Unit 3 數的四則運算與科學記號

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Unit 3 數的四則運算與科學記號 能力指標:◎(N-3-11)能理解負數的特性並熟練正負數(含小數、分數)的四 則運算。 ◎(N-3-11)能判別兩數加、減、乘、除的正負結果並算出其值。 ◎(N-3-02)能以最大公因數、最小公倍數熟練運用至約分、擴分、 最簡分數的計算。 ◎(N-3-12)能理解底數為整數且指數為非負整數的運算。 ◎(N-3-13)能用以十為底的指數表達大數或小數。 能力一:有理數的四則運算 一、整數:整數(Z)係指在有理數中非分數的數,其由正整數、負整數及零(0) 所構成。 二、分數:分數係指在有理數(Q)中可表示成

(

a,b,b0

)

b a ,其中 a 稱為 分子,b 稱為分母,其種類可分為真分數、假分數及帶分數。 (一)分數的種類: 1. 真分數:分子比分母小的數稱為真分數。例如: 4 3 。 2. 假分數:分母比分子小的數稱為假分數。例如: 5 7 。 3. 帶分數:將假分數化成整數與真分數的和稱為帶分數。例如: 3 2 1 3 2 1 3 5= + = 。 (二)分數的基礎運算 1. 擴分:一個分數的分子與分母同時乘以一個不是 0 的整數,這種步驟叫 做擴分,擴分後的分數與原來分數的值相等。例如: 5 3 10 6 , 10 6 2 5 2 3 5 3 = =   = 2. 約分:一個分數的分子與分母同時除以它們的公因數,這種步驟叫做約 分。約分後的分數與原來的分數相等。例如: 24 14 12 7 , 12 7 2 24 2 14 24 14 = =   = 。 3. 最簡分數:一個分數的分子與分母互質,這種分數就是最簡分數。一個 分數可以利用約分將此分數化成最簡分數。例如: 25 13 , 17 13 等。 (三)分數的加減運算 1. 分母相同時:直接將分子相加減再化成最簡分數。

(2)

2. 分母不同時:先通分化為同分母,再加減。 3. 遇帶分數時:先把帶分數化成假分數再相加或相減,也可以整數部分與 分數部分,分別相加或相減,再合併。 例如:○1 2 5 4 10 4 7 4 3+ = = 。 ○2

(

) (

)

35 13 5 7 4 7 5 3 5 4 7 3 = −   −  = − ○3       = = + = +  =       =       + +  = + 28 13 4 28 125 28 77 48 4 11 7 12 . 28 13 4 28 41 3 4 3 7 5 2 1 . 4 3 2 7 5 1 B A (四)分數的乘除運算 1. 分數相乘時,把分子相乘做為新分子,分母相乘做為新分母,所得的新 分數就是分數的乘積。 2. 幾個分數相乘,如果分子和分母之間有公因數,可以先約去公因數再相 乘。 3. 幾個分數相乘時,帶分數應先化成假分數後再相乘。 4. 倒數:一個分數的分子不等於 0,將它的分子與分母互調,所得新的分 數就是原分數的倒數。若有兩分數其乘積等於 1,此兩數必互為倒數。(提 醒:一個不等於 0 的數,其倒數與其相反數的乘積必為-1。) (五)分數的大小比較 1. 此分數為正數時,化為同分母再比較分子的大小,若分子愈大,則此分 數愈大。 2. 此分數為正數時,化為同分子再比較分母的大小,若分母愈大,則此分 數愈小。 3. 此分數為負數時的大小比較,可先比較其絕對值的大小,加上負號後其 大小剛好相反。 例如: 與 的大小比較 5 2 3 2 。因為分子相同時分母愈大其值愈大,所以 5 2 3 2  。 三、小數:小數係指運用十進位制將任一實數(R)表示為 a . b 的形式,其中「a」 稱為小數點前的數,「b」稱為小數點後的數,「」稱為小數點。 (一)小數的種類: 1. 有限小數:(分母僅含有 2 和 5 的因數) ○1 純小數:係指小數點前的數為 0。例如:0.0036。 口訣:子同母大大;母同子大小。 (分子相同時分母愈大其值愈大;分母相同時分子愈大其值愈小。)

(3)

2. 無限小數:(分母含有非 2 和非 5 的因數) ○1 循環小數:係指小數點後的數有規律的循環。 例如:0.31456565656=0.31456。 ○2 不循環的無限小數:係指小數點後的數不循環且無限的數,並且該數無 法化為分數形式,又稱為無理數。例如: =3.141592 , 2 =1.414 。 (二)小數化分數 1. 有限小數型:將有限小數化為有理數(分數型),再擴分去掉小數點,最 後約分求最簡分數。例如: 250 781 1000 3124 1000 1000 124 . 3 1 124 . 3 124 . 3 = =  = = 2. 循環小數型:國中課程尚未介紹,故省略。 二、有理數(Q)的四則運算規律(以符號表示): (1)交換律(限用於加、乘法) a b b a a b b a  =  + = + Ex: ) 2 ( 3 3 ) 2 ( , 3 2 2 3 ) 2 ( 3 3 ) 2 ( , 3 2 2 3 −  =  −  =  − + = + − + = + (2)結合律(限用於加、乘法)

