1091 高一數學第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P1/20
1-1 數與數線
一、 單一選擇題 1. ( )設p＝ 10＋ 37 ，則最接近 p 的整數為何？ (Ａ) 3 (Ｂ) 4 (Ｃ) 5 (Ｄ) 6 (Ｅ) 7。 答案：(Ｂ) 解析：p＝ 10＋ 37 且 37 ＝6.（接近 6） ∴ p＝ 10＋6.＝4.……（接近 4） 故選(Ｂ) 二、 填充題 1. 試判斷下列何者是正整數、整數、有理數、無理數、實數，並將代號填入空格中。 (ａ) 0 (ｂ) 30 (ｃ) 24 (ｄ). （123－45－67＋89） 10 1 (ｅ)2＋ 2 (ｆ) 3.14159 (ｇ) 49 144 (１)正整數：【 】。(２)整數：【 】。(３)有理數：【 】。 (４)無理數：【 】。(５)實數：【 】。 答案：(１)(ｄ)；(２)(ａ)、(ｄ)；(３)(ａ)、(ｂ)、(ｄ)、(ｆ)、(ｇ)；(４)(ｃ)、(ｅ)； (５)(ａ)、(ｂ)、(ｃ)、(ｄ)、(ｅ)、(ｆ)、(ｇ) 解析：(ａ) 0 是整數（也是有理數、實數） (ｂ) 3 1 9 3 3 . 0 ＝ ＝ 是有理數（也是實數） (ｃ) 24＝ 4 6＝2 6是無理數（也是實數） (ｄ) 10 10 100 89 67 45 123 10 1 ＝ ）＝ ＋ － － （ 是正整 數（也是整數、有理數、實數） (ｅ)2＋ 2是無理數（也是實數） (ｆ) 100000 314159 14159 . 3 ＝ 是有理數（也是實數） (ｇ) 7 12 49 144 ＝ 是有理數（也是實數） 故(１)正整數：(ｄ) (２)整數：(ａ)、(ｄ) (３)有理數：(ａ)、(ｂ)、(ｄ)、(ｆ)、 (ｇ) (４)無理數：(ｃ)、(ｅ) (５)實數：(ａ)、(ｂ)、(ｃ)、(ｄ)、(ｅ)、(ｆ)、(ｇ)1091 高一數學第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P2/20 2. 將下列小數化為最簡分數： (１) 0.476＝【 】。(２) 372. ＝【 】。(３)0.278＝【 】。 答案：(１) 250 119 ；(２) 99 235 ；(３) 165 46 解析：(１) 250 119 1000 476 476 . 0 ＝ ＝ (２)令x＝2.37，則100 ＝x 237.37 37 . 2 37 . 237 100x－x＝ － ，得 99x＝235 故 99 235 ＝ x ，即 99 235 37 . 2 ＝ (３)令x＝0.278，則10 ＝x 2.78，1000 ＝x 278.78 78 . 2 78 . 278 10 1000x－ x＝ － ，得990 ＝x 276 故 165 46 990 276 ＝ ＝ x 3. 解下列各方程式： (１)設∣x＋2∣＝3，則 x＝【 】。(２)設∣2x－1∣＝5，則 x＝【 】。 答案：(１) 1 或－5；(２) 3 或－2 解析：(１) x＋2＝3 或 x＋2＝－3x＝1 或－5 (２) 2x－1＝5 或 2x－1＝－5x＝3 或－2 4. 已知 x，y 是有理數，且（1－ 3）x＋（1＋ 3）y＝2，試求 x＋y＝【 】。 答案：2 解析：左式＝（x＋y）＋（－x＋y）3＝2 ∵x，y 為有理數 ∴ 0 2 ＝ ＋ － ＝ ＋ y x y x 1 1 ＝ ＝ y x 故 x＋y＝2 5. 已知 a＜b，則∣a－b－3∣－∣b－a＋2∣＝【 】。 答案：1
解析：∵a＜b ∴a－b＜0 且 b－a＞0
1091 高一數學第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P3/20 6. 辰祐利用暑假想從臺南騎單車到高雄遊玩，預計自台 17 線 150 公里處南下到 250 公里處，若 想在整個路程的 5 3 處用餐休息，則必須在台 17 線【 】公里處停下來休息。【素養題】 答案：210 解析：可將此段台 17 線視為一數線 設台 17 線 150 公里處、250 公里處及休息處分別位於數線上 A（150）、B（250）、P（x） 三點，其中 150＜x＜250，如圖 因為PA：PB＝3：2，所以由分點公式可得 210 2 3 250 3 150 2 ＝ ＋ ＋ ＝ x 故必須在台 17 線 210 公里處停下來休息 三、 計算題 1. (１)數線上有 A，B 兩點。A 點坐標為 3 且 AB ＝7，試求 B 點的坐標。 (２)數線上有 P、Q 兩點的坐標分別為 2、12。R 點在 P，Q 之間且PR：QR＝5：3， 試求 R 點的坐標。 (３)數線上由左至右依序有 A，B，C 三點，已知 A、B 兩點的坐標分別為－3、7 且AC：BC＝9：4，試求 C 點的坐標。 