APP遊戲軟體於國小學生學習正負數概念之研究

全文

(1)國立臺灣師範大學課程與教學研究所碩士論文. 指導教授：郝永崴. 博士. APP 遊戲軟體於國小學生學習正負數概念之研究. 研究生：林俊志. 撰. 中華民國一Ｏ四年六月.

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(3) 謝誌二年前，因為黃鼎傑您的鼓勵與期許，讓我一腳踏進了這趟師大的碩士旅程，讓我除了財務金融與數學補教老師外，更多了一個師大教研所碩士的背景，沒有您，我不會有這趟旅程，更不會有這兩年的脈絡經驗，謝謝您！這趟旅程中，最先要感謝的人，是我的指導教授－郝永崴老師。謝謝您於碩士一年級開始，給予了我教學及研究助理的機會，讓我多方面的嘗試與接觸，從做中學，過程中真的習得了很多。此外，於您身上，更學習到了許多除了教育外的生活道理，讓我能調整自己，面對許多複雜的困境與情緒。於研究上，謝謝您讓我的想法及創意實現於論文上，並協助我完成 APP 遊戲軟體，沒有您，這些設計內容、想法及創意只會是紙上談兵，永崴老師，謝謝您！此外，感謝林吟霞老師與楊凱琳老師於論文上給予的寶貴建議，讓我了解自身研究的不足與需精進的地方，謝謝老師！更謝謝研究參與者的同學們，以及補習班主任與小芳老師，沒有你們，這篇論文無法完成，我的想法也無法實現，謝謝你們的信任及抽空幫忙，謝謝！而在研究所學習的過程中，謝謝每位老師給予我專業知識的培養、實務與理論的連結，謝謝教育系所提供參加 UCLA PFI Summer Program 的機會，也謝謝學長、學姊們的經驗分享，謝謝每堂課同學們的對話，謝謝師大教育系所給予我這樣的學習環境，使我有更多想法，以面對未來教育的挑戰！謝謝宛如家人的佩真，給予我許多不同想法的衝擊及交流，並於這趟旅程中陪我度過許多情緒，陪我看了許多風景，謝謝妳，有妳真好！謝謝我摯愛的家人，爸爸媽媽於教育的路上給予我全力的支持，給予我最佳的避風港，謝謝您們，沒有您們，不會有現在的俊志！謝謝姐姐們、姊夫們於這趟旅程的關心，謝謝姪子們、姪女們於這趟旅程的陪伴，俊志能成為你們的家人，真的很幸運！最後，謝謝這二年來的一切，無論如何，都會成為我人生中的養分，俊志會牢記這一切，一步一腳印地走下去，然後回饋社會。林俊志. 謹誌. 07/27/2015.

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(5) APP 遊戲軟體於國小學生學習正負數概念之研究摘要. 本研究旨在透過 APP 遊戲軟體，了解國小學生於正負數概念之學習情況，以及學生對於透過 APP 遊戲軟體學習數學之看法，研究採設計導向研究法，針對補習班的十六位學生進行研究；主要發現包括：運算規則是負數概念中較難習得的內容，六年級在校成績、學習態度、學習吸收度與家長重視成績的程度對於正負數概念的學習皆具有影響性。此外，學生於 APP 融入數學學習皆抱持正面看法。最後，關於 APP 內容及介面的設計，學生提出數項建議。期待本研究的結果與發現，能幫助國小學生之數學學習資源更為多元與個人化。. 關鍵字：正負數概念、數學遊戲、行動學習、APP. I.

(6) II.

(7) A Study on the Learning of Concept of Positive and Negative Number for Elementary Student Through App Game Abstract. The study utilized the APP game application to explore the learning situation of the elementary students on the concept of positive and negative number. In addition, in connection with the way the students looking at the method of leaning through APP, the study applied the design-based research method to analyze the learning situation of the 16 students of the cram school; the results are as follows. The operational rules are the difficulty occurring to the students in the learning of the concept of negative number. The learning of the concept of positive and negative number is influenced by the 6th grade performance, learning attitude, acquisition, and the emphasis the parents putting in. Moreover, the students gave positive response on the learning through APP. Finally, the students proposed suggestions for the design of the content and interface of the APP. The study is expected to be an useful resource in assisting to create diversified and individualized mathematical learning materials for elementary students.. Keywords：concept of positive and negative number, mathematical game, mobile learning, APP. III.

(8) IV.

(9) 目錄中文摘要 ........................................................................................................................... I 英文摘要 ........................................................................................................................ III 目錄 ..................................................................................................................................V 表次 ............................................................................................................................... VII 圖次 ................................................................................................................................ IX 第一章緒論 .................................................................................................................. 1 第一節研究動機 ...................................................................................................... 1 第二節研究目的與研究問題 .................................................................................. 5 第三節名詞釋義 ...................................................................................................... 5 第二章文獻探討 .......................................................................................................... 7 第一節正負數的發展 .............................................................................................. 7 第二節正負數概念學習之探討 ............................................................................ 13 第三節資訊科技融入數學教學發展之探討 ........................................................ 21 第四節以認知學徒制設計 APP ............................................................................ 31 第五節行動學習在數學教學發展之探討 ............................................................ 36 第三章研究方法與設計 ............................................................................................ 43 第一節. 研究方法與流程 ........................................................................................ 43. 第二節. 研究對象、研究關係的建立與研究倫理 ................................................ 48. 第三節. 研究設計與架構 ........................................................................................ 55. 第四節. APP 遊戲軟體 ............................................................................................ 55. 第五節. 研究工具 .................................................................................................... 64. 第六節. 資料蒐集與分析 ........................................................................................ 65. 第四章研究結果與討論 ............................................................................................ 71 第一節補習班小學六年級學生正負數概念之學習狀況 .................................... 71 第二節補習班小學六年級學生於數學行動學習之看法 .................................... 80 第五章研究結論與建議 .......................................................................................... 111 第一節. 研究結論 .................................................................................................. 111 V.

(10) 第二節. 研究限制、啟示與建議 .......................................................................... 113. 參考文獻 ...................................................................................................................... 119 附錄 .............................................................................................................................. 125 附錄一六年級之自編考卷 .................................................................................. 125 附錄二正負數概念之自錄影片資源 .................................................................. 126 附錄三負數概念關卡題項對應表 ...................................................................... 127 附錄四前導研究之 APP 遊戲軟體回饋半結構式訪談大綱 ............................. 131 附錄五遊戲結果之 Google 表單 ......................................................................... 132 附錄六基本資料問卷 .......................................................................................... 133 附錄七正式研究之半結構式訪談大綱 .............................................................. 134. VI.

(11) 表次表 1-1-1. iOS 系統上正負數概念相關 APP 類型 ........................................................ 4. 表 2-1-1. 負數能力指標與其分年細目表 .................................................................. 11. 表 2-1-2. 九年一貫課程數學領域負數單元教材內容 .............................................. 12. 表 2-2-1. 正負數概念迷思類型 .................................................................................. 19. 表 2-2-2. 本研究之正負數迷思概念類型 .................................................................. 21. 表 2-4-1. 認知學徒制融入於 APP 遊戲軟體之體現 ................................................. 33. 表 3-1-1. 設計導向研究法與實驗研究法之比較 ...................................................... 44. 表 3-2-1. 學生概述 ...................................................................................................... 49. 表 3-4-1. 遊戲介面（一） .......................................................................................... 56. 表 3-4-2. 遊戲介面（二） .......................................................................................... 57. 表 3-4-3. 遊戲介面（三） .......................................................................................... 58. 表 3-4-4. 遊戲介面（四） .......................................................................................... 58. 表 3-4-5. 遊戲介面（五） .......................................................................................... 59. 表 3-4-6. 遊戲介面（六） .......................................................................................... 60. 表 3-4-7. 遊戲介面（七） .......................................................................................... 60. 表 3-4-8. 遊戲介面（認知學徒制） .......................................................................... 61. 表 3-6-1. 研究資料編號表 .......................................................................................... 66. 表 4-1-1. 八種負數迷思概念之描述性統計 .............................................................. 72. 表 4-1-2. 八種迷思概念之單因子變異數分析 .......................................................... 72. 表 4-1-3. 十六位學生於正負數概念之個別表現 ...................................................... 76. VII.

(12) VIII.

