正負數概念學習之探討

本節主要探討正負數上的概念。其中分成兩個部分，首先探討數學學習上的困 難，進而統整正負數上的迷思概念。

壹、數學學習上的困難

本部分主要探討的為數學學習困難（Mathematical Learning Difficulties）而非 數學學習障礙（Mathematical Learning Disabilities），兩者往往被混為一談，但其實 有顯著的差異，其差別在於：

一、 數學學習困難（Mathematical Learning Difficulties）

數學學習困難並未強調其原因一定是個人生理的因素所造成的，其原因可能 來自於個人因素或環境因素，多數為因教學或學習經驗不當等所造成的，此列為普 通教育中補救教學的領域。

二、 數學學習障礙（Mathematical Learning Disabilities）

根據我國特殊教育法身心障礙及資賦優異學生鑑定標準（2006 年 9 月 29 日修 正），所謂「學習障礙」是指智力正常或在正常程度以上者，但因神經心理功能異 常而顯現注意、記憶、理解、推理、表達、知覺或知覺動作協調等能力有顯著問題，

以致在聽、說、讀、寫、算等學習上有顯著困難者，屬於特殊教育範疇。

由此可見，數學學習障礙主因為個體因神經心理功能異常，而經評估後確定一 般教育所提供之學習輔導無顯著成效者。然而本研究所要推論到的母群體乃為一 般所謂非因為個體因神經心理功能異常，而經評估後確定一般教育所提供之學習 輔導無顯著成效者。故本部分探討數學學習上的困難（Mathematical Learning Difficulties）。

郭靜姿（2002）並未區分數學學習困難與數學學習障礙，綜合了學者（Kaliski, 1967； Bley & Thornton, 1983； Mcloghlin, 1988； Mercer, 1993）的觀點，將數學 學習障礙的錯誤類型整理如下：

（一）視覺辨識困難（包括符號辨認與視覺空間能力）

在視覺-空間知覺缺陷方面，學生常因視覺辨識困難、形象背景辨識缺陷、位 置排列錯誤、方向混淆等而導致解題的錯誤。

（二）數學概念形成困難（包括數的概念和運算概念）

數學語言理解的困難所致的錯誤（如，不了解符號所代表的意義）、計算錯誤

（會算但算錯）、運算錯誤（不知如何運用加、減、乘、除）、位值錯誤（缺乏百位、

十位、個位等概念）、計算方向錯誤（不知何時要由左而右或由右而左計算）、重組 錯誤（進位、借位錯誤）等。

（三）數學語言表達困難（包括口語表達、書寫與知動協調的能力）

因書寫和口語表達的困難，導致運用數學符號語言能力的缺陷，常將題意表達 錯誤，且在說明為何如此解題時也無法解釋清楚。

（四）記憶能力困難（包括短期、長期、序列等記憶）

短期記憶的缺陷，使得學生無法記住老師剛教過的概念或計算方法；長期記憶 的缺陷，使學生無法回憶過去教過的基本數字關係（如：九九乘法表）、數學觀念 及計算步驟等；序列記憶的缺陷使學生無法按步驟完成複雜的計算題、無法按順序 計數、看時鐘等而導致數學上的錯誤。

（五）注意力困難（包括衝動、注意力缺陷與過動）

注意力缺陷導致的錯誤類型很多，它可以是因為衝動、過動、注意力不集中、

固著、粗心所導致。部分學者認為，因粗心所致的錯誤並不太嚴重，只是一時的疏 忽而已，但因過動、衝動、注意力固著所致的錯誤卻是一種系統性的錯誤。

（六）抽象推理困難

他們的計算結果正確，但其計算能力是機械式的，也不知道從哪裡開始計算，

或採用何種方法。

（七）策略學習與應用困難

在策略的選取、組織推理的能力、監控的歷程上出現困難，以致應用於數學解 題上常導致錯誤。

（八）學習態度因素（包括信念、效能與歸因）

在學習態度上因信念、動機、焦慮、自我概念、歸因方式等因素的交互影響而 產生數學學習的失敗，這類的錯誤多是心理因素所致而不完全是因能力上的不足 所致。

許雅媚（2007）整理出數學學習困難學生有以下在基本運算方面的困難：對數 學事實（number facts）檢索流暢性不足、缺乏數概念、處理速度太慢及缺乏有效的 運算策略。扣除掉上述個體因神經心理功能異常的數學錯誤類型，研究者將數學學 習困難（Mathematical Learning Difficulties）歸納在數學概念形成困難（包括數的概 念和運算概念）上。

再者，Resnick 與 Ford（1981）提到了數學一方面被視為是一種運算的技能，

可以透過反覆練習而達到熟練，另一方面則是一種統整的概念與規則，特別重視解 題的歷程與推理。從上述來看，數學的運算可以算是一種技能，可以經由不斷的練 習而熟練，而教育部於 1993 年推動數學的課程改革當中特別強調概念的理解，並 希望引導學生作有意義的學習，發展出多樣化的思考。由此可見學生對於數學概念 的了解，是身為教學者應該重視的課題（蔡德吉，2002）。

貳、正負數概念上的迷思概念 一、 迷思概念

鄭麗玉（1998）提到，許多探討學生概念理解的研究均發現學生在進入學習情 境之前，已經有了許多概念，並且學生會利用這些概念來解釋教師授課的內容，然 而學生的這些概念，經常與專家學者的概念有所不同，於是這些概念被稱之為「錯 誤概念」、「迷失概念」或「迷思概念」（misconceptions）、「先前概念」（preconceptions）、

