静磁场

第三章 静磁场

Magnetostatic field

本章研究的主要问题是：恒定电流分布所激发的 静磁场。 需要注意：要产生恒定的电流，电场通常也是存 在的，在产生电流的电源或者导体表面电荷也是存在 的，因而周围空间中也存在着电场； 在恒定情况下，电场和磁场不发生相互作用，因 而可以把电场和磁场分离开来求解。

本 章 主 要 内 容

矢势及其微分方程 磁标势 磁多极矩 A－B效应 超导体的电磁性质 3

§3.1矢势及其微分方程

Vector potential and differential

equation

1、矢势

稳恒电流磁场的基本方程是 由此可看出，磁场的特点和电场不同。静电场是无旋 的，即引入标势 来描述。而磁场是有旋的，一般不 能引入一个标势来描述整个空间的磁场，但由于磁场 是无源的，可以引入一个矢量来描述它_。           j H B    0



5

即若 则 称为磁场的矢势。 根据斯托克斯定理，可得到 由此可看到矢势 的物理意义是： 矢势 沿任一闭合回路的环量代表通过以该回路 为界的任一曲面的磁通量。 必须注意：①只有 的环量才有物理意义，而在每点

A

B

B



















0

A























S L S

B

d

s

A

d

s

A

d

l













)

(

A

A



A



上的 值没有直接的物理意义。 ②矢势 可确定磁场 ，但由 并不能唯一地确 定 ，这是因为对任意函数 。 即 和 对应于同一个 ， 的取值具有任意 性， 的环量才有物理意义。

2、矢势微分方程

由于 ，引入 ，在均匀线性介质 内有 ，将这些代入到 中，即 ) (x A 

A



A



B B



A

A



















(



)

A



B

A









A



_A



A

B











0







B



j H    

H

B









7

若 满足库仑规范条件 ，得矢势 的微分方 程

A







A



0



A























)

0

(

2

A

j

A









j A A j A j B       







              2 ) ( ) (

1,2,3)

(i

2







A

_i



j

_i Pisson's equation

由此可见，矢势 和标势 在静场时满足同一形式的 方程，对此静电势的解。 可得到矢量的特解：

A













V

d

r

x

x









(

)

4

1

)

(

0













V

d

r

x

j

x

A







(

)

4

)

(









9

由此即得 作变换 ，即得 这就是毕奥_{——萨伐尔定律。} 当全空间中电流 给定时，即可计算磁场 ，对





























V V

d

r

r

x

j

d

x

j

r

A

B













3

)

(

4

)

(

)

1

(

4















l Id d j      









L

r

r

l

Id

B

3

4











B j  10

于电流和磁场互相制约的问题，则必须解微分方程的 边值问题。

3、矢势边值关系

当回路短边长度趋于零时 由于回路面积趋于零，有 因此使得











L

A

d

l

(

A

2t

A

1t

)

l

















L S

s

d

B

l

d

A









0

0

)

(

A

_2t



A

_1t



l



11

另外，若取 ，仿照第一章关于法向分量边值 关系的推导，可得 （1）、（2）两式合算，得到 即在两介质分界面上，矢势 是连续的。

4、静磁场的能量

磁场的总能量为

(1)

1 2t

A

t

A



(2)

)

0

(

1 2



A





A



A

_{n n}



0    A

(3)

1 2 S S

A

A







A







V

d

H

B

W







2

1

在静磁场中，可以用矢势 和电流 表示总能量，即 即有： j  A

j

A

H

A

H

A

H

A

H

A

H

B































































)

(

)

(

)

(

)

(











d

j

A

d

j

A

s

d

H

A

d

j

A

H

A

W

S









  

















































2

1

2

1

)

(

2

1

)

(

2

1

13

这里不能把 看作为能量密度。因为能量分布 于磁场中，而不仅仅存在于电流分布区域内。另外， 能量式中的 是由电流 激发的。 如果考虑两个独立电流系之间的相互作用能，则 设电流系 建立矢势为 ，另一电流系 建立矢势为 ， 分布于 ， 分布于 ，若电流分布为 磁场总能量为 j  A

j

A







2

1

e A e j  j  A e j  2 2 V x  1 1 V x  j 1 2 1 2

( )

_e

( )

( )

(

).