(13) 圖次圖 1-1-1. 台灣行動裝置普及率與年成長率 ................................................................ 3. 圖 2-2-1. 二階段試題範例 .......................................................................................... 18. 圖 2-3-1. 資訊科技融入數學教學研究數量曲線圖 .................................................. 27. 圖 2-3-2. 資訊科技融入數學教學研究質量統計圖 .................................................. 29. 圖 2-3-3. 資訊科技融入數學教學研究質量統計圖 .................................................. 30. 圖 2-5-1. 線上學習、行動學習及無所不在學習演進圖 .......................................... 36. 圖 2-5-2. 台灣行動裝置普及率與年成長率 .............................................................. 37. 圖 3-1-1. 設計導向研究法步驟 .................................................................................. 46. 圖 3-1-2. 研究流程圖 .................................................................................................. 47. 圖 3-3-1. 研究架構圖 .................................................................................................. 55. 圖 3-4-1. 前導研究之迷思概念類型結果 .................................................................. 63. IX.

(14) X.

(15) 第一章. 緒論. 隨著行動裝置的發展，行動學習資源的需求也日益增加，教師若能妥善發揮行動學習的特性，彌補傳統教學上的限制，更能增添教學的多元性。然而，根據研究者的補習班教學經驗，發現國小學生從六年級升上國中七年級，最難理解的概念為「正、負數」。因此，將行動學習與正負數概念加以結合，為本研究的目的。本研究以研究者任教的欣欣文理補習班，六年 A 班為研究對象，探討 APP 遊戲軟體於國小學生學習正負數概念之情況。本章共分三節，第一節研究背景與動機，為敘述研究者進行此研究的動機；第二節研究目的與問題，為本研究之目的與所需探討之問題；第三節名詞釋義，則是與本研究相關之名詞定義。. 第一節研究動機從課程選擇的角度來看，根據研究者的補習班教學經驗，發現國小學生從六年級升上國中七年級，最難理解的概念為「正、負數」，主因乃為目前國小階段並未將正、負數概念納入課程目標（教育部，2005）。但回頭來看，根據台灣國民小學數學課程的演變，民國 57 年的數學課程未包含正、負數的概念，但民國 64 年將正、負數概念納入，而至民國 82 年又將其取消（陳秉筠，2008）。然而，其中民國 64 年為課程標準中最與眾不同的，不僅特別注重整個數學概念的完整性，也特地教導孩子負數的概念，是其他各年的課程標準所沒有的，其代表的就是希望學生在國小階段能學會抽象的數學概念，因為負數在生活中不常出現（陳秉筠，2008）。此用意甚佳，但至民國 82 年將其取消，並改加入數線概念的學習，陳秉筠（2008）認為是負數對於小學生而言，因為無法配合日常生活，所以其概念過於抽象，不適合孩子的認知發展學習。但七年級與六年級學生的認知發展階段卻是同屬於具體運思期（Piaget, 1964），在同屬具體運思期的情況下，兩年段僅相距一歲，將因果關係定調為「因概念過於抽象，故不適合於小學階 1.

(16) 段學習」，研究者認為此因果關係的成立有待相關研究證實。至於與負數具有高度相關概念的數線學習，在國小階段分別於不同年級皆已開始接觸，四年級能力指標 4-n-10 中的能將簡單分數標記在數線上、五年級能力指標中的 5-n-13 能將分數、小數標記在數線上（教育部，2005），但到了六年級沒有任何關於數線的學習細目，亦沒有將負數概念隨之帶出，即直接進入數與量之關係以及等量公理的概念（教育部，2005）。研究者假設若能在六年級一開始即銜接負數相關的概念，在數與量以及等量公理的概念上將能更靈活運用，畢竟等量公理與移項法則是解一元一次方程式的重要能力（教育部，2005）。此外，亦能順利地與未來七年級能力指標 7-n-04 能認識負數，並能以「正、負」表徵生活中性質相反的量，做有效的銜接。然而從教與學的角度來看，邱明星（2006）指出七年級學生在負整數基本概念上共有 39 個迷思類型。而正、負數單元所會遇到的迷思概念中，運算規則為最難以解決的部分（Vlassis, 2004；吳志偉，2009；邱明星，2006；陳慶芳，1999）。其原因乃為此年紀的學生大部分處於具體運思期（Piaget, 1964），一般都還沒有真正進入形式運思期，因此抽象思考的能力仍相當有限，在抽象能力尚不足時，學生會認為「小數減大數」是不被允許的（吳志偉，2009）。而具體化的數學活動如：利用電腦輔助教學，可以有效地幫助理解抽象的數學概念，並使學習更容易及更有效，同時也能激發學生動機（Altiparmak & Özdoğan, 2009； Larsen, 2012）。再者，隨著科技不斷地進步，行動裝置的發展非常迅速以及普及，根據 Google 與 TNS 市場研究公司（TNS, a Kantar Group Company）於 2014 的消費者跨裝置上網研究（Connected Consumer Study）調查報告顯示，台灣於 2011 年的行動裝置普及率為 26%，2012 年為 32%，2013 年為 51%，2014 年為 67%，去年與今年的年成長率均超過了 15%，如下圖 1-1-1。. 2.

(17) 圖 1-1-1. 台灣行動裝置普及率與年成長率. 而研究者於 Academic Search Premier、ERIC、Education Research Complete 以及 Psyc INFO 四大資料庫中，以關鍵字 mobile learning、apps education、ubiquitous learning 搜尋 2014/04/22 以前的相關文獻，發現 895 個有同儕互審制的結果中，有八篇與數學教育相關，其中三篇之研究對象為國小學生。因此，研究者希望藉由本研究的結論，了解 APP 教育價值，以提供數學教師參考，將資訊科技作為教學的輔助工具更具合理性，以增加教學的多元性，並提升教學成效，增進學生的學習成效。此外，在資訊科技發達的世代裡，真正把使用資訊科技的動機，從娛樂活動轉變到學習上，能讓孩子們真心喜歡數學，不再對數學感到焦慮（吳明隆、葛建志， 2006）。因此，學生若能透過本研究之 APP 遊戲軟體，達到學習的正向感受，對於學生來說是個不同的學習體驗。然而，因為現今行動裝置的風行，研究者自行統計，在 ios（iPhone OS）系統上與正、負數相關概念的行動應用程式（mobile application, APP），會發現沒有較完整正負數概念的遊戲 APP，也沒有屬於任務式的形式，如下表 1-1-1。. 3.

(18) 表 1-1-1 iOS 系統上正負數概念相關 APP 類型 APP 名稱. 收費狀況. 使用方式. 類型. WileD MathFacts. 免費. 個別. 益智遊戲（類似俄羅斯方塊）. 數學方塊 0. 免費. 個別. 益智遊戲（類似俄羅斯方塊）. Battle Times HD. 免費/付費. 個別/合作. 對戰競速. Mathematris. 免費. 個別. 益智遊戲. ANumberSign. 免費. 個別. 解釋型. 個別. 益智遊戲. Signed Number Math Expert by 免費/付費 MathEssentials.net Number Duel. 免費/付費. 個別. 益智遊戲（比大小）. Motion. 付費. 個別. 益智遊戲. 付費. 個別. 益智遊戲. Math:zoom pro Quick Math+. 資料來源：研究者自行統計. 據此，本研究之 APP 遊戲軟體以任務式遊戲呈現，提供學生操作使用，其功用主在使學生於遊戲中學習正負數概念。此 APP 為研究者先設計腳本，在論文指導教授指導下，以認知學徒制充實其理論基礎及教育價值，並由論文指導教授之研究團隊進行成品製作及修正，其架構為 Android 平台遊戲的方式呈現，然而選以 Android 平台的主要目的在於該平台使用的普遍性，希冀在研究具有結果後能推廣至 iOS 平台。此外，此 APP 遊戲軟體將以任務式的形式呈現，其中帶有相關正負數概念的解決，其正負數概念類型整理自邱明星（2006）的研究，共有八種。. 4.

(19) 第二節. 研究目的與研究問題. 本研究之目的即在探討運用 APP 遊戲軟體，以幫助十六位補習班小學六年級學生建構正、負數的相關概念，並了解其正負數概念的學習狀況與數學行動學習之看法，供教師作為教學的參考，並透過本研究將此 APP 遊戲軟體進行檢證與修正。具體而言，本研究所擬定的研究目的如下：一、透過 APP 遊戲軟體，了解補習班小學六年級學生在正負數概念上的學習狀況。二、了解學生使用 APP 遊戲軟體學習數學之看法。根據上述的研究目的，本研究主要探討的問題如下：一、補習班小學六年級學生在正負數概念上學習狀況為何？二、學生使用 APP 遊戲軟體學習數學之看法為何？. 第三節名詞釋義. 一、APP 遊戲軟體行動應用程式（mobile application，簡稱 mobile app, APP）、手機應用程式、行動應用程式、手機 APP 等，為設計給智慧型手機、平板電腦和其他行動裝置上運行的應用程式。目前主流的行動裝置作業系統有 Google Android、Apple iOS、 BlackBerry 與 Windows Phone。其主要合法下載的 APP 商店為 App Store、Google Play、Windows Phone Store、黑莓世界、亞馬遜行動軟體應用程式商店（Amazon Appstore）、諾基亞行動軟體應用程式商店（Nokia Ovi Store）與三星行動軟體應用程式商店（Samsung Apps）。而 APP 遊戲軟體則為遊戲軟體以 APP 的方式呈現於行動裝置作業系統。. 5.

