國中數學4 4 2平行四邊形

4−2 平行四邊形

本節課程學習重點： ◎能利用尺規作圖畫出平行四邊形。 ◎能理解平行四邊形的定義。 ◎能理解平行四邊形的基本性質：平行四邊形的對邊等長、對角相等、鄰角互補； 一條對角線將平行四邊形分成兩個全等的三角形； 平行四邊形的兩對角線互相平分。 ◎能理解平行四邊形的判別性質。 ◎能理解平行四邊形的面積公式。 一、平行四邊形的意義與性質： 如右圖，L1 // L2、L3 // L4，這四條直線圍成四邊形 ABCD。 在四邊形 ABCD 中， AB // CD且 AD // BC，像這樣兩雙 對邊互相平行的四邊形，稱為平行四邊形，可記作「□ABCD」， 讀作「平行四邊形 ABCD」。 【觀念釐清】□ABCD與□ADCB代表的是同一個平行四邊形。 ◎平行四邊形的性質(1)：平行四邊形的鄰角互補、對角相等。 【說明】□ABCD中，∵AB // CD、 AD // BC，∴∠A＋ ＼∠B＝ ＼∠B＋∠C＝180°(同側內角互補)， 得∠A＝∠C，又∠B＋ ＼∠C＝ ＼∠C＋∠D＝180°(同側內角互補)，∴∠B＝∠D。 練習1：如右圖，□ABCD 中，∠A＝70°，求其他三個內角的度數。

【觀念釐清】若□ABCD 中，∠A＝90°，則 ABCD 是矩形。

【說明】∵平行四邊形的鄰角互補、對角相等，又∠A＝90°，∴□ABCD的四個內角皆為90°， 因此□ABCD也是矩形。 練習2：如右圖，□ABCD中，∠A＝(x＋25)°、∠C＝(3x－15)°， 則∠B＝？ 練習3：□ABCD 中，∠D 是∠A 的 2 倍，求此平行四邊形的四個內角的度數。 ◎平行四邊形的性質(2)：平行四邊形的任一條對角線會將此平行四邊形分成兩個全等三角形， 且平行四邊形的兩雙對邊分別相等。 A B D C L4 L3 L2 L1 B A C D 70° C D B A (3x－15)° (x＋25)°

【說明】如右圖，在 ABCD 中，連接其中一條對角線AC， 可將這個平行四邊形分成兩個三角形。 在△ABC 和△CDA 中， ∵ AB // CD，∴∠1＝∠4(內錯角相等)， ∵ AD // BC，∴∠3＝∠2(內錯角相等)， 又AC＝AC(共用邊)，可知△ABC ≅ △CDA(ASA 全等性質)，因此 AB ＝CD，BC＝ AD 。 【觀念釐清】若□ABCD 中，BC＝CD，則四邊形 ABCD 是菱形。 【說明】∵平行四邊形的兩雙對邊分別等長，又BC＝CD， ∴□ABCD 中AB ＝BC＝CD＝ DA ，因此 ABCD 也是菱形。 練習4：如右圖，已知□ABCD 的周長為 36 公分， AB ＝2BC， 則各邊的長度分別為多少公分？ 練習5：□ABCD 中， AB 比BC的2 倍多 5 公分，CD比 AD 的 3 倍少 6 公分，則□ABCD 的 周長為多少公分？ ◎平行四邊形的性質(3)：平行四邊形的兩對角線互相平分。 【說明】如右圖，□ABCD 中，連接兩條對角線AC、 BD ， 假設兩對角線交於 O 點，在△AOB 和△COD 中， ∵ AB // CD，∴∠ ＝1 ∠ ，3 ∠ ＝2 ∠ 內錯角相等)， 4( 又 AB ＝CD (對邊相等)，可知△AOB ≅ △COD(ASA 全等性質)， 因此OA＝OC，OB＝OD，故AC與 BD 互相平分。 ◎平行四邊形的性質(4)：平行四邊形的兩對角線將平行四邊形面積四等分。 【說明】□ABCD 中，∵OA＝OC，