(

(

)

)

(

(

)

)

c b a c b a c b a c b a   =   + + = + + Ex:

(

)

(

) ( )

( ) ( )

( )

(

2 3

)

5 2

(

3 5

)

,

( )

2 3

( ) ( )

5 2

3

( )

5

5 3 2 5 3 2 , 5 3 2 5 3 2 −   − = −   −   =   − + + − = − + + − + + = + + (3)分配律(法 v.s. 法;法 v.s. 法

(

)

(

)

(

)

(

)

:

b a b c a c b a c c b c a c c b c a b a c c b a          =      =   =   注意 Ex:

(

)

(

2 3

)

5 2 3 3 5 5 3 5 2 5 3 2    =      =   (4)單位元素律 a a a a a a =  =  = + = + 1 1 0 0 【整數的交換律及結合律運算】 講解 1: 請計算下列各式: (1)163+337+345=? (2)969+

(

−1047

)

+847=? (3)567+1806−367=?

(4)

(4)150336=? (5)2500011

(

−24

)

=? 解: (1)原式=

(

163+337

)

+345=845 (2)原式=969+

(

−1047

)

+847

=969+

(

−200

)

=769 (3)原式=

567+

(

−367

)

+1806=200+1806=2006 (4)原式=

(

1506

)

33=29700 (5)原式=

25000

(

−24

)

11=−6600000 練習一: 請計算下列各式: (1)293+507+11111=? (2)

( ) (

−11 + −2008

)

+1908=? (3)12321+221−321=? (4)404311=? (5)400012

(

−25

)

=? 解: (1)原式=

(

293+507

)

+11111=11911 (2)原式=

( ) (

−11 +

−2008

)

+1908

=

( ) (

−11 + −100

)

=−111 (3)原式=

12321+

(

−321

)

+221=12221 (4)原式=

(

40411

)

3=13332 (5)原式=

4000

(

−25

)

12=−1200000 【分數的交換律及結合律運算】 講解二: 請計算下列各式: ○1 13 11 × 18+ 13 11 × 12- 13 11 × 7- 13 11=? ○2 413 48 ÷ ( 13 18+ 5 12) ÷ 27 64=? Sol) ○1 原式=13 11 ×(18+12-7-1)= 13 11 × 22=26 ○2 原式=20548 ÷(26 36+ 15 36)× 64 27= 80 9 練習二: 請計算下列各式: ○1 17×111÷(21+11)=?

(5)

○2 (1+ 2 1 )×(1+ 3 1 )×(1+ 4 1 )×…×(1+ 100 1 )=? sol) ○1 原式=17 23 11 6 17 17 17 5 5 23 2 5 5 2 5 2 17 2     + =  =  =   ○2 原式=3 4 5 101 101 2   3 4 L 100 = 2 【分數與小數的四則運算】 講解三: 請計算下列各式: ○1 計算:1 4 3 ÷[3×(1.6+5÷3)]×4=? ○2 計算:0.5÷[( 3 1 +0.4)× 11 3 ]=? Sol) ○1 原式=7 3 16 5 4 7 3 49 4 7 5 4 5 4 10 3 4 15 4 49 7        +  =  =   =       ○2 原式=1 1 2 3 1 11 3 1 5 5 2 3 5 11 2 15 11 2 2       + = =  =       練習三: 請計算下列各式: ○1 計算:1 3 2 ÷[(0.5- 4 1 )÷ 44 21 × 11 7 ]=? ○2 計算:14 5 1 -(3 2 1 ÷ 3 2 +0.5)=? Sol) ○1 原式=5 1 1 44 7 5 1 4 5 3 5 3 2 4 21 11 3 4 3 3        = =  =       ○2 原式=71 7 3 1 71 21 1 71 46 71 23 169 8 9 5 2 2 2 5 4 2 5 8 5 4 20 20     −  + = − + = − = − = =     【數的四則運算應用題】 講解四: 已知一年 18 班的人數大於 20 人且不滿 50 人,在第一次段考數學科分數,80 分 以上的人數恰好佔全班人數的 4 1 ,70 幾分的人數恰好佔全班人數的 2 1 ,60 幾分 的人數恰佔全班人數的 5 1 ,請問不及格的人數應為幾人呢? Sol)

(6)

