國中數學6 1 2二次函數的最大值、最小值

1−2 二次函數的最大值、最小值

形如 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的二次函數，可利用配方法化成形如 y＝a(x－h)2＋k 的二次函數，其圖形 為拋物線，其中 x－h＝0 為對稱軸，(h , k)為頂點。

【觀念釐清】配方法：x2 px＋( ± p_{2 )}2＝(x ± p_{2 )}2。(只配 x2項和 x 項，加 x 項係數一半的平方。)

練習1：求二次函數 y＝x2＋4x 圖形的對稱軸方程式、頂點坐標及開口方向，並描繪其圖形。

練習2：求二次函數 y＝x2－10x 圖形的對稱軸方程式、頂點坐標及開口方向。

練習4：求下列各二次函數圖形的對稱軸方程式、頂點坐標及開口方向。 (1) y＝－3x2＋12x－1 (2) y＝ 1_{2 x}2－3x＋ 7₂ 練習5：已知二次函數 y＝3x2＋bx＋c 圖形的頂點坐標為(2 , －5)，則 b、c 的值各為何？ 練習6：已知二次函數 y＝－x2_{＋bx＋c 圖形的頂點坐標為(－3 , 1)，則 b、c 的值各為何？} 二、二次函數的最大值與最小值： (1)形如 y＝a(x－h)2＋k 的二次函數： a＞0 a＜0 開口向上 開口向下 有最低點 (h , k) 有最高點 (h , k) x＝h 時，有最小值為 k x＝h 時，有最大值為 k (2)形如 y＝ax2＋bx＋c 的二次函數，可利用配方法把它化成 y＝a(x－h)2＋k 的形式，再來討論 函數的最大值或最小值。 練習7：判斷下列二次函數在 x 為多少時，y 有最大值或最小值，並求其值。 (1) y＝3(x－2)2＋6 (2) y＝－3_4(x＋1)2－5 練習8：判斷下列二次函數在 x 為多少時，y 有最大值或最小值，並求其值。 (1) y＝4_5(x－7)2－2 (2) y＝－(x＋4)2＋7

練習9：判斷下列二次函數是否有最大值或最小值，並求其值。(Hint：先配方) (1) y＝x2－6x＋1 (2) y＝－2x2＋4x－3 練習10：判斷下列二次函數是否有最大值或最小值，並求其值。 (1) y＝x2－4x＋1 (2) y＝－2x2－4x 三、二次函數圖形與兩軸的交點： ◎二次函數 y＝ax2_{＋bx＋c 的圖形與兩軸的交點：} (1)令 x＝0，可得 y 軸的交點坐標為(0 , c)。 (2)令 y＝0，求與 x 軸的交點坐標，即求 ax2＋bx＋c＝0 的解。 (3)與 x 軸的交點個數，可由判別式 b2－4ac 來判斷。 (4)與 x 軸的交點個數，可由函數圖形的頂點及開口方向來判斷。 【說明】考慮二次函數 y＝x2－6x＋5， (1)令 x＝0，得 y＝5，故與 y 軸的交點坐標為(0 , 5)。 (2)令 y＝0，得 x＝5 或 x＝1，故與 x 軸的交點為(5 , 0)與(1 , 0)。 (3)判別式 b2－4ac＝(－6)2－4×1×5＝16＞0，故與 x 軸有兩個交點。 (4)二次函數 y＝x2－6x＋5＝(x－3)2－4 的圖形開口向上，其頂點(3 , －4)在 x 軸的下方， 與 x 軸有兩個交點。 【觀念釐清】(1)當判別式 b2_{－4ac＞0 時：} 方程式 ax2＋bx＋c＝0 有兩個相異解 x＝－b＋ b 2_－4ac 2a 和 x＝ －b－ b2－4ac 2a ， 即二次函數 y＝ax2＋bx＋c 的圖形與 x 軸 有兩個交點，如右圖上，其坐標為 (－b＋ b 2_－4ac 2a , 0)及( －b－ b2－4ac 2a , 0)。 (2)當判別式 b2－4ac＝0 時： 方程式 ax2＋bx＋c＝0 有重根 x＝ －b_{2a ，} 即二次函數 y＝ax2＋bx＋c 的圖形與 x 軸 恰有一個交點，也就是頂點，如右圖中， －b O _x y x O y O x y O _x y O x y x O y

