南投縣國小學童幾何概念發展之研究

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(1)國立臺中教育大學教育測驗統計研究所理學碩士論文. 指導教授：楊志堅博士. 南投縣國小學童幾何概念發展之研究. 研究生：王啟彰撰中. 華. 民. 國. 一. ○. 二. 年. 七. 月.

(2) 謝辭這二年的學習生涯，回想起來，有辛苦也有甘甜，但最後還是順利完成了學位的論文，而這當然要感謝許多人的幫助。首先要感謝我的指導教授楊志堅教授，感謝楊老師在百忙之中仍能抽空指導我的論文，並給予寶貴的意見，讓我最終能順利完成論文。接著要感謝口試委員張碧峰教授、陳信如教授及蘇啟明教授，針對論文不足之處提出指導，使我的論文更加完善。同時也要感謝實驗室的蔡良庭學長，在我寫作論文之初，提供意見指導。也要感謝班上的同學育柏及永成在課業上的互相幫忙，在口考時有彣娟及慧菁的協助，真的是感謝各位。最後要感謝我最親愛的老婆淑秋，在我上課時，在家照顧二位小孩，使我沒有後顧之憂，得以順利完成學業。. 啟彰謹誌於國立臺中教育大學教育測驗統計研究所中華民國一○二年六月.

(3) 中文摘要中文摘要本研究旨在探討ㄧ及六年級的國小學生其幾何概念發展程度，並進行測試後的資料分析，進ㄧ步探討學生在不同年齡所產生的幾何概念差異情形。本研究採用Dehaene等人(2006)所設計的幾何概念圖形測驗，以立意抽樣方式，抽取265位國小一、六年級學童為施測對象。利用電腦軟體e-prime進行施測，所得數據再以SPSS 12.0軟體進行資料分析。研究結果發現六年級學生的表現遠優於一年級，印證了學童的幾何概念發展是經由「學習的過程」，使Van Hiele幾何模式層次較低的學生可藉由學習達到較高層次的幾何能力。但對於垂直、平行等幾何概念，國小一及六年級學童答對率並無顯著差異，顯示一年級學童對於以上二種幾何概念已具備初步認知。關鍵詞：關鍵詞：幾何概念、幾何概念、國小學童、國小學童、Van Hiele 幾何模式. I.

(4) The study of geometric concepts development of elementary school school students in Nantou County. Abstract The study aimed at the development of geometric concepts between Grade 1 and 6 in elementary school. According to the data analysis, to explore the differences of geometric concepts between different ages. This research is based on the nonverbal test which was designed by Dehaene （2006）. The experiment is practiced on 265 Grade 1 and 6 students. E-Prime software is adopted to assist the instrument and the data is analyzed by SPSS software. The research discovers that the development of geometric concepts of Grade 6 are better than Grade 1. It proves Van Hiele Model—the geometric ability can be improved by learning. But there is no difference between Grade 1 and 6 about the geometric concepts of parallelism and right angles. This demonstrate that Grade 1 students have basic knowledge of the geometric concepts mentioned upon.. Keywords： Keywords： geometric concepts, elementary students, Van Hiele Model. II.

(5) 目錄第一章緒論緒論.........................................................1 .........................................................1 第一節研究動機與目的........................................1 第二節待答問題..............................................3 第三節名詞解釋..............................................3 第四節研究限制..............................................4 第二章文獻探討文獻探討.....................................................5 .....................................................5 第一節幾何概念的形成........................................5 第二節國民小學幾何教材......................................7 第三節相關研究..............................................9 第三章研究方法與步驟研究方法與步驟..............................................11 ..............................................11 第一節研究流程.............................................11 第二節研究對象.............................................12 第三節研究工具.............................................13 第四節資料分析.............................................19 第四章研究結果研究結果....................................................20 ....................................................20 第一節幾何概念測驗信、效度分析.............................21 第二節受試學童在幾何概念測驗中的表現情形...................23 第三節不同年級學童在幾何概念測驗中的差異...................25 第五章結論與建議結論與建議..................................................27 ..................................................27 第一節研究結論.............................................27 第二節研究建議.............................................29 參考文獻...........................................................30 參考文獻...........................................................30 中文部份....................................................30 英文部分....................................................31. III.