解：答案：(１) 10 或－4；(２) 4 33 ；(３) 15 解析：(１)設 B 點的坐標為 x，由AB＝7，得|x－ |3 ＝7， 因此 x－3＝7 或 x－3＝－7，移項後得 x＝10 或 x＝－4，即 B 點的坐標為 10 或－4 (２)由題目條件可得如圖，PR：QR＝5：3， 由分點公式得 R 點的坐標為 4 33 8 66 3 5 12 5 2 3 ＝ ＝ ＋ ． ＋ ． (３)設 C 點的坐標為 x，由題目條件可得如圖，AB：BC＝5：4， 由分點公式得 B 點的坐標為 7 4 5 5 3 4 ＝ ＋ ． ）＋ （－ ． x ， 故 5x－12＝63，即 x＝15
1091 高一數學第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P4/20 2. 試比較下列實數大小，並由大到小排列： 5 13＋ ＝ a ，b＝ 11＋ 7，c＝ 15＋ 3。 解：答案：b＞a＞c 解析：觀察 a，b，c 三數，發現平方後，有理數部分相等，比較無理數（根式）即可。 2 2 5 13＋ ） ＝（ a ＝13＋5＋2 65＝18＋2 65 2 2 7 11＋ ） ＝（ b ＝11＋7＋2 77＝18＋2 77 2 2 3 15＋ ） ＝（ c ＝15＋3＋2 45＝18＋2 45 比較三式，得 2 2 2 b＞ ＞ ，故∣b∣＞∣a∣＞∣c∣ a c 因 a，b，c＞0 故得 b＞a＞c 〈另解〉 使用計算機計算，結果如下： a＝ 13＋ 5＝5.84169253 b＝ 1 ＋1 7＝5.962376101 c＝ 15＋ 3＝5.605034154 故得 b＞a＞c 3. 解下列方程式： (１)∣x－1∣＝3。(２)∣2x＋5∣＝37。 解：答案：(１) x＝4 或－2；(２) x＝16 或－21 解析：(１) x－1＝±3 x＝1±3 x＝4 或－2 (２) 2x＋5＝±37 2x＝－5±37 2x＝32 或－42 x＝16 或－21
1091 高一數學第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P5/20 4. 解下列不等式，並在數線上標出範圍： (１)∣x∣＜7。(２)∣4－x∣2。(３)∣2x＋3∣5。 解：答案：(１)－7＜x＜7，圖略；(２) 2x6，圖略；(３) x－4 或 x1，圖略 解析：(１)∣x∣＜7 －7＜x＜7（本題答案亦可記為（－7，7）） (２)∣4－x∣2 即∣x－4∣2 －2x－42 2x6（本題答案亦可記為 [2，6]） (３)∣2x＋3∣5 即 2x＋3－5 或 2x＋35 2x－8 或 2x2 x－4 或 x1（本題答案亦可記為（－∞，－4] [1，∞）） 5. 解下列不等式： (１)∣x＋3∣5 有幾個整數解？ (２)∣3x＋4∣＜6 有幾個整數解？ 解：答案：(１) 11 個；(２) 4 個 解析：(１)∣x＋3∣5 即－5x＋35－8x2 其中整數解有－8，－7，－6，……，－1，0，1，2 共 11 個 (２)∣3x＋4∣＜6 即－6＜3x＋4＜6－10＜3x＜2 10 2 3 x 3 － ＜ ＜ 其中整數解有－3，－2，－1，0 共 4 個 6. 解下列方程式，並將解描繪在數線上： (１)∣x∣＝5。(２)∣x－3∣＝2。(３)∣x＋4∣＝6。 解：答案：(１) x＝5 或 x＝－5，圖略；(２) x＝5 或 x＝1，圖略；(３) x＝2 或 x＝－10，圖略 解析：(１)∣x∣＝5 表 x 與 0 的距離是 5 因此觀察數線可知 x＝5 或 x＝－5 (２)∣x－3∣＝2 表 x 與 3 的距離是 2 因此觀察數線可知 x＝5 或 x＝1 〔另解〕 x－3＝2 或 x－3＝－2x＝5 或 x＝1 (３)∣x＋4∣＝6∣x－（－4）∣＝6，表 x 與－4 的距離是 6 因此觀察數線可知 x＝2 或 x＝－10 〔另解〕 x＋4＝6 或 x＋4＝－6x＝2 或 x＝－10
1091 高一數學第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P6/20 7. 某蘇打餅乾包裝標示重量為 30g±5g，若假設商品實際重量為 x 公克， 試求出 a，b 滿足∣x－a∣b。【素養題】 解： 答案：a＝30，b＝5 解析：假設商品實際重量為 x 公克，則 30－5x30＋5 得－5x－305，即∣x－30∣5 故 a＝30，b＝5 四、 作圖題 1. 在數線上標出以下範圍，並以區間符號表示： (１) x2 且 x＞－5。(２) x2 或 x－1。(３) x＞2 或 x3。 解：答案：(１)圖略，（－5，2]；(２)圖略，（－∞，－1] [2，∞）； (３)圖略，（－∞，∞） 解析：(１) x2 且 x＞－5 也可記為－5＜x2 區間符號表示為（－5，2] (２) x2 或 x－1 的區間符號表示為（－∞，－1] [2，∞） (３)所有的實數 x 必滿足 x＞2 與 x3 兩者之一 所以 x＞2 或 x3 表示 x 為任意實數 區間符號表示為（－∞，∞）