(20) 二、正負數概念正負數概念包含五個範圍，然而為了因應小學六年級的學習階段，本研究將正負數概念的範圍歸在「正負數之概念」、「數量之大小」、「正負數之加減乘除基本運算」以及「相反數」，並未包含「絕對值」。三、認知學徒制指一位具有實務經驗的專家，引領新手進行學習，經由這位專家的示範和講解，以及新手的觀察及主動學習，在一個情境脈絡下，透過彼此的互動，讓新手主動建構知識學習的過程。本研究將認知學徒制融入 APP 遊戲軟體，透過功能設計，使 APP 遊戲軟體成為專家，引領學生進行學習。四、學習狀況本研究之學習狀況包含兩個部分，一為正負數概念之學習情形，二為學生之學習表現與特色。. 6.

(21) 第二章. 文獻探討. 本章依據研究目的與研究問題，進行相關文獻的蒐集與探討，其內容主要分成五節：第一節為正負數的發展；第二節為正負數概念學習之探討；第三節為資訊科技融入數學教學發展之探討；第四節為以認知學徒制設計 APP；第五節為行動學習在數學教學發展之探討。. 第一節正負數的發展. 本節主要探討在台灣的教育脈絡下，正負數的課程情況。其中分成兩個部分，第一部分為探討正負數的數學史，第二部分為探討台灣正負數課程的現況。. 壹、正負數的數學史一、西方正負數數學史西方正負數數學史資料甚少，研究者整理自相關研究如下（引自吳志偉， 2009）：西方數學中，最先提到負數的作品是是丟番圖（Diophantus, 約 250AD）所著的 Arithmetica，他認為方程式 4x+20＝4 是荒謬的（absurd），因為他的根是（-4）， Diophantus 只接受正有理根，而排斥方程式的其他各種根，因此 Diophantus 尚未能接受負數的根。然而歐洲的負數概念發展相當緩慢，15 世紀的舒開（Nicolas Chuquet）於其著作中提到了方程式：4x=-2，他亦將負數解釋成“ 荒謬的數＂。歐洲社會於「負數本身是否為數」爭論不休，他們覺得：「0 就是什麼也沒有，有什麼東西能夠比什麼都沒有還小呢？」。. 7.

(22) 其中，德國數學家史提非提到：負數是“ 虛偽的零下＂，僅僅是些記號而已。而法國數學家巴斯卡（Pascal, 1623-1662）則認為，“0 減去 4＂是要從「一無所有」當中減去東西，是胡說八道的。此外，16 世紀的卡諾（Jdrome Cardano）雖然找出了方程的負根，但他把它說成是「假數」。笛卡兒（Descartes, 1596-1650）部分地接受了負數，他把方程的負根叫「假根」，其原因為它比「無」更小，他認為負根是方程式中錯誤的根。英國數學家瓦里斯則認為：「負數並不比零小，而是比無窮大還要大」。法國人 Anroine Arnauld（1612-1694）以（－ 1）： 1＝ 1：（－ 1）這個式子來反對負數。他認為小數與大數的比值怎麼可能等於大數與小數的比值（趙文敏， 1985；唐書志，1998；南一版國中數學教師手冊第一冊，2008）。二、中國正負數數學史中國比其他民族超前好幾世紀即發展負數的相關概念，印度一直到西元約第七世紀才出現負數的概念，而歐洲則要到西元第十六、十七世紀才對負數有較正確的認識（林保平，2005）。多位國內學者對於中國負數概念的發展已多做探討，其內容整理如下（蔡德吉， 2002；林保平，2005；邱明星，2006；吳志偉，2009；許志昌，2009）：在中國負數的概念起源甚早，依據『九章算術』（成書年代約為西元前 200 年至西元 50 年之間）中國就已有完整正負數的概念及有系統地提出正負數的加減運算法則，『九章算術』是『算經十書』中內容最豐富和最重要的一本書，它幾乎集中了過去和當時的全部數學知識，共有 246 個數學應用問題及各個問題的解法，其分成九章，所以叫『九章算術』。這本書不是由一個人獨立完成，也不是一個年代的作品，是經過歷代各家的增修而成的，大致由張菖（約公元前 200 年）和耿壽昌（約公元前 50 年）整理定本（凡異出版社，1987）。以下以幾個例子進行說明：『九章算術』第七章＜盈不足＞中，就已有不足的概念，以第一題為例：. 8.

(23) 「今有共實物，人出八盈三；人出七不足四。」意思是說一群人共買一樣物品，若每人出八多了三，每人出七則不足四。可能就是因為在中國，需要處理經濟問題上出現「不足」的需要，所以較早接受負數。『九章算術』第八章＜方程＞中完整地描述了正負數的加減法則，以第三題為例，原文如下：「正負術曰：同名相除，異名相益，正無入負之，負無入正之；其異名相除，同名相益，正無入正之，負無入負之。」前半段是減法的法則，「同名相除，異名相益」的意思是同號時相減，異號時相加，「正無入負之，負無入正之」的意思是零減正為負，零減負為正。後半段是加法的法則，「異名相除，同名相益」的意思是異號時相減，同號時相加，「正無入正之，負無入負之」的意思是零加正為正，零加負為負。這段話已經把同異號數相加減的法則說的很情楚了，以現在的符號表示就是：減法的部份：同名相除：（＋a）－（＋b）＝＋（a－b）異名相益：（＋a）－（－b）＝＋（a＋b）正無入負之：0－（＋b）＝－b 負無入正之：0－（－b）＝＋b 加法的部份：異名相除：（＋a）＋（－b）＝＋（a－b）同名相益：（＋a）＋（＋b）＝＋（a＋b）正無入正之：0＋（＋b）＝＋b 負無入負之：0＋（－b）＝－b 在『九章算術』第八章＜方程＞中，第八題更是靈活的使用了負數：「今有賣牛二、羊五，以買十二豕，有餘錢一千。賣牛三、豕三，以買九羊，錢適足。賣羊六、豕八，以買牛五，錢不足六百。問牛、羊、豕價各幾何？」意思是說：若賣二隻牛和五隻羊，去買了十三隻猪，剩下錢一千；若賣三隻牛和三隻猪，. 9.

(24) 去買了九隻羊，錢剛好；若賣六隻羊和八隻猪，去買了五隻牛，不足錢六百，問牛、羊、猪價錢各多少？它的解法原文如下：「術曰：如方程，置牛二、羊五正。豕十三負，餘錢數正；次置牛三正、羊九負、豕三正；次置牛五負、羊六正、豕八正，不足錢負。以正負術入之。」用現在的方程式就是：設牛為 x 隻、羊為 y 隻，猪為 z 隻 2x＋5y－13z＝1000 3x－9y＋3z＝0 －5x＋6y＋8z＝－600 文中明確指出，「賣」用正表示，而「買」是用負表示；「餘錢」用正數表示，「不足錢」用負數表示。由此可看出負數概念已被使用在方程中。而劉徽對『九章算術』中＜正負術＞的注文上指出：「今兩算得失相反，要令正負以名之。正算赤，負算黑。」，由於「得」與「失」的意義相反，要用正負來表示，這裡指出了正負數的相對意義。在運算時以紅色的算籌代表正數，以黑色的算籌代表負數。從上述來看，中國不僅最早提出負數的概念和表示方法，而且還提出了一整套正負數之間的運算法則，這些法則與現今所用的完全一樣。此一現象對於與中國歷史及文化相關的台灣，其負數概念的發展影響甚大。. 貳、台灣正負數的課程現況反觀台灣課程，Kline（1996）提到在中學階段裡負數概念的引入，原則上是很困難。邱明星（2006）提及，其原因為國小階段屬於以較直觀的形式（透過實體事物的具體數量）表達數的概念，然而負數對學生而言是新的概念，不但比過去所接觸的數字概念更為抽象，甚至更難以具體事物呈現負數概念。因此，學習者要了解負數的概念，必須具備較高層次的抽象化能力。再者，從九年一貫課程綱要檢視，數學學習領域亦將國小一年級至五年級訂為. 10.