(6) 表目錄表1 國小各版本數學幾何教材一覽表....................................7 表2 樣本人數分配表.................................................12 表3 各題圖形分類整理表.............................................13 表4 信度分析表.....................................................20 表5 幾何概念測驗難度與鑑別度一覽表.................................21 表6 幾何概念測驗之答對率...........................................23 表7 幾何概念測驗之答題時間.........................................24 表8 一年級與六年級學童之T檢定......................................25. IV.

(7) 圖目錄圖1 研究架構圖.....................................................11 圖2 範例題指導語...................................................17 圖3 範例題指導語...................................................17 圖4 正式施測畫面...................................................18 圖5 正式施測畫面...................................................18. V.

(8) 第一章緒論第一節研究動機與目的研究動機與目的一、研究動機幾何是一門探討空間的關係及推理論證的知識，幾何課程所發展出的視覺化（visualization）、空間推理能力（(spatial reasoning），以及解決問題時所促進的幾何建模能力（(geometric modeling），能幫助我們理解及探究我們身處的物理空間（NCTM, 2000）。就我國的數學課程的發展而言，民國五十七年的數學課程明顯著重於數與量的計算與實測，有關幾何上的教材則只是散列於計算與實測這二類之內，若有幾何問題，也大都局限在於計算的部分，對於圖形概念的分析與解釋，可說是少之又少。直到民國六十四年的課程修訂才開始重視有關幾何方面的教材（盧銘法， 1996）。但由於課程內容的過於抽像化，使許多學生無法建立正確的幾何概念，而產生許多錯誤的概念（何森豪，1998）。而由現行的九年一貫課程綱要來看，幾何概念已漸漸的跳脫出計算與實測的領域，自成一獨立完整的體系，可見幾何學的概念已漸漸受到重視。完整的課程規劃必須是建立在有效的「教」與「學」機制上，如此才能使學科發揮其原有最大的教學成效。近幾年來，仍有不少的研究指出幾何教材教學上需要改進的一些缺失，譚寧君（1993）指出「形的教材」表面上已成功，然事實上學生只是強記了許多抽象的公式，卻無法透過實際的操作與推理來建立正確的幾何學概念，也因此阻礙了未來在推理幾何上的學習。國小學童在幾何概念學習的過程中，可透過皮亞傑（Piaget）的學習理論模式的觀點進一步來解說。皮亞傑從認知發展的角度來看待兒童的幾何概念發展階. 1.

(9) 段，他認為兒童的幾何概念發展是由簡單具體的形象表徵，再進一步演進到抽象概念的認知。故他將兒童的幾何概念發展分為三大階段：（一）拓樸幾何概念時期（約3到4 歲）；（二）投影幾何概念時期（約4 到6 歲）；（三）歐幾里德幾何概念時期（約6 到8 歲）。然而1957 年，荷蘭數學教育家P.M. Van Hiele 及 Dina Van Hiele-Geldof 夫婦也提出了一套幾何層次（Level）思考模式，主張個體的幾何概念存在五個不同的思考層次，當學生能力提升時，其思考層次會依序的從一個較低的層次進升到較高的層次（Van Hiele,1957；Van Hiele-Geldof， 1957）。這五個思考層次分別為：層次一：視覺的(visual) 層次、層次二：描述的(descriptive) 層次、層次三：理論的(theoretical) 層次、層次四：形式邏輯的(formal logic) 層次、以及層次五：邏輯法則本質的(the nature of logical laws) 層次；同時，Van Hiele 也提出主張，學習者思考層次的提升是經由教導，而非經由個體年齡的成長而發展，因此，幾何概念的教學活動便扮演著重要的角色。研究者希望藉由對南投縣國小一及六年級學童進行幾何圖形的測試，了解一及六年級學童幾何概念發展程度的差異，並針對現有國小數學幾何教材設計的情形，提供教材分布的建議。. 二、研究目的依據上述研究動機，本研究的研究目的如下：（一）探討南投縣國小一及六年級學童幾何概念發展程度的差異。（二）探討臺灣國小數學幾何教材設計的情形。. 2.