1091 高一數學第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P7/20
1-2 式的運算
一、填充題 1. 試化簡下列雙重根式： (１) 9＋2 14 ＝【 】。(２) 8－2 15 ＝【 】。(３) 7＋ 48 ＝【 】。 答案：(１) 7＋ 2；(２) 5－ 3；(３)2＋ 3 解析：(１) 9 2 14＋ ＝ ＋ ＋7 2 2 14 ＝ （ 7＋ 2）2＝ 7＋ 2 (２) 8－2 15＝ 5＋3－2 15 ＝ （ 5－ 3）2＝ 5－ 3 (３) 7＋ 48＝ 7＋2 12 ＝ 2 3 4 12 2 3 4＋＋ ＝（ ＋ ）＝ 4＋ 3＝2＋ 3 2. 展開並化簡下列各式： (１) 3 2 ＋ ） （ a b ＝【 】。 (２) 2 1 2 ＋ －） （ a b ＝【 】。 (３)（a－b＋3）（a－b－3）＝【 】。 答案：(１) 3 2 2 3 6 12 8a＋ a b＋ ab＋b ；(２)4a2＋b2＋1＋4ab－2b－4a；(３)a2－2ab＋b2－9 解析：(１) 3 2 ＋ ） （ a b ＝ 3 2 2 3 2 3 2 3 2 ）＋（ ）（ ）＋（ ）（ ）＋（ ） （ a a b a b b ＝ 3 2 2 3 6 12 8a＋ a b＋ ab＋b (２) 2 1 2 ＋ －） （ a b ＝ 2 2 2 1 2 ）＋（ ）＋（－） （ a b ＋2（2a）（b）＋2（b）（－1）＋2（－1）（2a） ＝4a2＋b2＋1＋4ab－2b－4a (３)（a－b＋3）（a－b－3）＝〔（a－b）＋3〕〔（a－b）－3〕 ＝ 2 2 3 － ） － （a b ＝a2－2ab＋b2－9 3. 利用乘法公式計算下列各式： (１) 2 2 211 789 － ＝【 】。(２) 108×92＝【 】。 答案：(１) 578000；(２) 9936 解析：(１) 2 2 211 789 － ＝（789＋211）（789－211）＝1000×578＝578000 (２) 108×92＝（100＋8）（100－8）＝ 2 2 8 100 － ＝99361091 高一數學第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P8/20 4. 將下列各式因式分解： (１) 3 3 8y x － ＝【 】。(２)x －4 y4＝【 】。(３) x3＋9x2y＋27xy2＋27y3＝【 】。 答案：(１)（x－2y）（x2＋2xy＋4y2）；(２) （x－y）（x＋y）（x2＋y2）；(３)（x＋3y）3 解析：(１) 3 3 8y x － ＝ 3 3 2 ） －（ y x ＝（ － ）〔 2＋（ ）＋（ ）2〕 2 2 2y x x y y x ＝（ － ）（ 2＋ ＋ 2） 4 2 2y x xy y x (２) 4 4 y x － ＝（ 2）2－（ 2）2 y x ＝（ 2－ 2）（ 2＋ 2） y x y x ＝（ － ）（ ＋ ）（ 2＋ 2） y x y x y x
(３) x3＋9x2y＋27xy2＋27y3＝x3＋3×x2×（3y）＋3×x×（3y）2＋（3y）3
＝（x＋3y）3 5. 化簡下列各式： (１) 2 3 5 2 2 1 2＋ ＋ ＋ ＋ ＋ x x x x ＝【 】。(２) 5 6 2 3 2 2 － ＋ ＋ ＋ x x x x x x ＝【 】。 答案：(１) 1 3 ＋ x ；(２) 2 2 ＋ － x x 解析：(１) 2 3 5 2 2 1 2＋ ＋ ＋ ＋ ＋ x x x x ＝ （ ＋）（ ＋） ＋ ＋ ＋ 1 2 5 2 2 1 x x x x ＝（ ＋）（ ＋） ＋ ）＋ ＋ （ 2 1 5 2 1 x x x x ＝ ） ＋ （ ） ＋ （ ＋ 2 1 6 3 x x x ＝ 1 3 ＋ x (２) 2 6 5 3 2 2 － ＋ ＋ ＋ x x x x x x ＝ x x x x x x 2 3 2 3 － ） ＋ （ ） ＋ （ ） ＋ （ ＝ 2 2 ＋ － x x 6. 如圖，若AB＝10，在 AB 上取一點 C，使AC＝7，又過 C 點作 AB 的垂直線與以 AB 為直徑的 半圓交於 D 點，則 CD ＝【 】。 答案： 21 解析：∵△ACD～△DCB
