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晶形與其對應平面展開圖演算法與實作
蘇偉昭
屏東大學應用物理系 wjsu@mail.nptu.edu.tw （投稿日期：108 年 7 月 29 日，接受日期：108 年 12 月 17 日） 摘要：本文主要目的是說明如何以結晶學的晶系、點群和米勒指標三個參數為 起始點，求出相關的晶形與其平面展開圖和實作紙模型。這些晶形與原子在空 間規則性排列有關，所以除了有幾何上的意義外，也與應用物理上的材料科學 有關。開放式晶形可以用國小基本幾何概念繪製完成，但多數較為複雜的封閉 式晶形則需要以點群對稱的概念才能計算繪製，本文提出一可行的演算法，讓 讀者可以依照說明用自己熟悉的程式語言完成各種晶形計算，增進讀者程式設 計在空間幾何計算能力，並藉由晶形紙模型製作，欣賞結晶體空間幾何之美。 期刊種類：實驗設計論文 關鍵詞：晶形、平面展開、程式設計壹、 前言
在學習空間幾何方面，國小中、高年級就已經學過長方體可以如何展開，及其展開在 一平面後的形狀(林秀瑾、張英潔，2005
；
黃幸美，2010)。國小學生之所以可以學習這方 面的概念主要是長方體每一面都是直角四邊形，而且面與面的夾角是直角，所以可以很容- 50 - 易用筆跟尺畫出展開後的結果。但如果構成凸面體的面是其它多邊形，如三角形、五角 形，或者不是直角的四邊形，則要畫出其展開圖就不是那麼容易，再者，如果面與面之間 的夾角不是直角，則因為太複雜，一般人很難用腦力想像或畫出其展開後的形狀，因此國 小之後，國中、高中甚至大學，就沒有專門課程教導如何將一封閉凸面體展開。 自然界的結晶體，由於內部原子或是分子規則性排列的關係，會讓成長良好礦物有某 些特殊的外形，稱為晶形(crystal form)，例如金鋼石屬於等軸晶系，是以共價鍵方式， 一個碳與其它四個碳結合形成一正四面體。
食鹽化學成分為氯化鈉，屬於等軸晶系
，以 離子鍵結方式，一個氯配位六個鈉，形成正八面體。石英主要成分是二氧化矽，也是以離 子鍵結合，因為形成溫度不同結構變化很大，多是六方晶系與三方晶系，完美的晶形多呈 現六方柱面與六方錐面結合(余樹禎，1993)。在結晶學教科書(余樹禎，1993；
Sands, 1969)或是網站，都會附錄或呈現某些晶體的晶形圖片，但並沒有說明，這些圖片是如何繪 出的，早期在沒有電腦時代，要計算出圖片中晶形每一點的空間座標，相信是一件相當複 雜困難的工作，就好比在沒有計算機年代，要求出三角函數的值，需要查表一樣費時。現 在由於科技進步神速，電腦計算速度與記憶體容量早已不再是限制程式模擬的絆腳石，所 以網路上已有一些網站（Mineralogy Database）提供晶形與其平面展開圖的圖形，然而這 些網站都沒有說明如何計算出者些晶形和其平面展開圖，如何由礦物內部原子或是分子規 則性排列的關係，計算並畫出晶體的晶形仍是一件相當令人好奇的事。現今大家都預期 AI 和 5G 是未來十年最重要發展應用方向，許多大學都設有資科或資 工系，會寫程式的人越來越多。教育部從 108 度開始推動國、高中同學都要學習程式語 言，並自 107 年起從「高等教育深耕計畫」之「提升教學品質落實教學創新」目標，將大 學程式設計教學列為計畫推動重點工作之一，所以相信未來設計程式將是大多數人的一項 基本技能。因此，未來討論如何以程式設計來解決問題，應不再需要很詳細描述每一指令 的用途和程式架構，相信未來只要說明解決問題的邏輯推演演算法(algorithm)，多數人都 可以據此演算法，用自己熟悉的程式語言完成相關的程式設計。
演算法依照維基百科(wikipedia)的說法，是指在數學和電腦科學中，一組可以解決問 題的明確步驟。演算法可以執行計算、資料處理和自動推理(automated reasoning)等工 作，演算法有多種表示方式，包括自然語言、虛擬碼(pseudocode)、流程圖、程式語言 等。解決複雜問題的演算法可以分解成前後相關的步驟，每一步驟主要元素包括輸入、輸 出和輸入到輸出之間的流程。每一步驟的輸入和輸出需要確定，以便檢核每一步驟是否執 行正確，但輸入到輸出之間的流程可以因各種不同考量而有所不同，例如程式語言不一 樣，執行過程可能就不一樣。所以任何複雜的演算過程，只要確認每一步驟的輸入和輸出 是一樣的，就能保證整個過程的最後結果是一樣的，這也是在檢查程式設計是否正確，常
- 51 - 用的策略。 由於程式設計可能是新一世代學生的基本技能，所以未來應該會有很多人不再滿足簡 單的紙筆計算，而會想用程式語言挑戰較高難度的計算，或是從事自然科學相關研究的計 算，過去只有專業的人才能做的計算研究，未來可能很多人都具有此一能力，這也可能是 未來物理或自然科學教育的必然趨勢。
本文主要目的是提出一可行的演算法說明如何從點群對稱元素開始，計算結晶體的晶 形，並如何計算將不同立體晶形的晶面展開成一平面，以便可以列印在張紙上，再以實作 方式，從晶面的邊線凹折，黏成不同的紙晶形模型。計算結晶體的晶形不需要太多物理、 化學等相關概念，只要有空間對稱概念即可，另一方面這些結晶體的晶形又是自然產生 的，是屬於自然科學研究的一部份，也跟物理、化學等材料科學相關。當然也可以讓我們 國小已學會的長方體展開概念能進一步的深化與理解。
貳、 結晶體晶形