(25) 具體操作及具體表徵階段，到了六至七年級以後為類化具體表徵，甚至到符號表徵，應根據學生的學習方式與思考型態兩項特徵，從具體進展到更高一層的符號表徵（教育部，2005）。除此之外，與負數具有高度相關概念的數線學習，在國小階段分別於不同年級皆已開始接觸，四年級能力指標 4-n-10 中的能將簡單分數標記在數線上、五年級分年細目中的 5-n-13 能將分數、小數標記在數線上（教育部，2005），但到了六年級沒有任何關於數線的學習細目，亦沒有將負數概念隨之帶出，即直接進入數與量之關係以及等量公理的概念。研究者認為若能在六年級一開始即銜接負數相關的概念，在數與量以及等量公理的概念上將能更靈活運用，亦能順利地與未來七年級能力指標 7-n-04 能認識負數，並能以「正、負」表徵生活中性質相反的量去做有效的銜接，也能有效的符合教育部所歸類的思考階段。據此，本研究選擇小學六年級學生為研究對象。然而於國民中小學九年一貫課程綱要數學學習領域中，負數概念被歸納第四階段（七年級至九年級），其教學目標為能認識負數之概念與計算方式，能力指標以及相對應的分年細目表整理如下表 2-1-1（教育部，2005）：表 2-1-1 負數能力指標與其分年細目表能力指標. 分年細目. 能認識負數、相反數、絕對值的意義。. 能認識負數，並能以「正、負」表徵生活中性質相反的量。能認識絕對值，並能利用絕對值比較負數的大小。能理解負數的特性並熟練數（含小數、分數）的四則混合運算。. 能做正負數的比較與加、減、乘、除計算。能理解負數的特性並熟練數（含小 11.

(26) 數、分數）的四則混合運算。能將負數標記在數線上，理解正負數的比較能理解數線，數線上兩點的距離公與加、減運算在數線上的對應意義，並能計式，及能藉數線上數的位置驗證數算數線上兩點的距離。. 的大小關係。能以不等式標示數的範圍或數線上任一線段的範圍。. 能熟練正負數的四則混合運算。. 能理解負數的特性並熟練數（含小數、分數）的四則混合運算。能熟練數的運算規則。. 資料來源：研究者自行整理. 根據上述，其能力指標以及分年細目表皆將負數概念及其運算歸類於七年級，坊間教科書的主要出版社也將負數概念及其運算的單元於七年級的第一單元呈現，如下表 2-1-2。表 2-1-2 九年一貫課程數學領域負數單元教材內容出版社. K 出版社. N 出版社. H 出版社. 學年度. 103. 103. 103. 章節. 第一章. 第一章. 第一章. 第一單元. 負數與數線. 數與數線. 正負數與絕對值. 第二單元. 整數的加減. 整數的加減. 整數的加減. 第三單元. 整數的乘除與四整數的乘除. 整數的乘除. 則運算資料來源：研究者自行整理. 據此，呼應研究者於上一部分所提及，與負數具有高度相關概念的數線學習，在國小階段分別於不同年級開始接觸，但到了六年級，卻沒有任何關於數線的學習 12.

(27) 細目，亦沒有將負數概念隨之帶出。因此，若能在六年級一開始即銜接負數相關的概念，在數與量以及等量公理的概念上是否能更靈活運用？以及有效的符合教育部所歸類的思考階段？再者，七年級的一開始即面對較抽象的負數概念以及運算，在學校的數學教育上未給予有效的銜接，是否會造成學生在負數的學習上有困難？其對於學生在負數迷思概念上的影響又為何？探討完負數概念的由來、台灣負數課程的發展以及現況，研究者於本節最後提及了負數概念以及運算上的學習困難，乃至於迷思概念，皆於下一節作探討。. 第二節. 正負數概念學習之探討. 本節主要探討正負數上的概念。其中分成兩個部分，首先探討數學學習上的困難，進而統整正負數上的迷思概念。. 壹、數學學習上的困難本部分主要探討的為數學學習困難（Mathematical Learning Difficulties）而非數學學習障礙（Mathematical Learning Disabilities），兩者往往被混為一談，但其實有顯著的差異，其差別在於：一、數學學習困難（Mathematical Learning Difficulties）數學學習困難並未強調其原因一定是個人生理的因素所造成的，其原因可能來自於個人因素或環境因素，多數為因教學或學習經驗不當等所造成的，此列為普通教育中補救教學的領域。二、數學學習障礙（Mathematical Learning Disabilities）根據我國特殊教育法身心障礙及資賦優異學生鑑定標準（2006 年 9 月 29 日修正），所謂「學習障礙」是指智力正常或在正常程度以上者，但因神經心理功能異常而顯現注意、記憶、理解、推理、表達、知覺或知覺動作協調等能力有顯著問題， 13.

(28) 以致在聽、說、讀、寫、算等學習上有顯著困難者，屬於特殊教育範疇。由此可見，數學學習障礙主因為個體因神經心理功能異常，而經評估後確定一般教育所提供之學習輔導無顯著成效者。然而本研究所要推論到的母群體乃為一般所謂非因為個體因神經心理功能異常，而經評估後確定一般教育所提供之學習輔導無顯著成效者。故本部分探討數學學習上的困難（Mathematical Learning Difficulties）。郭靜姿（2002）並未區分數學學習困難與數學學習障礙，綜合了學者（Kaliski, 1967； Bley & Thornton, 1983； Mcloghlin, 1988； Mercer, 1993）的觀點，將數學學習障礙的錯誤類型整理如下：（一）視覺辨識困難（包括符號辨認與視覺空間能力）在視覺-空間知覺缺陷方面，學生常因視覺辨識困難、形象背景辨識缺陷、位置排列錯誤、方向混淆等而導致解題的錯誤。（二）數學概念形成困難（包括數的概念和運算概念）數學語言理解的困難所致的錯誤（如，不了解符號所代表的意義）、計算錯誤（會算但算錯）、運算錯誤（不知如何運用加、減、乘、除）、位值錯誤（缺乏百位、十位、個位等概念）、計算方向錯誤（不知何時要由左而右或由右而左計算）、重組錯誤（進位、借位錯誤）等。（三）數學語言表達困難（包括口語表達、書寫與知動協調的能力）因書寫和口語表達的困難，導致運用數學符號語言能力的缺陷，常將題意表達錯誤，且在說明為何如此解題時也無法解釋清楚。（四）記憶能力困難（包括短期、長期、序列等記憶）短期記憶的缺陷，使得學生無法記住老師剛教過的概念或計算方法；長期記憶的缺陷，使學生無法回憶過去教過的基本數字關係（如：九九乘法表）、數學觀念及計算步驟等；序列記憶的缺陷使學生無法按步驟完成複雜的計算題、無法按順序計數、看時鐘等而導致數學上的錯誤。. 14.

(29) （五）注意力困難（包括衝動、注意力缺陷與過動）注意力缺陷導致的錯誤類型很多，它可以是因為衝動、過動、注意力不集中、固著、粗心所導致。部分學者認為，因粗心所致的錯誤並不太嚴重，只是一時的疏忽而已，但因過動、衝動、注意力固著所致的錯誤卻是一種系統性的錯誤。（六）抽象推理困難他們的計算結果正確，但其計算能力是機械式的，也不知道從哪裡開始計算，或採用何種方法。（七）策略學習與應用困難在策略的選取、組織推理的能力、監控的歷程上出現困難，以致應用於數學解題上常導致錯誤。（八）學習態度因素（包括信念、效能與歸因）在學習態度上因信念、動機、焦慮、自我概念、歸因方式等因素的交互影響而產生數學學習的失敗，這類的錯誤多是心理因素所致而不完全是因能力上的不足所致。許雅媚（2007）整理出數學學習困難學生有以下在基本運算方面的困難：對數學事實（number facts）檢索流暢性不足、缺乏數概念、處理速度太慢及缺乏有效的運算策略。扣除掉上述個體因神經心理功能異常的數學錯誤類型，研究者將數學學習困難（Mathematical Learning Difficulties）歸納在數學概念形成困難（包括數的概念和運算概念）上。再者，Resnick 與 Ford（1981）提到了數學一方面被視為是一種運算的技能，可以透過反覆練習而達到熟練，另一方面則是一種統整的概念與規則，特別重視解題的歷程與推理。從上述來看，數學的運算可以算是一種技能，可以經由不斷的練習而熟練，而教育部於 1993 年推動數學的課程改革當中特別強調概念的理解，並希望引導學生作有意義的學習，發展出多樣化的思考。由此可見學生對於數學概念的了解，是身為教學者應該重視的課題（蔡德吉，2002）。. 15.