1 1 19 1 1 , 2 5 20 20 1 1 x 20 50 , 2( ) 20 x 20 x+ += − =         = 1 不及格人數=1-4 設不及格人數有 人, 人 答:2 人 練習五: 櫻怡、良宜、宇倫、育杰等四人合資10000元開店,良宜出全部資金的 5 2 ,櫻怡 的資金是良宜的 4 3 ,宇倫出的資金是櫻怡的 3 1 ,剩下的資金由育杰出,則育杰出 多少錢呢? Sol) 2 2 3 3 3 1 1 , , , 5 5 4 10 10 3 10 2 3 1 10000 1 2000 ( ) 5 10 10 = =  = =  =    =  − + + =     良宜 櫻怡 宇倫 育杰出資 元 答:2000 元 十分鐘即時練習: ( B)1. 台灣高鐵每天早上 5:30 從台北車站發第一班車,已知早上 7:00~9: 00 的時段,每 6 分鐘就發一班車,其他時段每 10 分鐘發一班車。請問 台灣高鐵於 7:34~9:34 共發了幾班車呢?(A)16(B)18(C)20(D) 22。 ( B)2. 1 4+7 1 2 × 3 5=? (A) 19 8 (B) 19 4 (C) 19 16(D) 19 2。 ( A)3. 已知牛仔褲的成本為每件 400 元,且店家依成本加三成作為定價。若 褲架上標示售價為定價的 20%OFF,則每件物品可賺多少元? (A) 16 元(B) 18 元(C) 20 元(D) 24 元。 ( C)4. 育安從家裡到學校的上學途中,走了全程的 1 3 到達育平蛋糕店,又走 了剩餘路程的 1 3 到達小華文具店。問文具店到學校的路程為全程的幾 分之幾? (A) 8 9 (B) 6 9 (C) 4 9 (D) 2 9。 ( B)5. 若 2 2 9+3 5 6+4 7 12 的值可化為最簡分數 n m,下列敘述何者正確? (A) m、n 均為質數(B) m+n 為質數(C) m+n 為 3 的倍數(D) m+n 為 5 的倍數。

(7)

( )

( ) ( ) ( )

2 2 2 2 2 2 2 4, 2 2 2 4 , 2 2 2 4, 2 2 2 4 =  = =  = − = −  = − − = −  − =

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

3 3 3 2 2 2 2 2 8, 2 2 2 2 8, 2 2 2 2 8, 2 2 2 2 8 =   = =   = − = −   = − − = −  −  − = − 能力二:指數記法與指數律 一、指數記法 指數又名為次方,係指某相同整數其乘積的次數。 若a n  ¢, ,a 稱為底數,n 稱為指數,指數記法如下所示: 二、指數律 (一)設 a、b 為二實數(¡ ),m、n 為二整數( ¢ ),則其有下列規律: 1. m n m n aa =a + 2.

( )

m n m n a =a  3. n n

(

)

n ab = a b (二)設 a 為實數(¡ ),m、n 為整數( ¢ ),且 m>n,則其有下列規律: 1. a>1 m n aa 2. 0<a<1 m n a a   (三)設 a、b 為實數(¡ )且不為 0,且 m>n>0,則其有下列規律: 1. m n m n aa =a − 2. 1 n n m m m n a a a a a −  = = 3. m m m a a b b    =     4. n 1 n a a=

(

)

0, an ¢ 5. 0 0

(

)

1 1 0 m m m m m m aa =  aa =a − =aa = a (四)指數的奇、偶性質與底數正、負數的關係 1. 2. (五)帶有指數之數的大小比較 1. 指數相同,底數愈大,該數值愈大;反之亦同。

n

a

=    

a a a

L

a

n

(8)

( )( ) ( ) ( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

( )( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 3 4 2 3 4 2 3 4 2 3 4 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 3 3 1 1 1 1 1 1 1 4 1 1 1 1 1 1 1 − + − + − = + − + = − + − + − = − + − + − = − − − − =  −  = − − − − = −  −  − = −

( ) (

)

(

)

( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

(

)(

) (

)(

)

50 100 0 50 3 2 2 2 2 3 2 3 2 2 2 1 3 1 1 101 2 50 3 120 4 2 6 = 1 1 0 2 2 (15 22) (9 16) (3 4) (3 4 ) = 7 7 1 7 7 7 7 7 7 0 3 456 455 457+458 459 457 460 =456 456 1 456 1 458.5 0.5 458.5 0.5 458.5 −   −  +  + −    + + = −  − − −  − −  − −  − = −  − + = − + = −   −  − − + + − + −

(

)(

)

(

) (

) (

)

(

)(

)

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1.5 458.5 1.5 =456 456 1 458.5 0.5 458.5 1.5 =456 456 1 458.5 0.5 458.5 1.5 =1 0.5 1.5 1 1.5 0.5 1.5 0.5 1 2 3 + − − + − − − − + + − − + − + = + − + = + = 3 2 2 2 2 (15 22)−  −(9 16) − −(3 4) (3 −4 )

(

)

100

(

)

0 1 3 1 50 101 2 50 3 120 4 2 6   −  +  + −    2. 底數相同,指數愈大,該數值愈大;反之亦同。 3. 比較大小時,先把【指數】或【底數】化成相同數,再進行比較。 【指數律的運算】 講解一: 請計算下列各式的值為何呢? ○1 (-1)2+(-1)3+(-1)4 2 (-12)+(-13)+(-14) ○3 (-1)2(-1)3(-1)4 ○4 (-12)(-13)(-14)。 Sol) 練習一: 請計算下列各式的值為何呢? ○1 ○2 ○3 4562-455×457+458×459-457×460 Sol)

(9)

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

35 35 105 3 35 3 70 2 35 2 35 35 35 35 35 35 35 105 70 6 6 5 6 36 5 30 3 5 8 6 36 30 8 5 5 3 5 7 1 2 2 2 , 3 3 3 8 , 9 , 5 5 8 9 5 2 3 2 64 2 2 , 2 2 , 8 32=2 2 2 2 2 2 64 2 8 32 3 0.7 1 , 0.7 0.7   = = = =       = = =   =          ∵ ∴ 0.7

