時，產生唯一的對稱性流場，而提高雷諾數時，流 場開始不穩定，並且在管道高度方向產生分離現象，產生了二個穩定 的不對稱穩態流場，繼續提高雷諾數時，得到八個穩定的不對稱解及 七個不穩定解，當雷諾數相當高時，則得到周期性解，並且推論 Hopf 分歧現象的存在；並且 E=3 之臨界雷諾數為：Re=5.95 (Re 2 Q ν ≡ ,Q:入口體積流率)。 ４

在 Rusak and Hawa[12] 的文獻報告中，使用弱非線性分析 (weakly nonlinear analysis) ，計算 E=3 之非穩態流場之臨界雷諾數 (Re uh

ν

≡ ，u：入口平均速度，h：入口管道高度) ，結果為：當雷諾數

小於臨界雷諾數(Re=53.8)時，流場為穩定之對稱狀態；當雷諾數大於 臨界雷諾數時，則流場失去了穩定性(stability)，成為不對稱之狀態。 在 Rusak and Hawa[13] 的文獻報告中，使用分離分析

(Ｂifurcation analysis)，線性穩定性分析及直接數值模擬

(direct numerical simulation)，分析二維對稱突張管(E=3)，結果為： 使 用分離分析得到一臨界雷諾數( Re_c =53.8)，小於臨界雷諾數時，流場 為穩定之對稱狀態，提高雷諾數Re uh ν ≡ ，u：入口平均速度，h：入口 管道高度)，則使流場產生高度方向之不對稱性，並且不對稱性之擾 動分佈，是以 Re Re ( / ) c H h − ，(h：入口高度，H：出口高度)方式成 長；對於線性穩定性分析之結果，雷諾數小於臨界雷諾數時，流場為 穩定之對稱狀態且擾動為漸進的穩定狀態，雷諾數大於臨界雷諾數 時，則流場為不穩定之不對稱狀態且擾動為漸進的穩定狀態，直接數 值模擬則是直接模擬背階角落處之流場；並且解釋對於流場失去穩定 性的原因為：流場之渦流的擾動造成的對流效應和流場之黏滯力所 造成之耗散之間的交互作用。 ５

對於二維流場之計算，在王家康[1]的文獻報告中，以有限體積 法，配合非結構性格點，使用 SIMPLE 法則，計算 E=3 之二維流場， 所得到的流體分離現象與 Durst[4]文獻報告結果相符：(１)Re=56 ：對 稱性流場，(２)Re=114：不對稱性流場，且在管道上下分別產生不同 大小的迴流區，(３)Re=252 ：在管道上下的其中一個璧面，會產生第 三個迴流區；其中，雷諾數的定義為： max Re u h ν ≡ ， ：最大入口速 度，h：入口管道高度。 max u 在潘燕峰[2]的文獻報告中，以有限體積法，分別使用四邊形與三 角形之非結構性格點，使用 SIMPLE 法則，計算 E=3 之二維流場， 所得到的流體分離現象與 Durst[4]的文獻報告結果相符：(１)Re=56 ： 對稱性流場，(２)Re=114：不對稱性流場，且在管道上 下分別產生不同大小的迴流區，(３)Re=252：在管道上下的其中一個 璧面，會產生第三個迴流區；其中，雷諾數的定義為： max Re u h ν ≡ ， ： 最大入口速度，h：入口管道高度；且對於動量方程式之對流項，採 用不同的方法，比較各種差分的差異性。 max u 對於三維平面對稱突張管流場之數值模擬，在 Schreck and Schafer [18]的文獻報告中，以有限體積法，配合 multigrid 方法，使用 SIMPLE 法則及平行化運算，分別計算 E=3 時 A=2，A=5 及二維流場，

在不同雷諾數之流場的迴流大小(reattachment length),由迴流大小的分 歧，計算臨界雷諾數，結果為：在 A=2，A=5 及２-D 時之臨界雷諾數 分別為：115.3，94.2，81.6( max Re u h ν ≡ ， ：最大入口速度，h：入口 管道高度)。 max u 在 Chang 等人[19]文獻報告中以有限體積法，配合棋盤式格點安 排，使用 SIMPLE 法則計算 E=3，Re=60 不同的高寬比對流場對稱性 所造成的影響，結果為：當 A

≤

1.167 時，流場為對稱性，而 A>1.167 時，流場在高度方向產生對稱性破壞之分離現象；且當 A

≥

4 時，流 場中心截面則接近於二維平面。其中，雷諾數的定義為： _Re≡ mean2 h u ν m ean ， ：入口平均速度，h：入口管道高度。 u 在 Chang 等人 [20]文獻報告中，以有限體積法，配合棋盤式格點 安排，使用 SIMPLE 法則計算 E=3,Re=60 不同的高寬比對流場對稱性 所造成的影響，所得到的結果為：管道除了在高度方向產生分離現 象，在管道左右方向也會產生分離現象，因此得到兩種流場模式，模 式一為：流場在高度方向產生分離現象且在寬度方向為對稱性，另一 種流場模式則在高度方向和寬度方向皆會產生對稱性破壞之分離現 象，且臨界高寬比為 A=7；當 A>7 時，才會產生第二種流場模式。其 ７

中，雷諾數的定義為：_Re mean 2 h u ν ≡ ， ：入口平均速度，h：入口管 道高度。 m ean u

1.3 研究方向

本文主要是以有限體積法，配合非結構性格點，使用 SIMPLE 法 則，模擬三維突張管，並探討高寬比，雷諾數對流場造成的影響；以 及探討不同高寬比突張管和二維突張管之臨界雷諾數，以及些微不對 稱突張管對於臨界雷諾數之影響。 8

第二章 數學模式

2.1 幾何外形

對於本文中的三維平面對稱突張管，其幾何外形示意圖如(2.1) 所示，其中定義擴張比(expansion ratio)，E H h = ；高寬比(aspect ratio)，A W H = ；其中 h 為入口處管道高度， 1

L

為入口處管道長度，H 為管道擴張部分之高度， 2

L

為管道擴張部分之長度，W 為管道之寬度 ，且使用直角座標系統為參考座標，定義管道長度方向為 X 軸，寬度 方向為 Y 軸，高度方向為 Z 軸，且座標原點置於管道之中心位置。