(30) 貳、正負數概念上的迷思概念一、迷思概念鄭麗玉（1998）提到，許多探討學生概念理解的研究均發現學生在進入學習情境之前，已經有了許多概念，並且學生會利用這些概念來解釋教師授課的內容，然而學生的這些概念，經常與專家學者的概念有所不同，於是這些概念被稱之為「錯誤概念」、「迷失概念」或「迷思概念」（misconceptions）、「先前概念」（preconceptions）、「直覺概念」（intuitive conceptions）、「質樸信念」（naive beliefs）、「另類概念」（alternative conceptions）、「另類基模」（alternative schemas）、「另類架構」（alternative frameworks）、「錯誤觀念」（erroneous ideas）、「個人事實模式」（personal models of reality）……等，而國外學者則稱之為「misconceptions」。從社會建構主義（Social Constructivism）的觀點來看，知識的形成是人與脈絡（環境）交互作用下的產物，因此，以認知的觀點考慮在科學概念上產生迷思概念的原因，大多是由學習者、外在環境或是兩者交互作用而產生。據此，迷思概念的來源可以說是由後天學習得到的（黃幸美，1997）。然而在科學教育領域中，鍾聖校（1994）於研究中引用郭重吉（1989）一些認知觀點來探討學生對於自然科學概念或相關數理概念知識的研究，有以下列六點的論述：（一）學生在學校教學之前，對於一些常出現的自然現象或數理概念形成原因即有他們自己的一套想法。（二）學生自己的一套想法（意即所謂的迷思概念）常常有異於教科書所寫的或是學校所要教的正統科學概念。（三）學生於自然現象或數理概念的想法，常可經由推測其來由，而歸納成為有限的幾種類型。（四）學生傾向於保護他們原有的想法，在傳統的教學方法之下，學生的原有想. 16.

(31) 法很不容易改變。（五）學生原有的想法可能成為學習的阻礙，產生在學習上的困難。因為學生在學習時，是以其先入為主的觀點來解釋所見所聞，因此他們所得的結論和解釋很可能會和教學者或課本所要教的不同。（六）有些學生學習上的困難，並不是由於推想能力不足，而是因為對該學科內容的知識背景不足。綜上所述，學生舊有的知識概念對於後續的學習有著很大的影響，無論是學習者自己本身產生的知識概念、外在環境給予學習者的知識概念或是兩者交互作用而產生的。然而研究者也於自己的數學教學現場發現，若學生已經產生了迷思概念，卻無法即時的在教學過程中發現並給予其回饋，是會造成很深遠的影響，一來是迷思概念會根深蒂固的在學生的概念架構中，二來是若要更正學生的迷思概念，就得必須再多花更多時間去了解其迷思概念的類型以及來源，這一來一往間將會花費掉許多時間。就研究者所知，國內外對負數概念的正式研究似乎不多（Cangelosi, Madrid, Cooper, Olson & Hartter, 2013； Linchevski& Williams, 1999； Prather & Alibali, 2008； Rabin, Fuller & Harel, 2013； Varma & Schwartz, 2011；吳志偉，2009；吳佳玲， 2011；周雅菁，2009；邱明星，2006；林寶玲，2012；孫珮嘉，2012；許志昌，2009；陳佩盈，2008；陳慶芳，1999；湯雪玲，2003；廖鳳蘭，2008；蔡英如，2013；蔡德吉，2002）。其多探討學習者在負數概念上的心理表徵（Varma & Schwartz, 2011； Rabin, Fuller & Harel, 2013；林寶玲，2012；陳佩盈，2008；蔡德吉，2002）、教科書內容的表徵（蔡英如，2013）、教學方法的改變與其影響（Linchevski & Williams, 1999；吳志偉，2009；吳佳玲，2011；周雅菁，2009；孫珮嘉，2012；許志昌，2009；湯雪玲，2003；廖鳳蘭，2008）以及正負數概念在成人教育上的運用（Cangelosi, Madrid, Cooper, Olson & Hartter, 2013； Prather & Alibali, 2008），僅一篇包含了正負數迷思. 17.

(32) 概念統整的研究（邱明星，2006）。而本研究著重於透過 APP 遊戲軟體，能即時診斷學生之迷思概念類型，並透過概念層級的分類提供教學者後續的教學參考。因此，本部分就邱明星（2006）的研究探討與整理，並從中歸納出本研究遊戲 APP 的正負數迷思概念分類。二、正負數迷思概念之探討邱明星（2006）的屏東地區國一學生負整數迷思概念之研究旨在透過二階段式負整數基本概念測驗的方式，探討學生在負整數概念上的迷思類型及可能成因，並針對學生不同的背景變項進行差異比較，以提供教師教學或評量測驗時參考。該研究為先根據文獻探討及訪談教師所蒐集到的迷思類型和成因，進而歸納出七年級學生學習負數單元所產生之可能迷思類型，接著依據 Treagust（1988）所提出的具體程序，以及進行專家效度的檢核，進而設計成一份二階段式的測驗問卷；第一階段題目以命題陳述為重點，提供了負整數基本概念之試題，而第二階段題目則是讓學生選擇其在第一階段所選的理由或原因，以了解學生的迷思類型，進而找出迷思原因，範例如圖 2-2-1。. 圖 2-2-1. 二階段試題範例. 資料來源：邱明星（2006）。屏東地區國一學生負整數迷思概念之研究（頁 195）。屏東科技大學技術及職業教育研究所，屏東縣。. 該研究會選擇二階段的測驗其原因為該測驗可作為診斷測驗及探究迷思概念的工具，不少國中學生雖在傳統教學中獲得記憶性的知識，而能在第一階段正確作答，卻在第二階段中顯示出對負整數基本概念未真正了解。因此，藉由二階段式的 18.

(33) 測驗工具將能較有效診斷評量出學生的迷思概念，其研究出來的正負數概念迷思類型如表 2-2-1 所示。表 2-2-1 正負數概念迷思類型概. 迷思類型. 迷思成因. 念基. 1.. 認為負整數有包含零。. 1.. 不了解負號的意義。. 本. 2.. 認為負整數是偶數的一種。. 2.. 先備知識的不足。. 性. 3.. 認為零就是負整數。. 3.. 不了解負號在生活應用. 質. 4.. 認為超過基準點用負來表示。. 5.. 忽略基準點與表徵敘述的關係。. 表徵。 4.. 不清楚題目文字敘述而產生混淆。. 數. 1.. 不知零為基準點（原點）的表徵。. 線. 2.. 認為原點的右邊是負數；左邊是正數。. 3.. 認為兩個數之大小由數字大小來決定。. 4.. 認為負整數在數線上離零愈近數值愈小。. 5.. 認為負號是運算符號不會影響大小。. 1.. 不了解負號在數線的表徵。. 2.. 不清楚題目文字敘述而產生正負方向混淆。. 3.. 新舊學習經驗的互相干擾。. 相. 1.. 認為相反數就是倒數。. 1.. 不了解相反數的意義。. 反. 2.. 認為相反數是本身。. 2.. 新舊學習經驗的互相干. 數. 3.. 認為只要一正一負相加的數就是相反數。. 4.. 認為相反數就是運算完前面再加負號。. 5.. 認為相反數就是分子和分母顛倒且變號。. 絕. 1.. 認為正整數大於負整數；忽略絕對. 對. 1.. 值的意義。. 值. 2.. 認為取絕對值就是相反數。. 3.. 認為取絕對值後只有正整數。. 4.. 認為取絕對值後只有負整數。. 5.. 認為取絕對值後只有零。. 6.. 認為距離沒有負數，所以只好將正整數相加。. 7.. 將絕對值當成括號來處理。. 擾做出錯誤推論。 3.. 不清楚題目文字敘述而產生混淆。. 1.. 不了解絕對值及其符號的意義。. 2.. 新舊學習經驗的互相干擾。. 3.. 不清楚題意及絕對值數學式的表示方式。. 4.. 忽略答案完備性而產生錯誤。. 5.. 不了解距離和絕對值的關係。. 運. 1.. 認為小的數沒辦法減大的數，只好反過來用減的。. 1.. 錯誤的使用運算規則。. 算. 2.. 認為小的數沒辦法減大的數，只好用加的。. 2.. 無法與生活表徵做連. 規. 3.. 認為小的數減大的數；是大的數加小的數前面再加負號。 19. 結。.