∴△AOD 面積＝△COD 面積(等底同高)，△AOB 面積＝△BOC 面積(等底同高)，

∵△AOB 和△COD 全等，面積也相等。∴△AOB、△BOC、△COD、△AOD 的面積都相等。 練習6：□ABCD中，AC與 BD 互相垂直。若OA＝3公分，OB＝4公分，則 (1)□ABCD的兩條對角線長度和為多少公分？ (2)□ABCD的面積為多少平方公分？ (3)□ABCD的周長分別為多少公分？ (4)□ABCD是菱形嗎？ B A C D 1 2 3 4 A D C B B A C D 1 3 2 4 O B A C D O 3 4

二、平行四邊形的判別與作圖： ◎平行四邊形的判別性質(1)：兩雙對角分別相等。 【說明】如右圖，四邊形 ABCD 中，若∠A＝∠C 且∠B＝∠D， ∵∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°，又∠A＝∠C、∠B＝∠D， ∴ ∠A＋2∠B＝360°，得∠A＋∠B＝180°。 2 ∵同側內角互補，∴ AD // BC。同理，∠A＋∠D＝180°，得 AB // CD。 ∵兩雙對邊互相平行，∴四邊形 ABCD 是平行四邊形。 由上可知，兩雙對角分別相等的四邊形是平行四邊形。 練習7：用色紙剪了甲、乙、丙、丁四個不同的四邊形，並將它們的四個內角依序寫在下面， 則哪一個四邊形是平行四邊形？ 甲：120° , 60° , 60° , 120° 乙：40° , 50° , 130° , 140° 丙：70° , 110° , 70° , 110° 丁：80° , 80° , 80° , 120° 戊：62° , 108° , 62° , 128° 己：90° , 90° , 90° , 90° 【觀念釐清】長方形的四個內角都是直角，可知長方形也是平行四邊形。 ◎平行四邊形的判別性質(2)：兩雙對邊分別相等。 【說明】如右圖，四邊形 ABCD 中， AB ＝CD且 AD ＝BC， (1)連接 AC ，在△ABC 和△CDA 中， ∵ AB ＝CD，BC＝ AD ，AC＝AC， ∴△ABC ≅ △CDA(SSS 全等性質)，得 1∠ ＝∠ ，3 ∠ ＝2 ∠ 。 4 (2)∵內錯角∠1＝ 3∠ ，∴ AB // CD；∵內錯角∠ ＝2 ∠ ，∴4 BC // AD 。 (3)∵兩雙對邊互相平行，∴四邊形 ABCD 是平行四邊形。 由上可知，兩雙對邊分別相等的四邊形是平行四邊形。 練習8：利用木棍排出了甲、乙、丙、丁、戊五個不同的四邊形，並將它們的邊長依序寫在下面， 則哪幾個四邊形是平行四邊形？ 甲：3cm , 5cm , 5cm , 5cm 乙：4cm , 4cm , 4cm , 4cm 丙：1cm , 2cm , 3cm , 4cm 丁：2cm , 2cm , 3cm , 3cm 戊：2cm , 3cm , 2cm , 3cm 【觀念釐清】菱形的四邊相等，可知菱形也是平行四邊形。 ◎平行四邊形的判別性質(3)：一雙對邊平行且相等。 【說明】如右圖，四邊形 ABCD 中， AB // CD且 AB ＝CD， (1)連接AC，∵ AB // CD，∴∠ ＝1 ∠ 內錯角相等)。 3( (2)在△ABC 和△CDA 中， ∵ AB ＝CD，∠ ＝1 ∠ ，3 AC＝AC， ∴△ABC ≅ △CDA(SAS 全等性質)，得 2∠ ＝∠ 。 4 (3)∵內錯角 2∠ ＝∠ ，∴4 BC // AD 。 ∵兩雙對邊分別平行，∴四邊形 ABCD 是平行四邊形。 由上可知，一雙對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。 B A C D D A C B 1 4 2 3 B A C D 1 4 2 ₃

