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多面體重心的幾何作法

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Academic year: 2021

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(1)

鄭元博

國立臺灣師大附中

目。昌 今年初我在蔡老師與鄭老師共同指導下

以「滿足之正在=面之 M 點是否為重心之探

索 J (詳見參考資料【 5 】)為題參加 2003 台 灣國際科展;緣於競爭太過激烈之故,我們 的作品未能獲獎。但我們仍然深信,作品內 容對高中立體幾何的教學上,應具相當程度 的參考價值!因此在鄭老師指導下,先將其 中有關多面體重心的幾何作法部分做專題論 述,希望能借貴刊一隅發表,提供給更廣大 的高中師生們做為教學上的參考,其他部分 等以後再伺機發表就教於學界賢達,懇請不 吝斧正。

本文

有關平面圖形重心問題的探討,已有許 多文獻可供參考,如丈後所列之參考資料【 l

>

及【 4 】即是二則;但對於空間之多面體重心 的探討,在數學上則仍甚少見到:偶而-品瞥, 也多止於三角錐的層次。有關一般多面體重 心的探討,在物理上似乎較習慣用懸吊的方 式處理:將多面體懸吊起來,則平衡時懸線 張力的方向必通過重心;因此,由兩個不同 位置所得的兩直線(懸線張力)交點處即重 心所在。我們則以幾何作圖觀點著眼,使用 數學的方式處理。我們以<圖三>所示般看 待三角錐的重心,再據以推展至一般多面體 上。 在多面體中,以柱體的重心最為淺顯 O 參見<圖一>所示:圓左為一直三角柱,圖 右則為一斜四角柱(平行六面體) ;事實上, 無論是何種角柱或圓柱,由於其截面都相 等,柱體的重心顯然恰在上、下兩底面重心 連線的中點處! 此外,一般多面體重心的尋求則須運用 解題策略做原則性處理。由於任意(包含凸 及凹)多面體必可被切割成三角錐的組合立 體(參見【 2 】及【 3 】) ,如同平面上的多邊 形都可切割成三角形的組合圖形般,因此我 們從三角錐的重心著于,進而推演至兩個三 角錐的組合(六面體) ,以至三個...到 n 個三 角錐的組合(任意多面體)情形。 三角錐的重心如何尋得?我們將它想像 成如<圖二>所示般,由無限多個平行於底 面的橫切面所構成;而每一橫切面都是相似 ;三角形,它們的重心很整齊地排列在→直線 上,即頂點到底面的重心連線。這告訴我們: 一三角錐的重心應在每-頂點到其對應的底

-

29 一

(2)

科學教育月刊 第 259 期 中華民國九十二年六月

C

面的重心連線的交點上!進一步說,一三角 這結果成功地簡化了三角錐重心作法:

3

k

由 G , -G-D三點共線知:一一+一一一一 =1

'

k+l

3(k+l)

NP2

k

k+ 1

+

N1A

k+l

N

,

G

故得 k=3 。

=

_3

N.G

,

+一主-N,D

k + 1

I I

3(k +

n

I

1=DG

2 : G

2

N; 另設AG=k GG

2

,則

D

圖〈二>

B

錐的四個頂點到其對應的底面的重心連線必 只要由三角錐任一頂點到其對應的底面的重 共點,而此交點即為此三角錐的重心。參見 心連線段上取 3: 1 的內分點位置就是三角錐 <圖三>所示一一 的重心所在。

A

三角錐重心的作法叉可以用「三角錐的 我們希望能簡化三角錐重心的尋求過

NI

D

=士( ~ (lT互+ lTf)+ 士(訂+百五))

A

C

圖<五>

(To

=

~((TN~

+

?i只)

重心! J 來替代上述作法,參見<圖五>所 示。這從向量觀點最易看透:

B

任一對歪斜線的中點連線段的中點就是它的

D

圖<四>

B

圖〈三> 程,於是對<圖三>中 G所在的一截面AN , D

=士(訂 +

?Ts

+

o-f

+百五)

進行探索,其中N

1

BC稜線的中點;對照< 圖三>及<圖四>兩圖來看,G ,為,0,ABC的 重心,也為,0,BCD的重心,則AG ,:

G

,

N=2:

=士百五+ ~

(lTl'-')

-3。一

(3)