本節主要先說明計算結晶體晶形所需的相關基本概念與參數，包括晶系(crystal system)、點群(point group)和米勒指標(Miller Index)，並在後面章節說明如何由這些 相關參數來計算晶形與將之展開的演算法，並依照此演算法，以 visual basic 語言完成計 算過程，及展示不同參數所得的晶形與其平面展開結果。一、晶系
結晶體內部原子在三維空間規律性的排列，會形成特定的幾何外形（余樹禎、1993；
許樹恩、吳泰伯，1993）。為了描述原子排列和晶體特徵，需要利用空間座標系統來說明 相對位置。一般座標系統的建立可以是任意的，但這樣會造成溝通上的困擾，也會造成研 究上無法比對的麻煩，所以需要建立結晶體座標系統的共通原則。從結晶體為實質原子所 組成觀點來看，假設以原子中心點代表原子排列情形，可以稱為這些點為晶格點(lattice point)，連接二度空間的晶格點，可以形成晶面(lattice plane) ，連接三度空間的晶格 點，則形成晶胞(lattice cell)。利用晶胞的三基本向量，訂出空間座標系統的三個結晶 軸（座標軸），晶胞的三基本向量長度就設定為三個結晶軸的單位長度。 結晶學常用 a, b, c 三個英文字母代表結晶軸，而兩軸間的夾角以希臘字母表示， α 表 b, c 夾角, β 表 c, a 夾角, γ 表 a, b 夾角。一般使用右型座標系統。結晶軸之選取原則是儘可 能選用高對稱旋轉軸或旋逆軸，如果沒有旋轉軸和旋逆軸，則以選擇垂直反射面的方向為 結晶軸（余樹禎、1993）。 結晶軸 a, b, c 代表從原點射出的方向，但其單位長度(|a|, |b|, |𝑐|)並不一定會等長，這 是由於要取可重複性的晶胞造成的。晶軸的夾角α, β, 和 δ 也不完全是90o，由結晶軸單位長- 52 - 度和結晶軸夾角不同的特徵，將結晶體分成六大晶系如表一，其中六方晶系和三方晶系在 其 c 軸，一個具有六重旋轉軸，另一個具有三重旋轉軸，因此也有人主張將兩者分開成為七 大晶系。 在六大晶系分類系統裡，單位長度只標示相等或不相等，並沒有指出長度大小，所以 在計算晶形的晶面時，是可以調整的，只要指定一相對大小數字符合其定義即可，例如正 方晶系，|a|: |b|: |c| = 1: 1: 0.8，單斜晶系，|a|: |b|: |c| = 0.8: 1: 1.2。而兩軸間的夾角，除了 固定的角度外，不確定的角度在計算時，則可以任取，如80o、110o。 表 1：六大晶系分類（六方晶系與三方晶系因為兩晶系其單位長度|a| = |b| ≠ |c|與 夾角α = 90o, β = 90o, γ = 120o 關係一樣，所以可視為同一晶系） 晶系 |a|, |b|, |c| α, β, γ 等軸晶系 |a| = |b| = |c| α = 90o, β = 90o, γ = 90o 正方晶系 |a| = |b| ≠ |c| α = 90o, β = 90o, γ = 90o 六方晶系 |a| = |b| ≠ |c| α = 90o, β = 90o, γ = 120o 三方晶系 |a| = |b| ≠ |c| α = 90o, β = 90o, γ = 120o 斜方晶系 |a| ≠ |b| ≠ |c| α = 90o, β = 90o, γ = 90o 單斜晶系 |a| ≠ |b| ≠ |c| α = 90o, β = 90o, γ ≠ 90o 三斜晶系 |a| ≠ |b| ≠ |c| α ≠ β ≠ γ ≠ 90o
二、點群
要描述結晶體內部原子在三維空間規律性的排列情形，除了用結晶軸和其單位長度與 結晶軸間的夾角來分類外，也可以用對稱元素來描述。對稱元素是指其對結晶體中所有原 子或分子做相同的空間位置轉換，所得到新的位置，已被同樣大小的原子或分子在沒有位 置轉換前佔據，所以轉換前和轉換後的原子或分子排列情形並沒有改變。 表 2：六大晶系、點群和其主要對稱特徵 晶系 點群 對稱元素 立方晶系 23 四個三重旋轉軸、三個二重旋轉軸 2/m 3* 四個三重旋轉軸、三個二重旋轉軸、三個對稱鏡面 432 四個三重旋轉軸、三個四重旋轉軸、六個二重旋轉軸 4*3m 四個三重旋轉軸、三個四重旋逆軸、六個對稱鏡面 4/m 3*2/m 四個三重旋逆軸、三個四重旋轉軸、六個二重旋轉軸、 七個對稱鏡面- 53 - 正方晶系 4 一個四重旋轉軸 4* 一個四重旋逆軸 4/m 一個四重旋轉軸、一個對稱鏡面 422 一個四重旋轉軸、四個二重旋轉軸 4mm 一個四重旋轉軸、四個對稱鏡面 4*2m 一個四重旋逆軸、二個二重旋轉軸、二個對稱鏡面 4/m 2/m 2/m 一個四重旋轉軸、四個二重旋轉軸、五個對稱鏡面 六方晶系 6 一個六重旋轉軸 6* 一個六重旋逆軸 6/m 一個六重旋轉軸、一個對稱鏡面 622 一個六重旋轉軸、六個二重旋轉軸 6mm 一個六重旋轉軸、六個對稱鏡面 6*m2 一個六重旋逆軸、三個二重旋轉軸、三個對稱鏡面 6/m2/m2/m 一個六重旋轉軸、六個二重旋轉軸、七個對稱鏡面 三方晶系 3 一個三重旋轉軸 3* 一個三重旋逆軸 3m 一個三重旋轉軸、三個對稱鏡面 32 一個三重旋轉軸、三個二重旋轉軸 3*2/m 一個三重旋逆軸、三個二重旋轉軸、三個對稱鏡面 斜方晶系 222 三個二重旋轉軸 mm2 一個二重旋轉軸、二個對稱鏡面 2/m 2/m 2/m 一個二重旋逆軸、二個二重旋轉軸、三個對稱鏡面 單斜晶系 2 一個二重旋轉軸 m 一個二重旋逆軸(或是一個對稱鏡面) 2/m 一個二重旋逆軸、一個對稱鏡面 三斜晶系 1 不具任何對稱性 1̅ 一個反逆對稱 與點群相關的對稱元素包括鏡面對稱(reflectional symmetry)、反逆對稱(inversive symmetry)、旋轉軸對稱(rotational symmetry)、旋逆軸對稱(rotoinversional symmetry)。 鏡面對稱(以符號 m 表示)是指一原子在鏡子一側，而在鏡子另一側與其相同垂直距離也具