２.2 統御方程式

假設流場為穩態之不可壓縮層流，重力忽略不記，且流體為牛頓流 體；則流場之統御方程式如下： 連續方程式(Continuity equation) : ( )V 0 ∇i = (2.1) 動量方程式(Momentum equation) : 2 ( ) V V p ρ i i∇ = −∇ + ∇µ V (2.2) 定義無因次化變數為: ９

i i x x h ∗ ₌ ， mean V V u ∗ → → = ， ₂ mean P P u

ρ

∗ _{= ，} i x ∗ ∗ ∂ ∇ = ∂ (2.3) 則(2.1)，(2.2)式可寫成以下之無因次化型式： (V ) 0 ∗ ∗ ∇ i = (2.4) 2 1 ( ) Re V∗i∇∗iV∗ = −∇∗ ∗p + ∇∗V∗ (2.5) 其中： Re umeanh ν ≡ ， (2.6) mean u ：入口平均速度 h：入口管道高度，h≡1 ν：動摩擦係數，

ν

µ

ρ

= ，

µ

,

ρ

皆為常數

2.3 邊界條件

(1) 入口及出口 入口處之速度為一均勻流場， u∗ =1，v∗ =w∗ = 。 (2.7) 0 出口則假設速度梯度等於零， u v w 0 x x x ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∂ ₌∂ ₌ ∂ ₌ ∂ ∂ ∂ (2.8) (2) 固定壁面 壁面採用無滑動(no slip)的流動條件， u∗ =v∗ =w∗ = 。 (2.9) 0 １０

第三章 數值方法

由第二章之統御方程式(2.4)，(2.5)可得下列通式: ( ) 1 ( ) Re V ∇i Φ = ∇ ∇Φ + qi (3.1) 其中，上式為無因次化型式，Φ為速度， 為壓力梯度。 q 本章就(3.1)式，使用有限體積法，將統御方程式離散化；首先將 計算區域離散成有限之控制體積(control volume)，再用高斯散度定理 (Gauss divergence theorem)，將體積分轉為面積分，然後以中點定理 (Midpoint rule) 將面積分化為差分形式。

3.1 離散化(Discretization)

3.1-1 對流項(Convection term) :

∇i(VΦ)

先以高斯散度定理( Gauss divergence theorem)， 將體積分轉為面積分:

( ) ( ) v S V dV V dS ∆ ∇ ⋅ Φ = Φ ⋅

∫∫∫

∫∫

(3.2) 然後以中點定理(Midpoint rule) 將面積分化為差分形式 : ( ) ( )_{f f} C f f S VΦ ⋅dS ≈

∑

VΦ ⋅S =

∑

F

∫∫

f 因此 f f (3.3) C f m F ≡ Φ 其中，

F

c : 對流通量(flux) 下標 : 控制體積之任一面上之中點 f １１

m : 質量流率(mass flow rate) 在求解對流項的過程中，若採用高階準確的中央差分法(CD)，會 造成解的震盪且不易收斂；若採用低階準確之上風法(UD)，會造成很 大的數值擴散，所以，為了求得一高準確度且易收斂之解，在此採用 以中央差分和上風差分混合之法: FC =FUD+

γ

(FCD−FUD) (3.4) 上式中，

F

UD 代表以上風差分法所得之對流通量，

F

CD 為以中央差 分之對流通量，

γ

係一介於 0 與 1 之值，此值通常取一接近 1 之值以 確保高階準確。 ] ) 0 , min( ) 0 , max( ) ) 1 ( ( [ ) 0 , min( ) 0 , max( C f p f C f p f f C f p f C f m m w w m m m F Φ + Φ − Φ − + Φ + Φ + Φ =

γ

(3.5) 其中， 為加權因子(weighting factor) w 另為確保疊代時之係數矩陣為對角優勢(diagonally dominate)，而採用 deffered correction 法，上式中以上風法求得之第一項置於係數矩陣 中，而將中央差分法與上風差分法之差所得的第二項置於源項中。 １２

3.1-2 擴散項(Diffusion term) :

1 ( ) Re∇ ∇Φi 同理，將擴散項經由高斯散度定理及中點定理處理後可得: 1 Re 1 ( ) Re d f f V dV F ∆ ∇ ∇Φ ≈

∑

∫∫∫

(3.6) 因此 F_fd ≡ ∇Φ ⋅( )_f S_f 其中，

F

d : 擴散通量(flux) (3.7) 令S f =d +(S f -d ) (3.8) d 定義為一沿主格點 P 至相鄰格點 C 方向的向量， 對於d 的計算,本文使用 over-relaxed approach :

δ

δ

_f f d s d f S S e e e S d ⋅ = ⋅ ≡ 2 (3.9) 此處es表示沿S f 之單位向量。 將(3.8)，(3.9)代入(3.6)分別得： 2 1 1 Re _{( ) (} Re f d f C p f f S F S S

δ

= Φ − Φ + ∇Φ ⋅ f −d) (3.10) 將 上 式 中 第 一 項 置 於 疊 代 係 數 中 ， 第 二 項 置 於 源 項 中 。 １３

3.1-3 源項(Source term) :

在源項中之壓力梯度，可同樣由高斯散度定理及中點定理得： 1 1 1 f f f V s P PdV PdS V _∆ V V ∇ = ∇ = ≈ ∆

∫∫∫

∆

∫∫

∆

∑

P S (3.11) 其在ei方向之分量： ∂ = ∇ ⋅ = ∆

∑

(

⋅

)

∂ i f f i i e S P V e P x P 1 (3.12) 對於可壓縮流，源項中包括部分擴散項因其仍為散度形式，因此仍可 利用高斯定理將其轉換成通過格面的擴散通量形式，此通量中的速度 微分 i x u ∂ ∂ 及 i x v ∂ ∂ 可利用如 _∂∂ = ∇ ⋅ i = _∆

∑

f

(

f ⋅ i

)

i e S P V e P x P 1 般的 近似求得。 由前面推得之對流項、擴散項及源項合併可得：

∑

Φ + = Φ C C C p p A Q A _(3.13) 其中 =

∑

(3.14) C C p A A 2 1 Re f _{max( ,0)} C f S A S

δ

= + ⋅ mf (3.15)

