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國中數學3 3 3利用十字交乘法做因式分解

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Academic year: 2021

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國中數學學習講義(配合康軒數學 3) 3-3 利用十字交乘法做因式分解(第25頁) 格致數學科.黃俊誠老師製作 2015.08. 

3−3 利用十字交乘法做因式分解

本節課程學習重點: ◎能利用十字交乘法因式分解二次多項式。 一、二次項係數為 1 的十字交乘法: 用十字交乘將一個二次多項式化為兩個一次多項式的乘積,這種因式分解的方法稱為十字交乘法。 【說明】因式分解 x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)。 x +a x +b ax+bx=(a+b)x ab x2 ◎二次多項式的係數與因式分解:

若二次多項式 x2+px+q 可以因式分解成(x+a)(x+b),則(1) p=a+b;(2) q=ab。

【說明】一個二次多項式 x2+px+q,如果可以因式分解為兩個一次多項式 x+a 與 x+b 的乘積,

則 x2+px+q=(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab,即 p=a+b、q=ab。

【觀念釐清】用十字交乘法對形如 x2+px+q 的二次多項式做因式分解時,因為能使 a+b=p 的 a、b

有多種可能的組合,習慣上會先找合適的 a、b 使 ab=q,再檢查 a+b=p 是否也成立。

練習 1:因式分解 x2+3x+2。 練習 2:因式分解 x2-7x+10。 練習 3:因式分解下列各式。(1) x2+4x+3 (2) x2-8x+15 練習 4:因式分解 x2+4x-21。 練習 5:因式分解 x2-5x-14。 練習 6:因式分解下列各式。(1) x2+20x-21 (2) x2-13x-30

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國中數學學習講義(配合康軒數學 3) 3-3 利用十字交乘法做因式分解(第26頁) 格致數學科.黃俊誠老師製作 2015.08.  二、二次項係數不為 1 的十字交乘法:(習慣上,只要考慮二次項係數的正因數即可。) 【說明】因式分解 acx2+(bc+ad)x+bd=(ax+b)(cx+d)。 ax +b cx +d bcx+adx=(bc+ad)x bd acx2 練習 7:因式分解 2x2+15x+7。 練習 8:因式分解 5x2+27x+10。 練習 9:因式分解下列各式。(1) 3x2+20x+12 (2) 5x2+16x+12 練習 10:因式分解 9x2-6x+1。 練習 11:因式分解下列各式。(1) 6x2-19x+15 (2) 6x2-23x+21 練習 12:因式分解 4x2+4x-3。 練習 13:因式分解下列各式。(1) 13x2+8x-5 (2) 6x2-x-12 練習 14:因式分解-x2+2x+63。(Hint:先提出-1,使二次項係數為正。)

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國中數學學習講義(配合康軒數學 3) 3-3 利用十字交乘法做因式分解(第27頁) 格致數學科.黃俊誠老師製作 2015.08.  練習 15:因式分解下列各式。(1)-x2-3x+54 (2)-3x2+11x+4 練習 16:因式分解 12y2+44y+40。(Hint:先提出係數的公因數再做因式分解) 練習 17:因式分解 18x2+21x-30。 練習 18:因式分解(x-3)2-3(x-3)-10。(Hint:令 x-3=A) 練習 19:因式分解 2(2x-1)2+7(2x-1)+3。(Hint:令 2x-1=A) 【觀念釐清】利用十字交乘法做因式分解時,若多項式的係數含有分數,要先將多項式中各項的係數 化為整數,再利用十字交乘法做因式分解。 練習 20:因式分解 4 3 x 2-x-35 6 。 練習 21:因式分解 2 9 x 21 3 x-1。

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國中數學學習講義(配合康軒數學 3) 3-3 利用十字交乘法做因式分解(第28頁) 格致數學科.黃俊誠老師製作 2015.08.  ◎補充:利用拆項及提公因式做因式分解: 【說明】「拆項」,就是將一項拆成兩項或者更多項。 例如:可以將 x2+3x+2 中的 3x 拆成 x+2x,原來的多項式就變成 x2+x+2x+2。 接下來就可以用分組提公因式的方法做因式分解。作法如下: x2+3x+2=x2+x+2x+2=(x2+x)+(2x+2)=x(x+1)+2(x+1)=(x+1)(x+2)。 自我評量

1. 若二次多項式 x2+5x+6 可以因式分解成(x+a)(x+b),則(1) a+b=? (2) ab=?

