4-1-4空間向量-空間向量的外積

全文

(1)1-4 空間向量的外積【目標】能熟練向量外積的操作，並理解兩向量外積的意義，進而能應用向量外積處理空間中，三點所決定的三角形面積及三向量所決定的平行六面體的體積。【討論】 1.. 給定線性獨立的兩向量 a , b ，可張開一個平行四邊形。在坐標平面上， a  (a1 , a2 ), b  (b1 , b2 ) 時， a , b 所張開平行四邊形的面積為 |. a1 a2 |  | a1b2  a2b1 | 。 b1 b2. 在坐標空間中，令 a  (a1 , a2 , a3 ), b  (b1 , b2 , b3 ) ，且夾角為  ，如圖。設 a , b 所張開的平行四邊形的面積為 A ，則 A  | a | | b | sin   | a | | b | 1  cos 2   | a |2 | b |2  | a |2 | b |2 cos2   | a |2 | b |2 ( a  b )2 。. 其中 | a |2 | b |2  ( a  b ) 2  (a12  a2 2  a32 )(b12  b22  b32 )  (a1b1  a2b2  a3b3 )2.  a2 2b32  2a2b2 a3b3  a32b22  a32b12  2a1b1a3b3  a12b32  a12b2 2 2a1b1a2b2  a2 2b12  (a2b3  a3b2 )2  (a3b1  a1b3 )2  (a1b2  a2b1 )2 a a  2 3 b2 b3. 故 A 2.. 2. a a  3 1 b3 b1. a2 a3 b2 b3. 2. 2. a a  1 2 b1 b2. a a  3 1 b3 b1. 2. 2. ，. a a  1 2 b1 b2. 2. 。. 設 a  (a1 , a2 , a3 ), b  (b1 , b2 , b3 ) 線性獨立，已知 v  a 且 v  b ，求 v 的坐標。解答：設 v  ( x, y, z ) ，由於 a , b 線性獨立，故 a , b 所張開平行四邊形的面積不是 0 ，即. a2 a3 b2 b3. 因此，. 2. . a3 a1 b3 b1. 2. . a1 a2 b1 b2. 2. 0，. a2 a3 a a a a a a , 3 1 , 1 2 不皆為 0 ，不妨假設 1 2  0 。 b2 b3 b3 b1 b1 b2 b1 b2. 由 v  a ，得 a1 x  a2 y  a3 z  0 ，即 a1 x  a2 y  a3 z ；由 v  b ，得 b1 x  b2 y  b3 z  0 ，即 b1 x  b2 y  b3 z 。  a1 x  a2 y  a3 z ，  b1 x  b2 y  b3 z. 用克拉瑪公式解 . 28.

(2) a3 z a2 a a z 3 2 a a b3 z b2 b3 b2 z 得x    2 3 ， a1 a2 a1 a2 a1 a2 b2 b3 b1 b2 b1 b2 b1 b2. a1 b y 1 a1 b1. a3 z a a z 1 3 a a b3 z b1 b3 z    3 1 。 a2 a1 a2 a1 a2 b3 b1 b2 b1 b2 b1 b2. 令t . z a1 a2 b1 b2. ，. 則 v  ( x, y, z )  (t  t(. 3.. a2 a3 a a a a , t 3 1 , t 1 2 ) b2 b3 b3 b1 b1 b2. a2 a3 a a a a , 3 1 , 1 2 ) ，其中 t 可為任意非零實數。 b2 b3 b3 b1 b1 b2. 由上例可知： a  (a1 , a2 , a3 ), b  (b1 , b2 , b3 ) 線性獨立時，取 v (. a2 a3 a a a a , 3 1 , 1 2 ) ，則 v  a 且 v  b ， b2 b3 b3 b1 b1 b2. 又 v 的長度 | v | 恰等於 a , b 所張開平行四邊形的面積。一般而言，任意空間向量 a  (a1 , a2 , a3 ), b  (b1 , b2 , b3 ) ，向量 (. a2 a3 a a a a , 3 1 , 1 2 ) 稱為 a , b 的外積，記作 a  b 。 b2 b3 b3 b1 b1 b2. 當 a , b 為線性獨立時， a  b 的方向與 a , b 都垂直，而 a  b 的長度恰等於 a , b 所張開平行四邊形的面積，即 | a  b |  | a | | b | sin  ，其中  是 a , b 的夾角。 4.. 當 a , b 線性獨立時，與 a , b 都垂直的方向有兩個(相反方向)，而 a  b 的方向可用右手定則決定：將右手掌張開，拇指以外的四指併攏，指向 a ，然後往 b 的方向握拳，則拇指所指的方向即為 a  b 的方向，如圖所示。. 29.