{

}

(

)

( (1 ) ) max( ,0) min( ,0) 1 Re f f p f C f P f C c f f p f Q m w w m m S d q V

γ

⎡ ⎤ = − _⎣ Φ + − Φ − Φ + Φ _⎦ + ∇Φ − + ∆

∑

∑

下標 C : 控制體積周圍網格之中心格點 (3.16) １４

下標 : 控制體積之任一面上之中點 f 為了使(3.13)式之非線性方程式能穩定的收斂，在此加入一常用之鬆 弛因子

α

(under-relaxation factor)，其能有效的使疊代過程穩定，適當 的鬆弛因子介於 0 與 1 之間,則上式可表示為: p p C C C A Q A

α

Φ =

∑

Φ +

α

(3.17)

3.1-4 計算邊界壓力:

於計算壓力梯度時須要用到邊界上之壓力，在此壓力可由下列式 子求得: P_b − P_p = ∇P ⋅

δ

(3.18) 其中，

b

表示網格之任意一面；

δ

代表

P

到

b

之距離向量。 對於壓力梯度可由下式近似： ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ∆ = ∆ = ∇

∑

∑

≠ b f f f b b f f f P S P S V S P V P 1 1 _{( 3 . 1 9 )} 此處下標 f 表示除了

b

之外的其餘面， 因此得到邊界上之壓力為： ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _⋅ ∆ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ∆ + =

∑

≠

δ

δ

b b f f f p b S V S P V P P 1 1 1 (3.20) １５

3.1-5 求解壁面之剪應力(shear stress):

以 P 代表靠近壁面主格點，S為格子於壁上之面向量，P 點之速 度為 ，壁面朝向格子內之法線向量 為: p V

S

j

S

i

S

S

S

n

=

−

=

−

(

x

+

y

)

_(3.21) 因此，垂直壁面的速度分量 :

(

) (

)

[

u S v S S i u S S v S j

]

S n n V V_p⊥ =( _p ⋅ ) = 1_{2 p x}2 + _{p x y} + _{p x y}+ _{p y}2 _(3.22) 可得平行壁面之速度分量:

(

) (

)

[

u S v S S i u S S v S j

]

S V V V_p′′= _p − _p⊥ = 1_{2 p} 2_y − _{p x y} + − _{p x y} + _{p x}2 _(3.23) 所以壁面之剪應力為 : n V S _p δ µ τ = ′′ (3.24) n

δ

: P 點至壁面之垂直距離 3.1-6 計算面上質量流率 為滿足連續方程式質量守恆定律，必須計算面上之速度，在此以 類似 Rhie & Chow 之線性內插法計算。

將(3.13)式中之壓力項自源項中提出，並將(3.13)式寫成如下的式 子: p p p p P A V H V _⎟⎟ ∇ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∆ − = (3.25) １６

其中 p C C C A Q V A H '

∑

+ = ； Q'： 不含壓力之源項 (3.26) 類似(3.25)式之表示方式，格子面上之動量方程式可寫成： f f p f f P A V H V _⎟⎟ ∇ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∆ − = _(3.27) 其中 f f p f f P A V V H _⎟⎟ ∇ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∆ + = _(3.28) 代入(3.27)式可得： f f p f p f f P A V P A V V V _⎟⎟ ∇ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∆ − ∇ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∆ + = ( ) (3.29) 上標＂—＂ 表示由控制體積之中心格點 P 及另一共面 f 相鄰之 C 格點內插而得，如下所示：

(

p

)

p C p f w P w P P = ∇ + − ∇ ∇ 1 (3.30)

(

p

)

p C p f w V w V V = + 1− (3.31) 至於 f p A V ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∆ 可由下式近似之:

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛ ∆

+

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛ ∆

=

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛ ∆

p p C p f p

A

V

A

V

A

V

2

1

(3.32) 所以質量流率可寫為 : １７

(

f f f f

)

f p f f f f f f S P S P A V S V S V m ⋅ ∇ − ⋅ ∇ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∆ − ⋅ = ⋅ = ρ ρ ρ (3.33)

3.2. SIMPLE 法則

3.2-1. 壓力修正式

根據 Patankar 所提的 SIMPLE 法則，將前次疊代的壓力 P ∗ ，代 入動量方程式中，可解出中心格點

P

之速度場V ∗，此時速度場 及壓力場 ∗ V ∗ P 仍不滿足連續方程式，因此需再修正，而修正後之速度 及壓力假設為V ∗∗ 及P ∗∗ ，根據 Patankar 之假設，其速度修正量及 壓力修正量表示成下面之關係: p p p p P A V V _⎟⎟ ∇ ′ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∆ − = ′ _(3.34) * * * p p p P P P′ = − (3.35) 同理，格子面上速度之速度修正式： f f p f f f P A V V V V _⎟⎟ ∇ ′ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∆ − = − = ′ ** * (3.36) 由(3.36)式代入(3.36)式可得修正之質量流率: １８

) ( ) ( ' ' * ' * ' * * * d S P A V P d P A V m S P A V m S m m f f f p f f f p f f f f f p f f f f f f f − ∇ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∆ − ⋅ ∇ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∆ − = ⋅ ∇ ∆ − = ⋅ + =

ρ

ρ

ν

ρ

( 3 . 3 7 ) 此處d 是以 over-relaxed 法：

_δ

δ

f f

S

S

d

⋅

=

2 (3.38) 將(3.38)代入(3.37)式得: ) ( ) ( ) ( ' ' 2 ' d S P A V P P S S A V m _f f p f p C f f f p f f ⎟⎟ ⋅ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ′ ∇ ∆ − − ⋅ ∆ − =

ρ

δ

ρ

_(3.39) ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ′ ∇ ∆ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ′ ∇ ∆ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ′ ∇ ∆ C p p p f p P A V P A V P A V 2 1 _(3.40) 令修正後之速度場滿足連續方程式：

∑

= f f m ** 0 _(3.41) 則可得到壓力修正方程式： 2 1 p p C C C p p

P

A

P

S

S

A

′

=

∑

′

+

+

_(3.42) 其中 f f f p f C S S A V A ⋅ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∆ =

δ

ρ

2 (3.43)

∑

= f f p m S ₁ * _(3.44) 2 P (S d) A V S _f f f p f p ⎟⎟ ⋅ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ′ ∇ ∆ =