AC：CD＝CD：BC，即7：CD＝CD：3 故CD＝ 211091 高一數學第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P9/20 7. 設 a＞b＞0，若分別以 a＋b、a、b 為邊長所形成的三個正立方體中，最大的正立方體體積與另 兩個較小的正立方體體積總和相差 480，則以 ab 及 a＋b 為長與寬所形成的長方形面積為 【 】。【素養題】 答案：160 解析：由題意可得（a＋b）3－（a3＋b3）＝3ab（a＋b）＝480 ab（a＋b）＝160 故長方形面積為 160 8. 有理化分母： (１) 2 3 1 － ＝【 】。(２)3 7 7 3 ＋ － ＝【 】。 答案：(１) 7 2 3＋ ；(２)8－3 7 解析：(１) ） ＋ （ ） － （ ＋ ＝ － 3 2 3 2 2 3 2 3 1 ＝ 7 2 3 2 9 2 3 ＋ ＝ － ＋ (２) ） － （ ） ＋ （ ） － （ ＝ ＋ － 7 3 7 3 7 3 7 3 7 3 2 ＝ 8 3 7 2 7 6 16 7 9 7 6 7 9 － ＝ － ＝ － ＋ 9. 化簡下列各式： (１)（5＋ 3）（5－ 3）＝【 】。(２) 54－ 24＋2 150＝【 】。 答案：(１) 22；(２)11 6 解析：(１) 2 2 3 5 3 5 3 5＋ ）（－ ）＝ －（ ） （ ＝25－3＝22 (２) 54－ 24＋2 150＝3 6－2 6＋10 6 ＝11 6 10. 設 x ＋ ＋ ＝ 1 1 2 5 ，則 x＝【 】。 答案： 5＋ 1 解析： 5 2 1 1 － ＝ ＋ ∵ x 5 2 5 2 1 1 ＝ ＋ － ＝ ＋x
解得x＝ 5＋11091 高一數學第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P10/20
二、計算題
1. 設 x，y 是實數，已知 x＋y＝3，x2＋y2＝5。
(１)利用 2 ） ＋ （x y ，試求 xy 的值。 (２)試求 x y y x ＋ 的值。 解：答案：(１) 2；(２) 2 5 解析：(１)由 2 2 2 2xy y x y x＋ ）＝ ＋ ＋ （ ，得32＝5＋2xy，故 xy＝2 (２) 2 5 2 2 ＝ ＋ ＝ ＋ xy y x x y y x
2. 已知 a，b＞0 且 2a＋3b＝4，試求 ab 最大值及最大值發生時的 a，b 值。 解：答案： 3 2 3 2 1， ＝ 時， 有最大值 ＝ b ab a 解析：∵a，b＞0 ∴由算幾不等式 a＋ b （2a）（3b） 2 3 2 6ab 2 4 ∴ 6ab26ab4 ∴ 3 2 ab 得 ab 最大值為 3 2 此時 2a＝3b＝2 3 2 1， ＝ ＝ b a 3 2 3 2 1， ＝ 時， 有最大值 ＝ b ab a
3. 已知 x，y＞0 且 xy＝4，試求 x＋2y 的最小值及最小值發生時的 x，y 值。 解：答案：x＝2 2，y＝ 2時，x＋2y 有最小值4 2 解析：∵x，y＞0 ∴由算幾不等式 ） （ ＋ y x y x 2 2 2 2 2 4 2 2 ． ＝ ＋ xy y x ∴x＋2y2 8＝4 2 得 x＋2y 最小值為4 2 此時 x＝2y，代入已知 xy＝（2y）y＝4 y2＝2 ∴y＝ 2 2 2 2 ＝ ＝ y x 故x＝2 2，y＝ 2時，x＋2y 有最小值4 2
1091 高一數學第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P11/20 4. 試化簡下列各式： (１) 3 2 3 2 ＋ － － － ＋ x x x x 。 (２) 2 4 4 2 2 ＋ － － ＋ x x x x 。 解：答案：(１) 9 10 2－ x x ；(２) 2 2 － x 解析：(１)兩式通分得 3 2 3 2 ＋ － － － ＋ x x x x ＝ ） ＋ （ ） － （ ） － （ ） － （ ）－ ＋ （ ） ＋ （ 3 3 3 2 3 2 x x x x x x ＝ 9 10 2－ x x (２) 2 4 4 2 2 ＋ － － ＋ x x x x ＝ ） － （ ） ＋ （ ） － （ － ） ＋ （ 2 2 2 4 2 2 x x x x x ＝ ） － （ ） ＋ （ ＋ 2 2 4 2 x x x ＝ 2 2 － x 5. (１)展開並化簡（2a－1）（4a2＋2a＋1）。 (２)展開並化簡 3 2 2－） （ 。 (３)因式分解x －6 8x3。 (４)計算 2 2 647 653 － 。 解：答案：(１)8a3－1；(２)14 2－20；(３)x（3 x－2）（x2＋2x＋4）；(４) 7800 解析：(１)（2a－1）（4a2＋2a＋1）＝8a3＋4a2＋2a－4a2－2a－1＝8a3－1 (２) 3 2 2－） （ ＝ 3 2 2 3 2 2 2 3 2 2 3 2）－（ ）． ＋ ． － （ ＝2 2－12＋12 2－8＝14 2－20 (３)x6－8x3＝x（3 x3－8）＝x（3 x－2）（x2＋2x＋4） (４) 2 2 647 653 － ＝（653＋647）（653－647）＝1300×6＝7800