(34) 律. 4.. 認為兩個負整數相減可以先提出負號再加起來。. 5.. 認為兩個負整數相減；負負得正之後再相減。. 6.. 認為同號數相減，可視為相加。. 7.. 認為負整數與零相加，其和皆變為正整數。. 8.. 認為一正整數和一負整數之和，就是正整數減負整數。. 9.. 認為兩個整數為相反數時，其和為該數的 2 倍。. 3.. 淆。 4.. 10. 認為下降是用負的來表徵但忽略時間敘述的表徵。. 性質、運算符號產生混. 不了解數學運算規律名詞的意義。. 5.. 忽略題目所給予的條件。. 6.. 11. 認為負數乘以負數其值為負。. 忽略答案完備性而產生錯誤。. 12. 認為展開成三個不同的數字及符號的運算規律稱為三一. 7.. 律。. 先備知識的不足；正整數加減乘除運算能力不. 13. 認為將一個項次拆成二個項次稱為結合律。 14. 認為負整數乘法交換之後會變號，所以稱為交換律。 15. 認為零無法直接除以任何數，所以算式無意義。. 足。 8.. 新舊學習經驗的互相干擾。. 16. 認為零除以任何負整數其值都為 1。 17. 認為零除以負整數，其值就是該負整數。資料來源：邱明星（2006）。屏東地區國一學生負整數迷思概念之研究（頁 203、204）。屏東科技大學技術及職業教育研究所，屏東縣。. 根據上述，該研究以七年級學生為研究對象，以二階段式的測驗配合嚴謹的專家效度歸納出七年級負數單元中的五個概念分類以及測驗題目，並探究迷思概念的類型及成因。迷思概念的類型共有三十九個，但研究者發現，其中的迷思概念類型有些是具有重複性的，例如：基本概念中的「認為負整數有包含零」與「認為零就是負整數」，或是過於細膩敘述的，例如：運算規律中的「認為小的數沒辦法減大的數，只好反過來用減的」、「認為小的數沒辦法減大的數，只好反過來用加的」，又或者是迷思類型中與概念不太符合的，例如：運算規律中的「認為下降是用負的來表徵但忽略時間敘述的表徵」。據此，研究者將根據該研究所做出的正負數迷思概念類型加以整理，除了將上述提及的重複性、細膩性整理之外，也針對本研究的研究對象（六年級）做適度的調整（未包含絕對值概念），遊戲 APP 也將以此迷思類型去做設計，其相關內容如下表 2-2-2。. 20.

(35) 表 2-2-2 本研究之正負數迷思概念類型迷思類別. 說明. 1.. 負數基本概念的迷思. 1-1 認為負整數有包含零。. 2.. 數量大小的迷思. 2-1 認為兩個數之大小由數字大小來決定。 2-2 認為負整數在數線上離零愈近數值愈小。 2-3 認為負號是運算符號不會影響大小。. 3.. 相反數的迷思. 3-1 認為相反數就是倒數。. 4.. 小數減大數的迷思. 4-1 認為小的數沒辦法減大的數，只好反過來用減的。 4-2 認為小的數沒辦法減大的數，只好用加的。 4-3 認為小的數減大的數，是大的數加小的數前面再加負號。. 5.. 負數相減的迷思. 5-1 認為兩個負整數相減可以先提出負號再加起來。 5-2 認為兩個負整數相減，負負得正之後再相減。. 6.. 負數相加的迷思. 6-1 認為兩個負整數相加會是被減數減減數。. 7.. 負號相乘除的迷思. 7-1 認為還是負號。. 8.. 異號相乘除的迷思. 8-1 認為結果的性質符號為被乘（除）數的性質符號。. 資料來源：修改自邱明星（2006）。屏東地區國一學生負整數迷思概念之研究（頁 203、204）。屏東科技大學技術及職業教育研究所，屏東縣。. 第三節. 資訊科技融入數學教學發展之探討. 本節主要探討資訊科技融入數學教學的發展。其中分成兩個部分，第一部分為探討資訊科技融入教學的內涵，包括了定義、理論基礎。第二部分為探討資訊科技融入數學教學的實徵研究。. 21.

(36) 壹、資訊科技融入教學的內涵一、定義 Dias （ 1999 ）於研究中使用電腦整合、科技整合於教學上（ Integrating Technology into Teaching），強調資訊科技運用於教學的重要性，並強調如何應用資訊科技於課程與教室中，將科技整合視為課程統整的重要議題。而科技整合於教學應是使用科技支援或延伸課程目標，使學生能夠從事有意義的學習活動。王全世（2000）提到，資訊科技融入教學是將資訊科技融入課程目標、教材設計與教學活動中，讓資訊科技成為教師不可或缺的教學與學習工具，使資訊科技的使用成為教學活動的一部份，並能延伸地視資訊科技為一個方法或一種程序，在任何時間、任何地點來尋找問題的解答。邱志忠（2002）亦指出，教師應以資訊科技為教學的輔助工具，充分運用資訊科技的特性，使教學準備更快速，教學活動活潑與教學評量更多樣化，以順利達到教學目標。根據上述，資訊科技融入教學乃以資訊科技為「工具」的角度出發，如同梁珀華、王靖宜及崔峨嵋（2004）對於資訊科技融入教學的看法：「教師將資訊科技運用並整合於課程的一種教學方式。教師適時地運用不同類型之資訊科技工具，配合學生的學習需要、學習材料的特性；在教學過程包括課前教材設計與準備、引起學生學習動機、進行教學活動、以及學習評量等協助學生學習及解決問題。」然而，鐘樹椽、程璟滋（2005）也提及善用科技的功能於教學，是有助於教學成效的提昇，然而其中資訊科技產品眾多，從視聽器材、電腦到網路科技，均是用以輔助教學的工具。隨著世代與科技的遷移之下，移動裝置軟體 APP（application software）為現今相當流行的資訊科技產品。據此，本研究將資訊科技融入教學（ Infusing Information Technology into Teaching）定義為：教師將資訊科技納入教學工具之一，並妥善的使用資訊科技工具融入教學活動中，使教師能提昇教學效能，並也使學生能夠達到教學目標與建構知識的目的，而資訊科技則是包含了電子硬體及任何一. 22.

(37) 切科技軟體，更包含了現今普及性更高的移動裝置軟體 APP 等（application software）。. 二、理論基礎國內專家學者對於理論基礎的建構皆有其見解，綜合專家們對於資訊融入教學的理論基礎包括（邱志忠，2002；施文玲，2007；涂保民，2003；張國恩，2002；顏春煌，2007）：（一）行為主義理論行為主義之父 Skinner（1974）以許多實驗資料做為行為主義學習理論的基本根據，從心理實驗室動物的研究來解釋人類學習的行為。Skinner（1974）視教師的職責為修正學生的行為，建立能增強學生預期回應的情境，並指導他們在類似情況中展現同樣的預期回應。行為主義對於學習有兩項基本論點：第一，學習即是制約作用，是個體處在某種引起反應的刺激環境下所產生的反應。第二，將個體學習到的行為解釋為是刺激反應的聯結。行為主義在教學上應用有： 1. 編序教學法。屬於個別化的學習，配合學生個人學習進度，教師運用逐漸接近的技巧，編排一系列前後互有連貫的學習情境與教材，讓學生主動在學習情境或教材中做反應；當學生做出正確反應時，就可獲得正增強，繼續下一個情境的學習。 2. 行為改變技術。指當個體在某種情境下有不適當的行為或習慣，經操作制約作用中增強或是消弱的原理，使個體該不適當行為消失。 3. 代幣法。以具有交換價值的象徵物取代金錢或是其他許可證明，當個體出現自發性地出現適當行為時，給予該物作為正增強物。然而在資訊科技的使用之下，這些行為可構成編序教學，此種教學的施行原理多半出自於有效的反覆練習及個別指導課程軟體。行為主義學派焦點集中在學習表現（測驗）中指導可觀察的行為改變，以做為學習的指標。（二）訊息處理論. 23.

(38) 由認知心理學發展出來的分支學派，其焦點為促使學習產生的記憶與儲存的過程。視人類學習的過程如同電腦處理資訊一般，探究個人如何接收及儲存訊息使其成為記憶，將所學的新事物奠基在既有的知識之上，並了解學習者如何從短期、長期記憶中擷取訊息，將其應用於新的情境當中。 Ormord（2012）提到，記憶是一個複雜多層面的訊息處理系統，從接受訊息，進行組織（編碼）並且儲存，在需要的時後被提取。典型的記憶訊息處理模式為訊息編碼到「感官記憶」，知覺和注意決定什麼會進入工作記憶，新訊息和長期記憶的知識連結，將轉變成「長期記憶」。然而在資訊科技的使用下，訊息處理論的焦點主要著重於規則的學習和問題解決，關切學習進行中的內在過程，期望能歸納出適當的教學條件，致力於促進這些技能的學習。（三）建構主義傳統的教學活動較偏向以教師為中心，屬於灌輸式的，教師單向地進行教學活動，學生被動地接受知識。這樣的傳統教學與建構論者的主張有相當的距離，建構論者強調學生須主動地參與自己知識的建構。但要學生自行建構知識並不是一件容易的事情，教師必須把教學活動設計成符合學生的認知經驗與身心發展程度，才有可能讓學生自行建構知識。資訊科技可以提供非常適合學生進行建構學習的環境，可以使學習過國小教師運用資訊科技融入學科教學之教學策略研究程變得更加活潑生動、也可以將難知或抽象的事物具體化，使學生從看似具象的現場中提煉出抽象的認知來（彭富源，2001）。這種學習理論觀點的改變也導至了現今對資訊科技的看法，由早期利用科技建立一個學習環境，讓學習者可以從中獲得知識（learning from technology）演變為如何將科技當成學習夥伴（learning partner），讓學習者可以利用這些工具發展知識，學習者與科技的角色關係也如同師生關係一樣，變成用科技學習（learning with technology）（黃珮斐，2003）。. 24.