∑

ρ

_(3.45) 由(3.42)可求得壓力之修正量 P ′ ，可用來修正速度之值及質量流率 １９

而求得V ∗∗ 及m ∗f∗ 。

3.2-2 求解步驟:

1.給初始速度 ui及壓力 ∗ P 2.解動量方程式得到預測之速度場V p∗ ，並解出面上之速度 ∗ f V 3.由壓力修正式解得P ′ 4.由速度修正式計算V p∗∗ 及 ∗ ∗ f V 等 5.重覆步驟 2~4，直到獲得收斂解 一 般 結 構 性 網 格 之 係 數 矩 陣 為 只 具 有 數 個 對 角 線 的 banded matrix，而使用非結構性網格之係數矩陣不具此性質，因此，一般常 用之 line solvers 及 Stone＇s SIP 皆不適用，point solvers 雖可用於解 unbanded matrix，但其缺點為收斂速度太慢，在此採用 preconditioned conjugate gradient methods。

對 於 壓 力 修 正 方 程 式 ， 其 係 數 矩 陣 具 對 稱 性 質 ， 因 而 採 ICCG(Incomplete Cholesky Conjugate Gradients)法，而動量方程式因其係 數矩陣不具對稱性質，因此採 BICG(Biconjugate Gradients)法。

第四章 結果與討論

4.1 入口長度的計算

為了使進入管道擴張部分時之流場為完全發展流，則入口處管道 須有足夠的長度，才能使入口的均勻流場在進入管道擴張部分前形成 完全發展流，而由均勻流場至形成完全發展流所需之距離，稱為 entrance length。 因此，分別計算高度為 h=1，長度為 60h，高寬比分別為 a=1,3,9,24 之矩形管道，其中高寬比的定義為 a=W h ；由於在管道接近璧面處之 流場型態為邊界層流場，因此格點的安排採用非均勻網格，將三個方 向接近璧面處之網格，均以等比級數局部加密；其幾何外形及格點的 建立如圖 4.1 所示；採用中央差分和上風差分混合之法，並取 r=0.5 計算，且速度和壓力皆收斂至

10

−3。 在本文的計算中，定義管道中最大速度變化小於 1%時的 X 方向 距離作為 entrance length；計算所得結果為：

1.a=24，Re=225 之 entrance length 為：21.54 最大速度為 1.5 倍入口速 度。圖 4.2

2.a=9，Re=225 之 entrance length 為：39.95 最大速度為 1.58 倍

入口速度。圖 4.3

3.a=3，Re=225 之 entrance length 為：45.92 最大速度為 1.82 倍 入口速度。圖 4.4

4.a=1，Re=225 之 entrance length 為：53.31 速度為 2.02 倍入口 速度。圖 4.5

另外，對於不同高寬比管道之完全發展流的速度分佈曲線，可由 級數求解得到解析解(Spiga and Morini[24])：其中，完全發展流之 速度分佈曲線可表示為： 2 4 2 1,3,5.... m=1,3,5... sin( )sin( ) 16 ( , ) ( ) n y z n m A _w V y z nm A n m

π

π

π

∞ ∞ = = +

∑ ∑

2 2 h (4.1) 因此將計算結果之完全發展流的速度分佈曲線和解析解比較，結 果如圖 4.6 所示，解析解所得到之最大速度和計算結果十分接近，但 由(4.1)式無法計算出實際之質量流率，所以將解析解之質量流率， 換算為實際之質量流率後，和計算結果有些微差距。 由上述結果可以得到以下結論： a. 當管道之高寬比夠大時(a=24)，最大速度為 1.5 倍入口速度，和 假設管道之高寬比無窮大時所得到之解析解的最大速度吻合；而 a=1 時(即管道截面為正方形)，最大速度為 2.02 倍入口速度和假 ２２

設圓形截面管道達到完全發展流時所得到之解析解的最大速度 為 2 倍入口速度接近，即正方形截面管道已接近軸對稱。 b. 隨著高寬比的增加，最大速度則降低，所需之 entrance length 降 低。 c. 因此，對於本文所計算之各種不同高寬比之管道，除了在 a=1， 3 管道計算高雷諾數時(Re=150-200)，採用入口管道長度為 50h 外， 其餘不同高寬比之管道均採用入口管道長度為 30h，並且使所有 計算之均勻流場，均能在擴張部前形成完全發展流。

4.2 計算的測試

依據前述之數學模式及數值方法，格點的安排採用非均勻網格， 將三個方向接近璧面處以及背階角落處之網格，均以等比級數局部加 密；若所計算之幾何外形長寬高的比例相差太大，會使計算結果較不 易收斂，因此格點的安排採用固定 z 方向格點數，再依長寬高的比 例，分配 x,y 方向格點數。其幾何外形如圖 4.7，格點的建立如表 1 所示。 ２３

4.2-1 管道擴張部長度之測試

為了使擴張部出口速度梯度為零之出口條件不影響所計算之迴 流區，因此分別計算擴張部管道長度為 30h，40h，50h，60h，Re=225， A=8 時，擴張部管道長度對於迴流大小的影響。 而由計算結果得知，如表 2，所有計算管道中之最大迴流長度為 25.6，且擴張部管道長度大於 50h 時，將不影響迴流的大小；因此本 文所計算之所有管道，採用擴張部管道長度 50h，且速度梯度為零之 出口條件，均不會影響迴流的大小。

4.2-2 格點之測試

依前述之幾何外形及格點的建立，計算 x,y 方向格點數固定，入 口管道 z 方向格點數分別為 6,8,10,12,14 時，A=8，Re=90 之管道；而 計算結果為 z 方向格點數大於 12 時，計算結果得到之中心截面迴流 大小接近不變，如表(三)。 因此本文所計算之所有管道，均採用入口管道 z 方向格點數為 12，x,y 方向格點數依長寬高的比例分配。 ２４