- 54 - 有相同的原子，但左右相反。反逆中心對稱(以符號 i 表示)是指所有原子相對反逆中心相同 距離的另一邊，也具有與其相同的原子，但左右相反。
旋轉對稱元素包括一重旋轉軸、二重旋轉軸、三重旋轉軸、四重旋轉軸和六重旋轉軸 (分別以符號 1, 2, 3, 4, 6 表示)，是指分別對某一軸旋轉360o 一次、180o 二次、120o 三 次、90o 四次和60o 六次，在新的位置上，原子會遇到和自己同樣原子。一重旋轉軸是指 所有物質都旋轉360o回到自己的位置，轉和不轉效果是一樣的，等於沒有對稱。
旋逆軸的操作是先旋轉一個角度，再做反逆中心的操作，如此得到新的位置，而此新 位置之前也已經被和自己相同形狀的物質佔據。旋逆軸對稱元素包括一重旋逆軸、二重旋 逆軸、三重旋逆軸、四重旋逆軸和六重旋逆軸(分別以符號 1̅, 2̅, 3̅, 4̅, 6̅ 表示)，是指分別對 某一軸旋轉360o再做反逆中心的操作共一次、旋轉180o再做反逆中心的操作共二次、旋轉 120o再做反逆中心操作共三次、旋轉90o再做反逆中心的操作共四次、旋轉 60o再做反逆中 心操作共六次。其中一重旋逆軸操作結果和反逆中心的操作一樣，二重旋逆軸操作結果和 鏡面對稱一樣。
上述這些對稱元素可以單一或多個對稱元素組合，經證明共有 32 種組合如表 2，證明 方式可以參考網站 PHILOSOPHY OF PATTERN。因為每一組合中的所有對稱元素都會通過一 共同點，所以稱這些對稱元素的組合為點群，每一點群可以作為結晶體的分類依據，其所 對應的結晶體稱為晶類(crystal class)，所以共有 32 種晶類。因為 32 種點群和晶系是以不 同角度描述同樣的原子在三維空間排列情形，所以兩者是相關的，如表 2 所示。表 2 中 32 種點群是用 H-M 符號(Hermann-Mauguin notation)表示，為配合程式語言(鍵盤)沒有辦法 呈現1̅, 2̅, 3,̅ 4̅ 和 6̅符號，所以分別用 1*, 2*, 3*, 4* 和 6* 代替。
由表 2 可以得知，立方晶系包括五個點群，每個點群都需包括四個三重旋轉軸或是四個 三重旋逆軸。正方晶系包括七個點群，每個點群都需包括一個四重旋轉軸或一個四重旋逆 軸。六方晶系包括七個點群，每個點群都需包括一個六重旋轉軸或一個六重旋逆軸。三方 晶系包括五個點群，每個點群都需包括一個三重旋轉軸或一個三重旋逆軸。斜方晶系包括 三個晶系，除了必包含至少一個二重旋轉軸外，也包括其它二重旋轉軸、二重旋逆軸或對 稱面。單斜晶系有三個點群，僅包括一個二重旋轉軸或一個二重旋逆軸。三斜晶系是最不 對稱的晶系，共有兩個點群，分別僅含一個一重旋轉軸或一個一重旋逆軸。
每一點群中的所有對稱元素操作在求晶形的晶面是必要的，每當給定一點位置時，就 需要利用屬於此一點群中的所有對稱元素，求出和此點相對稱的所有點的位置。利用某一 點群所有對稱元素對給定的點操作時，可能會讓某些對稱點重複出現多次，此時只要保留 一點即可。
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三、米勒指標(Miller Indices)
由於原子對稱排列的結果，結晶體外型會出現特殊的面，稱為晶面，晶面可以用米勒
指標來表示。米勒指標是從有理指標定律(law of rational indeces)引伸來的(
許樹恩、吳泰
伯，1993
)，是指任何有理結晶面與三個結晶軸 a, b ,c 相交，其截距為 a/h, b/k, c/l ，由 於結晶面必須通過晶格點，晶格點位置皆為有理數，則 h, k, l 必為有理整數或零，而 (hkl) 就稱為米勒指標。一個晶面的米勒指標求法如下，先求晶面通過三晶軸的三個截距，再求三個截距的倒 數值，若倒數值為分數，則乘上三個分母的最小公倍數，將所得結果前後括弧就是米勒指 標。一米勒指標代表一晶面，如(310)，表其晶面平行 c 軸，(100) 則指晶面垂直 a 軸。理 論上，米勒指標應有無窮多，但一般可用以下形式來分類：(hkl)，表 h,k,l 三者都不相等， 如(231)；(HHl)，H>l, 表大寫的 H 值比小寫 l 的值大，如(221)；(hhL)，h<L, 表小寫的 h 值比大寫 L 的值小，如(112)；而(hk0)、(h0l)、(0kl) 中的 0 表此晶面與對應的軸平行， 且另外兩數不一樣。(111)表晶面通過三晶軸截距一樣。(110)、(101)、(011) 中的 0 表此 晶面與對應的軸平行，另外兩數一樣，都用 1 表示。(100)、(010)、(001) 中的 1 表此晶 面與對應的軸垂直，並與其它兩軸平行。
四、晶面的法線
一個米勒指標代表一組平行晶面，由米勒指標可求得相對應晶面的法線，求法如下： 如圖 1 假設晶面 PQR 的米勒指標為(hkl)，PQR 面方程式可寫成 x OP+ y OQ+ z OR= 1 (公式 1)
其中OP, OQ, OR 為晶面在x, y, z 軸上的截距，由米勒指標的定義可得OP =a