j

_总

x



j x



j x

x V



V



V







V

d

A

j

W

_总



_总



_总



2

1

由此可见，上式右边第一、二项是电流系 各自的 自能，其相互作用能为









            2 1 1 2 ) ( 2 1 2 1 2 1 ) ( ) ( 2 1 or V e e V V e e V e e d A j A j d A j d A j d A A j j                 e j j   ,











2 1

)

(

2

1

or V e e i

j

A

j

A

d

W











15

因为其中： 所以 1 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 2 ) ( 4 ) ( ) ( 4 ) ( x x x x r d r x j x A d r x j x A V e e V                  

















 



 















1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 1 2 1 1

)

(

4

)

(

)

(

4

)

(

V V e V e V V e V e

d

d

r

x

j

x

j

d

A

j

d

d

r

x

j

x

j

d

A

j













































该两式相等，因此电流 在外场 中的相互作用能量 为

5、举例讨论用 计算

[例1]

无穷长直导线载电流

I

，求空间的矢势 和磁场 。 Solution : 取导线沿

z

轴，设

p

点 到导线的垂直距离为R，电 流元

Idz

到

p

点距离为 e A j 



  V e i j A dv W  

B



A A o z dz R P ↑I 2 2 z R  17

因此得到 积分结果是无穷大（发散的）。计算两点的矢势差值 可以免除发散，若取R₀点的矢势值为零，则      













ln(

)

4

4

2 2 2 2

z

z

R

I

z

R

Idz

A

_z









                                 2 2 2 2 0 2 2 0 2 2 2 0 2 2 2 0 1 1 1 1 1 1 1 1 ln 4 lim ln 4 lim ) ( ) ( M R M R M R M R I R z z R z z I p A p A M M M M z z    

每项相乘后，再二次项展开得 亦即 故 0 0 2 2 0 2 2 2 0 2 2 2 2 0 2 0 ln 2 ln 2 ln 4 4 1 4 1 ln 4 lim R R I R R I R R I M R R R M R R R I M                              z

e

R

R

I

p

A

p

A







0 0

ln

2

)

(

)

(











z e R R I p A  0 ln 2 ) (





  0 19

取 的旋度，得到 _A 2 1 2 ) ln (ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 0 0 0 0 0 R z z R z z z z z e e R I e e R I e R R I e R R I e R R I e R R I e R R I A B                                                  

2







e

R

I 



结果与电磁学求解一致。

[

例

2]半径为a的导线圆环载电流为I，求空间的矢势和 磁感应强度。 Solution: 首先求解矢势 _A





     r l Id d r x j A V    











4 ) ( 4 0 0 z y x P R r a o θ φ' l Id (a,φ',o) 21

由于问题具有轴对称性，可以把观察点选在xz平面上， 这样的好处是_{φ'=0，故 只与r}

，

_θ有关。 其中 即得 y x jdl l d i l d a R Ra R a r                   ) ( cos 2 2 2 2                  













d a l d a l d a l d a l y y x x cos sin sin cos





                       2 0 2 2 0 2 0 2 2 0 cos 2 cos 4 cos 2 sin 4 Ra a R d a I A Ra a R d a I A y x 22

在图上分析有 因此得到：

cos

sin

cos























                



























2 0 _{2 2 2} 1₂ 0 2 0 _{2 2} 1₂ 0 cos 2 sin 4 cos sin 2 sin 4 a z a d a I Ra a R d a I A_x R z R2  2  2,sin   23

作变换： 令

















                                           2 0 _{2 2 2} 1₂ 0 2 0 2 1 2 2 2 0 2 0 _{2 2 2} 1₂ 0 cos 2 cos 4 0 cos 2 ) 1 ( 4 cos 2 cos 4 a z a d a I A a z a a I a z a ad I y













 (   ) ,   2  2 1 则

这样 于是有















d d 2 1 sin 2 ) 2 cos( ) 2 cos( cos 2         



















                            2 0 _{2 2 2 2} 1₂ 2 0 2 2 1 2 2 2 2 2 0 2 2 2 1 2 2 2 2 2 0 ) 1 sin 2 ( 2 ) 1 sin 2 ( ) 1 sin 2 ( 2 ) 1 sin 2 ( 2 ) 1 sin 2 ( 2 ) 1 sin 2 ( 2 4                        a z a d a z a d Ia a z a d Ia A_y 25