(10) 第二節待答問題根據上述的研究動機與目的，本研究主要探討下列相關之問題：（一）南投縣國小一及六年級學童在不同類型幾何圖形的表現為何？（二）南投縣國小一及六年級學童的幾何概念發展程度為何？（三）臺灣國小數學幾何教材設計的情形，是否能達到最佳學習效果？. 第三節名詞解釋一、國小學童係指101學年度於南投縣國民小學一年級及六年級的學生，此二類學生在幾何教材內容的學習上，能達到國小階段最大的差異效果。. 二、 van Hiele 幾何思考層次（幾何思考層次（ Van Hiele Level） Level）荷蘭數學家 Van Hiele 夫婦（Van Hiele,1957）所提出之理論，針對學習之幾何層次對於學童做一幾何層次之分類。將學童之幾何思考發展，區分成五個層次。 1.視覺（Visual）層次。 2.描述（Descriptive）層次。 3.理論（Theoretical）層次。 4.形式邏輯（Formal Logic）層次。 5.邏輯法則（The nature of logical laws）層次。依據研究顯示，國小學生的 van Hiele 幾何思考層次只有到理論層次的階段，國小教材的編寫也以前三個理論層次為依據（吳德邦，1998），因此本研究的討論以前三層次為主。 3.

(11) 三、國民小學幾何教材係指依據九年一貫國民小學課程標準所編制的教科書，本研究所稱的幾何圖形教材指的是康軒版、南一版及翰林版中有關四邊形、圓形、三角形的教學活動。. 第四節研究的限制 1、由於經費及人力的限制，本研究僅限於南投縣國民小學在學學生，無法擴及全國之樣本。。 2、大部分的研究指出，國民小學學生之幾何思考層次僅限於前三層次，本研究的範圍亦僅限於前三個層次。. 4.

(12) 第二章文獻探討第一節幾何概念的形成長久以來，人類的幾何概念究竟是本身便具有的，還是經由後天的學習而獲得，一直是個爭論不休的問題。心理發展學家Piaget（1967）認為人類的幾何概念，會隨著年齡的增長而逐漸發展；然而荷蘭數學教育家P.M. Van Hiele 及Dina Van Hiele-Geldof（1957）則有不同的看法，認為必須經過學習的歷程，幾何概念的能力才能成熟發展。 Dehaene等人（2006）針對這個問題，設計了一個實驗來探究。實驗對象是亞馬遜雨林裡一個遺世獨立的部落MundurukU，由於該部落鮮少接觸現代文明世界，所以可保證居住於此的原住民沒有機會學習到有關幾何概念的相關知識。 Dehaene等人使用43組幾何圖形，包括拓樸圖形4組、歐幾里德圖形8組、幾何圖形9組、對稱圖形3組、鏡像圖形4組、距離性質圖形7組及幾何投影圖形8組，來對部落中5-6歲的小孩及成人施測，結果發現小孩及成人的測驗成績相差無幾。另外也找了美國5-6歲的小孩及成人當做實驗的對照組，赫然發現美國小孩的測驗成績也和部落小孩、成人幾乎一樣，但美國成人的成績則明顯較優。仔細分析其測驗成績，可發現部落小孩、成人和美國小孩在辯認較表象的幾何圖形，如拓樸圖形、歐幾里德圖形和幾何圖形上皆有不錯的表現，但在對稱圖形、鏡像圖形、距離性質圖形及幾何投影圖形等需要深度轉化的幾何概念才能辨認的圖形上，美國成人明顯有較佳的表現。此實驗表現出MundurukU部落的小孩及成人，由於沒有接受過幾何概念知識的學習，所以二者的幾何概念發展程度幾乎相同；但美國的小孩及成人，則由於學習程度的差異，使得成人幾何概念發展程度明顯優於小孩。. 5.

(13) 故實驗的結果，似乎並不支持Piaget的論點，而是認同van Hiele的理論，幾何概念必須經過學習的歷程，才能有成熟的發展。. 6.

(14) 第二節第二節國民小學幾何教材國內九年一貫課程之數學教材設計，其幾何部分都是根據Van Hiele 幾何思考模式所編輯的(林秀瑾，2004)，其中，低年級階段的兒童大都屬於Van Hiele 幾何思考層次的第一層次，教材的設計主要以操作具體物來認識形狀；中年級階段的兒童屬於Van Hiele 幾何思考層次的第二層次，強調透過製作及構圖活動探討各種平面圖形的構成要素以及之間的關係，並介紹簡單的畫圖工具；高年級階段的兒童屬於Van Hiele幾何思考層次的第三層次，教材強調透過操作與觀察，進一步探討圖形間的包含關係，並且能作應用。以下將國小各版本各年級數學幾何教材內容整理如下表1所示：. 表 1 各版本數學幾何教材一覽表. 版本 van. 康軒. 南一. 翰林. Hiele 層次第1冊：方盒、圓罐、第1冊：堆東西層次一. 球. 第2冊：做圖形. 第2冊：做圖形. 7. 第2冊：做圖形.