h, OQ = b k, OR = c l，代入公式 1 可寫成 h ax + k by + l cz = 1 (公式 2) 因此與(hkl)晶面平行且通過(𝑥1, 𝑦1, 𝑧1)點的面方程式為 h ax + k by + l cz − ( h ax1+ k by1+ l cz1) = 0 (公式 3) 設(𝑥1, 𝑦1, 𝑧1)=(0,0,0)，則通過原點且米勒指標(hkl)面的方程式為 h ax + k by + l cz = 0 (公式 4)
- 56 - 由公式 4 可知，米勒指標(hkl)面的法線向量為<h a, k b, l c>。所以如果知道晶軸的單位長度 a,b,c，就可以由米勒指標求得所對應晶面的法線向量。
圖 1：晶面與晶軸相交
參、 演算法
本節主要是從六大晶系、點群的對稱元素與米勒指標參數為起點，說明如何求得晶形 的演算法與將立體晶形展開成平面的演算法。這些演算法並不詳列程式碼，並假設讀者已 經知道如何用程式計算對稱操作，例如讀者能寫程式算出某點經某對稱軸旋轉30𝑜得出新的 位置，或是某鏡面操作得出另一新的位置等。一、計算晶形演算法
六大晶系只定義各晶軸的單位長度|a|,|b|,|c| 是否相等，並沒有限定單位長度的大小 （如表 1），為了方便程式計算，在此先給定一個符合此定義的數值如下：立方晶系 1:1:1 、 正方晶系 1:1:1.2、 六方晶系（三方晶系） 1:1:1.2 、斜方晶系 1:1.1:1.2、單斜 晶系 1:1.1:1.2 、三斜晶系 1:1.1:1.2。而晶軸夾角 α, β 和 γ 標誌≠ 90o的，表示並沒有確 定，在此先任意設定單斜晶系γ = 100o ，而三斜晶系α = 80o, β = 85o, γ = 100o。當然這些數 值要是可以改的，只要符合晶系定義即可，應可預期不同數值可能造成晶面形狀大小改 變，但晶形類別不會變。 六大晶系晶軸的單位長度再配合米勒指標(hkl)，就可以由 公式 4 求出對應晶面的法 線向量。假想將晶體縮小並將其中心置放在一球面的中心上，則通過球心的晶面法線向量 與球面相交的點稱為晶面極點，此晶面極點可以代表通過此極點且與球面相切的晶面，也 可以代表與此晶面垂直的法線方向。若再配合不同點群的對稱元素操作，則可以產生一組- 57 - 晶面極點，每一晶面極點都代表一個晶面，或是與此晶面垂直的法線方向。而且每一晶面 極點距離中心的長度是一樣的，我們可以利用這一組晶面極點所代表的晶面來產生晶形， 其作法如下：
1. 求某點群的所有晶面的極點：由晶系晶軸的單位長度與米勒指標所獲得的晶面極點，如 再配合不同點群的對稱元素操作，求出屬於此點群的所有晶面的極點，因對稱的關係， 每一晶面極點到原點的距離(r)一樣，所有極點都會落在以 r 為半徑的球面上。且任一極 點與其它極點的分布狀況都一樣，看不出哪一個極點較特殊。
圖 2：P 和 Q 為晶面極點，H 與 nH̅̅̅̅分別為通過 P 和 Q 兩切面的一交點與相交線段。 2. 求兩晶面相交的直線：假設 O 為球中心(參考 圖 2)，球面上兩個晶面極點 P 和 Q，TX̂ 為 通過 P 和 Q 的弧段。ab̅̅̅為通過點 P 的切線，cd̅̅̅為通過點 Q 的切線，且 a,b,c,d,T,X,P 和 Q 都在同一平面上。H 為ab̅̅̅ 和cd̅̅̅ 的交點。可以想像ab̅̅̅落在通過點 P 的切面上、cd̅̅̅會 在通過點 Q 的切面上，兩切面會相交成一直線，nH̅̅̅̅為此相交直線上的一線段。上述這 些點線求法如下：從已知的晶面極點 P 和 Q 開始，ON⃑⃑⃑⃑⃑ = OQ⃑⃑⃑⃑⃑ × OP⃑⃑⃑⃑⃑ ，Qc⃑⃑⃑⃑ 的方向與 ON ⃑⃑⃑⃑⃑ × OQ⃑⃑⃑⃑⃑ 方向平行，所以可以由ON⃑⃑⃑⃑⃑ × OQ⃑⃑⃑⃑⃑ 求得，同樣的Pb⃑⃑⃑⃑ 的方向可以由OP⃑⃑⃑⃑⃑ × ON⃑⃑⃑⃑⃑ 求 得，已知Pb⃑⃑⃑⃑ 和Qc⃑⃑⃑⃑ 共平面，所以可以由空間兩直線公式求得其交點 H(參考網站
MATHEMATICS)。而Hn⃑⃑⃑⃑⃑ 的方向可以由OQ⃑⃑⃑⃑⃑ × OP⃑⃑⃑⃑⃑ 求得，此方向和ON⃑⃑⃑⃑⃑ 平行。因此兩極點 P 和
Q 所代表的晶面，其相交的直線可以用交點 H 和Hn⃑⃑⃑⃑⃑ 的方向表示。
3. 求構成晶面形狀的所有直線：晶面的形狀是由晶面與晶面相交的直線所構成的，例如某 一極點 P 所代表的晶面 P，除了與其鏡面對稱極點所代表的晶面因兩者平行而不相交
- 58 - 外，會與其它極點所代表的晶面相交，這些相交的線都會落在晶面 P 上，這些相交的線 可能多達數十幾條（例如點群 m3m），但我們不可能用這麼多條線圍成一幾何形狀，幸 而，從文獻(余樹禎，1993
；
