正負數的發展

本節主要探討在台灣的教育脈絡下，正負數的課程情況。其中分成兩個部分，

第一部分為探討正負數的數學史，第二部分為探討台灣正負數課程的現況。

壹、正負數的數學史 一、 西方正負數數學史

西方正負數數學史資料甚少，研究者整理自相關研究如下（引自 吳志偉，

2009）：

西方數學中，最先提到負數的作品是是丟番圖（Diophantus, 約 250AD）所著 的 Arithmetica，他認為方程式 4x+20＝4 是荒謬的（absurd），因為他的根是（-4）， Diophantus 只接受正有理根，而排斥方程式的其他各種根，因此 Diophantus 尚未能 接受負數的根。

然而歐洲的負數概念發展相當緩慢，15 世紀的舒開（Nicolas Chuquet）於其 著作中提到了方程式：4x=-2，他亦將負數解釋成“ 荒謬的數＂。

歐洲社會於「負數本身是否為數」爭論不休，他們覺得：「0 就是什麼也沒有，

有什麼東西能夠比什麼都沒有還小呢？」。

其中，德國數學家史提非提到：負數是“ 虛偽的零下＂，僅僅是些記號而已。

而法國數學家巴斯卡（Pascal, 1623-1662）則認為，“0 減去 4＂是要從「一無 所有」當中減去東西，是胡說八道的。

此外，16 世紀的卡諾（Jdrome Cardano）雖然找出了方程的負根，但他把它說 成是「假數」。

笛卡兒（Descartes, 1596-1650）部分地接受了負數，他把方程的負根叫「假根」， 其原因為它比「無」更小，他認為負根是方程式中錯誤的根。

英國數學家瓦里斯則認為：「負數並不比零小，而是比無窮大還要大」。 法國人 Anroine Arnauld（1612-1694）以（－ 1）： 1＝ 1：（－ 1）這個式子 來反對負數。他認為小數與大數的比值怎麼可能等於大數與小數的比值（趙文敏，

1985；唐書志，1998；南一版國中數學教師手冊第一冊，2008）。 二、 中國正負數數學史

中國比其他民族超前好幾世紀即發展負數的相關概念，印度一直到西元約第 七世紀才出現負數的概念，而歐洲則要到西元第十六、十七世紀才對負數有較正確 的認識（林保平，2005）。

多位國內學者對於中國負數概念的發展已多做探討，其內容整理如下（蔡德吉，

2002；林保平，2005；邱明星，2006；吳志偉，2009；許志昌，2009）：

在中國負數的概念起源甚早，依據『九章算術』（成書年代約為西元前 200 年 至西元 50 年之間）中國就已有完整正負數的概念及有系統地提出正負數的加減運 算法則，『九章算術』是『算經十書』中內容最豐富和最重要的一本書，它幾乎集 中了過去和當時的全部數學知識，共有 246 個數學應用問題及各個問題的解法，

其分成九章，所以叫『九章算術』。這本書不是由一個人獨立完成，也不是一個年 代的作品，是經過歷代各家的增修而成的，大致由張菖（約公元前 200 年）和耿壽 昌（約公元前 50 年）整理定本（凡異出版社，1987）。以下以幾個例子進行說明：

『九章算術』第七章＜盈不足＞中，就已有不足的概念，以第一題為例：

「今有共實物，人出八盈三；人出七不足四。」意思是說一群人共買一樣物品，

若每人出八多了三，每人出七則不足四。可能就是因為在中國，需要處理經濟問題 上出現「不足」的需要，所以較早接受負數。

『九章算術』第八章＜方程＞中完整地描述了正負數的加減法則，以第三題為 例，原文如下：「正負術曰：同名相除，異名相益，正無入負之，負無入正之；其 異名相除，同名相益，正無入正之，負無入負之。」前半段是減法的法則，「同名 相除，異名相益」的意思是同號時相減，異號時相加，「正無入負之，負無入正之」

的意思是零減正為負，零減負為正。後半段是加法的法則，「異名相除，同名相益」

的意思是異號時相減，同號時相加，「正無入正之，負無入負之」的意思是零加正 為正，零加負為負。這段話已經把同異號數相加減的法則說的很情楚了，以現在的 符號表示就是：

