以能力指標結構為基礎的電腦適性測驗編製及動畫補救教學之應用—以國小數學領域五年級分數、小數相關議題（含數線與比率）與時間計算能力指標為例

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國立台中教育大學教育測驗統計研究所教學碩士論文

指導教授：郭伯臣博士

以能力指標結構為基礎的電腦適性測驗編製

及動畫補救教學之應用

—以國小數學領域五年級分數、小數相關議題（含數線與比率）

與時間計算能力指標為例

研究生：廖庭蔚撰

中華民國九十五年八月

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摘要

本研究旨在建立一套以國小五年級數學領域中分數、小數相關議題（含數線與比率問題）與時間計算能力指標（5-n-08~5-n-13）為評量內容的電腦適性診斷測驗系統，並依據專家知識結構設計電腦補救教學動畫系統。除了診斷出學生能力指標的學習成效外，還可讓學生依據自己的迷思概念進行補救教學，以此模式達到測驗與補救教學能夠即時進行以讓學習能更有效率。本研究首先分析課程內容，建立能力指標知識結構，並依此結構命題，然後進行紙筆診斷測驗，再依據試題順序理論和語意結構理論，建立電腦適性診斷測驗施測流程，進行電腦適性診斷測驗及評估電腦補救教學之成效。本研究發現： (1)適性測驗施測的平均施測題數是 17.3 題，平均可以節省 28.7 題。 (2)經過電腦化補救教學後，學生的平均分數有進步，達到顯著差異。本研究所提出之適性診斷測驗和補救教學系統，確實可達到本研究所希望測驗與補救教學皆適性化要求。關鍵字：分數、小數、電腦適性診斷測驗、補救教學、試題順序理論、語意結構理論

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Abstract

This study aims to establish a system composed of computerized adaptive diagnostic test system and adaptive remedial instruction system which is based on competence indicators of Fraction , decimal and time(5-n-08 to 5-n-13 ) in Nine-Year Compulsory Curriculum and the latter is on experts’ knowledge structure. The system diagnose the study effect of the

competence indicators individually , it also facilitate students’ learning by taking remedial instruction Flash animators correspondent with their misconception individually.

The focus of this study is on the competence indicators of Fraction , decimal and time(5-n-08 to 5-n-13 ) of grade 5 in Nine-Year Compulsory Curriculum. After analyzing the contents of textbooks, the structures of competence indicators were constructed, and items were designed according them. Ordering theory and semantic structure analysis are used to decide the students' knowledge structure and those parameters used in the item bank for Computerized Adaptive Diagnostic Test system.

Findings of this research are briefly outlined as follows:

1. The number of items tested by individuals in the Computerized Adaptive Diagnostic Test system is 17.3 averagely. This system can save 28.7 items averagely, and the test-taking time is also reduced simultaneously.

2. The progress of students is significant after the adaptive remedial instruction. Therefore, the two systems ─ Computerized Adaptive Diagnostic Test system and adaptive remedial instruction system, proposed in this research can promote significant effect on testing students’ individual ability and meeting students’ individual needs

Keywords: Fraction , decimal, time, computerized adaptive diagnostic test, remedial instruction, ordering theory, semantic structure.

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目

錄

第一章緒論 ………1 第一節研究動機 ………1 第二節研究目的 ………2 第三節名詞釋義 ………2 第四節研究範圍與限制 ………4 第二章文獻探討 ………7 第一節電腦適性診斷測驗設計與編制 ………7 第二節多點記分試題順序結構理論………14 第三節電腦輔助教學………16 第四節分數、小數、比率與數線概念分析………21 第五節估算教材概念分析………36 第六節時間計算教材概念分析………41 第三章研究方法與步驟………45 第一節研究架構………45 第二節研究對象………47 第三節研究方法………47 第四節研究工具………50

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第五節資料處理與分析………53 第四章研究結果………55 第一節電腦適性診斷測驗題庫之建置………55 第二節電腦適性診斷測驗………64 第三節補救教學之成效………74 第四節學生在能力指標方面的學習成效………79 第五章結論與建議………83 第一節結論………83 第二節建議………84 參考文獻………86 附錄一數學領域五年級分數、小數相關議題與時間計算診斷測驗試題………92 附錄二補救教學模組內容………102

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圖

目

錄

圖 2-1 專家知識結構………12 圖 2-2 電腦化適性診斷測驗及適性補救教學系統進行流程………13 圖 2-3 指標間結構（多點記分結構）與指標內結構（二元記分結構）16 圖 3-1 研究流程圖 ………46 圖 3-2 能力指標試題化流程圖 ………48 圖 4-1 能力指標 5-n-08 專家知識結構圖………56 圖 4-2 能力指標 5-n-09 專家知識結構圖………56 圖 4-3 能力指標 5-n-10 專家知識結構圖………57 圖 4-4 能力指標 5-n-11 專家知識結構圖………58 圖 4-5 能力指標 5-n-12 專家知識結構圖………59 圖 4-6 能力指標 5-n-13 專家知識結構圖………60 圖 4-7 能力指標 5-n-08 學生知識結構圖………65 圖 4-8 能力指標 5-n-09 學生知識結構圖………66 圖 4-9 能力指標 5-n-10 學生知識結構圖………67 圖 4-10 能力指標 5-n-11 學生知識結構圖………68 圖 4-11 能力指標 5-n-12 學生知識結構圖………69 圖 4-12 能力指標 5-n-13 學生知識結構圖………70

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圖 4-13 5-n-08~5-n-13 指標間之結構 ………72

圖 4-14 能力指標 5-n-08-1 畫面一………74

圖 4-15 能力指標 5-n-08-1 畫面二………75

圖 4-16 能力指標 5-n-08-1 畫面三………75

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表

目

錄

表 2-1 試題 A、B 次數分配表………9 表 2-2 試題 j 與試題 k 之聯合與邊際機率………11 表 2-3 小數和分數知識的比較表………24 表 2-4 小數和整數知識的比較表………25 表 2-5 整數、小數和分數知識的比較表………26 表 2-6 小數的迷思概念表………32 表 2-7 估算的定義表………38 表 4-1 試題分析表………61 表 4-2 分數、小數相關議題（含數線與比率問題）與時間計算能力指標學習成效64 表 4-3 指標間順序性係數矩陣………71 表 4-4 指標間順序性矩陣………72 表 4-5 電腦適性診斷測驗成績………73 表 4-6 補救教學適性前測、後測成對樣本檢定表………77 表 4-7 中分組前、後測成績成對樣本檢定表………77 表 4-8 低分組前、後測成績成對樣本檢定表………77 表 4-9 能力指標通過率成對樣本檢定表………79 表 4-10 部分學生作答記錄表………81

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第一章

緒論

教育的目的之一是希望能夠使學生在知識上獲得成長以及增進學生的基本能力；評量則為了得知學生在教學的過程中，所獲得的知識是否達到預期的目標，以及學生在學習過程中是否會系統性的產生迷思概念，並根據評量所得到的訊息對學生進行補救教學。然而在教學實務的過程中，常常宥於時間的不足與教學進度的要求等種種條件限制下，教師常常只能埋首於知識傳授的過程，而評量也常常只流於幫學生的學習成就打分數的形成性評量與總結性評量。在這種狀況下，因授課時間不足無法進行診斷測驗，對於學生在學習上的迷思概念僅能依靠老師長年的教學經驗而無法輕易且正確地判定，補救教學在這種情況下將無法適性、適時地對學生施行。因此思考如何能夠在有限的時間內將評量與補救教學相結合，讓學生能在學習的過程中獲益是本研究所想要達到的目標。

第一節

研究動機

教學上一直存在著一個問題：老師在課堂上所傳授的，學生是否能夠百分之百吸收。希望學生能完全吸收，是每位教學者所致力的目標。但受限於學生的資質、學習態度、教材的編設、教學者的教學技巧……等種種主客觀因素，使得這個目標無法百分百達成。因此教學者為了讓學生能夠學習得更有效率並補救其學習的不足處，就必須能夠了解學生的學習成效與迷失概念。了解學生的學習成效與迷失概念的方法雖然眾多，如個案分析、個別訪談等都能對個別學生進行較全面性且完整的了解。但因為測驗能夠團體集合進行的這項優點較具有經濟效益上，學生的學習過程或學習終結時對學生進行檢測並進行試卷分析是較前面兩種方法理想。測驗的應用是為了這個目的而產生的，透過測驗，教學者能夠了解學生的學習成效與迷失概念。再者，在現今電腦科技與網路資訊科技的蓬勃發展與應用，不僅以往的教師