2. 因式分解下列各式。 (1) x2+2x-48 (2) x2-8x-48 (3)-5x2+36x-7 (4) 6x2+11x-10 (5)-6 7 y 225 14 y+ 1 2 (6) 8(2x+3)2-34(2x+3)+8 習作 1. 因式分解下列各式。(1) x2+3x+2 (2) 2x2+7x-4 2. 下列哪些式子的因式分解是正確的? (A) x2-5x-6=(x+3)(x-2) (B) x2+12x+32=(x+4)(x+8) (C) 2x2-4x+12=(2x-3)(x-4) (D)3x2+22x+7=(x+7)(3x+1)

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國中數學學習講義(配合康軒數學 3) 3-3 利用十字交乘法做因式分解(第29頁) 格致數學科.黃俊誠老師製作 2015.08.  3. 因式分解下列各式。 (1) x2+x-56 (2) 6x2-31x+35 (3) 60x2-6x-18 (4) 10-29y+10y2 (5)3x2- 13 2 x+1 (6) 6(5x-1)2-5(5x-1)-6 4. 下列何者是-6x2+31x-35 與 6x2+11x-35 的公因式? (A) 2x+7 (B)-2x+7 (C) 3x-5 (D) 3x+5。

5. 若 x2-5x-24 可以因式分解成(x+a)(x+b),其中 a>b,則 a-b 的值為多少?

6. 如右圖,有甲、乙、丙三種不同的圖形。 若將 4 個甲圖形、8 個乙圖形和 3 個丙圖形 拼成一個大長方形,則拼成的大長方形的 長、寬分別為何? 類題補充 1. 若多項式 x2-2x-323 可以因式分解成(x+a)(x+b),則 a+b=? x x x 1 1 1 甲 乙 丙

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國中數學學習講義(配合康軒數學 3) 3-3 利用十字交乘法做因式分解(第30頁) 格致數學科.黃俊誠老師製作 2015.08. 

2. 若多項式 x2+3x-18 可以因式分解成(x+a)(x+b),則 ab=?

3. 若 39x2+ax+8 可因式分解成(13x+b)(3x-2),則下列何者正確?

(A) a=38,b=-4 (B) a=14,b=-4 (C) a=-38,b=-4 (D) a=-14,b=4。

4. 若 2x2-20x+a 可分解為 2(x-1)(x-b),則下列何者正確?

(A) a=9 (B) b=18 (C) a=6 (D) b=9。

5. 因式分解 1 2x 2-4x-10 的結果為下列何者? (A) 1 2(x+10)(x+2) (B) 1 2(x-10)(x+2) (C) 1 2(x+10)(x-2) (D) 1 2(x-10)(x-2)。 6. 因式分解下列各式:

(1) x2-20x+36 (2) 5x2-17x-12 (3) 2(x-2y)2-5(2y-x)-12 (4) 3(a-3b)2+5(3b-a)-12

7. 設 x2+2x-8=(x+p)(x+q),若 p>q,則 p-q= 。

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國中數學學習講義(配合康軒數學 3) 3-3 利用十字交乘法做因式分解(第31頁) 格致數學科.黃俊誠老師製作 2015.08. 

9. 若 2x2-x-3=(ax+b)(cx+d),且 a、b、c、d 均為整數,則 a+b+c+d= 。

10. 如右圖,有甲、乙、丙三種不同的紙片。若小杰將一張甲、 五張乙和四張丙緊密地排成一個長方形,則此長方形的邊長 分別為多少? 11. 已知 6x2+kx+7=(2x-1)(3x-7),則 k=? 12. 計算 5×452-26×45×225+5×2252=? 13. 已知 4x2+ax-b 用十字交乘法因式分解如右圖,則下列何者錯誤?

(A) a+b+c=87 (B) a=-8 (C) b=77 (D) c=2。

14. 因式分解 6y2-5y-56=(2y+a)(by+8),則(a , b)在第幾象限? (A)一 (B)二 (C)三 (D)四。

15. 設 a>c>0,若 6x2-19x+15=(ax+b)(cx+d),則 ab+cd=?

(A) 15 (B)-15 (C) 21 (D)-21。 1 1 1 x xx 丙 乙 2x -7 cx (a+3)

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國中數學學習講義(配合康軒數學 3) 3-3 利用十字交乘法做因式分解(第32頁) 格致數學科.黃俊誠老師製作 2015.08. 

16. 因式分解 2(2x-1)2+7(2x-1)+3,結果為下列何者?

(A) 2(4x-1)(x+1) (B) 2(4x+1)(x-1) (C) 2(4x+1)(x+1) (D) 2(4x-1)(x-1)。

17. 設 m 為一整數,若 x2+mx-24 可分解成兩個係數均為整數的一次式的乘積,請問下列各數中,

何者不可能是 m 的值? (A) 5 (B) 6 (C) 10 (D) 23。

18. 設 x2-13x-30=(x+a)(x+b),且 a>b,則 2a+b= 。

19. 若 x=453,則 2x 2+5x+3 x2-2x-3= 。 20. 若 x 為實數,且 2x2-4x-20=0,則(x-8)(x+6)(x-4)(x+2)=? 21. 若一長方形的面積為(x2+18x+56)平方公分,則此長方形的周長為多少公分? 22. 設 x2+px+q=(x-a)(x-b),若 p>0、q<0,且︱a︱>︱b︱,則下列何者正確?