(15) 表 1 各版本數學幾何教材一覽表（各版本數學幾何教材一覽表（續）康軒. 南一. 翰林. 第5冊：角與圖形. 第5冊：三角形和四第5冊：我會畫三角. 版本 van Hiele 層次. 第6冊：角度第7冊：圓和球層次二. 邊形角第7冊：圓和球體. 三角形和角第8冊：四邊形. 三角形第8冊：四邊形. 第9冊：平面圖形. 形、四邊形第6冊：我會量角度第7冊：我知道垂直和平行第8冊：我會用圓規. 第11冊：扇形第9冊：多邊形. 第9冊：圓周率. 第9冊：我知道多邊. 第10冊：圓周長. 第10冊：圓面積. 形. 層次三圓面積. 第10冊：我認識圓周率和圓面積. 8.

(16) 第三節第三節相關研究何森豪（2001）利用盧銘法(1996)所編制的「國小學生幾何圖形概念測驗」，內容以「四邊形」概念為主。研究結果發現國小四、六年級學生達視覺的層次、描述的層次、形式演繹的層次分別有 160、254 和 215 人，如果以年級分類，則四年級多處於視覺的層次(51.43%)，六年級多處於描述的層次(62.10%)。. 李懿芳（2006）探討 1351位四至六年級學童在 Van Hiele立體幾何思考層次之分布情形，發現年級愈高，答題通過率亦愈高，而在總分、各思考層次及角錐、角柱、球的表現都隨年級增加而得分愈高，而性別因素並不影響立體幾何思考層次的表現，但在某些縣市間的立體幾何思考層次卻存在顯著差異，不同年級在立體幾何思考層次表現有階層性，此恰與Van Hiele的論點吻合。. 吳德邦等人（2009）分析臺灣中部地區高年級學生在Van Hiele 幾何推理層次的分布情形，以「吳-馬-陳氏幾何推理層次測驗」為研究工具，研究對象為臺灣中部地區2009 年第二學期在學的國小學生五年級的學生328 人及六年級的學生413人，發現A 縣和B 市的學生均是分布在創造性層次的學生最多，其次分布在批判性層次。而縣市與層次兩變項有相關，且B 市在幾何推理層次的表現優於 A 縣，顯示在van Hiele 幾何推理層次中，兩縣市的學生有著明顯的城鄉差異，這也代表著教育水平越高的縣市，越多學生達到較高層次，再次顯示教學和引導能提升學童的幾何思考概念，這點與Van Hiele 的理論相吻合。. Lee(1999)針對學院學生在幾何的理解和證明方面與 Van Hiele 幾何思考層次的相關性進行質與量的研究，其中量的研究呈現無顯著差異，但在質的研究中 9.

(17) 則發現 Van Hiele 層次一的學生可提升到層次二，而層次三的學生則停留在原層次。該研究因限於時間因素，只有針對一個學期進行研究，若能進行長期性的研究將可能有更多發現。. 10.

(18) 第三章研究方法與步驟第一節研究流程本研究的架構係根據研究目的及相關文獻探討所建構而成，如下圖1所示：分析幾何概念相關文獻. 擬訂研究計畫. 進行施測. 進行資料分析. 撰寫論文報告. 圖 1 研究架構圖. 11.

(19) 第二節第二節研究對象研究對象由於本研究目的在於探討國小學童幾何概念發展程度，而國小一及六年級學童，在幾何教材內容的學習上，能達到國小階段最大的差異效果，故抽樣方法採用立意抽樣，抽樣對象為南投縣二所國小一及六年級學童，共得265個樣本，正式樣本之詳細分佈情形如下表2。. 表 2 樣本人數分配表學校幸福國小. 快樂國小. 有效樣本. 一年級. 48. 76. 124. 六年級. 60. 81. 141. 年級. 因為所使用的幾何概念圖形測驗為電腦化測驗，考量一年級學童未接受過正式電腦課程，因此僅以鍵盤上的數字鍵作答，並且排除有學習障礙的學生，以確定樣本皆具有能獨立完成測驗的能力。. 12.