1091 高一數學第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P12/20
2-1 指數
一、單一選擇題1. ( )設a＝（0 ）.5 0.5，則下列哪一項是正確的？（已知 21.414） (Ａ) a＜0.5 (Ｂ) 0.5
a＜0.6 (Ｃ) 0.6a＜0.7 (Ｄ) 0.7a＜0.8 (Ｅ) a0.8。
答案：(Ｄ) 解析： 0.5 5 . 0 ） ＝（ a ＝ 2 1 2 1 ＝ 2 1 ＝ 2 1 0.707 故選(Ｄ) 2. ( )指數式 1 2）－ （－ 之值為何？ (Ａ) 2 (Ｂ) 2 1 － (Ｃ) 2 1 (Ｄ)－2 (Ｅ)無意義。 答案：(Ｂ) 解析： 2 1 2 1 2 1 1＝－ ） （－ ＝ ） （－ － 故選(Ｂ) 3. ( )眨眼是眼瞼開合的動作，目的是為了保護眼睛，已知一般成人的眨眼次數 1 分鐘約 12 次，若一天以 16 小時醒著來計算，則一般成人在二十天中眨眼的總次數約為下列何者？ (Ａ)2.304103 (Ｂ)2.304104 (Ｃ)2.304105 (Ｄ)2.304106 (Ｅ)2.304107。 【素養題】 答案：(Ｃ) 解析：總次數為 20×16×60×12＝230400＝ 5 10 2.304 故選(Ｃ) 二、填充題 1. 試求下列各式的值： (１） 4 3 2 3 5 10 3 3 2 ＝【 】。(２） 5 7 2 2） （ ） （ ＝【 】。 答案：(１) 54 5 ；(２) 64 解析：(１） 4 3 2 3 5 10 3 3 2 ＝ 4 4 3 3 2 2 3 5 5 2 3 3 2 ） （ ＝ 3 6 3 4 3 2 5 3 2 5 3 2 ＝ 3 3 2 5 ＝54 5 (２） 5 7 2 2） （ ） （ ＝ 5 7 2）＋ （ ＝ 12 2） （ ＝ 2 6 2 〕） （ 〔 ＝ 6 2 ＝64 2. 試求3 6 9 3 1 ＝【 】。 答案：1 解析：3 6 9 3 1 ＝3 1 6 2 3 3－ ＝ 6 2 3 1 3 3－ ＝ 6 2 3 1 3－ ＋ ＝ 0 3 ＝1
1091 高一數學第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P13/20 3. 科學家為了解決人口爆炸與地球資源耗竭的問題，於是發明了一項縮小技術，可將人類等比例 縮小到約 15 公分高，並安置於迷你島上。已知西元 3000 年時，迷你島上的人口數為 50 人， 若每 5 年島上的人口數會變為原來的 2 倍，則西元 3050 年時，迷你島上的人口數為 【 】人。【素養題】 答案：51200 解析：因為 3050－3000＝50 所以西元 3050 年時，迷你島上的人口數為50 25 50 210 50 1024 51200 50 ＝ ＝ ＝ （人） 4. 已知光速約為每秒3108公尺，如果臺灣從北到南以 400 公里計算，那麼光一秒可以南北跑 【 】趟（來回一次為一趟）。【生活應用題】【新課綱自命題】 答案：375 解析：2×400 公里＝800000 公尺＝ 5 10 8 公尺 75 3 8 3000 10 8 10 3 8） （ 5）＝ ＝ （ 5. 試求下列各式的值： (１） ） （ ） （ ） （ ） （ 2 3 4 3 2 5 2 2 5 3 3 2 5 3 2 3 2 ＝【 】。(２） 2 4 3 3 4 5 6 2 5 ＝【 】。 答案：(１) 40；(２) 5 288 解析：(１） ） （ ） （ ） （ ） （ 2 3 4 3 2 5 2 2 5 3 3 2 5 3 2 3 2 ＝ 4 3 2 3 2 2 5 2 5 3 3 2 5 3 3 2 2 ） （ ） （ ） （ ＝ 4 4 2 3 4 7 5 3 2 5 3 2 ＝235＝8×5＝40 (２） 2 4 3 3 4 5 6 2 5 ＝ 2 2 2 4 4 3 3 3 2 5 3 2 2 5 （ ） （ ） ＝ 3 4 2 4 4 4 3 3 5 2 2 3 2 5 ＝ 3 2 4 3 4 8 5 3 2 5 3 2 ＝ 4 3 2 4 3 8 5 3 2 － － － ＝ 1 2 5 5 3 2 ＝ 5 9 32 ＝ 5 288 6. 計算下列各式的值： (１） 3 3 3 5 3 5＋） （ －） （ ＝【 】。(２)設 a 為實數，a≠0，則〔 2 （ －3）〕4 a a ＝【 】。 答案：(１)－64；(２) －4 a 解析：(１） 3 3 3 5 3 5＋） （ －） （ ＝ 3 3 5 3 5＋）（ －）〕 （ 〔 ＝ 3 4） （－ ＝－64 (２)〔 2 （ －3）〕4 a a ＝ 1 4 ） （ － a ＝ －4 a