(39) 建構主義是學習的理論，而非教學的敘述，所以應以學習者為主體，透過符號的象徵給予學習者賦予符號的「自身意義」，結合生物個體、社會文化環境、語言等等的影響因素，讓學習者去建構自己本身的知識。 Piaget 的認知發展論指出，知識是由學習者以基模（schema）為基礎，不斷地透過同化（assimilation）與調整（ accommodation）主動建構而成的，也就是說 Piaget 著重於生物體本身與智力發展階段的關係，著重在學習者以本能去了解周遭的生活環境的知識，並去組織它或是適應它，然而當遇見新知識時，若能去同化（assimilation）這個新知識並轉化成為自己的，這可視為是一種平衡（equilibration），反之則為失衡，所以學習者只要衡量新舊經驗間是否能銜接，便可採取各種因應的步驟，使認知結構得以經由平衡作用（equilibration）而不斷發展。因此，教師在教學時可以設計一個橋段使學生有認知矛盾的機會，以利認知結構的重建，增進主動建構的機會（Ernst von Glasersfeld, 1995），我們稱之為激進建構主義（Radical Constructivism）然而，除了上述進行個人內在的認知建構之外，學習環境的脈絡性乃至於社會環境也會對於知識的建構產生影響，雖然社會文化環境也許不是直接影響學習者建構知識，但卻是不可忽略的一大因素，它可以用來解釋學習者的行為變化，也能讓教學者有效地掌握學習者的脈絡性因素，我們稱之為社會建構主義（Social Constructivism）。郭實渝（2008）歸納出了社會建構主義的四個特點： 1. 不論從心理學或社會心理學的觀點來看，文化環境與社會中人們的互動是知識建構的基本條件，也未否定個人經驗的地位。 2. 知識建立在證成外在世界的客觀性或以心靈主導知識的建構都不是知識的判準依據。知識是透過語言的溝通來傳達，建構世界的定義。 3. 社會生活的不穩定，個人經驗的變化、累積，造成知識的證成不在外在實體的存在，也不在個人理性智慧，而是靠交流互動的語言。 4. 語言的特性包括它是內容導向、具隨意性，以及屬於社區的，因此，它所攜帶. 25.

(40) 的知識也具備上述特性。綜合上述，研究者歸納出在建構主義為學習理論的基礎下，我們強調的是以學習者為中心、以學習者為主體，了解學習者的興趣或需求，利用不同的方式讓學習者達到有效學習，其中，更強調學習的主動性、社會性和情境性。然而科技是我們教學的一個工具（Sherman, 2000），其提供了學習方法的不同選擇，這是有別於傳統的文本教學，當中，更注意到了學習者的情意需求。據此，資訊科技在建構主義下的應用中，其實書、黑板、粉筆、收音機和投影機都算是科技產品，但都是屬於比較舊的科技產品，而較新的科技技術是具有互動性的，也很容易創造一個讓學生邊學邊做、獲得回饋和不斷幫助他們提升理解和創造知識的環境（Bransford, J. D., A. L. Brown & R. R. Cocking, 2000）。然而新的科技工具可以幫助人們將很難理解的概念視覺化（Linn& Muilenberg, 1996）。據此，將資訊科技所能運用的地方整理如下（Bransfor, 2000）： 1. 把真實世界的問題帶進去課程裡。 2. 提供鷹架及工具去強化學習。 3. 針對回饋、反思和修正這三個部分，給予學生及老師們有更多的機會去做。 4. 建立當地或是全球的社區，包括了：教師、行政人員、學生、家長或是其他感興趣的人。 5. 擴展教師學習的機會。從上述五點來看，資訊科技融入教學不只是有豐富的資訊來源，更是有相互作用的特性，容易使學生能充分地發掘他們、測試他們的想法並且獲得回饋，亦可以讓教師更簡單地給予學生關於他們的思考和修正他們學習任務的回饋。而科技的功能更有提供鷹架和工具去幫助學生解決問題。所以當科技工具有融入課程並按照知識的學習及使用時，是可以提高學生的學習成效的（White and Fredenksen, 1998）。最後，在透過此部分了解資訊科技融入教學的相關內涵之後，本節的下一部份. 26.

(41) 將探討資訊科技融入數學教學的實徵研究，藉以了解此領域的研究發展脈絡。. 貳、資訊科技融入數學教學的實徵研究資訊科技融入數學教學的研究已相當成熟，本部分將以 Ronau、Rakes、Bush、 Driskell、Niess 與 Pugalee（2014）對於資訊科技融入數學教學領域中的 480 篇研究包含論文以及期刊文章進行調查與分析的結果進行論述。從研究的數量來看（圖 2-4-1），Ronau 等人（2014）先於研究中將資訊科技的類型分成電腦（175 篇）、電腦軟體（268 篇）、網際網路（112 篇）以及其他科技工具（148 篇）等四個部分，從圖 2-3-1 可以發現，隨著年代的改變，電腦硬體與數學教學部分的相關研究在近幾年是減少的，剩餘的三個部分均為穩定地大幅增加。研究者認為這與資訊科技的發展年代有著相當大的關係，在資訊科技發展初期，研究多著重在計算機、電腦在做數值演算的部分，接著隨著硬體逐漸地發展成熟，研究多著重在電腦軟體融入教學上的應用，接著隨著網際網路的蓬勃發展，研究的重心也隨之轉移，據此，在資訊科技融入數學教學的實徵研究上與資訊科技的發展有著相當大的關係。. 圖 2-3-1. 資訊科技融入數學教學研究數量曲線圖. 資料來源：Robert N. Ronau,Christopher R. Rakes,Sarah B. Bush,Shannon O. Driskell,Margaret L. 27.

(42) Niess,David K. Pugalee.(2014).A Survey of Mathematics Education Technology Dissertation Scope and Quality: 1968-2009.American Educational Research Journal, 51(5), 996. Doi: 10.3102/0002831214531813. 從研究的質量來看（圖 2-3-2），Ronau 等人（2014）根據 Hallinger's（2011）的質量模型（Quality Framework）所提及的分類及各類的分數百分比轉換去做分析，從圖中發現量化的研究較多於質化的研究，其原因研究者認為資訊科技本是較屬於理工的領域，而此領域較講求實驗以及類推性，故使用量化的方法為較多數。再者，理論連結的部分也隨著時間的發展越來越多，意即研究也越來越重視結果與理論的對話及連結。. 28.

(43) 圖 2-3-2. 資訊科技融入數學教學研究質量統計圖. 資料來源：Robert N. Ronau,Christopher R. Rakes,Sarah B. Bush,Shannon O. Driskell,Margaret L. Niess,David K. Pugalee.(2014).A Survey of Mathematics Education Technology Dissertation Scope and Quality: 1968-2009.American Educational Research Journal, 51(5), 992. Doi: 29.

(44) 10.3102/0002831214531813. 接著從教學領域來看（圖 2-3-3），在資訊科技融入數學教學領域中，探討學生的為最多數，其中又以學習成就（Achievement）為重。研究者認為資訊科技為教學工具之一，而又教學工具的目的在於改善教學品質或是讓教學品質精進，然而能直接反映出教學品質的即是學生的學習成就。. 圖 2-3-3. 資訊科技融入數學教學研究質量統計圖. 資料來源：Robert N. Ronau,Christopher R. Rakes,Sarah B. Bush,Shannon O. Driskell,Margaret L. Niess,David K. Pugalee.(2014).A Survey of Mathematics Education Technology Dissertation Scope and Quality: 1968-2009.American Educational Research Journal, 51(5), 994. Doi: 10.3102/0002831214531813. 綜上所述，以學習者為中心的宗旨在教育領域中是無庸置疑的，然而在資訊科技融入數學教學的領域中可以發現時間的推移是個很大的影響關鍵，其原因為資訊科技是不斷地隨著世代在改變。 30.