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所扮演的的某部分功能被取代，而產生電腦教學，而且因為電腦的應用，測驗也漸漸採用電腦科技的方便性來進行。

第二節

研究目的

基於上述的動機，本研究將使用郭伯臣（2003）所建置的電腦化適性測驗系來進行研究，主要目的有下列四點一、嘗試建置五年級數學領域分段能力指標 5-n-08 至 5-n-13 等五個指標的電腦化適性測驗及補救教學模組。二、驗證電腦化適性測驗能夠較傳統紙筆測驗更為節省施測試題與施測時間。三、檢驗電腦適性補救教學是否具有成效。四、使用所建立的電腦適性測驗評估現行國小五年級學童在數學領域分段能力指標 5-n-08 至 5-n-13 上的學習成效

第三節

名詞釋義

一、專家知識結構在本研究中所指的專家知識結構是由具有五年以上教學經驗的國小教師與學科專家所共同組成的研究小組根據學理以及經驗，分析學生在學習本研究所指稱的能力指標施測範圍內所應該具備的知識概念，接著再根據學生的學習歷程、概念發展順序與概念間上下位的階層關係所形成的一個結構完備關係。二、電腦化適性診斷測驗

本研究所指稱的電腦化適性診斷測驗（Computerized Adaptive Testing，簡稱 CAT），與傳統紙筆測驗相比最大的不同點在於，該測驗能夠依據每位受試者的能力或特質，提供適合該受試者的題目來進行施測。透過這樣的方式再結合專

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家知識結構，每位受試者在施測過程中所接受的試題都是最切合其能力的試題。三、電腦補救教學本研究所指稱的電腦補救教學，是依據 FLASH 軟體所製作的動畫教學軟體。其特點是依據學生的迷思概念來設計，利用電腦環境下的聲光影音效果的互動方式，輔助學習者進行學習。四、錯誤類型指的是學生在數學解題歷程中所產生的系統性錯誤（system error），這種系統性錯誤非隨機產生，而是由於不完全、誤導或錯誤的學習概念所造成，也可說是迷思概念所造成的結果，通常這種錯誤類型是由學生本身在學習過程中所建構而成，故和專家結構不同。且由於是學生本身所建構而成，，因此有高度抗拒改變的特性。五、九年一貫課程數學科：九年一貫課程是教育部為進行教育改革在民國九十一年八月日開始進行的，其基本理念在培養人民健全人格、民主素養、法治觀念、人文涵養、強健體魄及思考、判斷與創造能力，使其成為具有國家意識與國際視野之現代國民。本質上，教育是開展學生潛能、培養學生適應與改善生活環境的學習歷程。（教育部，2003）本研究針對數學科進行研究，不涉及其他學習領域。而在「國民中小學九年一貫課程綱要數學學習領域」中將數學科的內涵訂為：包含數、形、量基本概念之認知、具運思能力、組織能力，並能應用於日常生活中，了解推理、解題思考過程，以及與他人溝通數學內涵的能力，並能做與其他學習領域適當題材相關之連結。其課程目標有四個原則；1.參考施行有年且有穩定基礎的傳統教材。2.採用國際間數學課程必備的核心題材。3.考慮數學作為科學工具性的性質。4.現有學生能

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夠有效學習數學的一般能力。其具體教學總目標為；1.培養學生的演算能力、抽象能力、推論能力及溝通能力。。2.學習應用問題的解題方式。3.奠定下一階段的數學基礎。4.培養欣賞數學的態度及能力。5.在第一階段（一至三年級）能掌握數、量、形的概念。6.在第二階段（四至五年級）能熟練非負整數的四則與混合計算，培養流暢的數字感。7.在小學畢業前，能熟練小數與分數的四則計算；能利用常用數量關係，解決日常生活的問題；能認識簡單幾何型體的幾何性質，並理解其面積與體積公式；能報讀簡單統計圖形並理解其概念。8.能理解座標的表示，並熟練代數的運算及數的四則運算。9.能理解三角形及圓的基本幾何性質，並學習簡單的幾何推理。10.能理解統計、機率的意義，並任式各種簡易統計方法。其中 5.6.7.三項主要是國民小學階段的目標。

第四節

研究範圍與限制

一一一一、、、研究範圍、研究範圍研究範圍研究範圍：：：：數學領域五年級能力指標分為數與量、幾何、代數與統計，共計 35 個指標，因範圍太大，因此由 5 位研究者共同完成，本研究範圍只限於分數、小數相關議題（含數線與比率問題）與時間計算。二二二二、、、研究樣本、研究樣本研究樣本研究樣本：：：：本研究為考慮試卷蒐集及電腦施測的完整性和便利性，紙筆測驗的研究對象直接由研究團隊服務的學校，選取 11 班為研究樣本；電腦施測研究對象由研究者服務的學校（雲林縣），選取六班為研究樣本。由於研究對象的限制，因此研究結果不宜做過度的推論。三三三三、、、研究工具、研究工具研究工具研究工具：：：：為了使電腦閱卷計分正確和快速，紙筆測驗試題和電腦施測試題採選擇題的

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方式出題。再者因為時間因素，電腦適性診斷測驗必須在受試者接受完五年級能力指標學習後，才進行施測，否則即失去其研究意義

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第二章

文獻探討

為了達到本研究的目的，本研究方法首先將蒐集下列領域之相關資料，然後進行整理、分析、歸納一、電腦適性診斷測驗設計與編制。二、_{多點計分試題順序理論結構} 三、電腦輔助教學媒體。四、_{小數、分數、比率教材概念分析。} 五、概數與估算教材概念分析。六、時間計算教材概念分析。

第一節

電腦適性診斷測驗設計與編製

電腦化測驗（Computerized Testing，簡稱 CAT），顧名思義，是利用電腦的特性來幫助測驗的進行。以電腦來輔助編輯試題、施測、計分、分析、報告結果與解釋方面都有很大的幫助(余民寧，1997)。因此電腦在測驗上的使用將越來越頻繁。壹壹壹壹、、、Diagnosys 、

Diagnosys 是 Appleby, J., Samules, P., & Treasure-Jones, T 當初為了大學工科學生入學測驗所發展出來的，當初其目的在於發展一套以知識結構為基礎的電腦診斷測驗，用來診斷學生的數學基礎技能。它不僅能夠提供學生立即的成績回饋，同時也可快速地提供學生的知識結構給教師，用以選擇、分組和識別概念不清的學生以及學生群體中普遍發生的錯誤概念。雖然此系統最初是為了大學工科學生入學而發展，但是也可以廣泛的用於其他學生群以及其它教育制度。系統發展者先分析系統需求，歸納如下：

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1. 測驗應該在一個小時之內準確的評鑑出一個學生的數學知識。 2. 應該立即根據學生答題表現給予回饋，主要以學生不熟悉的概念為主。 3. 應該快速地提供教師個別學生和學生群體的摘要資料，主要用以分辨概念不清的學生以及學生群體普遍的弱點。 4. 應該要適用於大學入學學生。另外，在系統架構確認之前，也做了以下幾項基礎設計的決定。 1. 決定使用概念方式來確認不同領域的知識。 2. 概念被依序組織成階層狀，專家系統就能以之前回答的答案推論出學生的知識結構，然後選擇下一個最合適的題目，這樣的設計能針對不同能力的群組減少所需施測的試題數。 3. 決定使用一個數學工具介面，以及各種不同型態的試題，其目的是為了鼓勵學生思考問題然後產生答案，而不是用猜的。 4. 指定概念的階層提供一個簡易的學生側面圖，用以挑出初始的題目。 5. 學生的反應資料(response data)將會保留用來改進系統和教育發展。根據以上的需求和基礎設計的決定，該系統包含下列幾個主要的部份： 1. 概念網路：指明概念、指定概念的 level、定義概念之間的連結。 2. 問題設計：設計題目、定義題目的表達方式、選擇答題的型態。 3. 測驗介面：整個測驗管理系統的發展，包括介面的設計、答案的評估，提供學生回饋。 4. 專家系統：產生最初的學生概況側面圖，從學生的答案做出推論，選擇下一個題目。 5. 數學工具介面：數學答案的語法分析以及各種不同評估準則的應用。 6. 工具程式：產生各別技能的學生成績和群組成績的回饋給教師。 7. 補充材料：根據測驗的施測問題及概念的內容給予施測結果的報告。