令 ，则有 考虑一般情况，这里的

y

方向实际上就是 方向，因













           2 0 _{2 2 2} 1₂ 2 0 2 0 _{2 2 2 2} 1₂ 2 0 ) sin 4 ) ( ) 1 sin 2 ( ) 1 sin 2 ( 2 ) 1 sin 2 (  





























a z a d Ia a z a d Ia



_{2 2}



1 2

)

(

4









a

a

z

k





















2 0 _{2 2} 1_{2 2 2} 1₂ 2 0

)

sin

1

(

)

(

)

1

sin

2

(















k

z

a

d

Ia

A

_y 

e



此上式可改为：

















                         2 0 _{2 2} 1₂ 2 2 0 2 1 2 2 2 2 1 0 2 0 _{2 2} 1₂ 2 2 2 2 1 2 2 0 2 0 _{2 2} 1₂ 2 2 1 2 2 0 ) sin 1 ( ) 1 2 ( ) sin 1 ( 2 ) ( 2 ) sin 1 ( ) 1 2 ( 2 sin 2 ) ( 1 ) sin 1 ( ) 1 sin 2 ( ) ( 1                         k d k d k k a Ia d k k k z a Ia k d z a Ia A 27

令 这里Κ(k) , Ε(k)分别为第一、第二类椭园积分。从而 得到 故磁感应强度的严格表达式为





      2 0 2 1 2 2 2 0 _{2 2} 1₂ ) sin 1 ( ) ( ) sin 1 ( ) (       d k k k d k                          ) ( ) ( 2 1 ( ) ( ) ( ) 1 2 ( ) ( 2 ) ( 2 2 2 1 0 2 2 2 1 0 k k k a k I k k k k a Ik A       

讨论： 对于远场，由于R>>a，且有









                                        ) ( ) ( ) ( ) ( 1 2 ) ( 1 0 ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 0 2 2 2 2 2 2 1 2 2 0 k z a z a k z a I A B B k z a z a k z a z I z A B z                  











sin

cos

cos

29

当R>>a情况下，上式分母展开为： 于是得到



_

_





_



 













2 0 _{2 2} 1₂ 0

)

cos

sin

2

(

cos

4

_a

_R

_Ra

d

Ia

A

1 2 2 ₂ 1 1 2 2 _{2 2} 2 2 1 2 2 ₂ 2 2

(

2

sin cos )

2

sin cos

(

)

(1

)

1 2

sin cos

(

)

(1

)

2

a

R

Ra

Ra

a

R

a

R

aR

a

R

a

R













   



























若R>>a，且 2 0 1 2 2 0 _{2 2 2} 2 2 2 0 0 1 2 2 0 _{2 2 2} 0 2 2 0 3 2 2 ₂ 0 0 3 2 2 ₂ cos 1 2 1 sin cos 4 _{( )} 2 cos 2 sin cos 4 _{( )} 8 1 1 1 sin sin 2 4 _{( )} 2 4 sin 4 _{( )} Ia aR A d a R a R Ia Ia aR d d a R a R Ia R a R Ia R a R     





_

_{ }







_



_

_{ }







_

_

_





_

 _{ }    _  _              _{ }  _  _     







31

于是磁感应强度为

















 sin 4 sin 1 4 sin 1 4 2 0 2 0 2 2 0 R m R IS R Ia A         















e

A

RA

R

R

e

RA

R

A

R

e

A

A

R

A

B

r r r





















































































)

(

1

)

(

sin

1

1

)

(sin

sin

1

可见，对于一个圆电流环，在远处所激发的磁场，相 当于一个磁矩为 的磁偶极子激发的场。            3 5 0 3 0 3 0 ) ( 3 4 4 sin 4 cos 2 R m R R R m e R m e R m r      

















 m 33

§3.2 磁标势

Magnetic scalar potential

本节所研究的问题是避开矢量 求磁感应强 度 的不便理由。类比于静电场，引入磁标 势 。然后讨论 所满足的微分方程，继而讨 论静磁问题的唯一性定理。

1、磁标势引入的条件

（

1

）所考虑的空间区域没有传导电流

（

2

）空间应为单连通区域

A B m





_m 35

2、磁标势 的方程

在能引入磁标势的区域内，磁场满足： 在磁介质中， 的关系是（不论是铁磁质还是非 铁磁质）： 因为 ，代入上式，则得 m



          0 0 H B   H B和  ) ( 0 H M B 



  