練習9：如右圖，已知L // M，且A、B兩點在直線M上， C點在直線L上。若希望在直線L上另找一點D， 使得A、B、C、D四點正好成為平行四邊形的頂點， 請將符合條件的D點標示出來。(答案有兩個) ◎平行四邊形的判別性質(4)：兩對角線互相平分。 【說明】如右圖，四邊形 ABCD 的對角線AC與 BD 相交於 O 點， 且OA＝OC，OB＝OD， (1)在△DOA 和△BOC 中， ∵OA＝OC，OB＝OD，∠ ＝1 ∠ ， 2 ∴△DOA ≅ △BOC(SAS 全等性質)，得 3∠ ＝∠ 。 4 ∵內錯角 3∠ ＝∠ ，∴ AD //4 BC。 (2)同理可知△AOB ≅ △COD(SAS 全等性質)，得 5∠ ＝∠ 。 6 ∵內錯角 5∠ ＝∠ ，∴ AB //6 CD。 (3)∵ AD // BC， AB // CD，∴四邊形 ABCD 為平行四邊形。 由上可知，兩對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。 練習10：拿兩根長短不一樣的竹筷子，將兩根筷子的中點對齊，如右圖， 則筷子的四個頂點相連所形成的圖形會是平行四邊形嗎？ 【觀念釐清】平行四邊形的性質：每個平行四邊形都具有下列性質。 (1)兩雙對角相等，鄰角互補。 (2)兩雙對邊相等。 (3)任一條對角線將平行四邊形分成兩個全等的三角形。 (4)兩條對角線互相平分。 (5)兩條對角線將其面積四等分。 平行四邊形的判別性質：四邊形若滿足下列情形之一，則此四邊形為平行四邊形。 (1)四邊形的兩雙對角分別相等。 (2)四邊形的兩雙對邊分別相等。 (3)四邊形的一雙對邊平行且相等。 (4)四邊形的兩對角線互相平分。 ◎平行四邊形的作圖：如下圖，已知 A、B、C 三點不在同一直線上，利用尺規作圖找出另一點 D， 使得四邊形 ABCD 是平行四邊形。 L A M C B B A C D O 2 1 4 5 3 6 A C B

A O B 【方法一】(1)作 → BA 與 → BC 。 (2)過 A 點作BC的平行線 L。 (3)過 C 點作 AB 的平行線 M。設直線 L 與 M 相交於 D 點，則四邊形 ABCD 即為所求。 【方法二】(1)作 → BA 與 → BC 。 (2)先以 A 點為圓心，BC為半徑畫弧，再以 C 點為圓心， AB 為半徑畫弧， 設兩弧交於 D 點。 (3)連接 AD 、CD，則四邊形 ABCD 即為所求。 A C B A D C B A D C B 【觀念釐清】在方法一中，利用「平行四邊形兩雙對邊平行」的性質作圖。 在方法二中，利用「平行四邊形的兩雙對邊分別等長」的性質作圖。 練習11：如右圖，已知A、B、O三點，利用尺規作圖作一平行四邊形， 使A、B為平行四邊形的兩頂點，O為兩對角線之交點。 自我評量 1. □ABCD 的周長為 40 公分，若 AB 比BC多4 公分，則□ABCD 各邊長分別為多少公分？ 2. □ABCD 中，∠A＋3∠C＝120°，則∠B＝？ 3. 右圖中，四邊形 ABDC 與四邊形 ABED 皆為平行四邊形， 且∠ ＝60°、 21 ∠ ＝35°，則∠E＝？ A C B A _L C B A D L M C B A B E C D 1 2