(20) 第三節第三節研究工具研究工具一、幾何概念圖形本研究採用電腦線上施測，以43組幾何圖形（Dehaene,2006）為測驗工具，共分為七大類圖形，茲分述如下： 1、拓樸圖形（Topology）4組 2、歐幾里德圖形（Euclidean geometry）8組 3、幾何圖形（Geometrical figures）9組 4、對稱圖形（Symmetrical figures）3組 5、鏡像圖形（Chiral figures ）4組 6、距離性質圖形（Metric properties）7組 7、幾何投影圖形（ Geometrical. transformations）8組. 以下將各題圖形分類整理如下表3 表 3 各題圖形分類整理表題號. 拓樸圖形. 題號. 1. 2. 3. 4. 13. 拓樸圖形.

(21) 表 3 各題圖形分類整理表（各題圖形分類整理表（續）題號. 歐幾里德圖形. 題號. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 題號. 幾何圖形. 題號. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 14. 歐幾里德圖形. 幾何圖形.

(22) 表 3 各題圖形分類整理表（各題圖形分類整理表（續）題號. 幾何圖形. 題號. 19. 題號. 20. 幾何圖形. 題號. 21. 題號. 對稱圖形. 題號. 對稱圖形. 24. 鏡像圖形. 題號. 25. 26. 27. 28. 題號. 對稱圖形. 22. 23. 題號. 幾何圖形. 距離性質圖形. 題號. 29. 30. 15. 鏡像圖形. 距離性質圖形.

(23) 表 3 各題圖形分類整理表（各題圖形分類整理表（續）題號. 距離性質圖形. 題號. 31. 32. 33. 34. 題號. 距離性質圖形. 題號. 35. 題號. 距離性質圖形. 幾何投影圖形. 36. 幾何投影圖形. 題號. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 16. 幾何投影圖形.

(24) 二、E-Prime 1.1 1.1電腦軟體本研究在進行測驗時所使用的電腦軟體為E-Prime 1.1 (Schneider, Eschman, & Zuccolotto, 2002)，E-Prime1.1能在測驗中記錄受試者的反應時間與答題反應，其中反應時間的精準度可以準確到毫秒，因此能夠排除掉一般人工記時產生的時間誤差(Schneider, Eschman, & Zuccolotto, 2002)。以下是施測時所呈現的電腦螢幕畫面，一開始有範例題示範(圖2、圖3)，並呈現解說指導語，接下來則進入正式測驗（圖4、圖5）。. 圖 2 範例題指導語. 圖 3 範例題指導語 17.

(25) 圖 4 正式施測畫面. 圖 5 正式施測畫面. 本測驗題目共有43題，每題1分，總分43分。. 18.

(26) 第四節第四節資料分析使用E-prime1.1軟體進行施測後，收集學生作答數據，學生選對正確的圖形給1分，選錯圖形則得0分，之後使用SPSS12.0軟體進行資料分析。統計資料分析方式如下：一、以 Cronbach α 係數進行試題內部一致性檢定，並進行試題之內容效度及專家審核。二、受試學童在測驗中的相關表現及平均數統計分析。三、以獨立樣本 T 檢定來探討不同年級的國小學童是否會在「幾何概念圖形測驗」的表現上有顯著差異。. 19.

(27) 第四章第四章研究結果研究結果本章旨在將幾何概念圖形測驗中的測驗資料加以分析與討論。茲將研究結果分為三節，第一節首先探討幾何概念圖形測驗的信、效度分析；第二節為受試學童在測驗中的相關表現統計分析，第三節為不同年級間的學童在幾何概念圖形測驗上的差異性。. 第一節幾何概念測驗信、幾何概念測驗信、效度分析ㄧ、測驗工具之信度分析本研究是要讓學童以本身具備的幾何概念能力來分辨圖形的差異性，並分析學童的答對率與答題時間。本研究在答對率上有標準答案，答題時間是作後續統計分析應用，因此僅就答對率作信度分析，採內部性一致性信度係數(Cronbach’s α)測量信度，其α值達0.818，如下表4所示：. 表 4 信度分析表. 幾何概念圖形測驗. 題數. α信度. 43. 0.818. 由上表可以得知，本測驗之內部一致性 Alpha 值達 0.818，高於 0.7，因此具有良好的信度。. 20.

