5-3-3不等式-二元一次不等式與線性規劃

全文

(1)選修數學(I)3-3 不等式-二元一次不等式與線性規畫【定義】 1. 二元一次不等式：當 x, y 為未知數，而 a, b, c 是常數，且 a, b 不全為 0 時， ax + by + c = 0 是二元一次方程式，其中的等號「 = 」若改成不等號「 > 」，「 ≥ 」，「 < 」，或「 ≤ 」時，就是二元一次不等式。註：由一元或二元表示出來的一次不等式都可視為二元一次不等式，所有的一元不等式也都可稱為線性不等式。 2. 二元一次不等式的圖解：在坐標平面上，設直線 L : ax + by + c = 0 。 (1)平面上任一點 P( x 0 , y 0 ) 在直線 L 上 ⇔ ax0 + by 0 + c = 0 。 (2)若 a > 0 ，則 L 右側的點 ( x, y ) 滿足 ax + by + c > 0 ， L 左側的點 ( x, y ) 滿足 ax + by + c < 0 。證明：令過點 P( x 0 , y 0 ) 的水平線交直線 L 於點 P' ( x0 ' , y 0 ' ) ，點 P( x 0 , y 0 ) 在直線 L 的右邊 ⇔ 點 P( x 0 , y 0 ) 在點 P' ( x0 ' , y 0 ' ) 的右邊 ⇔ x0 > x0 ' ⇔ ax0 + by 0 + c > ax0 '+by 0 '+c ⇔ ax 0 + by 0 + c > 0 (3)若 b > 0 ，則 L 上方的點 ( x, y ) 滿足 ax + by + c > 0 ， L 下方的點 ( x, y ) 滿足 ax + by + c < 0 。證明：令過點 P( x 0 , y 0 ) 的鉛直線交直線 L 於點 P' ( x0 ' , y 0 ' ) ，點 P( x 0 , y 0 ) 在直線 L 的上方 ⇔ 點 P( x 0 , y 0 ) 在點 P' ( x0 ' , y 0 ' ) 的上方 ⇔ y0 > y0 ' ⇔ ax0 + by 0 + c > ax0 '+by 0 '+c ⇔ ax 0 + by 0 + c > 0 註：在坐標平面上，畫出二元一次不等式的圖解時，可以配合畫出實線(含邊界) 或虛線(不含邊界)，以及斜線，如此可以標出代表的區域範圍。 3. 二元一次不等式組：在坐標平面上，二元一次不等式組的圖形為其中各不等式所表半平面的重疊區域。 4. 格子點： x 坐標與 y 坐標都是整數的點稱為格子點。註：若不等式組的可能解在一個封閉區域內，且可能解的 x, y 都是整數時，可以一一點算。. 10.

(2) 【定義】 1. 線性規劃：若一個應用問題涉及兩變量 x 與 y ，且 x 與 y 受到若干個二元一次不等式的限制，而 k = ax + by + c 是一個 x 與 y 的一次函數，則求 k 的最大值或最小值的問題稱為線性規劃。 2. 可行解區域與目標函數：線性規劃的二元一次不等式組的圖形稱為可行解區域，函數 k 稱為目標函數。 3. 最大值與最小值：直線 ax + by + c = k 隨 k 變化而平行移動，使此類直線通過可行解區域之最大 k 值即為目標函數的最大值，而最小 k 值即為目標函數的最小值，最大值與最小值若存在都會發生在可行解區域的頂點。 4. 最佳解：滿足條件之最佳數對。 5. 等值線：對於任意 ( x, y ) 代入後，函數值相等之直線。註： 1. 常會忽略 x ≥ 0, y ≥ 0 的條件。 2. 如果一個線性規劃問題有最佳解時，其最佳解可能在頂點或可行解區域的邊界上，即使是在邊界上，它也包含了兩個頂點，因此處理問題時只需考慮頂點即可。 3. 如果我們處理的線性規劃問題的變數必須是整數，當可行解區域的端點可使目標函數的值最小，而此端點不是格子點時，我們必須在這點附近的可行區域內找出最適當的格子點。【求法】 1. 平行線法：當給定一個 k 值時，在坐標平面上，方程式 ax + by + c = k 的圖形是一條直線，不同的 k 值，此直線只是平行移動到不同的位置，故可以適當平行移動該直線通過可行解區域而取得 k 值的最大值或最小值，這種作法稱為平行線法。 2. 頂點法：只檢查各頂點的 k 值，即可得 k 最大值或最小值，這種作法稱為頂點法。註：此為由平面線性規劃推展到一般線性規劃的單純形法(simplex method)。. 11.

(3)