「直覺概念」（intuitive conceptions）、「質樸信念」（naive beliefs）、「另類概念」

（alternative conceptions）、 「另類基模」（alternative schemas）、「另類架構」

（alternative frameworks）、 「錯誤觀念」（erroneous ideas）、「個人事實模式」（personal models of reality）……等，而國外學者則稱之為「misconceptions」。

從社會建構主義（Social Constructivism）的觀點來看，知識的形成是人與脈絡

（環境）交互作用下的產物，因此，以認知的觀點考慮在科學概念上產生迷思概念 的原因，大多是由學習者、外在環境或是兩者交互作用而產生。據此，迷思概念的 來源可以說是由後天學習得到的（黃幸美，1997）。

然而在科學教育領域中，鍾聖校（1994）於研究中引用郭重吉（1989）一些認 知觀點來探討學生對於自然科學概念或相關數理概念知識的研究，有以下列六點 的論述：

（一） 學生在學校教學之前，對於一些常出現的自然現象或數理概念形成原因 即有他們自己的一套想法。

（二） 學生自己的一套想法（意即所謂的迷思概念）常常有異於教科書所寫的或 是學校所要教的正統科學概念。

（三） 學生於自然現象或數理概念的想法，常可經由推測其來由，而歸納成為有 限的幾種類型。

（四） 學生傾向於保護他們原有的想法，在傳統的教學方法之下，學生的原有想

法很不容易改變。

（五） 學生原有的想法可能成為學習的阻礙，產生在學習上的困難。因為學生在 學習時，是以其先入為主的觀點來解釋所見所聞，因此他們所得的結論和解釋 很可能會和教學者或課本所要教的不同。

（六） 有些學生學習上的困難，並不是由於推想能力不足，而是因為對該學科內 容的知識背景不足。

綜上所述，學生舊有的知識概念對於後續的學習有著很大的影響，無論是學習 者自己本身產生的知識概念、外在環境給予學習者的知識概念或是兩者交互作用 而產生的。然而研究者也於自己的數學教學現場發現，若學生已經產生了迷思概念，

卻無法即時的在教學過程中發現並給予其回饋，是會造成很深遠的影響，一來是迷 思概念會根深蒂固的在學生的概念架構中，二來是若要更正學生的迷思概念，就得 必須再多花更多時間去了解其迷思概念的類型以及來源，這一來一往間將會花費 掉許多時間。

就研究者所知，國內外對負數概念的正式研究似乎不多（Cangelosi, Madrid, Cooper, Olson & Hartter, 2013； Linchevski& Williams, 1999； Prather & Alibali, 2008；

Rabin, Fuller & Harel, 2013； Varma & Schwartz, 2011； 吳志偉，2009；吳佳玲，

2011；周雅菁，2009；邱明星，2006；林寶玲，2012；孫珮嘉，2012；許志昌，2009；

陳佩盈，2008；陳慶芳，1999；湯雪玲，2003；廖鳳蘭，2008；蔡英如，2013；蔡 德吉，2002）。

其多探討學習者在負數概念上的心理表徵（Varma & Schwartz, 2011； Rabin, Fuller & Harel, 2013；林寶玲，2012；陳佩盈，2008；蔡德吉，2002）、教科書內容 的表徵（蔡英如，2013）、教學方法的改變與其影響（Linchevski & Williams, 1999；

吳志偉，2009；吳佳玲，2011；周雅菁，2009；孫珮嘉，2012；許志昌，2009；湯 雪玲，2003；廖鳳蘭，2008）以及正負數概念在成人教育上的運用（Cangelosi, Madrid, Cooper, Olson & Hartter, 2013； Prather & Alibali, 2008），僅一篇包含了正負數迷思

概念統整的研究（邱明星，2006）。

而本研究著重於透過 APP 遊戲軟體，能即時診斷學生之迷思概念類型，並透過 概念層級的分類提供教學者後續的教學參考。因此，本部分就邱明星（2006）的研 究探討與整理，並從中歸納出本研究遊戲 APP 的正負數迷思概念分類。

二、正負數迷思概念之探討

邱明星（2006）的屏東地區國一學生負整數迷思概念之研究旨在透過二階段式 負整數基本概念測驗的方式，探討學生在負整數概念上的迷思類型及可能成因，並 針對學生不同的背景變項進行差異比較，以提供教師教學或評量測驗時參考。

該研究為先根據文獻探討及訪談教師所蒐集到的迷思類型和成因，進而歸納 出七年級學生學習負數單元所產生之可能迷思類型，接著依據 Treagust（1988）所 提出的具體程序，以及進行專家效度的檢核，進而設計成一份二階段式的測驗問卷；

第一階段題目以命題陳述為重點，提供了負整數基本概念之試題，而第二階段題目 則是讓學生選擇其在第一階段所選的理由或原因，以了解學生的迷思類型，進而找 出迷思原因，範例如圖 2-2-1。

圖 2-2-1 二階段試題範例

資料來源：邱明星（2006）。屏東地區國一學生負整數迷思概念之研究（頁 195）。屏東科技大學 技術及職業教育研究所，屏東縣。

該研究會選擇二階段的測驗其原因為該測驗可作為診斷測驗及探究迷思概念 的工具，不少國中學生雖在傳統教學中獲得記憶性的知識，而能在第一階段正確作

該研究會選擇二階段的測驗其原因為該測驗可作為診斷測驗及探究迷思概念 的工具，不少國中學生雖在傳統教學中獲得記憶性的知識，而能在第一階段正確作