B A D C (2x＋3y)° x° (3x＋y)° (2y)° B A C 4. 如右圖，□ABCD 中，E 為 AB 的中點，F 為DC的中點。則 (1)四邊形 AFCE 是平行四邊形嗎？為什麼？ (2)四邊形 AFCE 的面積是 ABCD 面積的多少倍？ 5. 利用尺規作圖作一個平行四邊形，使它的相鄰兩邊邊長分別為 a 與 b。 習作 1. 如右圖，四邊形 ABCD 為平行四邊形，∠A＝(2x＋3y)°，∠B＝(2y)°， ∠C＝(3x＋y)°，∠D＝x°，則 x＝？ y ＝？ 2. 如右圖，A、B、C、D、E、F、G七點在同一平面上，四邊形 ABCD、AEFB、BFGC都是平行四邊形，∠CGF＝126°， ∠AEF＝90°，則∠ABC與∠BCD的度數分別為多少？ 3. □ABCD中， AB 比BC多15公分，CD是 AD 的1.5倍，則□ABCD的周長＝？ 4. 如右圖，已知∠ABC及A、C兩點，小美跟小翊各自用不同的方式 畫了一個□ABCD： 小美：過A作一直線L平行BC，在L上取一點D，使得 AD ＝BC， 連接CD後，則四邊形ABCD為平行四邊形。 小翊：過A作一直線L平行BC，過C作一直線M平行 AB ，設直線L 與M相交於D點，則四邊形ABCD為平行四邊形。 請問他們分別是利用哪一個幾何性質來畫出平行四邊形的？ 小美： 。 小翊： 。 A E B F C D a b B A F E D C G

D E F C B A D A C _{G E} B F D C B A _L1 L2 L3 L4 5. 如右圖，在□ ABCD中，BF平分∠ABC，且→ BF與→ CD交於E， →

若 AB ＝5，CE＝8，則 (1)□ ABCD的周長為何？ (2)△EDF的面積與△CDF的面積比值為何？ 6. 如右圖，在同一平面上，四邊形ABCD、CDEF、ABFE都是 平行四邊形。已知∠BAD＝70°、∠DEF＝20°、∠AEF＝45°， 則∠1、∠2 的度數分別為多少？ 類題補充 1. 如右圖，平行四邊形 ABCD 中，¯ EA 平分∠BAD，F、G 分別為¯ AE 、 ¯ CD 的中點。若 ¯ CE ＝3， ¯ FG ＝7，則平行四邊形 ABCD 的周長為何？ 2. 如右圖，平行四邊形 ABCD 中，∠C＝60°，¯ BD ＝12，且¯ BD 為 ∠B 與∠D 的角平分線，則平行四邊形 ABCD 的面積為 。

3. 如下圖，平行四邊形 ABCD，¯ AF 平分∠DAB， ¯ DE 平分∠ADC， 若¯ BE ＝7，¯ EF ＝3，則平行四邊形 ABCD 的周長為 。 4. 如下圖，平行四邊形 ABCD 中，¯ AF ⊥¯ DF ，¯ AE ＝3，¯ DF ＝6， 則△ABG 的面積＋△DCG 的面積＝ 。 5. 如下圖，L1 // L2 // L3 // L4，且相鄰兩條平行線的距離皆為1，若正方形 ABCD 的四個頂點分別在四條直線上，則正方形的面積為何？ B A E F D C D E F G C B A D A C B D C 2 1 70° 45° 20° E F A B