Sands, 1969 )我們已經知道不同晶形的晶面形狀，如果是 封閉式的晶形，其晶面形狀只有三角形、四角形和五角形三種情況，因此，如果晶面的 形狀是三角形，可以選出與極點 P 夾角最小的三個極點，再求出這些極點所代表的晶面 與晶面 P 相交的三條直線，這三條直線所圍成的三角形便是晶面 P 的形狀，這三條直線 也稱為三角形的三條邊線。同理，如果是四角形和五角形的晶面，就必須分別選出與極 點 P 夾角最小的四個極點和五個極點，再分別求出極點所代表的晶面與晶面 P 相交的直 線，這些相交的直線就會分別在晶面 P 圍成四角形與五角形的形狀，上述線與線的交點 稱為頂點。因為對稱的關係，一晶形中所有晶面的形狀與大小都一樣，所以如果求出某 一晶面的頂點，就可以利用點群對稱元素操作，求出其它晶面的頂點。也就是說，如果 利用直接求直線的方式，求出所有晶面形狀的頂點，會和用某一晶面的頂點，再用對稱 元素操作獲得其它晶面形狀的頂點結果是一樣的。圖 3: 四邊形晶面 P 的四條邊線 如某一晶面的所有邊線都求出後，則這些邊線都應落在此一晶面上，這可以用邊線 其中任兩條邊線向量的叉積方向都一樣來證明。接著求出任兩條邊線的相交點，此交點 可以參考網站 MATHEMATICS，要注意的是代表通過某點的線與線的方向需要三維的符 號表示，所以公式較複雜。如圖 3 以四邊形晶面為例，通過晶面極點 P 的晶面與四個鄰 近的晶面相交，相交線分別通過 H, I, J, K 四點，其兩兩邊線相交分別為 n,e,f,g 四點。點 H 的求法可參考步驟 2 及圖 2，其餘 I, J, K 三點可以類推。 4. 求晶面形狀頂點的順序：有了某晶面上邊線所有交點，就可以畫出以交點為頂點的形 狀，例如三個交點就可以畫出三角形，四個交點就可以畫出四角形，五個交點就可以畫 出五角形。但是，由上述方法所得的交點，並沒有交點順序，也就是某個交點其下一個
- 59 - 相鄰的交點為何並不知道。不過因為晶面的形狀都是凸形的，交點順序仍可以用兩向量 間的夾角大小來求得。以四個交點為例(圖 3)，先選定一個交點為初始點，如 點 n，再 求由此點與到其它交點的向量，共三條向量，ne⃑⃑⃑⃑ , nf⃑⃑⃑ , ng⃑⃑⃑⃑ ，求出這三條向量中兩兩向量的 夾角，其中夾角最大的兩向量為 ne⃑⃑⃑⃑ 和 ng⃑⃑⃑⃑⃑ ，則 點 e 和 點 g 為 點 n 的前後順序的交 點。如此可以決定三個交點的順序 e, n, g，剩下一個交點就排在此三個交點順序的最前 面或最後面即可(結果都一樣)。五個交點的順序也可以用類似的方式求得。 5. 決定晶面方向：求取構成三角形、四角形或五角形的頂點(交點)順序之後，還要決定這 順序是要由前到後，還是要由後到前，這影響到所構成面的法線朝向。由於晶形內部中 間為原點，並設這些晶面法線方向是由原點朝外為正，再以右手定則決定相鄰交點的前 後順序。 6. 微調晶面形狀的頂點位置：有了每一晶面上的頂點，和頂點的順序排列後，理論上就可 以畫出晶形，但是無論每一晶面上形狀頂點是由上面方式分別求出，或是由某一晶面上 形狀頂點，透過對稱元素的操作求出的，由於都是由數值方式得到的，所以會有計算上 的誤差，也就是晶面上形狀頂點應該是一樣的，但是因為是電腦數值計算，所以會有誤 差的產生，如果用雙精度浮點數為變數來計算，這些誤差並不大(約小於百萬分之一)， 但是畫在螢幕上還是會感覺出來，所以需要做數值上的處理，最簡單的處理就是將同一 頂點，但不同數值的座標相加求其平均值，以取代各自原來的頂點座標。
二、晶形平面展開演算法
所有 32 點群和米勒指標搭配可得的 48 種晶形，其中 18 種是開放式，其晶面與晶面並 沒有封閉圍住一個空間，另外 30 種，其晶面可圍住一個空間（余樹禎，1993）。所謂 晶 形平面展開，就是將一晶形的所有面，都平放在一平面上，如果原來晶形的面有和其它面 相連，則展開後的每一晶面都至少和另外一個晶面相連，不能完全斷開。例如一個由六個 正方形平面相連而成的立方體，展開後每一面都至少和一個在立方體相鄰的面相連，如果 再將其反折回去，則會變回原來的形狀。立方體的展開方式不止一種，所以展開後的面與 面相連的方式不只一種。正如上述，除了夾角為直角的四邊形，面與面夾角為直角的晶形可以用腦力想像將其 展開畫出外，其它凸多面體由於面與面相接長度不一，且面與面的夾角不是直角，是無法 用紙和筆直接畫出的，如五角十二面體、三角四十八面體。
一般來說，若能邏輯推演出將晶形的每一個面展開成相連的平面可行性方法，就可以 形成演算法，再依照演算法設計程式進行模擬測試。上述的可行性方法不會只有一種，展 開的結果也不會只有一種，就如同要將一個長方體紙盒子拆開展成平面，可以選擇從紙盒
- 60 - 子某一平面（選擇面）開始，將其先平放在要展開的平面（參考面）上，然後再選出一個 與選擇面相鄰的平面（轉動面）以兩者連接的邊為轉軸，以選擇面與轉動面的夾角大小轉 動（或是參考面與轉動面夾角，因為選擇面平放在參考面上），就可以將轉動面轉動平放 在參考面上。而在轉動轉動面的同時，其它與轉動面相接且還沒有平放在參考面的面也要 跟者以同一轉軸旋轉相同角度，接著將剛轉到參考面的轉動面當作新的選擇面，再選出與 新的選擇面相鄰的轉動面，在依上述操作方式，就可將每一個平面依序展開在參考平面 上。以下就以正方雙錐面體為例，說明整個晶形展個演算法：
1.
平移晶形所有頂點使其座標值𝐙 ≥ 𝟎：以晶形正方雙錐面體(八個面每一個面都是三角 形)為例，假設目的是要將此晶形的八個面攤開在 Z=0 的 XY 平面（參考平面）上。因 為由上一節所構成的晶形多面體其中心都在原點(座標 0,0,0)，所以晶形的所有晶面頂 點空間座標(X,Y,Z)，有些其 Z 軸座標值是負的，有些是正的，為了用程式計算將其展開 在參考平面上，首先找出所有晶面頂點的 Z 軸座標值，哪一 Z 軸座標值是負的且絕對值 最大，如果 Z 軸座標值是負的且絕對值最大的頂點不止一個，則可以任選一個，然後將 其平移至原點 O，當然其它頂點也都是以同樣的大小與方向做平移。此時所有頂點其 Z 軸的座標值Z ≥ 0.，如圖 4，平面 defg 是 Z=0 的參考平面，正方雙錐面體每一個晶面 的頂點座標值Z ≥ 0.。2.