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

14 14 42 3 14 28 2 14 14 14 14 28 42 14 10 3 10 2 20 5 15 3 4 3 4 15 20 5 10 5 7 3 5 7 1 3 3 =9 , 5 5 25 25 9 7 5 3 7 2 49 7 7 , 7 7 , 7 343 7 7 7 7 7 7 7 343 7 49 3 0.2 1 , 0.2 0.2 0.2− 0.2− 0.2− = = =       = = =  =  =        3      ∵ ∴ 0.2 【指數律的比較大小】 講解二: 請比較下列各數的大小關係為何? ○1 2105 , 3 , 5 ○70 35 2 64 , 25

( )

5 6 , 8 32 ○3

( ) ( ) ( )

0.7 3 , 0.7 5 , 0.7 7 sol) 練習二: 請比較下列各數的大小關係為何? ○1 3 , 7 , 5 ○42 14 28 2 49 , 710

( )

5 3 , 7 343 ○3

( )

0.2 −3 , 0.2

( )

−5 , 0.2

( )

−7 sol) 十分鐘即時練習: (C)1. 試比較 a=

(

)

2 5 . 0 − ,b=

(

3

)

5 . 0 − ,c=

(

4

)

5 . 0 − ,d=

(

)

5 5 . 0 − 的大小為何?(A) a>b>c>d(B)c>a>b>d(C)a>d>c>b(D)a>c>d>b (B)2. 試計算

( )

               −        − − − 6 2 1 3 1 3 4 2 2 2 2 之值為何?(A) 13 18 9 − (B)18 (C) 13 18 9 (D)-18 (B)3. 若有一式為−3333,可簡記為下列哪一數呢?(A)

( )

4 3 − (B) 4 3 − (C)

( )

−3 3 (D)−33 (B)4. 下列敘述何者錯誤?(A)7 個 7 相加等於 2 7 (B)

(

7+3

) (

2 − 7−3

)

2 =72

(10)

(C)7 個 7 相乘等於 7 7 (D)1002 −992 =299+1 (B)5. 下列哪一個式子其值與

( )

3 2 − 相等?(A)

( ) ( )

−2  −3 (B)−

(

222

)

(C)

( ) ( ) ( )

−2 + −2 + −2 (D)

( )

−2 3 能力三:十進位制與科學記號 一、十進位制 名稱(位) 兆 億 萬 千 百 十 個 換算 12 10 108 104 103 102 101 =10 100 =1 名稱(位) 十分 百分 千分 萬分 十萬分 百萬分 千萬分 換算 1 10− 10−2 10−3 10−4 10−5 10−7 10−8 eg: ○1 123456789 此數中「3」為百萬位,表示為 5 個百萬。 ○2 123.456789 此小數中「8」為負五分位,表示為 8 個十萬分之ㄧ。 二、科學記號 (一)科學記號的表示法 設 n 為非零的整數,其科學記號的表示法如下所示:

(

)

10 1m 10, n= aam¢ (二)科學記號與位數關係 1. m¢+

(

正數 則 的整數位數為

)

, n m+1位 。 2. m= 則 的整數位數只有一位0, n 。 3. m¢−

(

負數 則 的小數點後到第一個不是 的數之間有

)

, n 0 m+1個 。 0 【十進位制與科學記號】 講解一: ○1 2萬3萬4萬=a萬,請問 a=? ○2 999 189 為多少?共有幾位數呢? ○3 十兆減拾萬等於多少呢?(請用科學記號表示) sol) ○1 2萬3萬4萬=

(

2 3 4  萬萬 萬,

)

a=24萬萬=24億 ○2 999 189 =

(

1000 1− 

)

189=189000 189−   

(11)

4 3 2 1 24130 2 10 4 10 1 10 3 10 1 10 2 10 3 10 4 10 2, 4, 1, 3 2 4 1 3 10 a b c c a b c d a b c d =  +  +  +  =  +  +  +  = = = = + + + = + + + = 對照後可知

(

) (

)

(

)

15 14 15 14 14 14 14 16 14 14 16 6 3 6 3.5 10 3 2.1 10 21 10 6.3 10 210 10 6.3 10 216.3 10 2.163 10 210 6.3 10 203.7 10 2.037 10 AB=    =    =      =  =   =   =  

(

15

)

(

14

)

15 14 29 30 4 3 4 3.5 10 3 2.1 10 14 6.3 10 88.2 10 8.82 10 A B +  =      =   =  =  ○3

(

) (

)

13 5 13 5 5 8 5 8 5 5 12 1 10 , 1 10 , 1 10 1 10 1 10 10 1 10 10 1 1 10 99999999 10 9.9999999 10 =  =   −  =   −  = −   =  =  十兆 十萬 練習一: ○1 有一數為 32.43,請問十位的「3」所代表的值是百分位的「3」所代表的值的 幾倍呢? ○2 1 10a + 2 10b+ 3 10c + 4 10d =24130, a  b c d,請問 a+b+c+d=? ○3 2199951989是幾位數呢? Sol) ○1 3

( )

2 10 1000 3 10−  = =  1 3 10 原式= 倍 ○2 ○3 2199951989 =210 

(

2 5

)