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國中數學學習講義(配合康軒數學 3) 3-3 利用十字交乘法做因式分解(第33頁) 格致數學科.黃俊誠老師製作 2015.08.  23. 因式分解 36-30x-6x2=? (A) 6(2-x)(x+3) (B) 6(6x-1)(x+1) (C) -6(x-2)(x-3) (D) -6(x-1)(x+6)。 24. 已知整數 a>0,若 x2+ax+7 可以因式分解,則 a 之值為 。 25. 計算 2×995 2+7×995-15 4×9952-4×995-3 之值為 。 26. 小明作因式分解時,誤將常數項的正負符號弄反了,分解後得到(x-3)(2x+1),則正確的分解結果 應為 。 27. (1)因式分解 x2+(x+5)(x+6)-15。 (2)利用(1)的結果,求 9772+982×983-15 的值。 28. 因式分解下列各式。 (1) 3(3x+2)2-5(3x+2)(x-4)+2(x-4)2

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國中數學學習講義(配合康軒數學 3) 3-3 利用十字交乘法做因式分解(第34頁) 格致數學科.黃俊誠老師製作 2015.08.  加強練習 1. 因式分解下列各式: (1) x2-5x-6= 。 (2) x2-3x-340= 。 (3) 7x2+12x-4= 。 (4)-x2+6x+91= 。 (5) 35x2-67x+30= 。 (6) 77x2+2x-15= 。 (7) 8(a+b)2+6(a+b)-35= 。 (8) 3(2x-1)2-5(1-2x)-2= 。 2. 設 x2+px+q=(x+a)(x+b),若 a<0、b<0,則下列選項何者正確? (A) p>0 (B) q>0 (C) q<0 (D) pq>0。 3. 若多項式 x2+mx+18 可分解成二個一次式的連乘積,則 m 不可能為多少? (A)-19 (B) 11 (C)-9 (D) 3。 4. 已知 x 的二次多項式 x2+3x-k 可以因式分解成(x+a)(x+b),其中 a

b 為整數。若 k 為正整數 且 k≦20,則 k 的值最多有幾個? (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5。 5. 計算 1992-199×5-6 之值為何? (A) 39396 (B) 39794 (C) 40509 (D) 38600。 6. 若 x 是正整數,且 7x2-24x-55 是質數,則此質數為多少? (A) 47 (B) 53 (C) 61 (D) 79。 7. 因式分解(x+a)2-5x-5a+4=?

(A) (x+a-1)(x+a+4) (B) (x+a-1)(x+a-4) (C) (x+a+1)(x+a+4) (D) (x+a+1)(x+a-4)。 8. 如右圖,有 3 類大小不同的紙板共 7 塊,則再加入 下列哪一組圖形後,可完整排列成一個長方形? (A) 1 x 1 x (B) x x (C) 1 1 (D) 1 x 9. 下列哪一個選項為(x2+2x)2-11(x2+2x)+24 的因式? (A) x-2 (B) x-3 (C) x-4 (D) x-6。 10. 將 x2-(3-a)x-3a 因式分解的結果為下列哪一個選項?

(A) (x-3)(x-a) (B) (x-3)(x+a) (C) (x+3)(x-a) (D) (x+3)(x+a)。

11. 若因式分解 x2+3x+k 的結果為(x+m)(x+n),其中 k、m、n 皆為整數,則下列哪一個選項不可能

是 k 的值? (A) 2 (B)-4 (C)-15 (D)-18。

12. 若因式分解 45x2-33x+6 的結果為 a(bx+c)(dx+e),其中 a、b、d 均為質數,且 b<d,則 e=?

(A) 1 (B)-1 (C) 2 (D) -2。

13. 已知 x2+mx+n=(x+a)(x+b),且 m<0,n>0。則下列哪一個選項正確?

(A) a>0,b>0 (B) a>0,b<0 (C) a<0,b>0 (D) a<0,b<0。

14. 若 x2+10x-24 可因式分解成(x+m)(x+n),其中 m>n,則 m-n= 。 15. 已知多項式 x2-2x-3 與 x2+ax-6 有一個相同的因式,則 a= 。 16. 若 3x2-kx+105 可因式分解成 3(x-a)(x-b),其中 a、b 皆為質數,則 k= 。 17. 若 x+3 為 x3-x2+kx+15 的因式,則 (1) k=? (2)因式分解 x3-x2+kx+15 的結果為何? 18. 已知 P=7x2-24x-55 為一質數,其中 x 為正整數,則 (1) x=? (2) P=? 1 x 1 x 1 x x x 1 1 1 1 1 1

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國中數學學習講義(配合康軒數學 3) 3-3 利用十字交乘法做因式分解(第35頁) 格致數學科.黃俊誠老師製作 2015.08.  Ans:1.(1) (x+1)(x-6),(2) (x+17)(x-20),(3) (x+2)(7x-2),(4)-(x+7)(x-13), (5) (5x-6)(7x-5),(6) (11x+5)(7x-3),(7) (2a+2b+5)(4a+4b-7),(8) 2(3x-2)(2x+1); 2.(B);3.(D);4.(B);5.(D);6.(B);7.(B);8.(D);9.(A);10.(B);11.(C);12.(D);13.(D); 14. 14;15.-1 或-5;16. 36;17.(1) -7,(2) (x+3)(x2-4x+5);18.(1) 6,(2) 53。 心得筆記

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