決定第一個平放在參考面的選擇面：平移完後，可以發現頂點含原點的面（晶形面）可 能不止一面，且含原點的面可能已經有一平面平放在參考面的選擇面(如立方體)，也可 能都沒有平放在參考面上（如圖 4 正方雙錐面體），對於後者，必須先將頂點含原點的 其中一面轉動平放在參考面上。由於頂點含原點面沒有那一個比較特別，所以可以任選 一面（稱為轉動面），當作第一個要攤在參考平面上的選擇面。如圖 4，假如以面 OPS 為轉動面，找出一穿過原點 O 的轉軸（稱為轉動軸），當其轉動某個角度後，可以將轉 動面上的每一個頂點轉到參考平面上，由於此轉動面與參考平面的夾角（轉動角度）並 不是直角，所以需要先求出此轉動角。- 61 -
圖 4：晶形正方雙錐面體，其中一頂點落在參考面點 O 上。
圖 5: 將圖 4 晶面 OPS 轉到參考面上。
以圖 4 為例，因為 O,P,S 為平面上不共線三點，先建構OP⃑⃑⃑⃑⃑ 和OS⃑⃑⃑⃑ 兩向量，則面 OPS 的 法線向量為ON⃑⃑⃑⃑⃑ ＝OP⃑⃑⃑⃑⃑ × OS⃑⃑⃑⃑ ，將ON⃑⃑⃑⃑⃑ 垂直投影到參考平面 defg，成為On⃑⃑⃑⃑⃑ 。則OJ⃑⃑⃑⃑ ＝On⃑⃑⃑⃑⃑ × ON⃑⃑⃑⃑⃑ 為轉動軸，設ON⃑⃑⃑⃑⃑ 的單位向量為N⃑⃑ ＝ ON⃑⃑⃑⃑⃑⃑
|ON⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |，On⃑⃑⃑⃑⃑ 的單位向量為n⃑ ＝ On ⃑⃑⃑⃑⃑⃑
|On⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |，則轉動角度為θ =
90o− cos−1(N⃑⃑ ∙ n⃑ )。注意在求ON⃑⃑⃑⃑⃑ 和OJ⃑⃑⃑⃑ 時，其叉積不要互換，否則轉動方向可能顛倒。有 了轉動軸與轉動角就可以利用轉動數學公式，將所有面的頂點都做轉動操作，在轉動 時，因為轉動軸穿過原點，所以原點是不動的。轉動後，轉動面就會落在參考平面上， 但其它面並不會落在平面上。圖 5 是圖 4 利用轉動軸OJ⃑⃑⃑⃑ 轉動θ 後的結果，可以看到面 OPS 已經落在參考平面 defg 上。
3.
選擇和新選擇面相鄰的轉動面：以剛剛落在參考平面的轉動面為選擇面(如圖 5 中面 OPS)，任意選出與此選擇面相鄰，但尚未落在參考平面的相鄰面為新的轉動面(如圖 5 中 面 OSR)。此新的轉動面與選擇面會有兩個共同的頂點 O, S，任取一點當作新的原點，也 就是要將此點以數學操作方式平移到直角座標的原點，並將其它所有的頂點（包括已經 在參考面的頂點）做同樣的平移。此例，因為點 O 已經是原點，所以不用平移。- 62 -
平面 defg，成為Om⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，而Om⃑⃑⃑⃑⃑⃑ × OM⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 的方向為新的轉動軸方向，此方向會和OS⃑⃑⃑⃑ 平行，設 OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 的單位向量為M⃑⃑⃑ ＝ OM⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |OM⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |，Om⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 的單位向量為m⃑⃑⃑ ＝ Om ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |Om⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |，則轉動角度為θ = 90 o−
cos−1(M⃑⃑⃑ ∙ m⃑⃑⃑ )。圖 5 中，OM⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 剛好落在參考平面 defg 上，所以 M 和 m 是同一點，θ＝
90o。
5.
求新的選擇面：以轉動軸轉動所求出的轉動角θ，將新的轉動面轉成落在參考平面上成 為新的選擇面，同時要將尚未落在參考平面的其它所有晶形面的頂點做同樣的轉動，而 已經落在參考平面的面就不再轉動。6.