0







B



M

H















与电介质中极化电荷密度的表达式 类比， 可以假想磁荷密度为 于是，得到与电介质中的静电场方程类似的形式 将 代入上式，即得到

P

p











M

m













₀























0

0

H

H

m









m H  























M

m m m



0 0 2











37

从 和 的

边值关系

_{可以求得 在交界面上的关系：} 由 ，得到 由 ，及 可得 对于非铁磁质来说， ，故得到 B H  m



0

)

(

ˆ

1 2







H

H

n







S m S m1



2





)

(

0

H

M

B













0

)

(

ˆ

1 2







B

B

n







) ( ˆ 1 2 1 2 _{n M M} n n _S m S m             H B 



 S m S m n n      ₁ 1 2 2    

由此可见，交界面上的关系和静电介质完全类似。因 此，引入磁荷和磁标势的好处在于可以借用静电学中 的方法。

3、静磁问题的唯一性定理

当所考虑的区域是单连通的，其中没有传导电流 分布时，可引入磁标势 ，通过和静电学问 题的唯一性定理同样的推导，可得出静磁问题的唯一 性定理： 如果可均匀分区的区域V中没有传导电流分布， 只要在边界S上给出下列条件之一，则V内磁场唯一地 确定： m H  



39

a)磁标势之值 b)磁场强度的法向分量 c) 磁场强度的切向分量

4、磁标势的应用举例

[

例

1] 证明μ→∞的磁性物质表面为等磁势面。 Solution: 角标1代表磁性 物质、角标2为真空 . S m  . S m S n n H    



.

S t

H

0   1 2

由磁场边界条件： 以及 可得到法向和切向分量为 两式相除，得

0

)

(

ˆ

,

0

)

(

ˆ

1 2 1 2













B

B

n

H

H

n













1 1 1 2 0 2

H

,

B

H

B

















t t n n

H

H

H

H

_{2 1 2 1} 0





,





0 1 1 0 2 2 1 1 2 0 2      









n t n t n t n t H H H H H H H H 41

因此，在该磁性物质外面，H₂与表面垂直（切向分量 与法向分量之比_{→0)，因而表面为等磁势面。} [

例

2]求磁化矢量为 的均匀磁化铁球产生的磁场。 Solution: 铁球内外为两均匀区域，在铁球外没有磁荷分布 ( )，在铁球内由于均匀磁化 , 而 =0，因此磁荷只能分布在铁球表面上，故球内、外 磁势都满足Laplace’s equation. 0 M

0



外 m



m M0     内 





















)

(

0

)

(

0

0 2 2 0 1 2

r

R

R

r

m m





球半径

0 M

由于轴对称性，极轴沿 方向，上式解的形式为： 球外磁标势必随距离r增大而减小，即 球内磁标势当r=0时必为有限，即 故有： 0 M





        n n n n n n m n n n n n n m p r d r c p r b r a ) (cos ) ( ) (cos ) ( ) 1 ( 2 ) 1 ( 1     0 , 0 1 _r  n  m 即 a



0 , 0 2 _r  n  m 有限值 从而得到 d







      n n n n m n n n n m r R p r c R r p r b ) ( ) (cos ) ( ) (cos 0 2 0 ) 1 ( 1     43

铁球表面边界条件为、 当r=R₀时： 设球外为真空，则 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 2 1 0 1 2 2 1

ˆ

R r m R r m R r R r R r m R r m R r r R r r

H

H

M

n

n

n

B

B

       





























 

或者

或者





由边界条件得：                cos ) (cos cos ) (cos ) 1 ( 0 0 1 0 0 0 2 0 0 2 0 2 ) 2 ( 0 1 0 1 0 1 M p r nc M r M H B p r b n r H B n n n n m r r r n n n n m r r





                   









          n n n n n n n n n n n n n n n n P R c P R b P M P R nc P R b n ) (cos ) (cos ) (cos ) (cos ) (cos ) 1 ( 0 0 0 0 ) 1 ( 1 0 1 ) 2 (      45

比较 的系数： 当n=1时，有 所以 当 时，有 ) (cos



n P           0 1 2 0 1 0 1 3 0 1 2 R c R b M c R b 3 0 0 1 0 1

3

1

,

3

1

R

M

b

M

c





0





_n n

b

c

1



n

从而得到 铁球内、外的磁场强度为 r M r M r r M R r R M r R M m m             0 0 2 3 0 3 0 2 3 0 0 2 3 0 0 1 3 1 cos 3 1 3 3 cos cos 3 1











            e r m e r m e r R M e r R M r M R e r e r H r r r m        3 3 3 3 0 0 3 3 0 0 2 0 3 0 1 1 4 sin 4 cos 2 3 sin 3 cos 2 3 cos ) 1 (              47