4.2-3 實驗數據的比對

其幾何外形及格點的建立如前述；採用中央差分和上風差分混合 之法，並取 r=0.5 計算，且速度和壓力皆收斂至

10

−3，模擬 Fearn 等人 [6]的實驗結果(E=3,A=8)，比對管道中心截面之速度分佈曲線，經由 和 實 驗 數 據 的 比 對 ， 所 得 結 果 如 圖 (4.8) 所 示 ； 計 算 結 果 在 Re=39(Re=26,Fearn[6])，Re=90(Re=60,Fearn[6])時和實驗結果十 分吻合；而計算結果在 Re=210(Re=140,Fearn[6])時略大於實驗結果； 可能原因為，實驗之流場已接近非穩態流場，因此模擬結果有較大之 誤差。

4.3

雷諾數對流場的影響

4.3-1 A=1/3 管道

以 A=1/3 之幾何外形(即入口管道截面為正方形)，計算不同之 雷諾數，並且計算迴流在中心截面的大小(reattachment length) ，所得結果如圖(4.9)，隨雷諾數之增加，流場上下迴流的大小完全 相等，而不會產生不對稱性。圖(4.10)為管道中心截面之速度場流 線圖，圖(4.11)為管道中心截面之壓力等值線分佈圖。 另外，由圖(4.12)，A=1/3，Re=100 管道不同截面之流線圖，管 ２５

道中之迴流在四週接近璧面處最大，愈接近管道中心則迴流愈小， 即管道之流場已接近軸對稱；經由不同截面之流線圖，可看出管道 流場之立體結構，且由最接近璧面之流線(limiting streamlines) ，[21]可看出管道流場之分離現象。 依據流線在幾何上之定義[21]，因流線流動方向不同產生之界 面，可分為兩種：若流線方向是由此界面朝四周流動，稱為 line of reattachment [21]，若流線方向是由四周朝此界面流動，稱為 line of separation [21]；而流線在幾何上之奇點，可分為兩種：若流線方向 由此奇點向四周流出，稱為節點(nodal point) [21]，若流線方向由四 周朝此奇點流入，則稱為鞍點(saddle point) [21]，且兩個節點之間， 一定會有一個鞍點；而迴流之中心焦點(spiral-focal point) [21]，可分 為兩種：若流線由此中心焦點流入，稱為 attracting spiral-focal point， 若流線由此中心焦點流出，稱為 repelling spiral-focal point，因此在 四周接近璧面處，各會產生 line of reattachment，且在管道兩側接近 璧面處，會產生上下對稱之 attracting spiral-focal point，在管道上下 接近璧面處，各會產生 nodal point of attachment。

4.3-2 A=1 管道

以 A=1 之幾何外形(即擴張部管道截面為正方形)，計算不同之雷 諾數，並且計算迴流在中心截面的大小(reattachment length)。 所得結果如圖(4.13)，當雷諾數小於臨界值時(Re_c =103)，流場上 下迴流的大小接近相等，且不對稱性隨著雷諾數持續增加而變大，當 雷諾數大於Re_c =103時，開始變為一大一小之不對稱迴流；且隨雷諾 數之增加，小迴流趨近於一定值，而大迴流則隨雷諾數之增加而變大 ，圖(4.14)為管道中心截面之速度場流線圖，圖(4.15)為管道中心截面 之壓力等值線分佈圖。 另外，由圖(4.16)，Re=75，管道不同截面之流線圖，其中：管道 中之迴流和 A=1/3 管道相同，在四週接近璧面處最大，愈接近管道中 心則迴流愈小，即管道之流場已接近軸對稱；且在四周接近璧面處 ，各會產生 line of reattachment，在管道兩側接近璧面處，會產生上下 對稱之 attracting spiral-focal point，在管道上下接近璧面處，各會產生 nodal point of attachment。

由圖(4.17)，Re=180，管道不同截面之流線圖，其中：由於雷諾 數已大於臨界雷諾數，管道中之迴流開始變為上下不對稱但左右對稱 ；因此在四周接近璧面處，各會產生 line of reattachment，但因迴流大

小不同，在管道上下接近璧面處之 line of reattachment 位置不同，在管 道兩側接近璧面處之 line of reattachment，則由上下對稱變為不對稱； 同時，在管道上下接近璧面處之流線，開始產生分離現象，而產生兩 個 nodal point of attachment 及一個 saddle point，而在管道兩側接近璧面 處，除了產生上下不對稱之 attracting spiral-focal point，也因分離現象 而產生一個 saddle point，以及一個 repelling spiral-focal point。

4.3-3 A=4 管道

以 A=4 之幾何外形，計算不同之雷諾數，並且經由計算找出最 接近璧面且速度為零之位置，作為迴流長度(reattachment length)；且以 計算管道中心截面之迴流長度，作為討論的依據。 所得結果如圖(4.18)，當雷諾數小於臨界值Re_c1 =66時，流場上下 迴流的大小完全相等，當 Re>66 時，迴流大小開始產生些微的不對 稱，且不對稱性隨著雷諾數持續增加而變大，當雷諾數大於 時，開始變為一大一小之不對稱迴流；且隨雷諾數之增加，小迴流趨 近於一定值，而大迴流則隨雷諾數之增加而變大；雷諾數大於 時，流場中心截面開始產生第三個迴流，隨雷諾數之增加， 最大迴流隨雷諾數之增加而變大，其餘兩個迴流則趨近於一定值；圖 2 Re_c =68.25 3 c Re =142.5 ２８

(4.19)為不同雷諾數時，管道中心截面之速度場流線圖，圖(4.20)為 管道中心截面之壓力等值線分佈圖。

另外,由圖(4.21)，為 Re=45，管道不同截面之流線圖。其中： 因雷諾數尚未達到臨界雷諾數，在四周接近璧面處，各會產生 line of reattachment，且皆為對稱；在管道兩側接近璧面處，會產生上下對稱 之 attracting spiral-focal point，nodal point of attachment 及 saddle point， 而在管道上下接近璧面處，則因分離現象產生對稱之 nodal point of attachment 及一個 saddle point。

由圖(4.22)，為 Re=90，管道不同截面之流線圖，其中：由於雷諾 數已大於臨界雷諾數，管道中之迴流開始變為上下不對稱但左右對稱 ，且在管道中小迴流區之兩側璧面，產生較小之迴流；因此在接近上 璧面處，除了會產生 line of reattachment，同時在=4.5，y=-4.5 及 y=0 處產生 nodal point of attachment；而在接近下璧面處，因兩側璧面產生 之較小迴流的影響，除了會產生 line of reattachment，同時在 y=0，接 近兩側璧面及較小迴流處產生 nodal point of attachment，且分別在兩個 nodal point of attachment 間產生 saddle point；在管道兩側接近璧面處因 產生之較小迴流的影響，除了產生 attracting spiral-focal point，也因分 離現象而產生兩個 saddle point，以及一個 repelling spiral-focal point。