1989 =1024 10 1989 =1.024 10 1992,1993位數 【科學記號的四則運算】 講解二: 已知 15 14 3.5 10 , 2.1 10 A=  B=  ,請計算下列各式,並以科學記號表示之。 ○1 6A3B2 4A3B sol) ○1 ○2 練習二 已知 12 10 1.23 10 , 1.599 10 A=  B=  ,請計算下列各式,並以科學記號表示之。 ○1 1 1 3A−6B ○ 2 13AB

(12)

(

) (

)

(

)

12 10 12 10 12 10 10 10 11 1 1 1 1 1.23 10 1.599 10 0.41 10 0.2665 10 3 6 3 6 0.41 10 0.2665 10 41 0.2665 10 40.7335 10 4.07335 10 AB=  −  =  −  =  −  = −  =  = 

(

12

) (

10

)

12 13 13 10 3 10 10 13 13 1.23 10 1.599 10 15.99 10 10 1 1 10 1 10 1.599 10 10 A B −  =        = =  =  =   ○1 ○2 【科學記號的應用】 講解三 公益彩券選號共有 5240000 種組合,得到頭獎的機會是 5240000 1 ,錢臻多想中頭 獎,決定買下 5240000 種組合,一組 50 元,他共要花幾元?(以科學記號表示) sol) 50×5240000=262000000(元)=2.62×108(元) 練習三: 假設光速在真空中是每秒 3×108 公尺,1 天以 24 小時,1 年有 365 天來計算,天 文學家發現有一顆新的星球距離地球 70000 光年,請問該星球距離地球幾公里? (以科學記號表示) sol) 3×108×60×60×24×365×50000=9.4608×1015×70000=66.2256×1019=6.62256×1020 (公尺)=6.62256×1017(公里) 十分鐘即時練習: (D)1. 計算 3.52×10-4 -7.12×10-5 +5.12×10-3 =?(A)4.5008×10-3 (B)4.5008 ×10-4 (C)54.008×10-4 (D)5.4008×10-3 。 Sol) 原式=0.352×10-3-0.0712×10-3 +5.12×10-3 =(0.352-0.0712+5.12)×10- 3=5.4008×103 (A)2. 計算 0.000025×1011×64+0.95÷(5×108 )=?(A)3.5×107(B)3.5×10-7 (C)3×107(D)3×108 Sol)25×10-6×10-12×64+ 8 10 5 95 . 0 -  =16×102×10 -6 ×1011+0.19×108= 1.6×107+1.9×107=3.5×107 (C)3. 台灣人口 2 千 3 百萬人,每年減少 5%,請問兩年後台灣人口是多少人? (請以科學記號表示)(A)2.4255×107 人(B)2.4255×108 人(C) 2.07575×107人(D)2.07575×108人。

(13)

sol) 23000000×(1-5%)×(1-5%)=20757500(人)=2.07575×107(人) (B)4. x 為一個小數,其小數點向左移 3 位後記成科學記號是 3.54×10-7 ,則 x 的 小數點向右移 2 位記成科學記號為何?(A)3.54×10-3 (B)3.54×10-2 (C) 3.54×10-1(D)3.54×103 Sol) x=3.54×10-7×103=3.54×104 =3.54×10-4×102=3.54×102 (D)5. 已知 1 奈米(nm)=109 米(m),那麼請求出 0.0636 公尺是幾奈米? (請以科學記號的形式表示)(A)6.36×104(B)6.36×105(C)6.36×106 (D)6.36×107 sol) 9 2 10 10 36 . 6 - -  =6.36×107(奈米) 能力四:近似值與誤差 一、近似值與實際值 利用測量工具或描述某種數量時,在不可能或不必要作真正準確的描述 時,我們可以用一個「很接近實際量」的數值表示,稱為近似值。而原本 真正的數量,稱為實際值。 (一)近似值的讀取:再讀取數量的近似值時,應就指定位數或單位的下一位數, 依四捨五入法讀取。 (二)由近似值求實際值範圍的步驟: 1. 找出最小測量單位 2.(近似值– 2 1 最小測量單位)實際值<(近似值+ 2 1 最小測量單位) 二、誤差 近似值與實際值差的絕對值,稱為誤差(E)。 (一)絕對誤差與相對誤差: 絕對誤差係以 a(單位)b(單位)表示。 eg:300(公克)3(公克) 相對誤差係以 a(單位)c%表示。 eg:800(公分)2.5% ◎凡經過儀器(尺、秤等)測量所得的數量稱為近似值。 ◎凡可直接以肉眼數出來的數量稱為實際值。 (A– 2 1 U)R<(A+ 2 1 U)…… 公式

(14)

絕對誤差與相對誤差的互換

a(單位)b(單位) a(單位)(

a b

)100%

a(單位)c%  a(單位)(ac%)(克)

eg:300(g)3(g) 300(g)( 300 3 )100%  300(g)1% 800(cm)2.5%  800(cm)(8002.5%)  800(cm)200(cm) 【求實際值與範圍】 講解一:碩士書局最近販賣一種特別的直尺,它的最小單位是一般直尺(公分) 的 5 倍,今天昆勳用這種特別的直尺,量書桌的長度為 30 單位,請問: 此書桌的測量(定)值為何?(用公分表示) 此書桌的實際值範圍(用公分表示) (sol) 測量值=近似值=530=150(公分) (A– 2 1 U)R<(A+ 2 1 U) 150– 2 1 (5)R<150+ 2 1 (5) 147.5(公分)R<152.5(公分) 練習一:博士國中的校長宣稱該校有將近 5000 人,考上第一志願的人數大約 有 250 人,若以一百人為計量單位,則該校的實際人數範圍為何?考上 第一志願的人數最多有幾人?最少有幾人呢? (sol) (A– 2 1 U)R<(A+ 2 1 U) 5000– 2 1 (100)R<5000+ 2 1 (100) 4950(人)R<5050(人) (A– 2 1 U)R<(A+ 2 1 U)