(28) 二、測驗工具之效度分析測驗工具之效度分析內容效度是指抽樣的測驗試題樣本內容是否具有教學目標與教材代表性或適當性程度的一種指標(余民寧，1997)。本研究測驗的題目於開始前有作答例題與講解，能讓學童清楚了解答題方式，學童只要有基本的閱讀能力即可作答，作答反應只受到受試學童的幾何概念所影響。本研究的測驗圖形共43組，係採用Dehaene等人(2006)所設計的幾何概念圖形測驗，故本測驗具備良好的內容效度及專家效度。. 三、測驗工具之難度及鑑別度分析本研究將受試者依總分高低排列，從高分部份與低分部份各取總人數的27% 做為高分組(以PH表示)與低分組(以PL表示)，求出整份測驗的平均難度與平均鑑別度，以P=(PH+PL)/2表示試題的難度，和D=PH－PL表示試題的鑑別度。根據測驗試題的評鑑原則，試題難度指數介於0.4～0.8者為最佳試題；另外，試題鑑別度在0.20～0.29為尚可，0.30～0.39的試題鑑別度優良，0.40以上為非常優良的試題，而一般鑑別度指數至少應為0.25以上(郭生玉，1997)，本研究的幾何概念圖形測驗難度與鑑別度如下表5所示：. 表 5 幾何概念測驗難度與鑑別度一覽表題號難度鑑別度題號難度鑑別度. 1 1.00 .00 11 .89 .22. 2 1.00 .00 12 .89 .22. 3 .89 .22 13 .83 .32. 4 .92 .11 14 .83 .32. 5 1.00 .00 15 .89 .22. 21. 6 .92 .11 16 .89 .22. 7 1.00 .00 17 .83 .32. 8 .89 .22 18 .78 .43. 9 .89 .22 19 .78 .43. 10 .89 .22 20 .92 .11.

(29) 表 5 幾何概念測驗難度與鑑別度一覽表（幾何概念測驗難度與鑑別度一覽表（續）題號難度鑑別度題號難度鑑別度題號難度鑑別度. 21 .92 .11 31 .78 .43 41 .67 .66. 22 .83 .32 32 .78 .43 42 .72 .56. 23 .78 .43 33 .72 .56 43 .62 .68. 24 .89 .22 34 .78 .43. 25 .92 .11 35 .78 .43. 26 .92 .11 36 .78 .43. 27 .72 .56 37 .67 .66. 28 .72 .56 38 .72 .56. 29 .92 .11 39 .67 .66. 30 .83 .32 40 .67 .66. 由表5 可知「幾何概念測驗」的試題難度介於0.62～1.00 之間，顯示本測驗的試題難度偏易，鑑別度指數介於0.00～0.68 之間，其中有4題為0 （1、2、 5、7），而這4 題難度皆為1.00，考量施測對象有6歲學童，為讓學童有作測驗的動機，故此設計偏易的題目不作修正，整題而言，本測驗的鑑別度仍可接受。. 22.

(30) 第二節受試學童在幾何概念測驗中的表現情形表 6 為受試學童在幾何概念測驗中的答對率。由表中可以得知，在拓樸圖形、歐幾里德圖形、幾何圖形、對稱圖形、鏡像圖形、距離性質圖形、幾何投影圖形的測驗中，六年級學童的答對率均高於一年級學童（98％＞82％；99％＞87％； 96％＞81％；94％＞69％；90％＞61％；88％＞62％；75％＞37％）. 表 6 幾何概念測驗之答對率測驗類別. 一年級學童. 六年級學童. 整體平均. 標準差. 拓樸圖形. 0.82. 0.98. 0.90. 0.084. 歐幾里德圖形. 0.87. 0.99. 0.93. 0.057. 幾何圖形. 0.81. 0.96. 0.88. 0.094. 對稱圖形. 0.69. 0.94. 0.82. 0.131. 鏡像圖形. 0.61. 0.90. 0.76. 0.154. 距離性質圖形. 0.62. 0.88. 0.75. 0.148. 幾何投影圖形. 0.37. 0.75. 0.56. 0.249. 此外，表 7 為受試學童在幾何概念測驗中的平均答題時間。由表中可以得知，在拓樸圖形、歐幾里德圖形、幾何圖形、對稱圖形、鏡像圖形、距離性質圖形、幾何投影圖形的測驗中，一年級學童的答題時間均高於六年級學童（7046.26 毫秒＞5186.64 毫秒；8462.31 毫秒＞5986.38 毫秒；9864.12 毫秒＞6456.30 毫秒； 14640.86 毫秒＞9065.57 毫秒；12878.15 毫秒＞9385.62 毫秒；13145.88 毫秒＞ 8852.73 毫秒；18629.59 毫秒＞11847.26 毫秒） 23.