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Diagnosys 系統使用概念方式來確認不同領域的知識。首先分析測驗之概念，將概念分類，每一類別之概念代表不同層級(level)，每一題目只測驗單一概念，每一概念都要有充分數量的試題來測驗。為了鼓勵學生思考問題並解出答案，減少猜題機會，題目的表達方式十分多元化，如應用題或選擇題皆有，答題的型態亦有多種選擇，如文字或圖形。為了節省試題，需應用知識結構的技巧。因此，該系統設計時同時採用了專家知識結構和學生的知識結構分析法，如此可以分兩階段節省試題。學生的結構的擷取乃透過專家知識結構編製的紙筆測驗進行預測，並根據下列的方式所建構出來的。 假設兩題試題 A 與 B 間的人數分配如表 2-4 所示，其中 fAB表示答對試題 A 且答對試題 B 的人數； f_A_B表示答錯試題 A 且答對試題 B 的人數； f_A_B表示答對 試題 A 且答錯試題 B 的人數； f_A_B表示答錯試題 A 且答錯試題 B 的人數。 表 2-1 試題 A、B 次數分配表 試題 B 對試題 B 錯 試題 A 對 fAB fAB 試題 A 錯 fAB fAB 如果 B A B A f f >> ，則視試題 A 為試題 B 之下位試題（或概念），即如果正確作答 試題 B，則必能正確作答試題 A，反之則不一定成立。此種情形於本研究中標示 成 A→B，如果 B A B A B A AB f f f f + >> + ，則試題 A 與試題 B，兩者可視為等價，於 本研究中標示成 A↔B，Diagnosys 藉由將試題（概念）結構引入電腦測驗中來達到適性的效果，並縮短施測時間，但此一建立結構之方法並非操作型定義，且文中並未提及此方法之具體成效或數據。

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Diagnosys 在設計上有其優點：利用階層性編製試題可以分二階段節省試題，第一階段是利用專家結構，第二階段是利用學生結構來節省試題。其缺點是： 1. 只提供知識結構，並不提供對教學有用的分群訊息。 2. Diagnosys 用來決定學生的知識結構的理論並不完善，例如，決定試題順序的臨界值的選取是根據經驗法則而來的，而且對於遞移性和等價性的定義並不理想。 3._{作答反應與知識結構的對應是決定性的，學生答對即代表具有某概} 念，答錯則不具備某概念，無法真實反應學生作答行為的不確定性。貳貳貳貳、、、應用試題順序結構之電腦化適性測驗、應用試題順序結構之電腦化適性測驗應用試題順序結構之電腦化適性測驗應用試題順序結構之電腦化適性測驗

為改進 Diagnosys 不足之處，「國小數學科電腦化適性診斷測驗（I）（II）」（郭伯臣，2003、2004）中開發嘗試將順序理論和試題關聯結構分析法與試題反應理論結合來分析學生知識結構，並分別使用專家知識結構與學生知識結構來建立電腦化適性診斷測驗，以節省施測的題數並預估學生的側面圖，用來診斷國小學童的數學能力，期能提供學童一個適性測驗、立即的成績回饋與補救教學的建議，用以協助學童學會正確且完整的數學概念。茲分述如下：一一一一、、、試題順、試題順試題順試題順序結構理論與試題關聯結構分析法序結構理論與試題關聯結構分析法序結構理論與試題關聯結構分析法序結構理論與試題關聯結構分析法

Airasian & Bart (1973）的「順序理論」(ordering theory, OT）及 Takaya (1991) 的「試題關聯結構法」(item relationship structure analysis, IRS) 是常用來定義試題間結構的方法。茲將此二理論敘述於下：令X表示一個包含n個二元試題成績隨機變數的隨機向量，每一個受試者作答n題後， X可表示乘₍ _, _, _, ₎ 2 1 x xn x L ，試題j跟k的聯合與邊際機率可以如表 2-5 所示。

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表 2-2 試題j 與試題k 之聯合與邊際機率試題 k 1 = k X =0 k X Total 1 j X = P X( j=1,Xk=1) P X( j=1,Xk=0) P X =( j 1) 0 j X = P X( j=0,Xk=1) P X( j=0,Xk=0) P X =( j 0) 試題 j Total P X =( k 1) P X =( k 0) 1 在順序理論 OT 中，令 * = ( =0, =1) k j jk PX X ε 表違反試題j為試題k之下位試題之機率，當ε* <ε jk 時，其中ε為一閾值（threshold)，常設定介於 0.02 及 0.04 間（0.02≤ε ≤0.04），則設定試題j為試題k之下位試題，記錄成 j k X →X 。 Takeya(1991）發現經由 OT 所得之受試者試題結構與試題間之相關係數有些情況會產生矛盾，故提出試題關聯結構分析法，希望透過另一種測量試題順序結構之係數 * jk r 來定義試題到試題k之間的順序關係，以修正 OT 之不足， * jk r 的定義為： ) 1 ( ) 0 ( ) 1 , 0 ( 1 * = = = = − = k j k j jk X P X P X X P r 若r_jk* ≥r，則設定試題j為試題k之下位試題，記錄為 j k X →X ，其中_r為一閾值(threshold)，常設定為 0.5。在 OT 及 IRS 中，若X_j →X_k且 k j X →X ，則兩者的關係可以表示成X_j↔X_k，而且這樣表示試題j與試題k是等價的。二二二二、、、電腦化適性診斷測驗之知識結構、電腦化適性診斷測驗之知識結構電腦化適性診斷測驗之知識結構電腦化適性診斷測驗之知識結構該研究根據專家知識結構或學生的試題結構中各相關概念間之上下位次序

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關係，以減少施測題數。即如假設有一專家（教材）知識結構如圖 2-1 所示，在紙筆診斷測驗中需施測圖中概念 A-I 所有試題，以瞭解學生學習之良窳，但在該研究之電腦化適性診斷測驗中，如受試者答錯概念 A 的試題，則需進一步測量概念 B、C 及其下位概念，以瞭解學生之迷思概念為何；如概念 B 對且概念 C 錯，則在電腦化適性診斷測驗中僅需再施測概念 F、G、H、I 之試題，因此可節省概念 D、E 之試題。三三三三、、、電腦化適性診斷測驗系統、電腦化適性診斷測驗系統電腦化適性診斷測驗系統電腦化適性診斷測驗系統此電腦化適性診斷測驗系統包含四個子系統：1.多媒體題庫系統、2.適性測驗系統、3.補救教學分類系統、4.輔助學習模組，系統主要架構如圖 2-2 所示，希望透過此系統能將學生課堂後的評量與補救學習數位化及網路化，藉此達到「因材施測」及「因材施教」。圖 2-1 專家知識結構 A B C D E F G H I

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圖 2-2 電腦化適性診斷測驗及適性補救教學系統進行流程此系統，適性測驗的部分，是由第一個子系統提供資訊，根據學生的作答給予下一題來進行電腦測驗。上述系統除了具有 Diagnosys 的優點之外，其主要優勢在於分析學生知識結構的方法具有較完善的數學理論基礎，並且提供有利於補較教學的分群。綜而言之，早期這些方法主要是以紙筆測驗的結果來進行試題結構之估計，強調可提供除了試題通過率與鑑別度外的訊息，常用於比較使用不同教學法或教材版本，是否造成學生知識結構不同，於先前的研究中已有開發相關測驗分析軟體及以此種試題順序結構為基礎之網路適性評量（郭伯臣，2003，2004；郭伯臣、何政翰，2004；Kuo, Liu, Sheu, Pai, Ko, Yang & Lin, 2004），而前述的研究中使用四種方法來建立結構，並評估所建立結構之成效，四種方法分別為：專家知識結構、Diagnosys、OT 和 IRS 試題結構，得到下列三個結論： 2. 適性測驗系統學生學習剖面圖 3. 補救教學分類系統概念 1 概念 2 概念 n 4.輔助學習模組 1 學生 1.多媒體題庫系統 4.輔助學習模組 2 4.輔助學習模組 n ……… ……