練習11：求二次函數 y＝x2－3x＋2 的圖形與兩軸相交的情形： (1)與 y 軸的交點坐標。

(2)與 x 軸的交點坐標。

練習12：求二次函數 y＝－x2＋4x－4 的圖形與 y 軸、x 軸的交點坐標。

練習13：判斷下列二次函數圖形與 x 軸的交點個數。

(1) y＝2x2－3x＋1 (2) y＝1＋4x＋4x2 (3) y＝－x2＋2x－4

練習14：判斷下列二次函數圖形與 x 軸的交點個數。

(1) y＝1－6x－x2 (2) y＝2x2＋12x＋18 (3) y＝x2＋x＋1

練習15：判斷下列二次函數圖形與 x 軸的交點個數。

(1) y＝－2(x－3)2＋5 (2) y＝－(x＋1)2 (3) y＝3(x－4)2＋1

練習16：判斷下列二次函數圖形與 x 軸的交點個數。

自我評量

1. 求下列各二次函數圖形的對稱軸方程式、頂點坐標及開口方向。 (1) y＝－3x2＋12x－8 (2) y＝2x2－4x－3

2. 求下列各二次函數圖形的頂點坐標及其最大值或最小值。

(1) y＝x2－4 (2) y＝－x2＋5 (3) y＝3(x＋4)2＋3 (4) y＝－ 1_{3 (x－6)}2－3 (5) y＝2x2－8x－1 (6)y＝－3x2－6x－3

3. 已知二次函數 y＝－2x2＋bx＋c 圖形的頂點坐標為(4 , 6)，則 b、c 的值各為何？

4. 求二次函數 y＝2x2－5x－3 的圖形與兩軸的交點坐標。

習作

1. 在坐標平面上描繪下列二次函數的圖形，並標示出它們的頂點坐標及對稱軸方程式。 (1) y＝x2－4x＋3 (2) y＝－3x2＋6x－1

2. 下列哪一個二次函數的圖形和 y＝4x2－8x 的圖形有相同的頂點？

(A) y＝2x2－4x (B) y＝－2(x＋1)2 (C) y＝2(x＋1)2＋4 (D) y＝－2(x－1)2－4

3. 下列四個二次函數圖形中，哪一個函數在 x＝2 時，有最大值 3？ (A) (B) (C) (D) O x y (2,3) O x y (2,3) O x y (2,3) O x y (2,3) 4. 寫出下列各二次函數的頂點坐標，及其最大值或最小值。

(1) y＝2(x－4)2－5 (2) y＝－ 1_{3 (x＋2)}2＋7 (3) y＝－x2＋6x

(4) y＝－4x＋x

5. 若二次函數 y＝2x2＋bx＋c 與 x 軸的交點坐標為(1 , 0)及(－3 , 0)，則 (1) b、c 的值分別是多少？ (2)此二次函數與 y 軸的交點坐標為何？ 6. 若二次函數 y＝－(x＋3)2＋k 與 y 軸的交點坐標為(0 , 5)，則 (1) k＝？ (2)此二次函數與 x 軸有幾個交點？ 7. 若二次函數 y＝ax2＋bx＋c 的圖形完全在 x 軸的上方，則下列何者正確？ (A) a＞0，b2－4ac＞0，c＞0

(B) a＜0，b2－4ac＜0，c＜0 (C) a＞0，b2－4ac＜0，c＞0 (D) a＜0，b2－4ac＞0，c＞0

8. 二次函數 y＝x2＋mx＋9 有最小值－7，則 m＝？

9. 若二次函數 y＝x2－8x＋6 與 y＝－6 交於 A、B 兩點，則 A、B 兩點的距離為多少？

類題補充 1. 若有一個二次函數 y＝ax2＋bx＋c 的圖形如右，則下列敘述何者正確？ (A) a＞0 (B) c＞0 (C) b＜0 (D) b2－4ac＜0 y x

2. 將二次函數 y＝3x2＋6x－2 的圖形向左平移 3 個單位長，再向下平移 2 個單位長，求新圖形的 二次函數。

3. 二次函數 y＝x2－2x－8 的圖形交 x 軸於 A、B 兩點，交 y 軸於 C 點，頂點坐標為 D，求△ABC 與 △ABD 的面積。

4. 已知二次函數圖形通過(－1 , －8)、(1 , 0)兩點，又圖形經過平移後與 y＝－2x2－3 的圖形重合， 求此二次函數及最大值。

5. 若二次函數 y＝－x2－2x＋(a＋1)的圖形與 x 軸交於一點，則 a＝ 。

6. 若二次函數 y＝(x－h)2＋k 的圖形交 x 軸於(－2 , 0)、(－6 , 0)，則 k＝ 。

7. 二次函數 y＝3x2－6x＋m 的圖形向下平移 4 個單位後，其圖形會與 x 軸相切，則 m＝ 。

8. 已知二次函數 f (x)＝a(x＋1)2＋b 滿足 f (－4)＞0，f (－5)＜0，則下列敘述何者正確？ (A) a＞0 (B) b＜0 (C) f (4)＞0 (D) f (0)＜b

