2-3-3三角函數的性質與應用-倍角公式、半角公式

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(1)第二冊 3-3 三角函數的性質與應用-倍角公式、半角公式【來源】當我們已知 θ 的三角函數值時，是否可以利用這些三角函數值來求出. 3θ 的三角函數值呢？這就是我們希望解決的問題。【公式】二倍角公式： 1. sin 2θ = 2 sin θ cosθ 。證明： sin 2θ = sin(θ + θ ) = sin θ cosθ + cosθ sin θ = 2 sin θ cosθ 2. cos 2θ = cos 2 θ − sin 2 θ = 2 cos 2 θ − 1 = 1 − 2 sin 2 θ 。證明： cos 2θ = cos(θ + θ ) = cosθ cosθ − sin θ sin θ = cos2 θ − sin2 θ = cos 2 θ − (1 − cos 2 θ ) = 2 cos 2 θ − 1 = (1 − sin 2 θ ) − sin 2 θ = 1− 2 sin 2 θ 2 tan θ 。 3. tan 2θ = 1 − tan 2 θ 證明： 2 sin θ cos θ 2 tan θ sin 2θ tan 2θ = = = 2 2 cos 2θ cos θ − sin θ 1 − tan 2 θ 【公式】 tan 表示式： 2 tan θ 1. sin 2θ = 。 1 + tan 2 θ 證明： 2 tan θ 2 tan θ = sin 2θ = 2 sin θ cosθ = 2 tan θ cos2 θ = 2 sec θ 1 + tan 2 θ 1 − tan 2 θ 2. cos 2θ = 。 1 + tan 2 θ 證明： 1 − tan 2 θ 1 − tan 2 θ = cos 2θ = cos 2 θ − sin 2 θ = cos 2 θ (1 − tan 2 θ ) = 1 + tan 2 θ sec 2 θ 2 tan θ 3. tan 2θ = 。 1 − tan 2 θ 證明： 2 tan θ sin 2θ tan 2θ = = cos 2θ 1 − tan 2 θ 【公式】 θ tan 表示式(可用於三角函數的積分)： 2 1− t2 2t 2t θ cos θ 設 t = tan ，則 sin θ = ，， = ， tan θ = 2 2 2 1+ t 1− t2 1+ t 如此可全部化成 t 表示，並利用 t ∈ R 來討論許多算式。可將 t ,1 − t 2 ,1 + t 2 當成三角形的三個邊長來記憶。. θ 2. 或 2θ 或.

(2) 【公式】半角公式： 1. sin. θ. =±. 2 證明：. 1 − cos θ θ (正負號依照角度所在象限決定)。 2 2. 已知 cos θ = 1 − 2 sin 2 2. cos. θ. =±. 2 證明：. θ. =±. 2 證明：. 2. ⇒ sin. θ 2. =±. 1 − cos θ 2. 1 + cos θ θ (正負號依照角度所在象限決定)。 2 2. 已知 cos θ = 2 cos 2 3. tan. θ. θ 2. − 1 ⇒ cos. θ 2. =±. 1 + cos θ 2. 1 − cos θ θ , (θ ≠ nπ , n 為奇數) (正負號依照角度所在象限決定)。 1 + cos θ 2. sin. θ. 2 = ± 1 − cos θ θ 1 + cos θ 2 cos 2 sin θ 1 − cos θ θ 4. tan = 。 = 2 1 + cos θ sin θ 證明： tan. θ. =. sin. θ. 2 sin. θ. cos. θ. sin θ sin θ = θ θ 1 + cos θ 1 + cos θ 2 cos 2 cos 2 2⋅ 2 2 2 sin θ (1 − cos θ ) sin θ (1 − cos θ ) 1 − cos θ = = = (1 + cos θ )(1 − cos θ ) sin θ sin 2 θ 註：半角公式可用於降次用。【意義】 θ sin θ 1 − cos θ 之幾何意義如下：當 θ 為銳角時， tan = = 2 1 + cos θ sin θ tan. θ. =. 2 =. 2. 2 =. θ. 1 θ 2. 1. θ O cos θ. 2. sin θ. 1 − cosθ.