(15)

250– 2 1 (100)R<250+ 2 1 (100) 200(人)R<300(人) 最多有 299(人) 最少有 200(人) 【近似值與誤差的運算】 講解二:請用四捨五入法取 17 9 的近似值到小數第二位。 承(1),此時的誤差為何? (sol)  17 9 =0.5294117… 0.53 誤差= 近似值–實際值 E= A −R = 0.53– 17 9 = 100 53 – 17 9 = 1700 900 901 − = 1700 1 = 1700 1 練習二:設 7 17 以四捨五入法取到小數第一位的近似值為 a,取到小數第二位的 近似值為 b,取到小數第三位的近似值為 c,則 a、b、c 三數的大小順 序?a、b、c 三數何者最接近 7 9 呢? (sol)  7 17 =2.4285 近似值     = = = 429 . 2 43 . 2 4 . 2 c b a b>c>a 近似值愈接近實際值代表誤差值愈小。 E= A −U

(16)

Ea= 2.4– 7 17 = 10 24 – 7 17 = 5 12 – 7 17 = 35 85 84 − = 35 1 Eb= 2.43– 7 17 = 100 243 – 7 17 = 700 1700 1701 − = 700 1 Ec= 2.429– 7 17 = 1000 2429 – 7 17 = 7000 17000 17003 − = 7000 3 Ec最小,代表 c 值最接近 7 9 。 ※所取位數愈多愈接近實際值。 【近似值與誤差的應用】 講解三:春暉專案生教組長對全班做尿液篩檢,規定尿液量須達 50(ml)25%, 則最多不可超過多少毫升(ml),最少不可低於多少毫升(ml)? 五十崗的珍珠奶茶,標示著 500(g)15(g),若以「相對誤差」標 示,應如何標示? (sol) ac% a(ac%) 50(ml)25%50(ml)(5025%)50(ml)12.5(ml) 最多不可超過62.5(ml); 最少不可低於37.5(ml)  ab a( a b )100% 500(g)15(g) 500(g)( 500 15 )100% 500(g)3(g) 練習三:黑橋樑香腸的重量標示為 1500(g)30(g),黑坑道香腸的重量標 示為 1300(g)30(g),則上述哪一牌香腸的「相對誤差」標示的百 分比比較小呢? 渴口可樂的重量標示為 300(ml)10(ml),百是可樂的重量標示為 300(ml)5%,請問哪一牌的可樂誤差較大呢? (sol)  ab a( a b )100% 1500(g)30(g)1500(g)( 1500 30 )100%1500(g)2% (小) 1300(g)30(g)1500(g)( 1300 30 )100%1500(g)2.3% (大) Ans:黑橋樑香腸

(17)

20.1 0.05 20.1 0.05 20.10 0.005 20.10 0.005 20.05 20.095 40.145 −   + −   + + = + = 甲 乙 甲 乙最小值  ac% a(ac%) 300(ml)5%300(ml)(3005%)300(ml)15(ml) Ans:百是可樂 十分鐘即時練習: (C)1. 以完全捨去法新取近似值到萬位再計算,則 34508765+12445033 為何 呢?(A)49600000 (B)46960000 (C)46940000 (D)46950000。 (A)2. 蘋果每公斤 37 元,購買 9753 公斤,分別以百元、千元、萬元為單位, 四捨五入後所取的三種概數中,以多少為單位,會最接近實際值呢?(A) 百元 (B)千元 (C)萬元 (D)一樣接近。 (D)3. 一張桌子用最小刻度單位是 1 公分的尺去量,其測量值(近似值)為 225 公分,請問其實際值 x 的範圍為何呢?(A)224.5<x<225.5 (B) 224.5<x225.5 (C)224.5x225.5(D)224.5x<225.5 (C)4. 若以最小刻度為 1 度的量角器量∠A 時,使用四捨五入法量出∠A 的近 似值為 53,請問∠A 實際值的範圍為何呢?(A)52  <∠A<54 (B) 52.5∠A53.4 (C)52.5∠A<53.5 (D)52.6 <∠A<53.5  。 (C)5.設甲、乙分別四捨五入之後的值為 20.1 及 20.10,則甲+乙的最小值為何) 呢?(A)40(B)40.044(C)40.145(D)40.2。 sol) 【基本觀念題】 ( D)1. 如右圖,將矩形分成八塊大小相同的正方形,則斜線 區域面積與原長方形面積的比值為何?(A) 2 1 (B) 16 5 (C) 16 7 (D) 16 9 。 (C)2. 在下列選項中,最接近 2 1 2+3 2 3+4 3 4+5 4 5 的值為何? (A) 15 (B) 16 (C) 17 (D) 18。 (C)3. 980 × 12.5=980 ×(□ ÷ 8)=980 ÷ 8 × △=甲,則 (A)□+△=1000 (B)甲=12500 (C)□ × 2=200 (D)(□+△)× 2=2000。 (B)4. 如果有四數 m、n、a、b 皆為自然數,則 m n ÷ a b= (A) m n × a b (B) m × b n × a (C) m ÷ a n × b (D) m n ÷ a ÷ b。