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（一）使用專家結構之電腦適性測驗演算法預測精確度較難控制，使用學生試題結構之電腦適性測驗演算法，由於可藉由閾值控制結構，因此可獲得較令人滿意的預測精準度。（二）Diagnosys 演算法需要更多樣本來達到令人滿意的預測精確度，適性測驗速度也比較慢。（三）OT 的演算法與其他演算法比起來，其對樣本大小較不敏感，因此就以試題順序結構為基礎的適性測驗來說，OT 似乎是一個較好的選擇。因此，利用知識結構分析數學教材將能以更組織化、階層性的方式將概念的意義呈現出來。因此，若能建立數學能力指標的知識結構，將使得教師在準備課程時，能順利的掌握課程內容的邏輯性、完整性，在教導學生時能減少遺漏能力指標數學概念的疏失，進而也能加快探索學生錯誤概念的速度，迅速提供學生適宜的補救教學內容。

第二節

多點記分試題順序結構理論

將數學領域能力指標試題化後，可發現大部分的能力指標需要使用許多試題來加以測量，我們可將各個測量能力指標之試題視為一個多點記分之題組（每個題組記分與題數可能不同），如果要描寫能力指標之間的順序性，則需要使用多點記分之順序性係數，上述之二元記分順序性係數在此不能使用。目前並無相關文獻討論「以多點記分試題結構為基礎之適性測驗選題策略」，僅有一些文獻討論如何估計多點記分試題之順序結構，主要用於比較使用不同教學法或教材版本，是否造成學生知識結構不同，或者問卷類型的資料分析。「態度問題關聯結構分析法」原稱「語意結構（Semantic structure）分析法」，簡稱 SS 分析法，是日本心理計量學者竹谷誠於 1987 年所倡（Makoto & Takeya，1999；胡豐榮，2001），此法利用圖形理論（Graph theory），將態度尺

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度資料分析出潛在之階層結構，然後再利用該階層結構來解釋態度資料間之關聯。進行語意結構分析時，上位問題的平均評分高於下位問題，此種記分方式有別於前述之試題順序結構。竹谷誠將常見之選項數相等之非類別態度尺度資料，依記分方式之不同分為兩種，劉湘川（2003）稱之為「等級記分資料」、「對稱記分資料」，竹谷誠分別提出了前二者專有之「問題關聯順序係數」，惟兩種記分資料間，不能互相通用，且只適用於所有問題選項數均相等時。劉湘川（2003）針對「等級記分資料」及「對稱記分資料」提出「一階廣義問題關聯順序係數」公式，不論選項數相等與否、亦不論是否為等級記分、對稱記分或其混合型記分資料，均一體適用。劉湘川、楊志良（2003）提出較靈敏有效不會高估之「改一級廣義問題關聯順序係數」，劉湘川、簡茂發（2004）提出具同等功能且訊息量更多之「s 級廣義問題關聯順序係數」。根據以上文獻探討，二元記分及多點記分的試題順序結構，皆可用於適性測驗之選題策略，並節省試題，本研究將結合二元記分及多點記分的試題順序結構，作為能力指標電腦適性測驗之選題策略，結合兩者之優點，以達到施測最少題數的目標，主要方法簡述如下：圖 2-3 為多元記分能力指標結構及二元記分試題結構的結合示意圖。圖中的長方形節點代表多點記分能力指標節點，其節點之間具有代表能力指標間的階層關聯性之線段，可依關聯的上下位結構來決定欲進行施測的能力指標數。當學生在此能力指標的得分超過所設定閾值時，可認定學生通曉上位指標下的所有能力指標，而其分數是按每一能力指標內的二元記分試題結構來計算。能力指標內的圓形節點是依能力指標編製的試題，其節點之間的線段，代表二元記分試題之階層關聯性。當學生答對上位試題時，判定此試題之下位的試題皆答對。可利用試題間的上下位結構來減少施測的題數。

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圖2-3 指標間結構（多點記分結構）與指標內結構（二元記分結構）本研究將會依據上述步驟所得知最佳二元記分及多點記分結合的試題順序結構，作為適性測驗選題策略，以節省更多施測題數，縮短施測時間。

第三節

電腦輔助教學

一、電腦輔助教學（computer-assisted instruction，簡稱CAI）的涵義電腦輔助教學的設計深受各種學習理論的影響，學習理論各家皆有不同，電腦輔助教學的設計也因學習理論的不同而有不同的表現方式。以下是因應不同的表現方式與不同學習理論所產生的各種電腦輔助教學設計（）：（一）教導型 CAI 1. 古典制約和操作制約論：

Pavlov 的古典制約理論（classical conditioning）（張春興和林

能力指標 1

能力指標 3 能力指標 2

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清山，1985）提出教學上的四個重要原則，即增強、消弱、類化和辨別。 Skinner（1954）的操作制約理論（operant conditioning）說明了學習是可保留的，而且可採取分解動作方式，將構成行為的各種反應，給予有次序的學習式練習，直到每一反應學習成功後，再予以串連，即可完成。Skinner 操作制約學習的 S-R 理論，其基本要點是學生在學習過程須隨刺激的呈現而反應，個體行為的成長與變化可經由環境的設計與外在來控制。將此學習理論應用在 CAI 教學時則產生編序式電腦輔助教學，編序教學是將課本的教材，先按照內容的由淺入深、由易至難的一定順序編排完成，而與編序教學相配合的電腦輔助教學是教導型 CAI 模式（呂宜玲，2002）。 2. 學習條件論： Gagne’（1985）將學習條件分為內在條件和外在條件。「內在條件」是指學習者本身所擁有而對學習有幫助的因素。「外在條件」是指存在於學習者外界但卻足以影響有效教學的各種刺激情境，而此情境是可以加以安排或控制的。其教學理論在電腦上輔助教學設計上提供以下原則促進學習效果：（1）引發動機與告知學習者目標。（2）導引注意。（3）刺激回饋。（4）提供學習輔導。（5）提升保留。（6）增進學習遷移。（7）引出表現並提供回饋。依 Gange 的學習條件論所產生的電腦輔助教學模式是教導型的 CAI。 3. 意義學習論： Ausubel（1968）認為學習必須配合學生能力與經驗的先備知識才會產生意義，其在 CAI 的教學設計上的應用如下：（1）教材必須詳細規劃。（2）提出前導組織。（3）呈現教材的方式必須隨時引起學生的注意（4）在教材講解的過程，必須遵守漸進分化與統整調和兩個原則。因此其在 CAI 的設計主要以教導式 CAI 為主。

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（二）問題解決型 CAI 1. 情境學習論： Lave（1991）的情境學習論（situated learning）認為學習的發生必須是活動（activity）、脈絡（context）與文化（culture）交互發生作用的結果，學習者應置身於富含學習理念與行為的情境（community of practice）中，才能獲得真正的學習。因此，情境學習論者認為知識只有在它所產生及應用的活動與情境中去解釋，才能產生意義。透過實際的活動或情境來學習知識技能，易將學習成果轉移到其他類似的情境中運用。知識絕不能從它本身所處的脈絡環境中被孤立出來，因此學習應盡量提供一個實際的情境而非抽象式的符號邏輯環境。因此情境教學論是運用於問題解決型 CAI，在電腦所提供的問題情境中解題並進行學習。 2. 錨式學習（anchoring learning）情境認知的提出，引起了學界對傳統教學的反省。美國 Vanderbilt unversity 的認知科技群（Cognition and technology Group at

Vanderbilt；CTGV；1993）進一步提出了具體的教案及理論結構，她們以情境認知的理論為基礎，運用新科技來研究學習者的知識結構，提出了錨式情境教學法，強調要創造一具生成性活動的錨式情境教學法教材，由此特點可看出錨式學習理論主要應用在問題解決型 CAI 上。（三）練習型 CAI 1. 精熟學習理論：