由圖(4.23)，為 Re=150，管道不同截面之流線圖，其中：由於雷 諾數已大於第三臨界雷諾數，管道中之迴流開始變為上下不對稱但左 右對稱，且在管道中小迴流區之兩側璧面產生之較小迴流發展成管道 中第三個迴流區；因此在接近上璧面處，除了會產生 line of

reattachment，同時在 y=2 及 y=-2 處產生 nodal point of attachment 及在 y=0 處產生 saddle point；而在接近下璧面處，因第三個迴流區的影響， 除了會產生 line of reattachment，在兩個迴流區間產生 line of separation ，同時產生五個 nodal point of attachment 及三個 saddle point，而在 line of separation 上則產生三個 nodal point of separation 及兩個 saddle point。 在管道兩側接近璧面處因產生之第三個迴流區的影響，除了產生 attracting spiral-focal point，也因分離現象而產生兩個 saddle point，以及 一個 repelling spiral-focal point。

4.3-4. A=8 管道

以 A=8 之幾何外形，計算不同之雷諾數，並且經由計算找出最 接近璧面且速度為零之位置，作為迴流長度(reattachment length)；且以 計算管道中心截面之迴流長度，作為討論的依據。 所得結果如圖(4.24),當雷諾數小於臨界值Rec₁ =61.5時,迴流的 ３０

大小完全相等，當 Re>61.5 時，迴流大小開始產生些微的不對稱，且 不對稱性隨著雷諾數持續增加而變大，當雷諾數大於 時， 開始變為一大一小之不對稱迴流；且隨雷諾數之增加，小迴流趨近於 一定值，而大迴流則隨雷諾數之增加而變大；當雷諾數大於 時，流場中心截面開始產生第三個迴流，隨雷諾數之增加，最大迴流 隨雷諾數之增加而變大，其餘兩個迴流則趨近於一定值；當雷諾數增 加至 210 時，三個迴流產生明顯的增大，若持續增加雷諾數，流場即 將開始便為非穩態。圖(4.25)為不同雷諾數時，管道中心截面之速度 場流線圖，圖(4.26)為管道中心截面之壓力等值線分佈圖。 2 Re_c =67.5 3 c Re =120 另外，由圖(4.27-1)，(4.27-2)，為 Re=40，管道不同截面之流線圖。 其中：因雷諾數尚未達到臨界雷諾數，在四周接近璧面處，各會產生 line of reattachment，且皆為對稱；在管道兩側接近璧面處，會產生上 下對稱之 attracting spiral-focal point，nodal point of attachment 及 saddle point，而在管道上下接近璧面處，則因分離現象產生對稱之 nodal point of attachment 及一個 saddle point。

由圖(4.28-1)，(4.28-2)，為 Re=120，管道不同截面之流線圖， 其中：由於雷諾數已大於臨界雷諾數，管道中之迴流開始變為上下不 對稱但左右對稱，且在管道中小迴流區之兩側璧面，產生較小之迴流；

因此在接近上璧面處，除了會產生 line of reattachment，同時在 y=6 及 y=-6 處產生 nodal point of attachment 及在 y=0 處產生 saddle point；而在 接近下璧面處，因兩側璧面產生之較小迴流的影響，除了會產生 line of reattachment，同時在 y=0，接近兩側璧面及較小迴流處產生 nodal point of attachment，且分別在兩個 nodal point of attachment 間產生 saddle point；在管道兩側接近璧面處因產生之較小迴流的影響，除了產生 attracting spiral-focal point，也因分離現象而產生兩個 saddle point，以及 一個 repelling spiral-focal point。

由圖(4.29-1)，(4.29-2)，為 Re=180，管道不同截面之流線圖，其 中：由於雷諾數已大於第三臨界雷諾數，管道中之迴流開始變為上下 不對稱但左右對稱，且在管道中小迴流區之兩側璧面產生之較小迴流 發展成管道中第三個迴流區；因此在接近上璧面處，除了會產生 line of reattachment，同時在 y=6 及 y=-6 處產生 nodal point of attachment 及在 y=0 處產生 saddle point；而在接近下璧面處，因第三個迴流區的影響， 除了會產生 line of reattachment，在兩個迴流區間產生 line of separation ，同時產生九個 nodal point of attachment 及七個 saddle point，而在 line of separation 上則產生三個 nodal point of separation 及兩個 saddle point； 在管道兩側接近璧面處因產生之第三個迴流區的影響，除了產生

attracting spiral-focal point，也因分離現象而產生兩個 saddle point，以及 一個 repelling spiral-focal point。

由於壓力為造成流體流動的原因，而且流場中壓力的變化會導致 流體流動方向的改變；由本文的計算結果，如圖(4.11)， (4.15)， (4.26)，在不同雷諾數時，管道中心截面之壓力分佈情形；當雷諾數 增大時，在背階角落開始產生壓力的劇烈變化，當雷諾數達臨界值時， 則開始產生對稱性破壞的現象。 對於對稱之流場，在管道出口處時，壓力瞬間下降，且管道上下 之壓力均相等，遠離出口處後，壓力反而變為上升，過了迴流區後壓 力才開始下降；而對於不對稱之流場，在管道出口處時，壓力變為不 對稱，一邊為下降，另一邊則為上升，遠離出口處後，壓力變為上升， 過了迴流區後壓力才開始下降。 ３３

4.4 管道高寬比對流場的影響

依據前述之數學模式及數值方法，計算不同高寬比突張管道在 Re=90 及 Re=150 時之流場；其幾何外形及格點的安排如圖(4.7)及表(二) 所示。 當 Re=90 時，計算結果如圖(4.30)，圖(4.31) 1. 當 A