重複步驟：重複上述 3～5 步驟，就可以將所有封閉式的晶形的面轉到參考平面上來。 對於是開放式的晶形，如果晶面間有銜接，如柱面或錐面，也可以用上述方式展開，如 果晶面間沒有連接，如兩個面的軸面，則不能用上述方式展開，也不需要展開。 本節主要是利用上述的參數與演算法，以 Visual Basic 設計模擬視窗程式，並說明如何 使用程式與展示48 種晶形及晶面展開結果。
圖 6：晶形與展開圖程式視窗 圖 6 是晶形與展開圖程式視窗，右邊是控制面板，程式操作很簡單，只要點選三個步 驟即可：1. 點選晶系(Crystal system)，2. 點選歸類在每一晶系中的點群(Point group)，3. 點 選每個點群中可以搭配的米勒指標(Miller index)類型。視窗上有一四方形小圖示，會顯示所- 63 - 選擇的晶形（Crystal Form）。本圖是選擇立方晶系(cubic)，點群 233，米勒指標 432，所得 晶形為五角三四面體，也就是晶形區分為四個區域，每區域有三個晶面，每個晶面為五角 形，共 12 個晶面所圍成的封閉晶形。其中 32 種點群雖是以 H-M 符號表示，但也有變異， 如 233 也可以表示為 23，所以也顯示在選擇區中以供辨認。 斜方雙錐面體 Rhombic Dipyramid 斜方雙楔面體 disphenoid 三方雙錐面體 Trigonal Dipyramid 複三方雙錐面體 Ditrigonal Dipyramid 正方雙錐面體 Tetragonal Dipyramid 複正方雙錐面體 Ditetragonal Dipyramid 六方雙錐面體 Hexgonal Dipyramid 複六方雙錐面體 Dihexgonal Dipyramid 正方雙楔面體 Tetragonal Disphenoid 正方偏三角面體 Tetragonal Scalenohedron 正方偏四角面體 Tetragonal Trapezohedron 菱面體 Rhombohedron 三方偏四角面體 Trigonal Trapezohedron 複三方偏三角面體 Ditrigonal Scalenhedron 六方偏四角面體 Hexgonal Trapezohedron 五角十二面體 Pyritohedron 偏四角二十四面體 Diploid 五角三四面體 Tetartoid 五角二十四面體 Gyroid 四面體 Tetrahedron 偏四角三四面體 Trapezohedral Tristetrahedron 三角三四面體 Trigonal Tristetrahedron 三角六四面體 Hextetrahedron 立方體 Cube 正三角八面體 Octahedron 菱形十二面體 偏四角三八面體 三角三八面體 三角四六面體 三角六八面體
- 64 - Rhombic Dodecahedron Trapezohedral Trisoctahedron Trigonal Trisoctahedron Tetrahexahedron Hexoctahedron 圖 7：30 種封閉型晶形 四方形小圖示有一水平捲軸可以改變晶形大小，也有一個透明按鍵可以選擇顯示晶形 前後的邊線。因視角的關係，圖中只顯示 6 個大小一樣的五角形面。如要觀看其它視角， 可以利用控制面板上的+X, +Y, +Z,-X,-Y,-Z 等按鍵分別對 X, Y, Z 軸正轉或逆轉3𝑜來調整視角。 圖 6 中也顯示此五角三四面體的平面展開圖，其左上角有一個小控制面板，可以選擇 不同展開策略和大小，勾選小控制面板中的連接選項，會在平面展開圖的邊線上添增四角 形區域，以方便折疊回立體晶形時黏貼在鄰近晶面上。 單面 Pedion 軸面 Pinacoid 頂面 Dome 楔面 Sphenoid 斜方柱面 Rhombic Prism
斜方錐面 Rhombic Pyramid 三方柱面 Trigonal Prism 複三方柱面 Ditrigonal Prism 正方柱面 Tetragonal Prism 複四方柱面 Ditetragonal Prism 六方柱面 Hexgonal Prism 複六方柱面 Dihexgonal Prism 三方錐面 Trigonal Prism 複三方錐面 Ditrigonal Prism 正方錐面 Tetragonal Prism 複正方錐面 Ditetragonal Pyramid 六方錐面 Hexgonal Pyramid 複六方錐面 Dihexgonal Pyramid 圖 8：18 種開放型晶形
- 65 -
32 個點群和不同米勒指標類型約有兩百種多種組合，最後歸類為 48 種晶形，因為篇 幅有限，所以利用不同參數組合，將不同晶形剪貼成 30 種封閉型晶形(圖 7)和 18 種開放型 晶形(圖 8)。每一晶形有兩張圖，一張是塗色的不透明晶形，一張是沒有塗色的透明晶形， 不透明晶形只能看到面對讀者的邊線，而透明晶形除了所以可以看到面向讀者的邊線(以粗 實線表示)，和背後的邊線(以細虛線表示)。 圖 7 封閉晶形在投影視角上，不透明晶形儘量轉成正面朝向讀者，讓前後邊線重疊在 一起，而透明晶形則轉到不同的適當角度以便容易辨認前後邊線。從圖 7 也可以發現三角 六八面體是最對稱的，共有 48 個對稱結晶面，而正四面體、斜方雙楔面體和複三方偏三角 面體只有四個結晶面。 圖 8 開放型晶形中每個晶面至少有一邊沒有相鄰晶面，使得相鄰晶面的邊線沒有邊 界，無法如封閉型晶形每條邊線都是一線段，造成繪圖上的困難，所以凡是沒有邊界的邊 線都取一固定的長度，以方便繪製晶形。圖 8 每個晶形也都呈現兩張圖，一張以對稱的方 式面對讀者，另一張則儘量變換不同視角以便容易辨認不同邊線。 開放型晶形一般都比較簡單，多是柱面或是錐面，其實不必經過上述演算法，用簡單 的幾何概念就可以繪製出來，反之，封閉型的晶形，較為複雜，有很多需要類似上述的演 算法才能得到，例如五角三四面體、五角二十四面體、偏四角三八面體等，很難用簡單的 幾何概念求出每一晶面的頂點。 圖 7 和圖 8 中某些晶形有多個中文名稱，同一個英文名稱在國家教育研究院雙與詞 彙、學術名詞暨詞書資訊網就列出不同學門可能有不同的中文翻譯，所以圖 7 與圖 8 晶形 都增列英文名稱，以便中英對照。
A
B
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C
D
圖 9：列舉偏四角二十四面體 4 幾種不同平面展開結果 前面 3.2 節晶形平面展開演算法描述如何將一晶形的所有面展開成一平面，但是由於 在選擇新的轉動面可以任意選擇，且新的原點也可以任意選擇，所以將一晶形的所有面依 照上述步驟展開在參考平面時，可能會有部分晶面重疊在一起，尤其超過 12 面的晶形，重 疊的可能性增加。由於晶面的形狀（三角形、四角形或是五角形）、大小與晶面數量不一， 很難估計如何轉才能避免面與面部分重疊情況，所以本程式設計策略上採取用不同新轉動 面選擇方式，如相鄰在新選擇面的面不止一個時，可以先選取編碼最小的面為新的轉動 面，或編碼為其它數字的面為新的轉動面，不同的選擇展開後的效果不一。所以可以嘗試 不同選擇，將所有晶面展開畫在螢幕來判斷是否有重疊。因為先選擇那一面為新的轉動面 並不是本文重點，所以程式上僅提供多重策略供使用，但並不說明是用那一種策略。圖 9 列舉偏四角二十四面體 4 幾種不同平面展開結果。晶