結果與上文所述完全符合;向量的妙用,著 實令人激賞。 使用向量解析只是方法之一,利用 Ceva 定理或 Menelaus 定理亦可獲致相同的結 果,在此不予贅述。 以三角錐(四面體)的重心為基礎,進一 步探查底面為多邊形的角錐的重心時,變得 極為輕鬆容易。以四角錐為例,參見<圖六 >所示:底面四邊形ABCD被對角線AC分割 為二,而整個四角錐被平面 OAC分割為兩個 三角錐,它們的重心分別在OG ,及OG

2

3

:

1 的內分點位置;同理,四角錐被平面 OBD 分割成的兩個三角錐的重心,亦分別在 OG

3

OG

4

的3

:

1 的內分點位置;因此,由上述 兩者連線的交點即為四角錐的重心,其位置 同樣也在OG

5

的 3

:

1 的內分點位置!簡單地 說:任意四角錐的重心都在它的頂點到其對 應的底面的重心連線段上取 3: 1 的內分點位 置。 當角誰的底面為五邊以上時,上述推理 仍舊吃立不搖,這可由<圖六>清楚感受 到。事實上,頂點。扮演著伸縮變換的中心: 如<圖六>把推求底面 ABeD 上重心心的作 法向中心點。縮小到原來的 3/4 處 COG:

OGs=3 : 4)

,就得到角錐的重心 G 了!

B

D

圖〈六〉

C

一般多面體除了上述柱體及錐體外,尚 缺乏完善的分類;事實上,不管就面數或頂 點數加以考量,都相當不易建立起簡明有效 的分類體系。因此,我們僅舉例解說六面體 (兩個三角錐的組合) ,以至八面體(三個三 角錐的組合) ,再推廣歸納到 n 個三角錐的組 合(一般多面體)之重心的尋求策略。 如<圖七>所示,當兩個三角錐A-BCD 及E-BCD組合成一個六面體時, L, BCD是它 們的接合面;先取L, BCD的重心 G ,'則在AG , 及EG ,上分別取 3

:

1 的內分點,即得三角錐

A-BCD

、 E-BCD的重心σl 、 G'2; 此六面體的 A 圖〈七〉 C B E 重心G應在0',0'2連線上某處,使得G

0'

1 :

G

0'2=(三角錐 E-BCD體積)

:

(三角錐A-BCD體 積)。設 AE與接合面 BCD的交點為 p ,因為兩 個三角錐有相同的底面,所以(三角錐A-BCD 體積)

:

(三角錐E-BCD體積)=PA

:

PE 。只要 連接A 0'2及E 叭,得交點M: 再自 P點向 M引 直線與G'IG'2的交點就是六面體重心G的正確 位置。我們簡單證明如下: 【證明】 由 AO', :σ , G ,

=

3 : 1= E

O'

2

:σ2G, 知AE II σ1 0'2

故得L, APM~ L, GO'2M 、L,EPM~ L,Gσ , M: 利用對應邊成比例知

l

(4)

科學教育月刊 第 259 期 中華民國九十二年六月

AP : G

G'

2=PM : MG=EP :

Gσl

因此得證 (ABCD 體積): (EBCD 體積)

=AP: EP=G

G'

2 : G

G'

I

即 :G 為六面體 ABCDE 的重心所在! 三個三角錐 (A-BCD 、 E-BCD 及 F-CDE) 組合成一個八面體ABCDEF的情形則如<圖 八>所示,其中 BCD及CDE為兩接合面;延 用上述作圖策略, G] 、 G

2

、 G

3

分別為三角錐

A-BCD

、 E-BCD及早CDE的重心,可得六面 體ABCDE及 BCDEF的重心分別為G']、 σ2

.

由於八面體 ABCDEF 的重心應同時在 G\ G'2 及肌肉上,故知 G

I

G'2及G']G

3

的交點即為八 面體ABCDEF的重心! A 團 <i\〉 8 當第四個三角錐再加入上述八面體時, 設這個三角錐的重心為心,而它與三角錐 CDEF組合成的六面體的重心為叭,則兩連 線 GG