≤

0.08 時，管道中不會產生迴流。 2. 當 A

≤

1.25 時，擴張部中心截面上下璧面之迴流長度皆相等， 即流場為對稱性流場且迴流長度隨高寬比增加而變大。 3. 當 1.25

≤

A

≤

3.75 時，擴張部中心截面上下璧面之迴流長度 變為一大一小，即流場變為不對稱性流場，且較大迴流長度隨 高寬比增加而變大，較小迴流長度隨高寬比增加而變小。 4. 當 A>3.75 時，擴張部中心截面上下璧面之迴流長度為一大一小 ，且皆接近於一定值；其中較大迴流長度接近於 10.15，較小 迴流長度接近於 3.67。 由圖(4.32)-(4.34)，分別為 Re=90，不同高寬比時，上下及 右側璧面之 limiting streamlines：由上下璧面之 limiting streamlines 可知，隨著高寬比的增加，流場在 y 方向開始產生分離現象，當

A=1.67 時，開始產生 nodal point of attachment 及 saddle point,而下

璧面在 A 4 時,兩側璧面開始產生較小迴流;而由右側璧面之 ≥

limiting streamlines，當 A=1.67 時，流場在 Z 方向也產生分離現象，開 始變為一大一小之迴流，且在小迴流之兩側璧面開始產生 nodal point of attachment，當 A≥ 4 時，nodal point of attachment 則發展成兩側璧面 之較小迴流。 當 Re=150 時，計算結果如圖(4.35)，(4.36) 1. 當 A

≤

0.08 時，管道中不會產生迴流。 2. 當 A

≤

1/3 時(即入口管道截面之高度大於寬度)，擴張部中心 截面上下璧面之迴流長度皆相等，即流場為對稱性流場，且迴 流長度隨高寬比增加而變大。 3. 當 1/3

≤

A

≤

1 時，擴張部中心截面上下璧面之迴流長度變 為一大一小，即流場變為不對稱性流場，且較大迴流長度隨高 寬比增加而變大，較小迴流長度隨高寬比增加而變小。 4. 當 1

≤

A

≤

2 時，擴張部中心截面上下璧面之迴流長度則接 近一定值。 5. 當 2

≤

A

≤

3 時，擴張部中心截面上下璧面之迴流長度為一 大一小，其中較大迴流長度隨高寬比增加而變小，較小迴流長 度隨高寬比增加而些微變小。 ３５

6. 當 3<A<6 時，管道中在其中一個璧面開始產生第三個迴流， 且最小迴流長度接近一定值，其餘兩個迴流長度則隨高寬比增 加而變小。 ７. 當 A>6 時，最小迴流長度依然保持一定值，其餘兩個迴流長 度則隨高寬比增加而持續增大。 由圖(4.37)-(4.39)，分別為 Re=150，不同高寬比時，上下及右側璧 面之 limiting streamlines：由上璧面之 limiting streamlines 可知，當 A=1 時，流場在 y 方向開始產生分離現象，產生 nodal point of attachment 及 saddle point，而在下璧面之 limiting stream lines：A 1.25 時，兩側 璧面開始產生較小迴流，當 A 4 時，兩側璧面之較小迴流發展成管 道中之第三個迴流區；而由右側璧面之 limiting streamlines：當 A=1 時, 流場在 Z 方向也產生分離現象，開始變為一大一小之迴流，且在小迴 流之兩側璧面開始產生 nodal point of attachment，當 A≥ 1.25 時，nodal point of attachment 則發展成兩側璧面之較小迴流。

≥ ≥

4.5 不同高寬比時之臨界雷諾數

在本節中，將針對 A=1，A=4，A=8，2-D 之突張管的臨界雷諾數 作探討，而且分別計算些微不對稱之突張管，探討幾何外形些微不對 稱對臨界雷諾數及流場對稱性的影響；並且分別以中心截面之迴流大 小及速度分歧圖(Bifurcation diagram)作為探討的依據。 對於些微不對稱之突張管，其幾何外形之定義為：

ε

為管道之不 對稱參數，則管道之不對稱量為：H/2+

ε

h，且

ε

=0.05，即擴張部管 道頂端之高度尺寸，增加 0.05，其餘幾何尺寸，則維持不變，如圖 (4.40)。

4.5-1 A=1 突張管

在 Re=75-120 範圍內，分別計算對稱及些微不對稱管道，且以等 間距逐漸增加雷諾數，而在臨界雷諾數附近，則以逼近的方式，求出 臨界雷諾數。 計算結果如圖(4.41)，圖(4.42)所示，對於對稱管道，隨著雷諾數 增加，迴流大小開始產生些微的不對稱性，但無明顯之臨界雷諾數； 當 Re>103 時，則開始變為明顯之一大一小之迴流，而隨著雷諾數增 加，迴流大小的差距也隨之增加，因此 A=1 管道之臨界雷諾數為 ３７

Re_c =103。 而對於些微不對稱管道，迴流大小一開始就產生些微的不對稱 性，而隨著雷諾數增加，迴流大小的差距也隨之增加，但無明顯之臨 界雷諾數；而雷諾數大於對稱管道之臨界雷諾數後，則流場開始變為 接近對稱管道。 另外，分別計算不同雷諾數時在管道 x=6.375 截面，管道中心處 之高度(Z)方向之速度分量(w)，如圖(4.43)所示，對於對稱管道，由於 可以計算出迴流上下相反之兩個不同解，因此可以得到兩條對稱之曲 線；而對於些微不對稱管道，則只能求出一個不對稱解；計算結果類 似迴流大小之計算結果，當 Re>103 時，開始產生明顯的分歧現象。

4.5-2 A=4 突張管

在 Re=45-80 範圍內，分別計算對稱及些微不對稱管道，計算結 果如圖(4.44)，圖(4.45)所示，對於對稱管道，當 Re<66 時，管道中心 截面上下迴流大小均相等，當 Re>66 時，管道中心截面上下迴流大小 開始產生些微的不對稱性，當 Re>68.25 時，隨著雷諾數增加，迴流 ３８