(3) 【公式】三倍角公式： 1. sin 3θ = 3 sin θ − 4 sin 3 θ 。證明： sin 3θ = sin( 2θ + θ ) = sin 2θ cosθ + cos 2θ sin θ = 2 sin θ cos θ cos θ + (1 − 2 sin 2 θ ) sin θ = 2 sin θ (1 − sin 2 θ ) + (1 − 2 sin 2 θ ) sin θ. = 3 sin θ − 4 sin3 θ 2. cos 3θ = 4 cos 3 θ − 3 cos θ 。證明： cos 3θ = cos( 2θ + θ ) = cos 2θ cos θ − sin 2θ sin θ = ( 2 cos 2 θ − 1) cos θ − 2 sin θ cos θ sin θ = ( 2 cos 2 θ − 1) cos θ − 2(1 − cos 2 θ ) cos θ. = 4 cos3 θ − 3 cosθ 【問題】 1. 試證明： sin θ sin(θ − 60°) sin(θ + 60°) =. 1 sin 3θ 。 4. 證明： sin θ sin θ (−2 sin(θ + 60°) sin(θ − 60°)) = (cos 120° − cos 2θ ) −2 −2 sin θ 1 3 1 = (− − (1 − 2 sin 2 θ )) = sin θ ( − sin 2 θ ) = (3 sin θ − 4 sin 3 θ ) = 右式 −2 2 4 4 1 2. 試證明： cos θ cos(θ − 60°) cos(θ + 60°) = cos 3θ 。 4 證明： cos θ cos θ 左式 = (2 cos(θ + 60°) cos(θ − 60°)) = (cos120° + cos 2θ ) 2 2 cos θ 1 3 1 = (− + (2 cos 2 θ − 1)) = cos θ (cos 2 θ − ) = (4 cos 3 θ − 3 cos θ ) = 右式 2 2 4 4 1 3. 試證明： tan θ tan(θ − 60°) tan(θ + 60°) = tan 3θ 。 4 證明： 1 sin 3θ 左式 = 4 = 右式 1 cos 3θ 4 3 4. 試證明： sin 2 θ + sin 2 (θ + 60°) + sin 2 (θ − 60°) = 。 2 證明： 3 1 左式 = − (cos 2θ + cos( 2θ + 120°) + cos(2θ − 120°)) 2 2 3 1 3 1 = − (cos 2θ + 2 cos 2θ cos 120°) = − (cos 2θ − cos 2θ ) = 右式 2 2 2 2. 左式 =.

(4) 5. 試證明： cos 2 θ + cos 2 (θ + 60°) + cos 2 (θ − 60°) =. 3 。 2. 證明： 3 1 + (cos 2θ + cos( 2θ + 120°) + cos(2θ − 120°)) 2 2 3 1 3 1 = + (cos 2θ + 2 cos 2θ cos 120°) = + (cos 2θ − cos 2θ ) = 右式 2 2 2 2 A B C 在 ∆ABC 中，試證明： sin A + sin B + sin C = 4 cos cos cos 。 2 2 2 證明： A+ B A− B C C 左式 = 2 sin cos + 2 sin cos 2 2 2 2 C A− B C C C A− B C = 2 cos cos + 2 sin cos = 2 cos (cos + sin ) 2 2 2 2 2 2 2 C A− B A+ B C A B = 2 cos (cos + cos ) = 2 cos (2 cos cos ) = 右式 2 2 2 2 2 2 A B C 在 ∆ABC 中，試證明： cos A + cos B + cos C = 1 + 4 sin sin sin 。 2 2 2 證明： A+ B A− B C 左式 = 2 cos cos + 1 − 2 sin 2 2 2 2 C A− B C C A− B A+ B = 1 + 2 sin (cos − sin ) = 1 + 2 sin (cos − cos ) 2 2 2 2 2 2 C A −B = 1 + 2 sin (−2 sin sin ) = 右式 2 2 2 在 ∆ABC 中，試證明： sin 2 A + sin 2 B + sin 2C = 4 sin A sin B sin C 。證明：左式 = 2 sin( A + B ) cos( A − B ) + 2 sin C cos C = 2 sin C (cos( A − B ) − cos( A + B )) = 2 sin C ( −2 sin A sin( − B )) = 右式在 ∆ABC 中，試證明： cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C = 1 − 2 cos A cos B cos C 。證明： 3 1 左式 = + (cos 2 A + cos 2 B + cos 2C ) 2 2 3 1 = + (2 cos( A + B ) cos( A − B ) + 2 cos 2 C − 1) 2 2 = 1 + cos( A + B ) cos( A − B) + cos 2 C = 1 + cos C (cos C − cos( A − B )) = 1 − cos C (cos( A + B ) + cos( A − B )) = 1 − cos C ( 2 cos A cos B ) = 右式. 左式 =. 6.. 7.. 8.. 9.. 10.特殊角：令 θ = 18° ，證明 sin θ =. 5 −1 。 4. 證明： sin 2θ = cos 3θ ⇒ 2 sin θ cos θ = 4 cos 3 θ − 3 cos θ ⇒ 2 sin θ = 4 cos 2 θ − 3 −1+ 5 ⇒ 2 sin θ = 4(1 − sin 2 θ ) − 3 ⇒ 4 sin 2 θ + 2 sin θ − 1 = 0 ⇒ sin θ = 4 11.試求 sin 18°, cos 36° 之值。.

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