其中： 。由此可见铁球外的磁场 相当于一个磁偶极子所激发的场。 把 取在 方向上，即有 3 0 0

3

4

R

M

MV

m







k

M

e

e

M

H

_{m r}









0 0 2 2

3

1

)

sin

(cos

3

1





















_

k



0 M 0 0 0 2 0 2 2 0 2 0 2 3 2 ) ( ) ( 3 1 M M H M H B M H        







      

进一步讨论可见： 线总是闭合的， 线且不然， 线是从右半球 面上的正磁荷发出，终止于左半球面的负磁荷上。在 铁球内， 与 反向。说明磁铁内部的 与 是有很 大差异的。 线是闭合的 线由正磁荷发出到负磁荷止

B



H _H

B



H

_B



H

B



H  49

§3.3 磁多极矩

Magnetic multipole moment

本节研究空间局部范围内的电流分布所激发的磁 场在远处的展开式。与电多极矩（electric multipole moment) 对应。引入磁多极矩概念，并讨论这种电流 分布在外磁场中的能量问题。

1、矢势 的多极展开

给定电流分布在空间中激发的磁场矢势为 A









V

d

r

x

j

x

A







(

)

4

)

(

0









51

如果电流分布集中在一个小区域V中，而场点 又距 离该区域比较远，这时可仿照静电情况的电多极矩展 开的方法，把矢势 作多极展开，即把 在区域内 的某一点展开成 的幂级数。若展开点取在坐标的原 点，则

x



                          _{      }     





) ( ) ( ) ( 1 : ! 2 1 1 1 ) ( 4 ) ( 4 ) ( ) 2 ( ) 1 ( ) 0 ( 0 0 x A x A x A d R x x R x R x j d r x j x A V V













r 1 ) (x A 

x





展开式的第一项： 即 表示没有与自由电荷对应的自由磁荷存在_。 (0) ₀ 0 0 1 ( ) ( ) 4 4 4 0 V L L A x j x d R Idl R I dl R



_











       







0

)

(

) 0 (





x

A





53

因为











































V i i V i i V

d

x

x

j

R

d

R

x

x

j

d

R

x

x

j

x

A



















)

(

1

4

1

)

(

4

1

)

(

4

)

(

0 0 0 ) 1 (





















 





 



 

x x j x x j x x j x x x x j x x x j x x x j x x j x x j x x j x x j x x j i i i i i i i i i i i                                                                      ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 1 ) ( ) ( 2 1 ) ( 展开式的第二项：

这里用到了稳恒电流条件 所以

0

)

(











j

x























                               V i i V i i i V i i i V i i d x x x j R d x x j x x j R d x x j x x j R d x x j R x A

























               ) ( 1 8 ) ( ) ( 2 1 1 4 ) ( ) ( 2 1 1 4 ) ( 1 4 ) ( 0 0 0 0 ) 1 ( 55





























     _{      }        _{     }                                   V i i V i i i i V i i i V i i i S i i V i i i d R x j x R x x j d R x j x R x x j d x x j x x j R d x x j x x j R s d x x x j R d x x j x x j R                  1 ) ( 1 ) ( 8 1 ) ( 1 ) ( 8 ) ( ) ( 1 8 ) ( ) ( 1 8 ) ( 1 8 ) ( ) ( 1 8 0 0 0 0 0 0                           0

其中 故得到 式中： 称此为磁矩。



j(x)x xj(x)

 

 R  x j(x)



 R 3 0 0 ) 1 (

4

1

)

(

2

1

4

)

(

R

R

m

R

d

x

j

x

x

A

V















































































_







V

d

x

j

x

m

(

)



2

1









57

表示把整个电流系的磁矩集中在原点时， 一个磁矩对场点所激发的矢势。作为一级近似结果。 展开式的第三项： 将会是更高级的磁矩激发的矢量势。因为比较复杂， 一般不去讨论。 综上所述：小区域电流分布所激发的磁场，其矢 势可看作一系列在原点的磁多极子对场点激发的矢势 的迭加。

















V

d

R

x

x

x

j

x

A







1

:

!