(18)

(C)5.(2 1 3) 2 ÷(7 15) 2 ×( 3 5) 2=? (A) 3 (B) 6 (C) 9 (D) 12。

(A)6. 設 a>0、b>0、c>0,下列何者正確? (A) a ÷(b-c)=a × 1

b-c (B) a ÷(b-c)=a × 1 b+a × 1 c (C)a ÷(b-c)=a × 1 b-a × 1 c (D) a ÷(b -c)=a × 1 b+c。 (B)7. 試計算1023 10−19 10−3 =?(A)10(B) 7 10 (C) 35 10 (D) 49 10 (C)8. 若 20 2 1       = A , 12 4 1       = B , 6 81      = C ,則 A、B、C 三數的大小為何?(A)

B>C>A (B)A>B>C (C)C>A>B (D)C>B>A

(B)9. 若 2 1 1 − = a ,則 a 、 2 aa 1 、 2 1       a 四數中,值最大的是哪一個呢?(A) a (B)a2 (C) a 1 (D) 2 1       a (B)10. x 的 1 2 的 2 3 的 3 4 的 4 5 是 210,則 x 的 1 5 是多少? (A) 105 (B) 210 (C) 315 (D) 420。 【溫故歷屆基測試題】 (B)1.若「⊕」是一個對於 1 與 0 的新運算符號,且其運算規則如下:1⊕1=0, 1⊕0=1,0⊕1=1,0⊕0=0,則下列四個運算結果哪一個是正確的? (A)(1⊕1)⊕0=1 (B)(1⊕0)⊕1=0 (C)(0⊕1)⊕1=1 (D)(1⊕1) ⊕1=0。【90.基測一】 (B)2.計算(-12)+(-18)÷(-6)-(-3)×2 之值為何? (A)-15 (B) -3 (C) 11 (D) 16。【95.基測一】 (B)3.下列何者為 25 2 的科學符號(即科學記號)? (A) 8×10-1 (B) 8×10-2 (C) 2.3×10-1 (D) 2.3×10-2 。【95.基測一】 (D)4.下列哪一個式子是錯誤的? (A) 25 2 + 35 3 + 45 4 = 35 3 + 25 2 + 45 4 (B) 25 2 - 35 3 - 45 4 = 25 2 - 45 4 - 35 3 (C) 25 2 × 35 3 × 45 4 = 45 4 × 35 3 ×

(19)

25 2 (D) 25 2 ÷ 35 3 ÷ 45 4 = 35 3 ÷ 25 2 ÷ 45 4 。【95.基測一】 (D)5.計算 11-32×〔2-(-3)2〕+6 之值為何? (A)-82 (B)-8 (C) 28 (D) 80。【95.基測二】 (B)6.計算 1 389+ 390 × 388 389 -379 之值為何? (A) 1 (B) 10 (C) 1 389 (D) 12 389。【94.基測二】 (D)7.計算 6 3 8 ÷( 7 11+2)的過程,下列哪一個是正確的? (A) 9 4 ÷( 7 11+2) = 9 4 × 11 7+ 9 4 × 1 2 (B) 9 4 ÷( 7+22 11 )= 9 4 × 11 29 (C) 51 8 ÷( 7 11+2)= 51 8 × 11 7+ 51 8 × 1 2 (D) 51 8 ÷( 7+22 11 )= 51 8 × 11 29。【94.基測二】 (D)8.用科學符號(即科學記號)可將 1234 表示成「1.234 × 103」。若 A 的科 學符號可表示成「1.23456 × 108,則 A 為幾位數? (A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 9。【94.基測一】 (B)9. 7 1 3 ÷ 1 2 5 可表示成下列哪一個式子? (A) 7 × 1 3 ÷ 1 × 2 5 (B)(7+ 1 3)÷(1+ 2 5)(C) 7+ 1 3 ÷ 1+ 2 5 (D)(7 × 1 3)÷(1 × 2 5)。【94.基 測一】 (C)10.下列敘述何者正確? (A) 23-(-2)3=0 (B) 24-(-24)=0 (C) (-2)3-(-23)=0 (D)(-2)4-(-24)=0。【91.基測二】 (B)11.某漱口水瓶上標示正確使用方式:一次使用量為瓶蓋容量的 3 1 。小瑜買 了一瓶,誤將 3 1 看成 2 1 ,在使用 10 次後才發現錯誤,此時漱口水已剩 原來的 4 3 。若往後小瑜依正確方式使用完畢,則還可以用多少次? (A) 30 (B) 45 (C) 60 (D) 75。【95 基測一】 Sol) 瓶蓋的1 2,使用 10 次,共用去 1 10 =5 2  (瓶蓋), 每個瓶蓋容量為整瓶的 1-3 5= 1 , 3 1 1 =3 60=45 4 20 4 3 20 4           (C)12.已知 n 滿足 24 . 7 n = 13 . 8 13 . 16 。若將 n 描在數線上,則下列哪一個數在數線 上的位置最接近 n? (A) 12.24 (B) 13.13 (C) 14.25 (D) 15.24。【95.