形平面展開後看起來是合理的，不過仍須驗證是否正確，驗證方式最容易方式就是 將展開後的圖列印在紙上，然後沿著外輪廓邊線切開，再將其折疊貼黏起來恢復原狀，為 了讓外輪廓的邊線能黏在一起，程式特地在外輪廓的邊線畫出一梯形，這梯形不屬於晶形 面，但可以當作面與面黏合的地方。 由於晶形平面展開後，有的邊線與邊線的夾角原本就很小，所以在外輪廓邊線畫出梯 形可能會和原來平面重疊，不過這是可以辨認出來的，可以考慮是否要用這梯形作為黏著 處，或者再利用程式產生沒有重疊的圖形，圖 9D 是有在輪廓邊線加入梯形面的結果。 圖 10 為五種實作紙晶形模型，是利用程式先畫出晶形展開圖(如圖 9D)，將其列印在 A4 紙上，用美工刀、直尺和切割板等工具切割包括梯形的外輪廓線，並將沒有切斷的每一條 線略微向內折痕。要沾膠水的梯形處是一大一小成對的，很容易辨認不易配對錯誤，上膠- 67 - 時，只要在小的梯形處沾膠水即可，當要黏住某一對大小梯形處時，只要讓晶形的邊線對 準，每一條線折痕角度就自然會呈現出正確的凹折角度，不用擔心晶形改變。如果想嘗試 實作紙晶形模型，建議先從簡單的晶形開始，如圖 10 的三方偏四角面體共 6 面，因為晶面 少需要切割的線就少，容易完成，而偏四角三八面體共 24 面，切割的時間相對的要增加一 些。從切割到完成每一個模型估計要 10~40 分鐘，端看每一個人美勞熟練的程度。 圖 10：五種實作紙晶形模型
伍、
結論
本文假設讀者已經知道某種高階程式語言，如給空間上的一點，可以經由空間轉換，求 出 32 種點群的對稱點。或如給空間上兩點，可以經由繪圖指令畫出一直線，如此，只要知 道晶形每一晶面的頂點，就可以利用程式畫出晶形。從 32 種點群的對稱點，說明如何求出 晶形每一晶面的頂點，及如何將晶形展開成一平面便是本文主要的目的。 結晶學六大晶系中，各晶系可區分不同點群(共 32 點群)，各點群又可搭配不同米勒指
- 68 - 標形成不同的晶形。晶形可以區分為開放式晶形(18 種)和封閉式晶形(30 種)，開放式晶形 是指其所有晶面沒有辦法圍住一空間，而封閉式其所有晶面可以圍住一空間。不同晶形的 晶面數並不一樣，晶面與晶面的關係是由點群的對稱元素聯繫的。
米勒指標所代表的晶面是一個沒有邊界的平面，但由於晶面與晶面並不是互相平行 的，會互相交接，所以能夠以兩晶面交接處為兩晶面各自的邊界。又某一個晶面可能不止 和一個晶面相交，所以可將某一晶面和其它所有最靠近的晶面相交的線畫在此晶面上，並 以此決定此晶面的外形。由於對稱的關係，封閉型晶形的所有晶面的大小與形狀都是一樣 的，其外形只有三角形、四角形和五角形三種。
對於開放型晶形來說，其晶面可能和其它晶面沒有交接(如三斜晶系的單面和軸面晶 形)，也可能只和幾個晶面相接但沒有形成封閉的形式(如正方錐面、三方柱面)，所以晶面的 邊界沒有或沒有完全決定，因此可以令其無限長或是任意選取，在此，我們任意設定一適 當長度以方便繪製。 由六大晶系中的 32 個點群和不同米勒指標類型共約兩百多種組合來繪製 48 種晶形， 其結構原本就相當有系統性，在程式設計時也可以利用此一系統性的結構，設計可重複呼 叫的函式，讓程式也能因結構系統化而減少程式碼，也容易除錯。不過，因為兩百多種組 合，程式設計需要一個一個非常小心的多次重複檢查，才能避免錯誤的產生。也因為 32 個 點群和不同米勒指標類型共約兩百多種組合僅產生 48 種晶形，是一種多對一的對應結構， 其對應方式複雜，一般無法僅利用晶形就可以推論出是哪一種晶系。 一個成長良好的結晶體，其外形可能由一個或數個不同的晶形包圍住，這是由原子或 分子有次序的排列結果，共有 48 種晶形。開放型的晶形由國小的基本幾何學概念就可以畫 出，但複雜的封閉型晶形則必須用點群對稱的概念才能求出。另一方面，人類雖然可以藉 由數學畫出更多種外形，但那僅是想像，在自然界可能找不到對應的結晶實體。藉由對晶 形模擬計算的瞭解，更可以讓我們體會與欣賞幾何形狀與對稱的奧秘。 最後，如果想要進一步瞭解礦物內部原子、分子排列結構與晶形的關係，可以參考相 關的結晶學教科書（余樹禎、1993
；
許樹恩、吳泰伯，1993；
Sands, Donald E. ,1993）， 以獲得較為完整的概念。參考文獻
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http://webmineral.com/crystall.shtml#.XOqTvsgzbIU
9. Sands, Donald E. (1993). Introduction to Crystallography. New York, Dover Publications. 10. PHILOSOPHY OF PATTERN 網址：http://metafysica.nl/derivation_32.htm
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Crystal form and its Surface Development
Algorithm and implementation
Wei-Jou Su
Department of Applied Physics, National Pingtung University
wjsu@mail.nptu.edu.twAbstract
The main purpose of this paper is to show how to use the crystallographic crystal system, point group and Miller index as the starting point to find the relevant crystal form and its planar development, and to implement the paper model. These crystal forms are related to the regular arrangement of atoms in space, so in addition to their geometric meaning, they are also related to the application of physical material science.
The open crystal form can be drawn by the basic geometric concept of the Primary school student, but most of the more complex closed crystal forms need to be calculated from the concept of point group
symmetry. This paper proposes a feasible algorithm, so that readers can follow the instructions to design a program of the crystal forms with their familiar programming language. Through the calculation of various crystal forms, it is hoped that the reader's programming ability in space geometry can be improved. By making a paper crystal paper model, appreciate the beauty of crystal space geometry.