2

1

)

(

4

)

(

0 ) 2 (













) ( ) 1 ( x A 

2、磁偶极矩的场和磁标势

根据 ，即有 由此可见 A B   





                     ) 1 ( ) 0 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 0 ( B B A A A A B                            3 3 0 3 0 3 0 ) 1 ( ) 1 ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) ( 4 ) ( 4 4 0 R R m m R R R R m R R m A B A B                   59

因为讨论的是区域V外的场，在 处，有 故得到 由此可见在电流分布以外的空间中 0  R

0

1

1

₂ 3



















R

R

R

R



) ( ) ( 4 ) ( 4 3 0 3 0 ) 1 ( 为常矢 m R R m R R m B                   ) 1 ( ) 1 ( 0 ) 1 ( 1 m B H





     60

故得

3、小区域内电流分布在外磁场中的能量

设外场 的矢势为 ，电流 分布在外磁场 中的能量为： 3 3 ) 1 (

4

4

1

R

R

m

R

R

m

m























e A e B j(x)





_







V e i

j

x

A

x

d

W



(



)



(



)



61

对于环形小电流，则有 当电流环线度很小， 变化不大时，取原点在线圈所 在区域适当位置上，把 在原点附近展开：











































S e S e L e v e i

s

d

B

I

s

d

A

I

l

d

A

I

l

d

s

d

x

A

x

j

W





















)

(

)

(

)

(

e B e B

























₎

₍

₀

₎

₍

₀

₎

(

_{e e} e

x

B

x

B

B

所以，得到 可见





               



) 2 ( ) 1 ( ) 0 ( ) 0 ( i i S e e i W W s d B x B i W ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 1 ( e e S e S e i B m S B I s d B I s d B I W                  





63

4、磁矩在外磁场中受力和力矩

体积V内的电流受外磁场的作用力为 而 从而得到















j

x

B

x

d

F

_e V

)

(

)

(



































₎

₍

₀

₎

₍

₀

₎

(

_{e e} e

x

B

x

B

B









_

_

_

_

_





v e e

x

B

d

B

x

j

F





(



)



(

0

)





(

0

)





第二项： 0 0 ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) 1 (                 







e L e V e V e B l d I b d x j B d B x j F            













                        







d B x x j d B x x j d B x x j F V e V e V e ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 2 (              第一项： 65













                                                                  











V i e V i i e V i i e V i e V i e d x x x j B d x x j x x j B d x x j x x j B d x x j B d x x j B i i i i i











               ) ( ) 0 ( 2 1 ) ( ) ( 2 1 ) 0 ( ) ( ) ( 2 1 ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 (





















                                                                           











V e i e i V i i e V i i e S i e V i i e d B x j x B x x j d x x j x x j B d x x j x x j B d x x x j B d x x j x x j B i i i i i i      ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( 2 1 ) ( ) ( ) 0 ( 2 1 ) ( ) ( ) 0 ( 2 1 ) ( ) 0 ( 2 1 ) ( ) ( ) 0 ( 2 1                    0 67

故











(0)



) 0 ( ) ( 2 1 )) 0 ( ) ( ( )) 0 ( )( ( 2 1 e V e V e i e i B m B d x j x d B x j x B x x j i i                                                        





 





) 0 ( ) 0 ( ) ( )) 0 ( ( ) ) 0 ( ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( e e e e e e e B m B m m B m B B m B m B m F                                      

同理，考虑一个小区域内的电流在外磁场中受到的力 矩为： 展开式的第一项：

















                  V e e V e d B x B x j x d x B x j x L





             ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) (

































                          V V e e V e e V e d x j x B d B x x j d B x j x B x x j d B x j x L









) ( ) 0 ( 2 1 ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( 2 ) 1 (                     69































                                   v i i e v i i e v i e v e i v e S e v e d x x j x x j B d x x j x x j B d x x j B d B x x j d B x x j s d x j x B d B x x j i i i i                               ) ( ) ( 2 1 ) 0 ( ) ( ) ( 2 1 ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( 2 1 ) 0 ( ) ( 2 0

故得到







 











) 0 ( ) 0 ( ) ( 2 1 ) ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( 2 1 ) ( ) 0 ( 2 1 e V e V e e v i e B m B d x j x d x j B x B x x j d x x x j B i                                        







  

)

0

(

e

B

m

L











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