(45) 第四節. 以認知學徒制設計 APP. 本節主要探討將認知學徒制運用於 APP 遊戲軟體。其中分成三個部分，第一部分為傳統認知學徒制的內涵。第二部分為探討認知學徒制於 APP 遊戲軟體之應用。第三部分為探討認知學徒制融入數學教育的實徵研究。. 壹、傳統認知學徒制的內涵本研究之 APP 遊戲軟體加入認知學徒制的理論乃因前導研究的研究結果（第三章第四節）。原先初版的 APP 遊戲軟體僅以正負數概念做關卡的區分，但在前導研究的過程中發現，學生在操作此 APP 遊戲軟體的同時，出現了學習的歷程。然而，傳統的認知學徒制是情境學習理論的一種教學策略，主張學習應該像技藝學徒一般，學習者應長期浸潤於某個學科文化中，深入去觀察、模仿專家的行為，體驗完整的情境脈絡，建構學習經驗，進而發展出新知識。因此必須透過示範（modeling）、教導（coaching）、鷹架（Scaffolding）、反省（reflection）、闡明（articulation）以及探索（exploration）的步驟，來協助學習者主動的參與學習（Brown, Collins& Newman, 1989）。 Collins（1989）更認為電腦是實施情境學習最有效的教學工具，因為電腦提供了設計情境學習環境的機會，且電腦教學經常是在一對一的情況下實施，此部分更符合了傳統認知學徒制的內涵。同時透過適當的設計，在電腦的環境中模擬實際情境，利用學習活動來激發學習者思考的能力。其中在教材的安排上，應注重由易而難、由簡到繁、由整體至局部為原則（Brown, Collins& Newman, 1989）。據此，鄭晉昌（1993）針對 Collins 將傳統認知學徒制的教學方法融入於電腦應用上，整理如下：. 31.

(46) 一、示範與解釋（modeling and explanation）電腦可藉著程式的運作來從事過程中的模擬（process modeling）。例如，一般的學科教科書只能藉著文字、圖片，片斷的說明學科的知識，學習者必須再藉由個人豐富的想像力來理解刻板文字所欲表達的內容意義。但是電腦卻可透過動畫、多媒體將實際的影像呈現給學習者，並加以詳細的說明；電腦也可以扮演學徒制中老師的角色、清楚的示範專家執行工作的過程，讓學習者模仿。由於電腦能藉由過程上的模擬以及專家動作技能的實際示範，在教學上充份呈現知識的內涵，演示其運用基本概念及知識的過程。二、教導（coaching）傳統的學徒制的學習活動大多發生在一對一教學的情況下，但基於實際上的考量，這樣的教學活動是不太可能在教室中被採行的。可是一套精心設計的教學系統，卻可模擬專家的思考模式來給予學生大量的學科知識，及事先加以規劃設計的教學活動。而且電腦也可實現這種一對一的教學理想。三、反思（reflection）反思教學主要的目的在於提供學習者另一個思考的空間，要求學習者比較其解決問題程序及專家認知模式的程序之間的差異，容許學習者有反省思考的機會，學習的品質及深度應可增進。故電腦如果設計有模擬比較（imitation and contrast）的功能，就可以記錄學習的行為，然後將其與專家的行為做比較，再呈現給學習者參考，或則將這些行為提供給學習者讓他們可以察閱，並與目前的學習行為做比較，進行反省的學習活動。四、闡明（articulation）透過闡明讓個人的思考更加清晰，讓學習者的內隱知識（tacit knowledge）透過表達，使其更加清晰可見，並以掌握學習者本身的思維脈絡，掌握了思維更可增加知識及技能遷移（transfer）的機會；此外闡明也可幫助學習者洞悉他人的思考內容，促使其能以不同的觀點來觀察問題。所以藉由網路的聯繫來討論共同的主題，. 32.

(47) 藉由不斷的討論解釋可以釐清思考，讓真理愈辯愈明。五、探究（exploration）闡明能讓學習者釐清知識，而探究則讓學習者有機會進一步去驗證針對問題所提出的假設，或是找出解決問題的方法和策略，促使學習者能獨立的去解決問題。設計良好的電腦輔助教學，應該有這樣的考量，去培養學習者探究的能力。綜上所述，傳統認知學徒制視教師為專家，而認知學徒制應用於電腦上則視電腦為專家，為取代教師之角色。據此，研究者於下一部分探討認知學徒制於 APP 遊戲軟體上的應用，將 APP 遊戲軟體視為專家，彰顯傳統認知學徒制於 APP 遊戲軟體上之特性。. 貳、認知學徒制於 APP 遊戲軟體之應用研究者根據 Collins 等人（1989）於傳統認知學徒制於電腦上的應用加以整理，依 APP 遊戲軟體的特性，將傳統認知學徒制於 APP 遊戲軟體之體現整理如下表 24-1。表 2-4-1 認知學徒制融入於 APP 遊戲軟體之體現方法. 理論內涵. APP 之應用. 透過專家講解後，學生能自行透過 APP 遊戲軟體中玩法功能的示範. 建立解題程序（操作）的概念。示範，使學生能因此自行建立（操作）APP 遊戲軟體及學習內容的概. Modeling. 念。專家監督學生的任務，並可據在學生執行遊戲任務前，將教學內指導此建構任務，協助新手的發展。容呈現於 APP 遊戲軟體中，使學 Coaching 生可據此建構任務，並受到此功能 33.

(48) 的協助。給予策略和方法，以支持新手在 APP 遊戲的過程中給予提示，鷹架的學習行為。. 提供學生策略或是方法，以支持學. Scaffolding 生的學習行為。讓學生表達自己的知識、推理配合行動裝置打字的功能，使學生闡明或是解決問題的過程。. 於 APP 遊戲軟體中，表達自己的. Articulation 知識、推理或是解決問題的歷程。反思可以用來比照學生目前與利用 APP 遊戲結果的顯示，提供過去表現的異同。. 學生目前與過去的表現情況，並配. 反思合行動裝置打字的功能，使學生於 Reflection APP 遊戲軟體中，於打字欄位訂正，以達反思的效果。讓學生有機會自己去探索，並利用 APP 遊戲的關卡特性，透過解決新的問題。. 提供學生反思的機會去探索相關. 探究概念，倘若通過了該關的條件，接 Exploration 著即是解決新的關卡（新的概念），提供解決新問題的機會。. 綜上所述，研究者以傳統認知學徒之理論內涵，並針對行動裝置的特性，整理出其融入於 APP 遊戲軟體之體現。據此，本研究之 APP 遊戲軟體以上述內涵設計，透過認知學徒制的特性，使國小學生學習正負數概念。. 參、認知學徒制融入數學教育的實徵研究認知學徒制能幫助學生進入真實的情境內，強調讓學生透過真實活動與社會產生互動的方式，來達到學習的效果（Brown, Collins& Newman, 1989），並讓學習 34.

(49) 者不斷地藉著與真實情境的互動來搜索對知識合理的解釋（鄭晉昌，1993）。根據過去國內外研究（Bouta & Retalis, 2013； Nicaise, 1997； Pareto, Haake, Lindström, Sjödén& Gulz, 2012； Schorr & Goldin, 2008；方吉正，2000；林璟禧， 2008；陳木金，1995；彭巧綾，2004；楊易學，2011），認知學徒制融入數學教育，對國小學生的數學學習態度以及數學成就具有正向的影響，在數學解題的成就上更具有遷移與保留的效果，然而學生不但自覺數學成績進步，數學學習動機也增強，數學的學習態度更優於接受傳統教學的學生。陳木金（1995）更提出認知學徒制是可以提升數學解題效率，建構解題知識心理歷程的情境認知，並針對 Schoenfeld 的數學解題教學研究中整理出了以下認知學徒制融入數學教育的三點特色：一、提供情境認知的觀察學習機會二、從實例中找出解題的方式、規則、策略，並建立信念系統三、檢證信念系統，發展出普遍性的原則 Nicaise（1997）則是針對認知學徒制在電腦輔助數學教學的應用，整理以下特色：1.軟體提供了重複性的模擬功能和思考、2.指導或提示為學習者嘗試在電腦執行任務的援助、3.指導和鷹架可能採取的形式為顯示出學習者的錯誤、4.闡明和鷹架的形式會提供學習者一個學習發現的機會、5.作為學生獲得自信心和技能的輔助工具。 Pareto 等人（2012）更以認知學徒制結合遊戲來融入數學教育，表示認知學徒制除了提升學習成就外，學生的學習動機也較傳統教學方法有顯著的提升。綜上所述，本研究將以前傳統的「教師」作為「專家」的概念晉升為「科技」作為輔佐「專家」的工具，讓此 APP 遊戲軟體除了作為評量的用途外，更融入了認知學徒制的立論基礎，在遊戲的過程中，增強學生的學習動機，無形地提供學生一個學習的機會。. 35.