1091 高一數學第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P14/20 7. 試求 2 1.5 1 0.25 0.25 4 9 16 81 － － ） （ ＝【 】。 答案：8 解析： 2 1.5 1 0.25 0.25 4 9 16 81 － － ） （ ＝ 2 3 2 2 1 2 4 1 4 2 1 2 3 2 3 － － ＝ 3 1 2 1 2 3 2 3 － － ＝ 8 2 3 3 2 ＝8 8. 2 2 5 2 1 4 32－ ＝【 】。 答案：32 解析： 2 2 5 2 1 4 32－ ＝ 2 2 5 2 2 1 5 2 2） （ ） （ － ＝ 5 5 2 5 2 2 2－ ＝ 5 2 ＝32 9. 試化簡下列各式： (１) 3 2 8－ ＝【 】。(２） 3 8 125 . 0 ）－ （ ＝【 】。 答案：(１) 4 1 ；(２) 256； 解析：(１) 3 2 8－ ＝ 3 2 3 2）－ （ ＝ 2 2－ ＝ 4 1 (２） 3 8 125 . 0 ）－ （ ＝ 3 8 8 1 － ＝ 3 8 3 2－）－ （ ＝ 8 2 ＝256 三、計算題 1. 試求下列各式的值： (１) 5 4 5 3 5 2 5 1 2 2 2 2 。(２) 5 4 3 6 5 3 5 3 。(３) 2 3 9－ 。(４) 25 . 0 16 81 － 。 解：答案：(１) 4；(２) 5 3 ；(３) 27 1 ；(４) 3 2 解析：(１) 5 2 4 5 3 5 2 5 1 5 4 5 3 5 2 5 1 2 2 2 2 2 2 ＝ ＋＋＋＝ ＝4 (２) 5 3 5 3 5 3 4 5 3 6 ＝ (３) 27 1 3 1 3 3 9 2 3 3 3 2 2 3 ＝ ＝ ＝ ） ＝（ － － － (４) 3 2 2 3 2 3 16 81 4 1 1 4 25 . 0 ＝ ＝ ＝ － － －
1091 高一數學第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P15/20 2. 化簡下列各式並求值： (１) 4 4 1 2 1 2－）－ （ ＋）－ （ 。 (２)3 8 3 2 4 2 。 解：答案：(１) 1；(２) 16； 解析：(１) 4 4 1 2 1 2－）－ （ ＋）－ （ ＝ 4 1 2 1 2－） （ ＋））－ （ （ ＝ 4 1－ ＝1 (２) 3 2 2 3 8 3 2 3 8 3 2 3 8 2 2 4 2 4 2 ＝ ＝ （ ） 3 4 4 3 8 3 4 3 8 2 2 2 2 ＝ ＝ ＝ ＋ ＝16 3. 試求下列各式的值： (１) 3 2 99 99 0 3 2 3 2－＋（－）－＋（ ＋－ ）。 (２) 2 1 3 2 20 10 5 4 － － － － 。 解：答案：(１) 72 89 ；(２) 2 解析：(１) 3 2 99 99 0 3 2 3 2－＋（－）－＋（ ＋－ ）＝ 1 3 1 2 1 2 3＋（－）＋ ＝ 1 9 1 8 1 ＋ ＋ ＝ 72 89 (２) 1 2 3 2 20 10 5 4 － － － － ＝ 2 3 2 20 1 10 1 5 1 4 1 ＝ 2 3 2 5 4 20 10 ＝ 5 5 4 20 10 2 2 ） （ ＝ 5 10 ＝2 4. 計算下列各小題的值，並將答案以科學記號表示，且將係數部分四捨五入至小數點後第二位 （即取三位有效數字）： (１) 2 3 10 65 . 1 10 20 . 3 －－ － 。 (２) 2.35÷0.13。 (３)（ －27）（ 23） 10 02 . 6 10 67 . 1 。 解：答案：(１) 2 10 04 . 3 － ；(２) 1 10 81 . 1 ；(３) 3 10 01 . 1 － 解析：(１) 2 3 10 65 . 1 10 20 . 3 －－ － ＝ 2 2 10 165 . 0 10 20 . 3 －－ － ＝ 2 10 035 . 3 － 3.0410－2 (２) 2.35÷0.1318.076923081.81101 (３)（ －27）（ 23） 10 02 . 6 10 67 . 1 ＝10.053410－4 1.0110－3 5. 試求下列各式的值： (１) 7 3 3 3） （ ） （ 。 (２) 2 3 3 4 6 2 4 3 。 解：答案：(１) 243；(２) 6 解析：(１) 7 3 3 3） （ ） （ ＝ 7 3 2 5 3 3） ＝〔（ ）〕 （ ＋ ＝243 (２) 2 3 3 4 6 2 4 3 ＝ 2 3 3 2 4 3 2 2 2 3 ） （ ） （ ＝ 5 3 6 4 3 2 2 3 ＝ 1 1 2 3 ＝6