(3) 5.. 平行六面體有六個面，每個面都是平行四邊形，共有三雙對面，每雙對面都平行。其體積的計算公式為平行六面體的體積  底面積  高。空間中線性獨立的三向量 a , b , c 張開一個平行六面體，如圖，設其體積為 V ，且 a , b 所張開平行四邊形的面積為 A ；以此面為底之高為 h，則 V  Ah ， A  | a  b | 。再令 a  b 與 c 的夾角為  ，如圖(此圖中  為銳角，若 a , b 位置互換，則  為鈍角)，則 h  | | c | cos  | ，因此， V  | a  b | | | c | cos  |  | | a  b | | c | cos  |  | ( a  b )  c | 。. 至此可知：三向量 a , b , c 所張開平行六面體的體積等於 | ( a  b )  c | 。 6.. 空間中任意三向量 a , b , c ，設 a  OA, b  OB, c  OC ，令點集合 S  {P | OP  xOA y OB  z OC ，其中 0  x  1, 0  y  1, 0  z  1} 。當 a , b , c 線性獨立時，點集合 S 就是 a , b , c 所張開的平行六面體，其體積為 | ( a  b )  c | ；當 a , b , c 線性相依時， O, A, B, C 四點共面，點集合 S 在一平面 E 上，若將 S 視為一個退化的平行六面體，則其體積為 0 ，而此時向量 a  b 與 a , b 皆垂直，故 a  b 垂直平面 E ，也就垂直 c ，於是 ( a  b )  c  0 ，而得 | ( a  b )  c |  0 。因此，在使用體積公式 | ( a  b )  c | 時，不必限制 a , b , c 線性獨立，反而可由 ( a  b )  c 的值是否為 0 ，判定 a , b , c 是否線性獨立。換言之， O, A, B, C 四點共面的充要條件是 (OA  OB)  OC  0 。. 30.

(4) 【定義】 1. 外積(cross)：當 a  (a1 , a2 , a3 ), b  (b1 , b2 , b3 ) 時， a , b 的外積 a  b  (. a2 a3 a a a a , 3 1 , 1 2 )。 b2 b3 b3 b1 b1 b2. a  b 與 a , b 都垂直，即 ( a  b )  a , ( a  b )  b ，. 又 | a  b |  | a | | b | sin  ，其中  是 a , b 的夾角。註： (1)內積為實數，外積為向量。 (2)內積與面積有關，外積與體積有關。說明：   設與兩不平行向量 u  ( x1 , y1 , z1 ), v  ( x2 , y2 , z 2 )  同時垂直的向量為 w  ( x, y, z) ，則x: y:z . y1. z1. y2. z2. :. z1. x1. z2. x2. :. x1. y1. x2. y2. 。. 解答：  設 w  ( x, y, z) ，     則 u  w  0, v  w  0 ，  x x  y1 y  z1 z  0 得 1 ，  x2 x  y 2 y  z 2 z  0 因兩向量不平行，故 x1 y 2  x2 y1  0, z1 x2  z 2 x1  0, y1 z 2  z 2 y1  0 至少有一個成立，設 x1 y2  x2 y1  0 ，. a b  x x  y1 y   z1 z 解 1 (定義  ad  bc )， c d  x2 x  y 2 y   z 2 z  z1 y1 y1 z1 x1  z1 z1 得x.  z 2 y2 y z 2 x1 y1 x1 x2 y 2 x2. z2 x  z2 z z, y  2 z 2 y1 x1 y1 x1 y2 x2 y 2 x2. x1 x2 z。 y1 y2. 【性質】 1. 由二階行列式的性質，可推得外積的一些基本性質如下，其證明從略。 (1) b  a  ( a  b ) 。 (2) a  a  0 。 (3) ( a  b )  c  a  c  b  c 。 (4) (k a )  b  k ( a  b ) 。. 31.