(20)

基測二】 Sol) n=16.13 7.24 8.13 14.36  ≒ 【模擬學力基測試題】 (C)1. 請問 2007 17 是 2006 17 的多少倍?(A)2006(B)2007(C)17(D)10 (A)2. 在電腦的容量規格中,1Kb=210bytes,1Mb=210Kb,1Gb=210Mb, 若小錠買了一顆 8GB 的隨身碟,相當於多少 bytes?(A) 33 2 (B)234 (C) 35 2 (D)2 36 (C)3.若”@ ”為一新運算符號,其運算規則如右,令 a、b 為正整數,則 3 4 @b a b a = − ,試求 5@4 之值為何?(A)559(B)560(C)561(D) 562 (A)3. 請觀察下列四個式子: 2 2 2 2 7 6 3 2 + + = , 2 2 2 2 13 12 4 3 + + = , 2 2 2 2 21 20 5 4 + + = , 2 2 2 2 31 30 6 5 + + = ,若 a 為正整數,且 2 2 2 2 111 11 10 + +a = ,則 a 與 b 之值為何?(A)110(B)101(C)91 (D)21 (D)4. 設2 =x 512,y5 =243,則xy =?(A) 5 2 (B)34(C) 9 3 (D) 3 9 (A)5. 設 a b 5 2 20 10 42  3  =  ,求a+ b=?(A)13(B)10(C)7(D)5 (B)6. 若11 +12 +13 +...+12007 =a,則 a 與 2007 的大小關係,下列何者正確 (A)a<2007(B)a=2007(C)a>2007(D)a=2008 (C)7. 已知紫外線的波長是 1.362×10-8 公尺,γ射線的波長是 3×10-12 公分, 請問紫外光的波長是γ射線波長的幾倍?(以科學記號表示出來)(A) 4.54×103(B)4.54×104(C)4.54×105(D)4.54×106 (B)8. 計算(8.5×10-6 )+(5.9×10-8 )的值,並以科學記號表示出來。(A) 8.559×10-5(B)8.559×10-6 (C)8.559×10-7 (D)8.559×10-8 。 (D)9.右表是史努比博士用顯微鏡觀察五種病毒大小的記錄表,請由大到小 排列出五種病毒的大小順序。(A)D>C>B>E>A(B)D>B>C >A>E(C)A>B>C>E>D(D)D>B>C>E>A (A)10.有一星球距離地球 12 億公里,光每秒走 3×108 公尺,光由地球到此 星球要幾分鐘?(A) 3 200 分(B)215 4 分(C) 230 7 分(D) 245 11 分。 【進階練習題】 (B)1. A × 3 5=B ÷ 2 1

2,若 A>0,B>0,則 (A) A>B (B) A<B (C) A=B

(D)無法比較。 (D)2. (1- 1 2)×(1- 1 3)×(1- 1 4)×……×(1- 1 100)= (A) 1 10(B) 1 20(C) 1 50 A 7.1×10-6 B 8.2×10-4 C 1.42×10-4 D 1.64×10-3 E 9×10-5

(21)

(D) 1 100。 (B)3. 1 3 4 × 2 2 3 ÷ 7 11=? (A) 11 3 (B) 22 3 (C) 11 6 (D) 3 22。 (B)4. 某工程光緯獨作 15 日完工,承凱獨作 18 日完工。光緯每日比承凱每日 多做全工程的多少? (A) 1 3 (B) 1 90 (C) 1 60 (D) 1 80。 (A)5. 已知 32=9,33=27,34=81,35=243,將 3201乘開後,它的個位數的 數字為何呢?(A)3 (B)4 (C)5 (D)6。 (C)6.下列計算式何者錯誤? (A)25-3×[32+2×(-3)]+5的值為21 (B)[(-2)3×(-3)2-(-18)÷3+5]-(-1)10=-62 (C)[(-2)3×(4-12)-(6-11)×4]÷(-2)2=-21 (D)1+2+3+…+99+100+99+…+3+2+1=1002。 (D)7.試比較     − = 3 2 a 、 2 3 2       − = b 、 3 3 2      − = c 、 4 3 2       − = d 之大小關係?(A) b>d>a>c(B)a>c>b>d(C)c>a>d>b(D)b>d>c>a (B)8.試計算

( ) ( ) ( ) ( )

2 3 4 2 8 2 4 2 2 2 1 − + − + − + − 為何?(A) 2 1 − (B)0(C) 2 1 (D) 4 1 (C)9. 試計算519 −

(

520 +519

)

6為何?(A) 38 5 (B)5(C)0(D) 1 5− (A)10.地球的半徑大約為 6400000 公尺,它的表面積大約是表面積=4×π×(半 徑)2,其中π約為 3.14,地球的表面積大約有多少平方公里?(用科學記 號來表示)(A)5.144576×108 平方公里(B)5.144576×109 平方公里(C) 5.144576×1010 平方公里(D)5.144576×1011 平方公里。

數據

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參考文獻

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