精熟學習理論(Mastery Learning)是 Bloom（1968）所提出，應用在教學上是以學生學習完教材後所應該表現的目標來界定精熟標準，然後將教材分成小單元，教師於教學中使用「回饋/校正」程序，回饋是在學生每學習完一單元後實施簡要的診斷測驗。精熟學習理論適合應用於練習型電腦輔助教學之設計，以使學習者能透過反覆練習而熟練某一知

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識或技能。 2. 歸因論： Weiner（1992）的歸因論是解釋學習動機最有系統的理論。Weiner 將一般人行為結果之所以成功或失敗，歸納為以下六個原因：（1）能力。（2）努力。（3）工作難度。（4）運氣。（5）身心狀況。（6）其他。歸因論之所以受到重視，主要是該理論能從學生的觀點顯示學習成敗的原因，將此理論應用在 CAI 的設計上時，應滿足學生的缺失性動機，進而培養學生的學習動機，並使學生得到學習成功的經驗。此理論大多應用在測驗型 CAI 或練習型 CAI。（四）遊戲型 CAI 1.遊戲理論（Gaming theory）：許多教育家窮畢生之力，研究各種學習理論，到最後卻發現再好的教材或教法，都不如讓孩子從遊戲中快樂的學習（Norman，1981）。引發學習動機並學習興趣持續下去，可以培養積極的學習態度；動機愈高，則學習者的態度愈積極，電腦遊戲是增加學習動機的有效方法之一，而遊戲理論結合電腦輔助教學技術，便形成所謂的遊戲型 CAI。（五）其他 1. 認知發展理論：

Piaget 的認知發展（Cognitive development）是指個體出生後，在環境中對事物的認識面對問題情境時的思維方式及能力表現，將隨著年齡的增長與個體發展的成熟而逐漸改變的歷程。個體學習的基本歷程是藉適應作用而改變基模（schema）的歷程，其方法為「同化」和「調

適」（Richard，1986）。應用 Piaget 的認知發展論在 CAI 的教學設計上，必須考慮四點原則（洪榮昭、劉明洲，民 86）（1）按學生的思維方式教學。（2）循學生的認知發展設計課程。（3）針對個別差異實施個別化教

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學。（4）促進兒童心智發展的教育功能。 2. 建構學習理論：建構主義（constructive）學習理論，認為學習乃是學習者以現有、既有的知識，來建構新概念的主動過程（Osborne ＆ Wittrock，1983）。心智有所改變才是真的學習，其中包括抽象符號、影像及內在行動表徵系統的改變。因此在活動設計上，應（1）預先對學習作規劃。（2）架構知識體系，使其容易學習。（3）教材的呈現有順序及效率。（4）適當的獎懲回饋。（洪榮昭和劉明洲，1997） 3._{社會學習論：}

Bandura（1977）的社會學習論（Social learning theory）強調個體行為受環境中別人的影響，個體不必靠直接經驗，不須經由後效強化作用，只需經由觀察模仿即可建立新行為或改變就行為。（張春興，1989）分為四個階段進行。（1）注意階段：注意楷模所表現的行為特徵，並了解該行為的意義。（2）保留階段：將觀察所見轉成表徵性心像或語言符號，保留於記憶中。（3）動作再生階段：就記憶所及將楷模行為以自己的行動表現出來。（4）動機階段：直接增強、替代性增強和自我增強，可作為動機的三大歷程；學習者從觀察模仿學到楷模行為後，在適當的時間將學到的行為表現出來（邵瑞珍和皮連生，民 80）。Bandura 這種非結構化的社會學習理論，正是「模擬式 CAI」（simulation）的理論基礎，因此當教師在設計 CAI 學習情境時，必須考慮學生的心理需求和認知理論，並樹立良好的楷模典範，作為學生觀察模仿的對象。然而隨著網路化的學習環境日益普及，學生不再是單一的學習者，Bandura 的社會學習理論亦可應用在網路化 CAI 與合作學習上（洪榮昭和劉明洲，1997） 4._{合作學習論（cooperative learning）：} 合作學習是有組織、有系統的教學，其學習活動方式是以小組型態

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進行，但不同於一般的小組學習，進行合作學習需具備下列五項特徵：（1）正向的相互依賴；（2）個人責任；（3）合作技巧（4）面對面的互動（5）學生的反思。傳統式的教學常造成班級學生競爭的心態，而低學習成就的學生在此環境下，容易產生退縮、缺乏自信及其他反社會的言行（Slavin，1990）。因此合作式教學於八十年代被廣泛的應用在各個領域與各年級，並獲得相當的成效，例如增加後設認知策略的使用、提高解釋的層次、較好的學習成績、創造力、學習動機、責任感與社會溝通能力。如何使傳統電腦輔助學習不再讓學生侷限於孤立的學習環境，透過網路能跨越空間與同伴討論問題，以達成合作學習的效果，因此合作學習論可在網路 CAI 上得到發揮。本研究的目的在於建立一個不僅能適性的測驗與補救教學，更希望能夠藉由網路的運用而施行測驗與補救教學，故為了不受時空限制而能夠即時進行測驗與補救教學，故本研究所採用的補救教學設計以教學型與網路型為主。

第四節

分數

分數、

分數

、

、小數

小數、

小數

、

、比率與數線概念分析

、

比率與數線概念分析

一、分數、小數、比率、與數線概念的意義（一）分數概念的意義當 a 和 b 皆是不為 0 的整數，且能夠化為 b a 或 a b 的型態，則不論是 b a 或 a b ，我們都稱之為分數。在整數計算教學後，分數概念的發展是發展新計算單位的一個新階段，因此進行分數教學之前，普遍認為學生在整數計算方面的學習是分數概念的基礎，其重要因素乃決定於整數單位量轉換活動概念的成熟度。因為學童在學習分數之前的學習活動中應該已經能夠熟悉的運用「1」和「大於 1 的數」所進行的相關活動，如測量或加減乘除計算。但對於「小於 1 的數」的處理卻還未曾接觸。

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關於分數概念的研究，不管是國內外都有學者進行研究。如 Kieren(1988) 提出分數概念的五種子建構：部分-整體、測量、比值、商和乘法運算。林碧珍（1990）定義分數為 1.部分與整體模式、2.子集合與集合模式、3.數線模式、4. 商模式、5.比值模式。楊瑞智（2000）分析國小教材中各種問題的情境，得到分數具有下列十種意義 1.部分-全部；2.子集合-集合；3.乘法運算元；4.等值分數； 5.整數除法的結果；6.分數是一個數/數線上的一點；7.平均（包含速率、密度）； 8.當量；9.比例中的比/比例尺/比值/比較量÷基準量；10.機率。教育部編制之 92 年版「國民中小學九年一貫課程綱要」認為分數和小數即是有理數的表現形式，應用課題很廣而分布在以下四種意涵（教育部，2003） 1.平分的意涵：學生在低年級認識人我分際之後，就會發展出強烈的公平感，因此從平分入手學習分數，是一條比較容易的途徑，也比較容易化解分數學習中常見的認知衝突。 2.測量的意涵：長度測量是低年級就發展的數學課題，再以個別單位度量長度，為了解決剩下部分的「餘數」約定時，就能同時發展小數與分數兩種課題。由於單位的強調，測量是調和「部分/全體」的意涵與帶分數認知衝突的重要工具。 3.比例的意涵：比的原理，是一種微妙的平分方式，因此學生比較容易接受。即使學生尚未學習比例式，透過比的方式，仍然可以協助學生解題。最後再透過比值的引入，一貫地解決比例的問題。 4.部分/全體的意涵：部分/全體雖然是分數的重要意義之一，但是由於概念較為抽象，而且真分數的暗示過深，（全體為 1），可能造成假分數或帶分數學習上的困擾，必須透過單位的強調來解決奇認知衝突。（二）小數概念的意義：