C E B D A 6. 如下圖，將長方形 ABCD 紙條沿著對角線¯ AC 對摺，∠BAD＝32°，則∠PAC＝ 度。 A D B C P

7. 如下圖，平行四邊形 ABCD 中，E、F 為對角線¯ AC 的三等分點，若△BEF 的面積為 6， 則平行四邊形 ABCD 的面積為 。 B C D A E F 8. 坐標平面上有一平行四邊形 ABCD，其中三點坐標為 A(5 , 0)、B(7 , 4)、C(5 , 8)，若有一直線 M 通過 原點，且平分平行四邊形 ABCD 面積，則直線 M 的方程式為 。 9. 平行四邊形 ABCD 中，¯ AE ¯⊥ BC 於 E 點，¯ AF ¯⊥ CD 於 F 點。 若 ¯ AD ＝7，¯ CE ＝¯ AE ＝4，則 ¯ AF ＝ 。 10. 已知直角坐標平面上三點 A(－1 , －1)、B(1 , 2)、C(3 , 0)。若要在直角坐標平面上找一點 D，使得 四邊形 ABCD 是平行四邊形(不考慮 A、B、C、D 的順序)，則下列何者不可能是 D 點的坐標？ (A)(－5 , －3) (B)(－3 , 1) (C)(5 , 3) (D)(1 , －3)。 11. 如右圖，平行四邊形 ABCD 中，E 在 ¯ CD 上，且¯ BE ⊥ ¯ CD ， ¯ AD ＝ ¯ DE 。 若¯ BE ＝4，¯ CE ＝3，則¯ AE ＝ 。 A D E F B C

A D B C O E F 加強練習 1. 下列四個選項中，哪一個不能用來判定四邊形 ABCD 為平行四邊形？ (A) ¯ AB // ¯ CD ，∠A＝∠C (B) ¯ AB // ¯ CD ，¯ AB ＝ ¯ CD (C) ¯ AB // ¯ CD ， ¯ AD ＝¯ BC (D) ¯ AB ＝ ¯ CD ， ¯ AD ＝¯ BC 2. 如右圖，平行四邊形 ABCD 中，¯ BC ＝12，M 為¯ BC 中點，M 到¯ AD 的 距離為8。若分別以 B、C 為圓心， ¯ BM 長為半徑畫弧，交¯ AB 、¯ CD 於 E、F 兩點，則圖中灰色區域面積為何？ (A) 96－12π (B) 96－18π (C) 96－24π (D) 96－27π。

3. 如下圖，ABCD 為平行四邊形，E 為 ¯ AD 上的點，若△AEF 面積為 7、△BCE 面積為 15，則△ABE 面積為多少？ A D E F B C 4. 平行四邊形 ABCD 中，若∠A＋∠C＝110°，則下列何者正確？ (A)∠A＝70° (B)∠B＝55° (C)∠C＝35° (D)∠D＝125°。 5. 如下圖，平行四邊形 ABCD 與平行四邊形 PQRS 相交，已知∠B＝60°，∠S＝80°， 2∠ ＝90°， 則∠ ＝ 度。 1 D Q B C A P S R 2 1

6. 平行四邊形 ABCD 中，¯ AE 為∠A 的角平分線交¯ BC 於 E。若∠B＝70°，則∠AEC＝ 度。 7. 如右圖，□ ABCD 中，已知四邊形 ABFE 的面積為 40，則 (1)□ ABCD 的面積為多少？ (2)△ABD 的面積為多少？ (3)△OAB 的面積為多少？ (4)若△ODE 的面積為 8，則△OFC 的面積為多少？ 8. □ ABCD 中，∠A＝(3x＋60)°，∠C＝(120－x)°，則∠A 度數為多少？ 9. □ ABCD 的面積為 72，則△ABC 的面積為多少？

10. 如下圖，□ ABCD 中， AE 平分∠BAD， DF 平分∠ADC，則∠AGF＝ 度。

A E F D B C G 11. 如下圖，平行四邊形 ABCD 中，¯ AD ＝¯ AE ＝8，¯ CF ＝12，則¯ AB ＝ 。 F B C E A D D E _F C B A M

Ans：1.(C)；2.(B)；3. 8；4.(D)；5. 50；6. 125；7.(1) 80，(2) 40，(3) 20，(4) 12；8.105°；9. 36； 10. 90；11. 12。