加強練習

1. 下列哪一個二次函數的圖形和 y＝4x2＋8x＋7 有相同的頂點？

(A) y＝8x2＋7x＋4 (B) y＝5(x＋1)2＋3 (C) y＝4x2＋8x (D) y＝－(x－1)2＋3 2. 下列二次函數中，哪一個在 x＝－ 3_{2 時，有最小值－9？}

(A) y＝3(2x＋1)2－9 (B) y＝－3x2＋9x＋2 (C) y＝－ 3_{2 x}2－9 (D) y＝2x2＋6x－ 9₂ 3. 若二次函數 y＝ax2_{＋bx＋c 的圖形完全在 x 軸的下方，則下列何者正確？}

(A) a＜0，b2－4ac＜0，c＜0 (B) a＞0，b2－4ac＞0，c＞0 (C) a＜0，b2－4ac＜0，c＞0 (D) a＞0，b2－4ac＞0，c＜0

4. 若二次函數 y＝－(x＋2)2＋k 與 x 軸的其中一個交點坐標為(2 , 0)，則 (1) k＝ 。 (2) 此二次函數與 y 軸的交點坐標為 。 5. 已知二次函數的圖形通過(－2 , 3)、(－1 , －1)兩點，且以 x＝－2 為對稱軸，求此二次函數及頂點 坐標。 6. 若二次函數 y＝a(x＋3)2－k 有最大值 3，則下列何者正確？ (A) a＋k＜0 (B) a＜k (C) a＞k (D) ak＜0

7. 下列哪一個二次函數的圖形與 x 軸相交於一點？

(A) y＝x2＋4x－4 (B) y＝－2x2＋4x－2 (C) y＝x2＋1 (D) y＝(x－1)2＋1 8. 設二次函數 y＝x2－6x＋a 的圖形與 x 軸沒有交點，則 a 的範圍為 。

9. 若二次函數 y＝x2－ax－b 在 x＝－2 時，y 有最小值 7，則點(a，b)在坐標平面上的第幾象限？ 10. 求二次函數 y＝6x2－7x－3 的圖形與兩軸的交點坐標。 11. 若二次函數 y＝x2－6x＋4，且 1≤ x ≤10，則 (1) y 的最小值為 。 (2) y 的最大值為 。 12. 坐標平面上 y＝1、y＝2、y＝3、y＝4 四條直線中，有幾條與二次函數 y＝－x2＋4x－2 的圖形 有交點？ (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 13. 二次函數 y＝3x2－6x＋9 圖形上的點到 x 軸的最短距離為多少？ 14. 欲作二次函數 y＝2x2－12x＋20 的圖形，此圖形可由函數 y＝2x2的圖形向右平移 h 個單位後， 再向上平移 k 個單位而得到，則數對(h , k)在第幾象限？ 15. 在坐標平面上，有一個二次函數圖形交 x 軸於(－8 , 0)、(4 , 0)兩點，今將此二次函數圖形向右 移動 h 單位，再向下移動幾個單位後，發現新的二次函數圖形與 x 軸相交於(－3 , 0)，(7 , 0)兩點， 則 h 的值為何？ 16. 坐標平面上有一個二次函數的圖形交 x 軸於(2 , 0)、(3 , 0)，且此函數的最小值為－ 1_{4 ，則} 此二次函數的頂點坐標為 。

17. 二次函數 y＝－x2_{＋ax－6，在 x＝－1 時最大值為 b，則 a＋b＝ 。} 18. 若二次函數 y＝3x2＋mx＋n 的頂點為(1 ,－ 1_{2 )，則 m＋4n＝ 。} 19. 若二次函數 y＝－2x2＋8x 的頂點為 P，且此二次函數與直線 y＝6 交於 Q、R 兩點，則△PQR 的 面積為多少？ 20. 若二次函數 y＝－2x2＋7x－3 的圖形與 x 軸交於 A、B 兩點，則¯ AB ＝ 。 21. 二次函數 f (x)＝－3x2－215x＋301，則下列哪個函數值最小？ (A) f (－34) (B) f (－35) (C) f (－36) (D) f (－37)

Ans：1.(B)；2.(D)；3.(A)；4.(1) 16，(2) (0, 12)；5. y＝－4(x＋2)2＋3，(－2 , 3)；6.(A)；7.(B)； 8. a＞9；9.第三象限；10.與 x 軸的交點( 3_{2 , 0)、(－}1_{3 , 0)，與 y 軸的交點(0 , －3)；}

11.(1)－5，(2) 44；12.(B)；13. 6；14.第一象限；15. 4；16. ( 2_{5 , －} 1_{4 )；17.－7；18. 4；} 19. 2；20. 5_{2 ；21.(A)。}