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二千多年前巴比倫人使用六十進位系統用於紀錄時間及生活上的事物，這是目前已知小數的最早起源，後來這個記數系統輾轉傳到印度、波斯，由阿拉伯人發揚改進，慢慢演變成現代所使用的小數。在幼獅數學大辭典中，對於小數（Decimals）的定義為：「寫於前面為整數部分，小數點後所跟者則為一串有限個或無限個之數目者。」由此可知，小數的定義主要依靠著小數點的存在，更依據小數點前有無整數的存在而分為「純小數」或是「帶小數」。小數的教學通常在整數與分數的教學之後，小數的概念是由整數所延伸而來，因此不管在計算或是特性方面都和整數非常相像；不管是舊課程或是九年一貫課程，對於小數概念的導入都在分數的教學之後才進行，同時也藉由分數「部分與全體」的概念來導入小數的概念。由以上可知，小數概念的教學受到整數和分數的影響，因此要理解小數的意義可由兩分面來著手，一是分數層面的「部分與全體」的意義，二是整數層面的「多單位記述系統和位值概念」（劉曼麗，1996） 1.分數層面的部分與全體關係在幼獅數學大辭典中，定義分數為「表示 1 之若干等分的名詞」，因此將一個數進行等分的動作後並取其中一部分，就是分數概念的意義，如 b a b a÷ = 中，a 被分成 b 等分後得到 b a ，a 即代表全體， b a 代表部分。因此分數 b a 是紀錄這「部分與全體」的關係。而有限小數可看作是此分數概念的一環，如以純小數的觀點來看，我們可以把 0.1 看作 1 被分做 10 等分後所得的結果；0.01 可看作是 0.1 被分做 10 等分後所得的結果；0.001 可看作是 0.01 被分做 10 等分後的結果。因此 0.1 10 1 = ， ₀_.₀₁ 100 1 = ， ₀_.₀₀₁ 1000 1 = 。也就是十等分的活動可以無限進行下去，此種可無限制分割的觀點也可用來說明小數的稠密性，但小數和分數雖然有特性的互通，但彼此之間還是有相異處，而這些相異處也造成兒童迷思概念的來源。以下摘錄 Resnick,Nesher,Leonard,Magone,Omanson ＆ Peled（1989）對小數與

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分數的比較如表 2-1。表 2-3 小數和分數知識的比較表（引自 Resnick et al.,1989, p.12）小數（decimal）知識的元素分數（fraction）知識的元素類似（＋）不同（－） A.小數的值（decimal values） 1.在 0 與 1 之間表達一個值。 2.整體被分成很多較小等分。 3.在 0 與 1 之間有無限個小數存在。 A.分數的值（fraction values） 1.在 0 與 1 之間表達一個值。 2.整體被分成很多較小等分。 3.在 0 與 1 之間有無限個分數存在。（＋）（＋）（＋） B.小數符號（decimal notation） 1.一個單位被等分成多少等分是隱含在數字的位置中。 2.有多少等份事表示在小數的量中。 3.整體僅可被分成 10 的羃次方（power of 10 parts）。 B.分數符號（fraction notation） 1.一個單位被等分成多少等分是由分母明確界定。 2.有多少等分是表示在分數的分子中。 3.整數可被分成任何一個等分的數。（－）（－）（－）由上表可知，小數和分數有 2 個主要的相同點：（1）表達在 0 與 1 之間，或兩個相鄰整數之間的一個數。（2）小數與分數皆有稠密性：任兩個相鄰的小數或相鄰的分數皆可無限制的分割。小數與分數的主要相異處也有兩點：（1）分數被切割成幾等分主要是由分母所決定，而分子所代表的是得到的數目，而小數的數字只代表得到的數目，其切割的分數則被隱藏在位值裡。（2）分數的分割中，分母可為不為 0 的任意正整數，而小數的分割則只能限制在 10 的冪次方。 2.整數層面的多單位記述系統和位值概念現今數學教育所使用的記數系統主要源於印-阿記數系統，因此兒童在建構自己的數概念時，除了具備以 1 為單位的數概念結構外，還需要一些其他的單位來方便紀錄更大的數，因此在整數層面使用的記數系統不僅僅是「1」，還包含了「十」、「百」、「千」等。而小數也同樣延伸了整數的這個特性，採用從 0~9 的十個數字，配合位值概念，紀錄小數（劉曼麗，1998a）。由於小數延伸了整數的這個特性，使得小數和整數有了相同之處，也使得小數與整數在直式計算的操作上

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非常的相似，但又不完全相同，因此造成兒童迷思概念的來源。以下摘錄 Resnick et al.（1989）對小數與整數的比較表如表 2-2

表 2-4 小數和整數知識的比較表（引自 Resnick et al.,1989, p.10）

小數（decimal）知識的元素整數（whole number）知識的元素類似（＋）不同（－） A.數字的位置（column） 1.數字從左到右時，值會變小。 2.左邊數字位值是右邊數字位值的 10 倍。 3.「0」有位值的意義。 4.一個數的最右邊增加「0」時，其值不變。 5.離小數點越遠，其值越小。 A.數字的位置（column） 1.數字從左到右時，值會變小。 2.左邊數字位值是右邊數字位值的 10 倍。 3.「0」有位值的意義。 4.一個數的最左邊增加「0」時，其值不變。 5.離小數點越遠，其值越大。（＋）（＋）（＋）（＋）（－） B.數字位名（column names） 1.小數點以後名稱按數字次序讀出。 2.從十分位開始。 3.位名順序是從左到右（十分位、百分位、千分位、……）。 4.讀數字順序是十分位、百分位、千分位。 B.數字位名（column names） 1.沒有小數點以後的數字。 2.從個位開始。 3.位名順序是從右到左（個位、十位、百位、千位、……）。 4.讀數字順序是…、千位、百位、十位、各位。（－）（－）（－）（－） C.讀的規則（reading rules）小數點左邊整數部分按照整數讀法讀出，右邊數字則依照數字次序讀出。 C.讀的規則（reading rules）依整數位十進結構讀出（－）從上表，我們可以發現小數和整數最主要的相同點有 2 點：（1）數字的位值都是由右到左遞增，且左邊的數的位值是右邊的數的位值的十倍。（2）「0」有位值上的意義。整數、分數和小數是小學階段兒童就必須接觸的三種數值表示方式，Resnick et al.（1989）指出，整數和分數等的先備知識一方面支持小數的學習，另一方面卻也干擾了小數概念的建構。以下是摘錄 Hiebert（1992）對整數、小數與整數的整理比較如表 2-3：表 2-5 整數、小數和分數知識的比較表（引自 Hiebert 1992 p.293）

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整數（whole number）分數（fraction）小數（decimal fractions）記述系統知識（notation system） 1.形式：abc。 2.十進位，最小單位為最右邊的位值。 3.一個位置的數值是由該數字與其所在的位值結合而成。 4.全部的數值是所有數字的數值的總合。 1.形式： b a 。 2.分母代表被分割的基本單位，這單位是暗示的。 3.分子代表幾部分的基本單位。 1.形式：ab.c。 2.十進位，最小單位為最右邊的位值。 3.一個位置的數值是由該數字與其所在的位值結合而成。 4.全部的數值是所有數字的數值的總合。運算規則知識（synbol manipulation rulees） 1.加減採對齊位值的方式，做進位、退位的計算。 2.乘法採多步驟的運算步驟。 3.除法採多步驟的運算步驟。 4.從最大的位值開始比較大小。 1.加減採通分，使分母相同後，分子進位、退位的計算。 2.乘法採分母乘分母，分子乘分子的運算法則。 3.除法採將除數的分子分母顛倒，再相乘。 4.比較大小時，先通分，分母相同後，再比較分子。 1.加減採對齊位值的方式，做進位、退位的計算。 2.乘法與整數同，點上小數點。 3.除法與整數同，點上小數點。 4.從最大的位值開始比較大小。數量表示的知識（quntites）離散量連續量連續量（三）比率概念的意義比率亦稱為比例，是分數的課題之一，大多數的情境強調的是部份佔全體的多寡與其表示法，比率的值往往小於或等於 1，且 1 就是「全部」（教育部，2003）。因此比率即可看作是分數的「部分與全體」關係的再發展。但比率的應用卻在生活中佔有相當重要的地位，例如溫度、速度的測量與計算、不同幣值間的換算以及日常生活中所會碰到的物品購買打折問題，都與比率問題脫不了干係。比例問題這個數學結構用在生活情境時，必須有推論、預測和批判的能力（劉秋木， 1993），因此對於小學階段的學生而言是相當難的一個單元。而且因為將來的函數學習與比率問題的內涵密不可分，因此比率的學習是學習高等數學的基礎，是