(5) 【公式】 1. 兩向量所張開平行四邊形的面積：設 a  (a1 , a2 , a3 ), b  (b1 , b2 , b3 ) 所張開平行四邊形的面積為 A ，. 2.. 2. 2. a2 a3 b2 b3. 則 A  | a | | b | ( a  b )  2. 2. a a  3 1 b3 b1. 2. a a  1 2 b1 b2. 2. 。. 空間中兩向量所張成平行四邊形面積：. . 空間中兩向量 a  (a1 , a2 , a3 ), b  (b1 , b2 , b3 ) ，.  . . .  . 則由 a , b 所張成的平行四邊形的面積為 | a  b || a || b | sin ，.  . 其中  為 a , b 的夾角。證明：  b. .  a.  . 由 a , b 所張成的平行四邊形的面積為.    | a || b | sin | a || b |  1  cos2    a b 2  | a || b |  1  (   ) | a || b |.      | a |2 | b |2 (a  b )2.  (a1  a2  a3 ) 2 (b1  b2  b3 ) 2  (a1b1  a2 b2  a3b3 ) 2 2. 2. 2. 2. 2. 2.  (a 2 b3  a3 b2 ) 2  (a3 b1  a1b3 ) 2  (a1b2  a 2 b1 ) 2. a3. a1. b2 b3 b3   | a  b | 空間向量的外積：. b1.  (. 3.. a2. a3. )2  (. )2  (. a1. a2. b1. b2. )2. 當 a  (a1 , a2 , a3 ), b  (b1 , b2 , b3 ) 時， a , b 的外積 a  b  (. a2 a3 a a a a , 3 1 , 1 2 )， b2 b3 b3 b1 b1 b2. ( a  b )  a , ( a  b )  b ，且 | a  b |  | a | | b | sin  (  為 a , b 夾角)。 a a a a a a 為了方便記憶， a  b 的坐標可展示如右： 1 2 3 1 2 3 b1 b2 b3 b1 b2 b3. 4.. 三向量所張開平行六面體的體積：空間中線性獨立的三向量 a , b , c 所張開平行六面體的體積為 |( a  b ) c |。. 5.. 四點共面：空間中四點 O, A, B, C 共平面的充要條件為 | (OA  OB)  OC |  0 。. 32.

(6) 【問題】 1. 設點 P 在平面 E 上的正射影為點 Q，點 Q 在平面 E 上的一直線 L 的正射影為點 R ，直線 L 上異於點 R 的一點 S ，試問 P, Q, R, S 這些點組成何種形狀的空間圖形？組成幾個直角三角形？     2. 試檢驗 u  v 與 v  u 是否相等？解：差個負號，因外積代表有向體積。【性質】 1  2  2   2   1. 由 u  ( x1 , y1 , z1 ), v  ( x2 , y2 , z 2 ) 所圍成三角形面積為 | u | | v | (u  v ) 。 2    2. 外積定成空間中與兩向量 u  ( x1 , y1 , z1 ), v  ( x2 , y2 , z 2 ) 同時垂直的向量 w ，        則由 u , v 所決定的平行四邊形的面積為 | w || u  v || u || v | sin ，   其中  為 u , v 的夾角，         且可知 u  w  0, v  w  0 (即 w  u , w  v )。證明：        由 u , v 所決定的平行四邊形的面積為 | w || u  v || u || v | sin     | u || v | sin | u || v |  1  cos2    u v 2    2  2   2 | u || v |  1  (   )  | u | | v | (u  v ) |u ||v |  ( x1  y1  z1 ) 2 ( x 2  y 2  z 2 ) 2  ( x1 x 2  y1 y 2  z1 z 2 ) 2 2. 2. 2. 2. 2. 2.  ( y1 z 2  y 2 z1 ) 2  ( z1 x2  z 2 x1 ) 2  ( x1 y 2  x2 y1 ) 2 2. 3.. 2. 2. y1 z1 z x1 x y1   1  1 y2 z2 z 2 x2 x2 y 2    | u  v | | w | 。    設 a , b , c 為空間中的三個向量，則：     (1) a  b  (b  a ) 。註：外積是有方向性的，適用右手系法則。     (2) (ra )  b  r (a  b ) ， r 為任意實數。        (3) (a  b )  c  (a  b )  (b  c ) 。   (4)若 a 與 b 是非零且不共線的向量，     則 | a  b | 等於由 a 與 b 所展成的平行四邊形的面積。.   a b.  b.   | a b |.  a.      若 a // b ，則 a b  0 。. 33.

(7)