1091 高一數學第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P16/20 6. 請將適當的數填入下列的空格： (１) ＝2□ 2 1 5 。 (２)7 ＝1 □ 。 (３) □ ＝ － 1 7 3 。 解：答案：(１)－5；(２) 0；(３) 343 解析：(１) 5 5 2 2 1 － ＝ □＝－5 (２) 0 7 1＝ □＝0 (３) 343 1 7 1 7－3＝ 3＝ □＝343 7. 天文學上經常以光年來表示距離，光在一年內行進的距離稱為 1 光年，大約等於9.461012公 里。已知某星球與地球的距離約為 90 光年。用科學記號表示其距離是多少公里？【新課綱自 命題】 解：答案： 14 10 8.514 公里 解析： 12 10 9.46 90 公里＝ 12 10 851.4 公里＝ 14 10 8.514 公里 8. 試求下列各式的值： (１) 6 6 2 4 3 2 6 ） （ 。 (２) 10 9 1 2 1 2－）（ ＋） （ 。 解：答案：(１) 36；(２) 2－1 解析：(１) 6 6 2 4 3 2 6 ） （ ＝ 6 8 3 2 6 ） （ ＝ 6 8 6 6 ＝ 2 6 ＝36 (２) 10 9 1 2 1 2－）（ ＋） （ ＝（ －）（（ －）9 （ ＋）9） 1 2 1 2 1 2 ＝ 9 1 2 1 2 1 2－）（（ －）（ ＋）） （ ＝ 9 1 2 1 2－）（－） （ ＝ 2－1
1091 高一數學第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P17/20
2-2 常用對數
一、單一選擇題 1. ( )log 123 的整數部分為何？ (Ａ) 1 (Ｂ) 2 (Ｃ) 3 (Ｄ) 4 (Ｅ) 123。 答案：(Ｂ) 解析：∵100＜123＜1000 ∴2＜log 123＜3 故整數部分為 2 故選(Ｂ)2. ( )若 log a＝2.3，則下列哪一個選項的對數值為 4.3？ (Ａ) log（a＋2） (Ｂ) log （2a） (Ｃ) （ 2）
log a (Ｄ) log（a＋100） (Ｅ) log（100a）。 答案：(Ｅ) 解析：∵由常用對數的定義知 2.3 10 ＝ a 104.3＝102102.3＝100a ∴log（100a）＝4.3 故選(Ｅ) 二、填充題 1. (１)設10 ＝x 7，則 x＝【 】。(２)設10logy＝19，則 y＝【 】。 (３) log293 10 ＝【 】。 答案：(１) log 7；(２) 19；(３) 293 解析：(１)10 ＝x 7x＝log 7 (２)由常用對數定義知10logy＝y ∴y＝19 (３)由常用對數定義知10log293＝293 2. (１)設10 ＝x 29，則 x＝【 】。(２) log789 10 ＝【 】。 答案：(１) log 29；(２) 789 解析：(１)10 ＝x 29x＝log 29 (２) log789 10 ＝789 3. 設甲數的常用對數值是 7.81，若乙數為甲數的 100 倍，則乙數的常用對數值為【 】。 答案：9.81 解析：∵乙＝100×甲 ∴log 乙＝2＋log 甲＝2＋7.81＝9.81
4. 10log1＋10log3＋10log5＋10log7＋＋10log99＝【 】。 答案：2500
1091 高一數學第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P18/20 5. 已知log30.4771，則3 為【 】位數。 60 答案：29 解析：因為 60 log3 60 60 log3 10 10 3 ＝（ ）＝ 600.4771 10 ＝1028.626＝100.6261028 所以 60 3 為 29 位數 6. 若 log 9453 的值介於正整數 n 與 n＋1 之間，則 n 的值為【 】。 答案：3 解析：∵ 3 4 10 9453 10 ＜ ＜ ∴3＜log 9453＜4 故 n＝3 7. 試求102log12之值為【 】。 答案：144 解析： 2log12 log12 2 2 12 10 10 ＝（ ）＝ ＝144 8. 已知100.30102，試求 25 2 為【 】位數。 答案：8 解析： 25 0.3010 25 7.525 0.525 7 10 10 10 10 2 （ ）＝ ＝ 故 25 2 為 8 位數 9. 試求下列對數的值： (１) log 100000＝【 】。 (２) log 0.00001＝【 】。 答案：(１) 5；(２)－5 解析：(１) log 100000＝ 5 10 log ＝5 (２) log 0.00001＝ 5 10 log － ＝－5