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基礎數學與高等數學的橋樑。Lamon（1993）提出兩種思考策略對於比率概念發展很重要，一是關聯的思考，一是建構單位的思考（unitizing）， 1. 關聯的思考：將問題情境中的重要關鍵產生正確的連結是所謂的關聯的思考，如小明和小英兩年前身高分別為 100 公分高和 120 公分高。兩年後，小明變成 120 公分高，小英變成 140 公分高，哪個人長得快？，如果只是單純用減法的方式處理將120−100=20、₁₄₀−₁₂₀=₂₀，就斷定兩人長得一樣快，這樣就缺乏關聯的思考，而是應該用比率的方式將 100 20 100 100 120 = − 、 120 20 120 120 140 = − ，如此可發現小明的生長速度明顯比小英快。因此沒有關聯思考的兒童容易在面對比率問題時使用加減法的策略解決問題，而擁有關聯思考的兒童才懂得用乘除的策略來解決比率問題。 2. 建構單位的思考：把兩個數量的關係看作一個參考單位（reference unit）或是單位整體（unit whole）。而且這個單位整體可進行同步重複和等分割活動，例如把「7 個人吃 5 包餅乾」當作第 1 個參考單位或單位整體，另一個「7 個人吃 5 包餅乾」是第 2 個參考單位或單位整體，也就是「7 個人吃 5 包餅乾」是一個可計數的單位。單位化（unitizing）和基準化（norming）不論在分數概念的解題或是比率問題的解題都扮演非常重要的關鍵機制（mechanism）。在分數概念分面，單位化和基準化給分數除法教學提供了「被除數是幾個除數（複合單位 composite unit）」的轉換問題，把前面的除數用後面的除數詮釋。其中所謂的複合單位是指把幾個物體當成一個單位，如 6 個一數就是一種複合單位。形成有彈性或變通性的單位概念對兒童形成比例概念很有幫助。（呂宜玲，2002）

1.單位化：指將建構參考單位（reference unit）或單位整體（unit whole），並用此新單位去重新詮釋（reinterpret）新的數量情境的過程。單位化是發展複雜數學概念的關鍵。

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2.基準化：指建立複合單位（composite unit），並用此複合單位去重新詮釋新數量情境的過程。如：地球的半徑約為 6376 公里，如果把地球看作半徑為一公分的球體時，則太陽相當於半徑 10 公分的球體。基準化就是利用等比例的關係來解題。（四）數線概念的意義數線不僅是在整數概念的教學中常會被運用來教導兒童有關數值的大小對應關係與大小比較，「整數」與「數線上的一點」的對應關係也利用來教導兒童「數字的順序」。同樣的，分數與小數概念的教學也可以運用到數線來做為表示數值間的大小對應關係、大小比較或是使「數」與「數線上的一點」產生一對一的對應。因此利用數線模式可以讓學生了解數的序列關係、數值大小，也可以讓學生了解整數、分數和小數之間的關係。最新公佈的九年一貫數學領域課程綱要（教育部，2003）更說明了有理數的教學，可以運用數線做為模型，將自然數、分數與小數結合在一起，匯聚成「數的觀念」。數線在整數、分數和小數學習上有很多的優點，茲整理說明如下： 1. 數線比其他表示法（如面積或離散量模式）更能呈現大於 1 的數，如帶分數、假分數和帶小數。 2. 數線模式可以說明分數和小數的稠密性。 3. 利用數線模式可以說明等值分數的意義，並建立分數大小及約估的數感能力（Kieren，1976；Behr ＆ Post，1988；Kutz，1991；Vance，1992） 4._{數線模式可以說明分數與小數在各種度量之測量使用，例如長度、時間、} 重量等。數線模式可以幫助學生從整數的學習擴展到有理數的學習，了解分數、小數的意義，以及分數、小數的稠密性的特質。更提供了帶分數、假分數、等值分數與帶小數的大小關係與比較，因此非常適合使用數線來進行整數、分數與小數的

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概念教學。二、分數、小數、比率與數線的迷思概念（一）分數的迷思概念國內湯錦雲（民 90）在「國小五年級學童分數概念與運算錯誤類型之研究」發現學生分數概念錯誤類型和運算錯誤類型如下： 1. 學生分數概念的錯誤類型。（1）缺乏部分與全部的概念（2）缺乏等分概念（3）單位量指認錯誤（4）認為分數不是一個數（5）把數線「分割點」當成是「間隔數」（6）數線的標分數出現兩個或三個箭頭（7）把分數是「數線上的線段長」當成「數線上的一點」（8）把數線的左端整數或單位段當分母（9）以讀取小數的方式讀取數線上的分數（10）數與量概念無法區別（11）缺乏「分數是整數相除的結果」的概念（12）缺乏「分數是一個比值」的概念（13）缺乏分數稠密性概念（14）缺乏等值分數概念（15）缺乏分數估測的能力 2._{學生分數運算的錯誤類型} （1）整數加分數的錯誤類型 a._{將被加數加上加數的分子成為答案的分子。} b. 運算符號的錯誤

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c. 將加數的分子減被加數成為答案的分子 d. 計算錯誤 e. 假分數化成帶分數的錯誤 f. 將被加數分別加上加數的分子、分母成為答案的分子、分母（2）分數減法的錯誤類型 a._{將減數的分子減被減數成為答案的分子} b._{整數化成分數錯誤} c._{運算符號的錯誤} d._{借位錯誤：向整數借 1 卻減 2、向整數借 1 卻沒有減 1} e. 計算錯誤 f. 假分數化成帶分數的錯誤 g. 答案忘了寫上分母 h. 將被減數減減數的分子當成答案的分子 i. 減數的整數部分用減法計算，真分數部分用加法計算 j. 被減數與減數倒置 k. 被減數分別減去減數的整數、分子、分母成為答案的整數、分子、分母 l. 被減數的分子與減數的分子倒置計算 m. 答案忘了寫上整數部分 n._{減數的整數部分用減法計算，真分數部分用加法計算} （3）整數乘分數的錯誤類型 a._{乘數的整數部分用乘法，真分數部分用加法} b._{被乘數分別乘上乘數的整數、分子、分母成為答案的整} 數、分子、分母

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c. 被乘數、乘數都化成假分數後，分子乘分子，分母則不相乘。 d. 乘法用加法算則計算 e. 帶分數化成假分數的錯誤 f. 假分數化成帶分數的錯誤 g. 計算錯誤（4）整數除整數的錯誤類型 a._{沒有用分數作答} b._{把商數當成分母，餘數當成分子} c._{把被除數當成分母，除數當成分子} d. 把商數當成答案，餘數則省略 e. 計算錯誤 f. 商數與除數倒置 g. 假分數化成帶分數錯誤 h. 把商數當成分子，餘數當成分母 i. 答案沒有寫上商數部分（二）小數的迷思概念國內外對於小數的迷思概念的研究很多，玆整理如下表表 2-6 小數的迷思概念表

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研究者迷思概念艾如昀(1994) 1.認為小數點後的數字越多其值越大，或認為越來越小。 2.缺乏小數稠密性的觀念。 3.小數的加減計算時未對齊小數點或結果未標示小數點。杜建台(1996) 1.在讀小數時，將小數點後的數字精讀。 2.在數線上讀小數時，會弄錯兩格之間的單位。 3.小數與數線上的對應有困難。 4.認為小數點後的數字越多其值越大，或認為越來越小。 5.缺乏小數稠密性的觀念。劉曼麗(1998b) 1.在讀小數時，將小數點後的數字精讀。 2.在序列小數上，遇進位容易錯誤。 3.在數線上讀小數時，會弄錯兩格之間的單位。 4.在度量衡的單複名數轉換上發生錯誤。 5.分數與小數的轉換錯誤。 6.認為小數點後的數字越多其值越大，或認為越來越小。 7.在小數的進位與化聚時，學童不清楚小數與整數的關係，直接將各數與單位合成而產生錯誤結果。 8.缺乏小數稠密性的觀念。 9.將整數的乘除概念運用在小數上。陳永峰(1998) 缺乏小數稠密性的觀念。楊德清(2000) 在小數的除法上會以「大的數」÷「小的數」來解題。劉曼麗(2001) 1.分數與小數的轉換錯誤 2.認為小數點後的數字越多其值越大，或認為越來越小。 3.在小數的加減上會以整數的加減經驗類推，而將數字「向右對齊」。 Wearne ＆ Hiebert(1986) 1.在小數加減時，把小數符號當作整數處理。 2.在乘除小數時，放錯乘積的小數點或餘數的小數點。 3.在求餘數的問題中常以四捨五入法求商。 4.在有餘數的小數除法中，忽略餘數的小數點。 5.在小數的除法中，將餘數的小數點對齊。 6.除法直式計算中，被除數小數點的移位處理發生困難。 Chein(1998) 六年級的學童也許持有穩固的小數稠密性、位值、數線等概念性知識，但若涉及小數的加減乘除等複雜性的程序知識，就會有困難產生。（三）比例的迷思概念