(31) 表 7 幾何概念測驗之答題時間（幾何概念測驗之答題時間（單位：單位：毫秒）毫秒）測驗類別. 一年級學童. 六年級學童. 整體平均. 標準差. 拓樸圖形. 7046.26. 5186.64. 6116.45. 1322.75. 歐幾里德圖形. 8462.31. 5986.38. 7224.34. 1092.01. 幾何圖形. 9864.12. 6456.30. 8160.21. 1684.38. 對稱圖形. 14640.86. 9065.57. 11853.21. 2564.22. 鏡像圖形. 12878.15. 9385.62. 11131.88. 2086.84. 距離性質圖形. 13145.88. 8852.73. 10999.30. 2265.30. 幾何投影圖形. 18629.59. 11847.26. 15238.42. 3164.59. 24.

(32) 第三節第三節不同年級學童在幾何概念測驗中的不同年級學童在幾何概念測驗中的差異學童在幾何概念測驗中的差異為了解不同年級的受試學童在本測驗的表現情形，以 T 檢定方法來探討不同年級學童在幾何概念測驗中，其幾何概念是否有顯著差異，分析如下表 8。. 表 8 一年級與六年級學童之 T 檢定測驗類別. 年級. 人數. 平均數. 標準差. 一. 124. 3.75. 0.452. 六. 141. 3.91. 0.288. 一. 124. 7.58. 0.668. 六. 141. 7.83. 0.389. 一. 124. 7.75. 1.055. 拓樸圖形. 歐幾里德圖形. 幾何圖形六. 141. 8.50. 0.674. 一. 124. 2.05. 0.953. 對稱圖形六. 141. 2.83. 0.386. 一. 124. 2.24. 1.044. 鏡像圖形六. 141. 3.41. 0.668. 一. 124. 4.83. 1.114. 六. 141. 5.91. 0.996. 一. 124. 3.22. 1.477. 幾何投影圖形六. p<.05. **. p<.01. 顯著性. -1.076. .294. -1.119. .275. -2.075. .052. -2.803. .010. -3.957. 距離性質圖形. *. T值. ***. 141. 6.10. p<.001. 25. 1.651. *. .001. **. *. -2.510. .020. -4.690. .000. ***.

(33) 由表8可知，六年級的學童在七大類的幾何圖形測驗的平均得分皆高於一年級的學童(3.91＞3.75；7.83＞7.58；8.50＞7.75；2.83＞2.05；3.41＞2.24；5.91＞4.83； 6.10＞3.22)。再以T檢定進一步加以考驗，發現拓樸圖形（.294）、歐幾里德圖形. （.275）及幾何圖形（.052）上的平均答對數並未達到顯著，但是在對稱圖形（.010）、鏡像圖形（.001）、距離性質圖形（.020）及幾何投影圖形（.000）上，達到統計上的顯著標準(p<0.05)，顯示六年級學童在這四大類幾何概念知識較一年級學童為優。. 26.

(34) 第五章第五章結論與建議本研究以「南投縣國小學童幾何概念發展之研究」為題，探討國小一及六年級學童在幾何概念上的表現與差異。首先依據文獻探討相關理論基礎，其次以南投縣 265 名國小一、六年級學童為研究對象，在進行電腦化測驗後，加以分析其結果。茲將研究結果歸納成結論，並依據研究結論，提出本研究的建議。. 第一節研究結論一、本研究之測驗工具有良好的試本研究之測驗工具有良好的試題特徵本研究所使用的幾何概念圖形測驗之 Cronbach α 係數為 0.818，因此本量表具有良好的信度。而效度方面，本研究的 43 組測驗圖形，係採用 Dehaene 等人(2006)所設計的幾何概念圖形測驗，具有專家效度。故本研究所發展的幾何概念圖形測驗具有良好的試題特徵。. 二、一及六年級學童幾何概念圖形測驗的表現六年級學童在七大類幾何圖形測驗的答對率均高於一年級學童，同時六年級學童的平均答題時間均低於一年級學童。這二項結果均符合 Van Hiele（1957）提出的幾何. 思考理論，兒童幾何概念的發展是經由學習的過程，逐步建構。. 三、一及六年級學童幾何概念圖形測驗的差異分析六年級的學童在七大類的幾何圖形測驗的平均得分皆高於一年級的學童，再以T檢定進一步加以考驗，發現只有對稱圖形、鏡像圖形、距離性質圖形及幾何投影圖形 27.

