鄭元博
國立臺灣師大附中
目。昌 今年初我在蔡老師與鄭老師共同指導下以「滿足之正在=面之 M 點是否為重心之探
索 J (詳見參考資料【 5 】)為題參加 2003 台 灣國際科展;緣於競爭太過激烈之故,我們 的作品未能獲獎。但我們仍然深信,作品內 容對高中立體幾何的教學上,應具相當程度 的參考價值!因此在鄭老師指導下,先將其 中有關多面體重心的幾何作法部分做專題論 述,希望能借貴刊一隅發表,提供給更廣大 的高中師生們做為教學上的參考,其他部分 等以後再伺機發表就教於學界賢達,懇請不 吝斧正。本文
有關平面圖形重心問題的探討,已有許 多文獻可供參考,如丈後所列之參考資料【 l>
及【 4 】即是二則;但對於空間之多面體重心 的探討,在數學上則仍甚少見到:偶而-品瞥, 也多止於三角錐的層次。有關一般多面體重 心的探討,在物理上似乎較習慣用懸吊的方 式處理:將多面體懸吊起來,則平衡時懸線 張力的方向必通過重心;因此,由兩個不同 位置所得的兩直線(懸線張力)交點處即重 心所在。我們則以幾何作圖觀點著眼,使用 數學的方式處理。我們以<圖三>所示般看 待三角錐的重心,再據以推展至一般多面體 上。 在多面體中,以柱體的重心最為淺顯 O 參見<圖一>所示:圓左為一直三角柱,圖 右則為一斜四角柱(平行六面體) ;事實上, 無論是何種角柱或圓柱,由於其截面都相 等,柱體的重心顯然恰在上、下兩底面重心 連線的中點處! 此外,一般多面體重心的尋求則須運用 解題策略做原則性處理。由於任意(包含凸 及凹)多面體必可被切割成三角錐的組合立 體(參見【 2 】及【 3 】) ,如同平面上的多邊 形都可切割成三角形的組合圖形般,因此我 們從三角錐的重心著于,進而推演至兩個三 角錐的組合(六面體) ,以至三個...到 n 個三 角錐的組合(任意多面體)情形。 三角錐的重心如何尋得?我們將它想像 成如<圖二>所示般,由無限多個平行於底 面的橫切面所構成;而每一橫切面都是相似 ;三角形,它們的重心很整齊地排列在→直線 上,即頂點到底面的重心連線。這告訴我們: 一三角錐的重心應在每-頂點到其對應的底-
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C
面的重心連線的交點上!進一步說,一三角 這結果成功地簡化了三角錐重心作法:3
k
由 G , -G-D三點共線知:一一+一一一一 =1'
k+l
3(k+l)
NP2
k
k+ 1
+
N1A
k+l
N
,
G
故得 k=3 。=
_3
N.G
,
+一主-N,D
k + 1
I I3(k +
n
I1=DG
2 : G2
N; 另設AG=k GG2
,則D
圖〈二>B
錐的四個頂點到其對應的底面的重心連線必 只要由三角錐任一頂點到其對應的底面的重 共點,而此交點即為此三角錐的重心。參見 心連線段上取 3: 1 的內分點位置就是三角錐 <圖三>所示一一 的重心所在。A
三角錐重心的作法叉可以用「三角錐的 我們希望能簡化三角錐重心的尋求過NI
D
=士( ~ (lT互+ lTf)+ 士(訂+百五))
A
C
圖<五>(To
=~((TN~
+
?i只)
重心! J 來替代上述作法,參見<圖五>所 示。這從向量觀點最易看透:B
任一對歪斜線的中點連線段的中點就是它的D
圖<四>B
圖〈三> 程,於是對<圖三>中 G所在的一截面AN , D=士(訂 +
?Ts
+
o-f
+百五)
進行探索,其中N1
為
BC稜線的中點;對照< 圖三>及<圖四>兩圖來看,G ,為,0,ABC的 重心,也為,0,BCD的重心,則AG ,:G
,
N=2:
=士百五+ ~
(lTl'-')
-3。一
結果與上文所述完全符合;向量的妙用,著 實令人激賞。 使用向量解析只是方法之一,利用 Ceva 定理或 Menelaus 定理亦可獲致相同的結 果,在此不予贅述。 以三角錐(四面體)的重心為基礎,進一 步探查底面為多邊形的角錐的重心時,變得 極為輕鬆容易。以四角錐為例,參見<圖六 >所示:底面四邊形ABCD被對角線AC分割 為二,而整個四角錐被平面 OAC分割為兩個 三角錐,它們的重心分別在OG ,及OG
2
的3:
1 的內分點位置;同理,四角錐被平面 OBD 分割成的兩個三角錐的重心,亦分別在 OG3
及
OG4
的3:
1 的內分點位置;因此,由上述 兩者連線的交點即為四角錐的重心,其位置 同樣也在OG5
的 3:
1 的內分點位置!簡單地 說:任意四角錐的重心都在它的頂點到其對 應的底面的重心連線段上取 3: 1 的內分點位 置。 當角誰的底面為五邊以上時,上述推理 仍舊吃立不搖,這可由<圖六>清楚感受 到。事實上,頂點。扮演著伸縮變換的中心: 如<圖六>把推求底面 ABeD 上重心心的作 法向中心點。縮小到原來的 3/4 處 COG:OGs=3 : 4)
,就得到角錐的重心 G 了!B
D
圖〈六〉C
一般多面體除了上述柱體及錐體外,尚 缺乏完善的分類;事實上,不管就面數或頂 點數加以考量,都相當不易建立起簡明有效 的分類體系。因此,我們僅舉例解說六面體 (兩個三角錐的組合) ,以至八面體(三個三 角錐的組合) ,再推廣歸納到 n 個三角錐的組 合(一般多面體)之重心的尋求策略。 如<圖七>所示,當兩個三角錐A-BCD 及E-BCD組合成一個六面體時, L, BCD是它 們的接合面;先取L, BCD的重心 G ,'則在AG , 及EG ,上分別取 3:
1 的內分點,即得三角錐A-BCD
、 E-BCD的重心σl 、 G'2; 此六面體的 A 圖〈七〉 C B E 重心G應在0',0'2連線上某處,使得G0'
1 :G
0'2=(三角錐 E-BCD體積):
(三角錐A-BCD體 積)。設 AE與接合面 BCD的交點為 p ,因為兩 個三角錐有相同的底面,所以(三角錐A-BCD 體積):
(三角錐E-BCD體積)=PA:
PE 。只要 連接A 0'2及E 叭,得交點M: 再自 P點向 M引 直線與G'IG'2的交點就是六面體重心G的正確 位置。我們簡單證明如下: 【證明】 由 AO', :σ , G ,=
3 : 1= E
O'
2
:σ2G, 知AE II σ1 0'2故得L, APM~ L, GO'2M 、L,EPM~ L,Gσ , M: 利用對應邊成比例知
l
科學教育月刊 第 259 期 中華民國九十二年六月
AP : G
G'
2=PM : MG=EP :
Gσl因此得證 (ABCD 體積): (EBCD 體積)
=AP: EP=G
G'
2 : G
G'
I即 :G 為六面體 ABCDE 的重心所在! 三個三角錐 (A-BCD 、 E-BCD 及 F-CDE) 組合成一個八面體ABCDEF的情形則如<圖 八>所示,其中 BCD及CDE為兩接合面;延 用上述作圖策略, G] 、 G