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1. 學生在解小於 1 的有理數乘除法文字題時，往往會有「乘變大」、「除變小」的迷思概念。（Fisch et al.1985；Graeber,1993） 2. 缺乏比例運思的能力：所謂比例運思是指可以掌握兩種異於 1 的單位量合成分解的共變關係。 3. 對部分/全體關係無法掌握：要解比例問題，必須能夠靈活掌握題目中所有數字的部份/全體關係，釐清之間的關係才有能力解題。（四）數線的迷思概念 1._{將數線全長當作一個單位：學生再數線模式最容易受到「部分-全體」的} 操作概念影響，而將整條數線當成全部來處理（楊壬孝，1988；林碧珍， 1990；湯錦雲，2002；黃寶彰，2003）。例如，在學生容易認為 B 點為全部的 4 2 或 0.5。 2. 忽略數線上的參考點：有的學生會將較複雜的問題簡化至他能處理為止，稱為「簡化原則」。例如學生可能只考慮到參考點 1，全部分成四等分，所以可能就出現 4 1 或 0.12 的答案。 3. 受單位等分段數的影響：學生容易因線段的分段數與平常所練習的不同而發生錯誤。 4. 將數線上的刻度當作分段：如圖片中的起始點並非 0，而是 1，但學生判斷線上刻度時，卻往往把 1 看作 0 來處理。三、五年級 5-n-08、5-n-09、5-n-11 與 5-n-12 能力指標說明 1. 「5-n-08 能認識多位小數，並作比較與加、減的計算，以及解決生活中的問題。」是本研究所處理的能力指標，在教育部頒的「國民中小學九年一貫課程

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綱要數學學習領域」（2003）中針對此項指標提出說明如下： a. 對於所謂多位小數，只是讓學童知道小數的位數，原則上跟大數一樣，可以一再細分下去。實際教學時，不特別自限於固定的位值限制即可。 b. 要教導學童「小數點以下(後)第 4 位」的講法。 c. 在進行多位小數教學時，要同時將已知關於小數的直式計算加以延伸，讓學童理解多位小數的計算，與小位數小數的計算方式相同。 d._{教師也不妨引用自然科學的實際例子，讓學童知道在微小的世界中，小數} 派得上用場，例如細菌大概是 0.0003 公分長，更小的病毒，大概 0.00001 公分長。如果細菌像 10 元硬幣那麼大，那麼小朋友就跟聖母峰一樣高。由以上說明可知，本能力指標所處理的多位小數的加減法，在此能力指標之前，學生所學到的最多為二位小數的計算處理，在這能力指標要求下，學生開始學習處理多位小數的的位值、位名與加減計算。 2.「5-n-09 能用直式處理乘數是小數的計算，並解決生活中的問題。」是本研究所處理的第二個能力指標，在教育部頒的「國民中小學九年一貫課程綱要數學學習領域」（2003）中針對此項指標提出說明如下： a. 教學以二位小數的互乘為原則。 b. 先處理整數的小數倍的計算方式。乘數可先從 0.1 與 0.01 著手，其效果相當於移動小數點的位置。再考慮例如乘數為 0.2（＝210），或乘數為 1.2 （＝1210）。由以上說明可知，本能力指標所要處理的重點在於二位小數的互乘計算練習，並且教學方式由整數的小數倍計算逐漸加深而至二位小數的互乘。 3. 「5-n-11 能將分數、小數標記在數線上。」是本研究所處理的第三個能力指標，在教育部頒的「國民中小學九年一貫課程綱要數學學習領域」（2003）中針對此項指標提出說明如下： a. 本細目可在沒有刻度的輔助下標示整數、分數、小數。

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b. 小數的標示以一位為原則。 c. 分數的標示應以如 2、3、4、10 等簡易分母為教學重點。由以上說明可知本能力指標所要處理的最終目的在於學生能夠在完全沒有刻度的輔助下標示整數、簡易分母分數和一位小數，並能夠進行互換。 4. 「5-n-12 能認識比率及其應用（含「百分率」、「折」）。」是本研究所處理的第四個能力指標，在教育部頒的「國民中小學九年一貫課程綱要數學學習領域」（2003）中針對此項指標提出說明如下： a._{「比率」是分數課題之一。大多數情境強調的是部分佔全體的多} 寡與其表示法，因此比率的值往往小於或等於 1，且 1 就是「全部」。（比率有時被延伸使用到＞1，不屬於本細目）。 b. 日常生活中的加成，如服務費加兩成；犯罪成長率 120％也是比率的例子。 c. 在五年級處理的部分量與全部量為整數或可恰當轉化為整數的量。例如：「100 個人中有 75 人及格」，所以及格人數的比率是 100 75 ＝0.75。而不及格人數的比率是 1-0.75＝0.25。 d. 也要能處理全部量與比率已知，推得部分量的情況，例如：「全校 500 名學童，其中的 100 53 是女生，請問女生有多少人？」，答案是 500× 100 53 ＝265。 e. 部分量與所佔比率已知，推得全部量的問題則到六年級再處理（參見 6-N-03，6-N-04）。 f._{百分率是最常用的比率表示法，學童應理解其意義、記法與應} 用，知道 100％就是 1，也就是全部。例：知道 75100＝0.75，可記成 75％。知道這次考試有 75％的同學及格，則不及格的同學佔全班 25％，知道這相當於計算 1－75％＝100％─75％＝25％。

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例：「500 人的 75％是多少人？」，「若全校有 500 人，女生有 275 人，則男生佔全校人數的百分之多少？」。 g. 熟練常用的百分率與分數轉換，如：100％＝1（全部），50％＝ 12（一半），25％＝14，75％＝34，20％＝15，40％＝25，60％＝ 35，80％＝45，10％＝110。 h. 「折」的日常用法要熟悉並能計算。知道「書店全面七五折」的意思相當於以定價的 75％計價，若買 600 元的書，只要付 600×34 ＝450 元。學童應理解這樣省了 1－75％＝25％。另外要注意「七五折」不是「七十五折」。 i._{要處理全體中有多少子類的情況，可與統計機率的細目一起處理} （參見 5-d-01）。由以上說明可知此能力指標對於比率概念來說，主要以處理百分率為主，且比率延伸使用到＞1 不屬於本細目。百分率在之前的單元學生並未接觸，本能力指標可說是第一次處理百分率的概念並帶入生活中容易遇到的「折」的觀念。

第五節

估算教材概念分析

一、估算概念的意義說到估算，便要先說到數字常識（Number sense）。數字常識可以解釋為個人對數字之認知以及理解數字和運算之一般特性，也包括能夠以彈性的態度面對數字做判斷以及發展策略以處理數字和相關之運算（楊德清，1997；楊德清， 1998；Reys & Yang，1998）。也就是說具有數字常識的人會把數字看成一個有意義的實體，並且也認為數字的運算結果具有其意義。NCTN（1989）清楚地定義了具有良好數字常識的兒童，應該具有下列的特點：

以能力指標結構為基礎的電腦適性測驗編製及動畫補救教學之應用—以國小數學領域五年級分數、小數相關議題（含數線與比率）與時間計算能力指標為例

國立台中教育大學教育測驗統計研究所教學碩士論文

指導教授：郭伯臣 博士