(35) 上的平均答對數達到統計上的顯著差異，而拓樸圖形、歐幾里德圖形及幾何圖形並未達到顯著，其中歐幾里德圖形包含有垂直及平行二類幾何概念，這顯示其實一年級學童已具備基本的垂直及平行幾何概念。. 28.

(36) 第二節第二節研究建議研究建議本節根據研究發現與結論，有以下二點建議，第一部分為教材建議，第二部分為對未來研究的建議。. 一、教材建議依據國內的國小數學教材規劃，其幾何部分都是根據Van Hiele 幾何思考模式所編輯的(林秀瑾，2004)。其中，低年級階段的兒童屬於Van Hiele 幾何思考層次的第一層次；中年級階段的兒童屬於Van Hiele 幾何思考層次的第二層次；高年級階段的兒童屬於Van Hiele幾何思考層次的第三層次。而透過本研究的結果，發現其實一年級學童已具備基本的垂直及平行幾何概念。因此建議將放置在中年級的垂直與平行幾何概念，可提前放置在低年級進行教學，使學童有更充裕的時間進行學習，得到更佳學習效果。. 二、對未來研究的建議對未來研究的建議 1.幾何概念之縱貫研究本研究僅針對國小一、六年級學童的幾何概念做初步的探究，然而幾何概念是持續發展的能力，若能將研究對象向上延伸，對學童的幾何概念做長時間的縱貫研究，將可更了解學童幾何概念的長期發展與提昇情形。 2.增加受試者樣本數因本研究受時間、成本等因素，無法進行大範圍樣本施測，因此建議未來相關研究可以增加樣本數，作進一步的探討。. 29.

(37) 參考文獻一、中文部份王文科（1981）。教育研究法教育研究法。台南市：復文圖書出版社。教育研究法何森豪（2001）。Van Van Hiele 幾何發展水準之量化模式— 幾何發展水準之量化模式—以國小中高年級學生學生在四邊形概念之表現為例。測驗統計年刊，9，81-141。生在四邊形概念之表現為例吳德邦（1998）。台灣中部地區國小學童台灣中部地區國小學童van 台灣中部地區國小學童van Hiele 幾何思考層次之研究。行幾何思考層次之研究政院國家科學委員會專題研究計畫成果報告，計畫編號： NSC86-2511-S-142-001。吳德邦、沈紀伶、馬秀蘭、許天維 (2009) 。臺灣中部地區國中學生臺灣中部地區國中學生van 臺灣中部地區國中學生van Hiele 幾何思考層次分佈情形之調查研究幾何思考層次分佈情形之調查研究。第一屆科技與數學教育學術研討會論文思考層次分佈情形之調查研究集。國立臺中教育大學數學教育學系林秀瑾（2004）。台灣地區三十年來小學幾何教材內容分析研究台灣地區三十年來小學幾何教材內容分析研究。國立台北師範台灣地區三十年來小學幾何教材內容分析研究學院數理教育研究所碩士論文。陳梅生、周筱亭譯（1982）：美國小學數學教學美國小學數學教學。臺灣省國民學校教師研習會編。美國小學數學教學盧銘法（1996）。國小中高年級幾何概念之分析研究國小中高年級幾何概念之分析研究― 國小中高年級幾何概念之分析研究―以van Hiele 幾何思考層次與試題關聯結構分析為探討基礎。國立台中師範學院國民教育研究所碩士次與試題關聯結構分析為探討基礎論文（未出版）。譚寧君（1993）。兒童的幾何觀兒童的幾何觀兒童的幾何觀-從van Hiele 幾何思考的發展模式談起。國民幾何思考的發展模式談起教育，33（5），12-17。. 30.

(38) 二、西文部份 Lee, W. I. (1999). The relationship between students’ proof-writing. ability and van Hiele levels of geometric thought in a college geometry course(college students). Unpublished Doctoral disseration. University of Northern Colorado. National Council of Teachers of Mathematics. (2000). Principles and. standards for school mathematics. Reston, VA: NCTM. Stanislas Dehaene,Veronique lzard,Pierre Pica,and Elizabeth Spelke. Examining Knowlwdge of Geometry：Response to Wulff and Delson.. Science,312:1310,2006. 31.

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