10. log 0.1＋log 0.01＋log 0.001＝【 】。 答案：－6
解析：log 0.1＋log 0.01＋log 0.001
＝（－1）＋（－2）＋（－3）＝－6
11. 化簡 log 1＋log 10＋log 100＋log 1000＝【 】。 答案：6
1091 高一數學第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P19/20 三、計算題 1. 請將適當的數填入下列的空格： (１)10 ＝□ 42。(２)17＝10log□。(３)10log543＝□。 解： 答案：(１) log 42；(２) 17；(３) 543 解析：(１)10log42＝ (２)42 log17 10 17＝ (３)10log543＝543 2. 甲數的常用對數值是 3.84，則： (１)若乙數為甲數的 100 倍，試問乙數的常用對數值為何？ (２)若丙數為甲數的 10 1 倍，試問丙數的常用對數值為何？ 解：答案：(１) 5.84；(２) 2.84 解析：設甲、乙、丙三數分別為 a、b、c 因為甲數的常用對數值是 3.84，所以 log a＝3.84 因此 log 3.84 10 10 ＝ ＝ a a (１)若乙數為甲數的 100 倍，則 2 3.84 5.84 10 10 10 100 ＝ ＝ ＝ a b 所以乙數的常用對數值為 log b＝5.84 (２)若丙數為甲數的 10 1 倍，則 1 3.84 2.84 10 10 10 10 1 ＝ ＝ ＝ － a c 所以丙數的常用對數值為 log c＝2.84 3. 將下列各數寫成 10 的次方的形式。（以近似值呈現，例如2＝10log2100.3010。已知 4771 . 0 3
log 、log50.6990、log70.8451） (１) 3。 (２) 5。 (３) 7。 (４) 15。 解：答案：(１) 0.4771 10 ；(２) 0.6990 10 ；(３) 0.8451 10 ；(４) 1.1761 10 解析：(１) log3 0.4771 10 10 3＝ (２)5＝10log5100.6990 (３)7＝10log7100.8451 (４) 15＝3×5＝ log3 log5 10 10 100.4771100.6990＝ 1.1761 10 4. 試求滿足下列空格中適當的數： (１) ＝10□ 19 。 (２) ＝10□ 0.001 。 (３) ＝10□ 456 。 (４) ＝10□ 1738 。 解：
答案：(１) log 19；(２)－3；(３) log 456；(４) log 1738 解析：(１) log19 10 19＝ (２) 3 10 0.001＝ － (３) log456 10 456＝ (４) log1738 10 1738＝
1091 高一數學第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P20/20 5. 若 log a＝2.3，log b＝4.3，試問 b 是 a 的多少倍？ 解：答案：100 倍 解析：〈解法一〉 由對數定義及已知可得 log 2.3 10 10 ＝ ＝ a a ，b＝10logb＝104.3 因此， a b ＝ 2.3 3 . 4 10 10 ＝ 2 10 ＝100，即 b 是 a 的 100 倍 〈解法二〉 常用對數值增加 1，相當於原始數據乘上 10 倍 故 b 是 a 的 100 倍 6. 已知 log a＝1.7，log b＝1.3，試求 ab 的值。 解：答案：1000
解析：由 log a＝1.7，log b＝1.3，得 log 1.7
10 10 ＝ ＝ a a ， log 1.3 10 10 ＝ ＝ b b 因此，ab＝ 1.7 1.3 10 10 ＝ 1.7 1.3 10 ＋ ＝ 3 10 ＝1000 7. (１)將 87 寫成 10 的次方的形式。(２)試求10log942的值。 解： 答案：(１) log87 10 ；(２) 942 解析：(１)題意就是把 87 寫成 10□ 時，求□的值 按照常用對數的定義 得□＝log 87，即 log87 10 87＝ (２)由常用對數的定義知10log942＝942