減法的部份：

同名相除：（＋a）－（＋b）＝＋（a－b）

異名相益：（＋a）－（－b）＝＋（a＋b）

正無入負之：0－（＋b）＝－b 負無入正之：0－（－b）＝＋b 加法的部份：

異名相除：（＋a）＋（－b）＝＋（a－b）

同名相益：（＋a）＋（＋b）＝＋（a＋b）

正無入正之：0＋（＋b）＝＋b 負無入負之：0＋（－b）＝－b

在『九章算術』第八章＜方程＞中，第八題更是靈活的使用了負數：

「今有賣牛二、羊五，以買十二豕，有餘錢一千。賣牛三、豕三，以買九羊，

錢適足。賣羊六、豕八，以買牛五，錢不足六百。問牛、羊、豕價各幾何？」意思 是說：若賣二隻牛和五隻羊，去買了十三隻猪，剩下錢一千；若賣三隻牛和三隻猪，

去買了九隻羊，錢剛好；若賣六隻羊和八隻猪，去買了五隻牛，不足錢六百，問牛、

羊、猪價錢各多少？ 它的解法原文如下：

「術曰：如方程，置牛二、羊五正。豕十三負，餘錢數正；次置牛三正、羊九 負、豕三正；次置牛五負、羊六正、豕八正，不足錢負。以正負術入之。」用現在 的方程式就是：

設牛為 x 隻、羊為 y 隻，猪為 z 隻 2x＋5y－13z＝1000

3x－9y＋3z＝0

－5x＋6y＋8z＝－600

文中明確指出，「賣」用正表示，而「買」是用負表示；「餘錢」用正數表示，

「不足錢」用負數表示。由此可看出負數概念已被使用在方程中。而劉徽對『九章 算術』中＜正負術＞的注文上指出：「今兩算得失相反，要令正負以名之。正算赤，

負算黑。」，由於「得」與「失」的意義相反，要用正負來表示，這裡指出了正負 數的相對意義。在運算時以紅色的算籌代表正數，以黑色的算籌代表負數。

從上述來看，中國不僅最早提出負數的概念和表示方法，而且還提出了一整套 正負數之間的運算法則，這些法則與現今所用的完全一樣。此一現象對於與中國歷 史及文化相關的台灣，其負數概念的發展影響甚大。

貳、台灣正負數的課程現況

反觀台灣課程，Kline（1996）提到在中學階段裡負數概念的引入，原則上是很 困難。邱明星（2006）提及，其原因為國小階段屬於以較直觀的形式（透過實體事 物的具體數量）表達數的概念，然而負數對學生而言是新的概念，不但比過去所接 觸的數字概念更為抽象，甚至更難以具體事物呈現負數概念。因此，學習者要了解 負數的概念，必須具備較高層次的抽象化能力。

再者，從九年一貫課程綱要檢視，數學學習領域亦將國小一年級至五年級訂為

具體操作及具體表徵階段，到了六至七年級以後為類化具體表徵，甚至到符號表徵，

應根據學生的學習方式與思考型態兩項特徵，從具體進展到更高一層的符號表徵

（教育部，2005）。

除此之外，與負數具有高度相關概念的數線學習，在國小階段分別於不同年級 皆已開始接觸，四年級能力指標 4-n-10 中的能將簡單分數標記在數線上、五年級 分年細目中的 5-n-13 能將分數、小數標記在數線上（教育部，2005），但到了六年 級沒有任何關於數線的學習細目，亦沒有將負數概念隨之帶出，即直接進入數與量 之關係以及等量公理的概念。研究者認為若能在六年級一開始即銜接負數相關的 概念，在數與量以及等量公理的概念上將能更靈活運用，亦能順利地與未來七年級 能力指標 7-n-04 能認識負數，並能以「正、負」表徵生活中性質相反的量去做有 效的銜接，也能有效的符合教育部所歸類的思考階段。據此，本研究選擇小學六年 級學生為研究對象。

然而於國民中小學九年一貫課程綱要數學學習領域中，負數概念被歸納第四 階段（七年級至九年級），其教學目標為能認識負數之概念與計算方式，能力指標 以及相對應的分年細目表整理如下表 2-1-1（教育部，2005）：

表 2-1-1

負數能力指標與其分年細目表

能力指標 分年細目

能認識負數、相反數、絕對值的意義。 能認識負數，並能以「正、負」表 徵生活中性質相反的量。

能認識絕對值，並能利用絕對值比 較負數的大小。

能理解負數的特性並熟練數（含小 數、分數）的四則混合運算。

能做正負數的比較與加、減、乘、除計算。 能理解負數的特性並熟練數（含小

數、分數）的四則混合運算。

能將負數標記在數線上，理解正負數的比較 與加、減運算在數線上的對應意義，並能計 算數線上兩點的距離。

能理解數線，數線上兩點的距離公 式，及能藉數線上數的位置驗證數 的大小關係。

能以不等式標示數的範圍或數線 上任一線段的範圍。

能熟練正負數的四則混合運算。 能理解負數的特性並熟練數（含小 數、分數）的四則混合運算。

能熟練數的運算規則。

資料來源：研究者自行整理

根據上述，其能力指標以及分年細目表皆將負數概念及其運算歸類於七年級，

坊間教科書的主要出版社也將負數概念及其運算的單元於七年級的第一單元呈現，

如下表 2-1-2。

表 2-1-2

九年一貫課程數學領域負數單元教材內容

出版社

K 出版社 N 出版社 H 出版社

學年度 103 103 103

章節 第一章 第一章 第一章

第一單元 負數與數線 數與數線 正負數與絕對值 第二單元 整數的加減 整數的加減 整數的加減 第三單元 整 數 的 乘 除 與 四

則運算

整數的乘除 整數的乘除

資料來源：研究者自行整理

據此，呼應研究者於上一部分所提及，與負數具有高度相關概念的數線學習，

在國小階段分別於不同年級開始接觸，但到了六年級，卻沒有任何關於數線的學習

細目，亦沒有將負數概念隨之帶出。因此，若能在六年級一開始即銜接負數相關的 概念，在數與量以及等量公理的概念上是否能更靈活運用？以及有效的符合教育 部所歸類的思考階段？再者，七年級的一開始即面對較抽象的負數概念以及運算，

在學校的數學教育上未給予有效的銜接，是否會造成學生在負數的學習上有困難？

其對於學生在負數迷思概念上的影響又為何？

探討完負數概念的由來、台灣負數課程的發展以及現況，研究者於本節最後提 及了負數概念以及運算上的學習困難，乃至於迷思概念，皆於下一節作探討。