4

與G'3 G'] 的交點處就是新多面體的重 心所在。以此類推,由一被分割為n個三角錐 組合的多面體推廣至n+l 個三角錐組合的多 面體時,先作出新三角錐的重心及它與相鄰 三角錐組合的新六面體的重心,再由【屋三是 直盟重立與新三角錐重 J l;、連線】與【主且也 n-l 個三角錐組合的重心與新六面體重心連 線】兩直線的交點順利求得整個新多面體的 重心!有了上述機能,只要將多面體分割為 數個三角錐的組合,即可循理求得一般多面 體的重心。 結語 多面體重心的一般作法,是建立在三角 錐重心的基礎上;由三角錐重心的作法成功 推展到一般多面體重心的關鍵點在於:如< 圓七>所示的兩個三角錐組合成一個六面體 的重心得以順利求出;進一步利用<圖八> 再「舉一反三」時,彷彿已經是順水推舟成 功在望的事了!我們同時相信,有朝一日當 一般多面體建立妥完善的分類體系後,定能 提供將本文之作法進一步特殊化、簡單化的 契機。 最後,要感謝學校兩位老師的熱心指 導,以及科學教育月刊幾位審查教授的耐心 指正,讓我有這個難得的學習與成長的機 會,衷心銘謝。

參考資料:

1.王哲麒、翁士傑 (1991)' 尋找多邊形重心。 全國第三十一屆科展優勝專輯(國中組) ,國 立臺灣科學教育館編印 2 李虎雄等六人 (2001) ,高中幾何學教科書 下冊。康熙圖書網路股份有限公司 3. 李虎雄等六人 (2001)' 高中幾何學教師手 冊下冊。康熙圖書網路股份有限公司 4.孫自嘉等五人(

1985)

,平面圖形重心問題 之探討。全國第二十一至三十屆科展優勝

(下轉第 54 頁)

-

32 一

(5)

Strombomonas

sp. 陀螺藻屬

2. 辦胞藻科 (Petalomonadaceae)

瓣胞藻科細胞多數成卵形,少數其他形 狀。表質硬化,細胞形狀固定。鞭毛有的具不 等長、不等租的兩條:游泳鞭毛伸向前方,拖 曳鞭毛彎向後方;有的僅游泳鞭毛伸出體外。 眼點和鞭毛隆體缺乏。色素體缺乏,主要營吞 噬性營養,有的兼滲透性的腐生營養(施,

1999)

,其中瓣胞藻屬 (

Petalomonas

)細胞形 狀固定,明顯扁平,常呈卵圓形或三角形,背 面常隆起具龍骨突起,腹面常凹入真縱溝,有 時腹面也有龍骨狀的突起。胞口常在腹面凹入 或呈縱裂狀。溝泡明顯偏向一側。表質常真有 縱線紋。鞭毛一條,常與體長相等。副澱粉粒 小顆粒狀,多數。核常偏於一側。動物性營養, 兼有腐生營養,淡水產(施, 1999 ;森若與齊,

1996

)。

Petalomonas

sp. 辦胞藻屬 淡水藻類之光學顯微鏡觀察,比例尺長度為 10

m

HF (上承第 32 頁) 專輯(國中組數學科合訂本) ,國立臺灣科 學教育館編。

珊珊 (2003) ,滿足乏正在 =o~ M 點

是否為重心之探索。 2003 台灣國際科展作 品說明書。國立台灣師大附中。

-

54-6. 褚德三主編(

2001 )

,物質科學物理篇 (上)。龍騰文化事業公司編印。

7.THE GEOMETER'S SKETCHPAD

User Guide and Reference Manual

Windows Version 3. Key Curriculum

Press 1995

參考文獻

相關文件

本案例可結合第三冊第六課「民法與生活」 (交易安全的保障與法律) 、選修上 第六課「私法自治的民法」

以下簡單介紹魔術三角形: 如圖 1, 若三角形每邊有 三個數且數字和都是定值, 稱為 3 階 (傳統) 魔術三角形; 如圖 2, 若每邊有三 個數且較大兩數和減最小數的差都是定值, 稱為

「三昧空」,與上面三空中的觀空不同。這是就修空觀──三三昧的 時候,在能觀的心上 所現的空相 所現的空相

(即直角三角形斜邊中點為此三角形的外心。)

[r]

[r]

如圖,已知六邊形 ABCDEF 有一外接圓,請利用尺規作圖

△ABC 為上底面、△DEF 為下底面,且上底面△ABC 與下底面△DEF 互相平行、△ABC △DEF;矩形 ADEB、矩形 BEFC 與 矩形 CFDA 皆為此三角柱的側面,且均同時與△ABC、△DEF