大小的差距也隨之增加，因此定義 A=4 管道之臨界雷諾數為 c₁ 2 c Re =66 ，Re =68.25；而對於些微不對稱管道，迴流大小一開始就產生些微 的不對稱性，而隨著雷諾數增加，迴流大小的差距也隨之增加，但無 明顯之臨界雷諾數；而雷諾數大於對稱管道之臨界雷諾數後,則流場 開始變為接近對稱管道。 另外，分別計算不同雷諾數時在管道 x=6.375 截面，管道中心處 之高度(Z)方向之速度分量(w)，如圖(4.46)所示，對於對稱管道，由於 可以計算出迴流上下相反之兩個不同解，因此可以得到兩條對稱之曲 線；而對於些微不對稱管道，則只能求出一個不對稱解；計算結果類 似迴流大小之計算結果，當 Re>68.25 時，開始產生明顯的分歧現象。

4.5-3 A=8 突張管

在 Re=40-75 範圍內，分別計算對稱及些微不對稱管道，計算結 果如圖(4.47)，圖(4.48)所示，對於對稱管道，當 Re<61.5 時，管道中 心截面上下迴流大小均相等，當 Re>61. 5 時，管道中心截面上下迴流 大小開始產生些微的不對稱性，而當 Re>67.5 時，隨著雷諾數增加， 迴流大小的差距也隨之增加，且雷諾數在 61.5-67.5 範圍內，迴流大小 ３９

的變化產生震盪的現象，因此 A=8 管道之臨界雷諾數為 c₁

c c

Re =61.5

(Re =61.3，Fearn 等人[6]；Re =61.83， Schreck and Schafer [18]；

Re_c =60.62，Drikakis[22]；Re_c =62.44，Shapira 等人[23])，Re_c2 =67.5； 而對於些微不對稱管道，迴流大小一開始就產生些微的不對稱性， 而隨著雷諾數增加，迴流大小的差距也隨之增加，但無明顯之臨界雷 諾數；而雷諾數大於對稱管道之臨界雷諾數後，則流場開始變為接近 對稱管道。 另外，分別計算不同雷諾數時在管道 x=6.375(x=22.25，Fearn 等 人[6])截面，管道中心處之高度(Z)方向之速度分量(w)，如圖(4.49)所 示，對於對稱管道，由於可以計算出迴流上下相反之兩個不同解，因 此可以得到兩條對稱之曲線；而對於些微不對稱管道，則只能求出一 個不對稱解；計算結果類似迴流大小之計算結果，當 Re>61. 5 時，開 始產生明顯的分歧現象。

4.5-4 2-D 突張管

對於 2-D 之突張管，其幾何外形即為本文之三維突張管之 X-Z 平 面，但入口長度為 10h，格點安排則將背階角落處以等比級數方式加 ４０

密，如圖(4.50)所示；而對於 2-D 之突張管，可視為高寬比趨近於無 窮大之突張管，因此將管道之入口條件設為完全發展流之二次速度分 佈曲線，出口條件為：速度梯度為零，邊界條件為：無滑動邊界條件； 且對流項之差分方法，採用中央差分法，並且速度及壓力均收斂至 3 10− 。 在 Re=45-75 範圍內，計算結果如圖(4.51)，圖(4.52)所示，當 Re<60 時(Re_c =61.3，Fearn 等人[6]；Re_c =61.83， Schreck and

Schafer [18]； Re_c =60.62，Drikakis[22] ；Re_c=62.44，Shapira 等人[23])，

管道中心截面上下迴流大小均相等，當 Re>60 時，管道中心截面上下 迴流大小開始產生明顯的不對稱性，而 Re>66.75 後，隨著雷諾數增 加，迴流大小的差距也隨之增加；因此 2-D 管道之臨界雷諾數為 ， 1 c c2 Re =60 Re =66.75。 另外，計算不同雷諾數時在管道 x=6.375 截面，管道中心處之高 度(Z)方向之速度分量(w)，如圖(4.53)所示，對於對稱管道，由於可以 計算出迴流上下相反之兩個不同解，因此可以得到兩條對稱之曲線； 計算結果類似迴流大小之計算結果，當 Re>60 時，開始產生明顯的分 歧現象。 ４１

另外，比較 2-D 及 A=8 突張管在不同雷諾數時中心截面之迴流大 小，及速度分歧圖(Bifurcation diagram)如圖(4.54)，圖(4.55)，結果為中 心 截 面 之 迴 流 大 小 及 臨 界 雷 諾 數 非 常 接 近 ， 但 對 於 速 度 分 歧 圖 (Bifurcation diagram)則有較大之差距；因此，對於 A=8 管道，其中心 截面之流場已十分接近於高寬比趨近於無窮大時之 2-D 流場。

而經由本節的計算結果，隨著高寬比的增加，臨界雷諾數隨之降 低，如圖(4.56)，且會產生對稱性破壞的臨界高寬比為 A=1/3；當 A>1/3，且雷諾數達臨界值時，流場開始產生對稱性破壞現象。 ４２

第五章 結論

經由本文之計算結果，可以得到下列結論： 1. 當管道之擴張比不變時，迴流大小和雷諾數成正比，即增加雷諾 數時，會增加流體之黏滯力，而使迴流隨之變大。 2. 當高寬比 A≤ 0.08 時，管道中不會產生迴流。 3. 當高寬比 0.08<A≤ 1/3 時，流場皆為對稱性，不會因雷諾數的增加， 而產生不對稱之流場；且管道中除了上下對稱之迴流區，也會產 生左右對稱之迴流區。 4. 當高寬比 A>1/3 時，當雷諾數達到某一臨界值時，則流場開始失去 穩定性，而使原本為對稱性之流場，變為不對稱，而產生一大一 小之迴流區；且隨高寬比的增加，臨界雷諾數隨之降低，如圖(4.56) 所示；其中：A=1， Re_c =103；A=4， Re_c=68.25；A=8， ；

2-D， Re_c =67.5 Re_c =66.75。 5. 當 A 趨近於無窮大時，即管道之中心截面可視為 2-D 之平面，而 由計算結果得知，A=8 和 2-D 之突張管之臨界雷諾數非常接近， 所以對於 A≥ 8 管道，中心截面可視為趨近於 2-D 平面。 ４３

6. 對於些微不對稱管道，因管道在高度方向為不對稱，因此產生不 對稱之壓力降，而使流場形成上下不對稱；但雷諾數大於對稱管道

之臨界雷諾數時，則因黏滯力的影響遠大於壓力的影響，而使流場 接近於對稱性管道。