Unit 3 數的四則運算與科學記號

Unit 3 數的四則運算與科學記號 能力指標：◎（N-3-11）能理解負數的特性並熟練正負數（含小數、分數）的四 則運算。 ◎（N-3-11）能判別兩數加、減、乘、除的正負結果並算出其值。 ◎（N-3-02）能以最大公因數、最小公倍數熟練運用至約分、擴分、 最簡分數的計算。 ◎（N-3-12）能理解底數為整數且指數為非負整數的運算。 ◎（N-3-13）能用以十為底的指數表達大數或小數。 能力一：有理數的四則運算 一、整數：整數（Z）係指在有理數中非分數的數，其由正整數、負整數及零（0） 所構成。 二、分數：分數係指在有理數（Q）中可表示成

(

a,b,b0

)

b a ，其中 a 稱為 分子，b 稱為分母，其種類可分為真分數、假分數及帶分數。 （一）分數的種類： 1. 真分數：分子比分母小的數稱為真分數。例如： 4 3 。 2. 假分數：分母比分子小的數稱為假分數。例如： 5 7 。 3. 帶分數：將假分數化成整數與真分數的和稱為帶分數。例如： 3 2 1 3 2 1 3 5_{= + =} 。 （二）分數的基礎運算 1. 擴分：一個分數的分子與分母同時乘以一個不是 0 的整數，這種步驟叫 做擴分，擴分後的分數與原來分數的值相等。例如： 5 3 10 6 , 10 6 2 5 2 3 5 3 _{= =}   = 2. 約分：一個分數的分子與分母同時除以它們的公因數，這種步驟叫做約 分。約分後的分數與原來的分數相等。例如： 24 14 12 7 , 12 7 2 24 2 14 24 14 _{= =}   = 。 3. 最簡分數：一個分數的分子與分母互質，這種分數就是最簡分數。一個 分數可以利用約分將此分數化成最簡分數。例如： 25 13 , 17 13 等。 （三）分數的加減運算 1. 分母相同時：直接將分子相加減再化成最簡分數。

2. 分母不同時：先通分化為同分母，再加減。 3. 遇帶分數時：先把帶分數化成假分數再相加或相減，也可以整數部分與 分數部分，分別相加或相減，再合併。 例如：○1 2 5 4 10 4 7 4 3_{+ = =} 。 ○2

(

) (

)

35 13 5 7 4 7 5 3 5 4 7 3 ₌ −   −  = − ○3       = = + = +  =       =       + +  = + 28 13 4 28 125 28 77 48 4 11 7 12 . 28 13 4 28 41 3 4 3 7 5 2 1 . 4 3 2 7 5 1 B A （四）分數的乘除運算 1. 分數相乘時，把分子相乘做為新分子，分母相乘做為新分母，所得的新 分數就是分數的乘積。 2. 幾個分數相乘，如果分子和分母之間有公因數，可以先約去公因數再相 乘。 3. 幾個分數相乘時，帶分數應先化成假分數後再相乘。 4. 倒數：一個分數的分子不等於 0，將它的分子與分母互調，所得新的分 數就是原分數的倒數。若有兩分數其乘積等於 1，此兩數必互為倒數。（提 醒：一個不等於 0 的數，其倒數與其相反數的乘積必為－1。） （五）分數的大小比較 1. 此分數為正數時，化為同分母再比較分子的大小，若分子愈大，則此分 數愈大。 2. 此分數為正數時，化為同分子再比較分母的大小，若分母愈大，則此分 數愈小。 3. 此分數為負數時的大小比較，可先比較其絕對值的大小，加上負號後其 大小剛好相反。 例如： 與 的大小比較 5 2 3 2 。因為分子相同時分母愈大其值愈大，所以 5 2 3 2  。 三、小數：小數係指運用十進位制將任一實數（R）表示為 a . b 的形式，其中「a」 稱為小數點前的數，「b」稱為小數點後的數，「」稱為小數點。 （一）小數的種類： 1. 有限小數：（分母僅含有 2 和 5 的因數） ○1 _{純小數：係指小數點前的數為 0。例如：0.0036。} 口訣：子同母大大；母同子大小。 （分子相同時分母愈大其值愈大；分母相同時分子愈大其值愈小。）

2. 無限小數：（分母含有非 2 和非 5 的因數） ○1 _{循環小數：係指小數點後的數有規律的循環。} 例如：0.31456565656=0.31456。 ○2 _{不循環的無限小數：係指小數點後的數不循環且無限的數，並且該數無} 法化為分數形式，又稱為無理數。例如： =3.141592 , 2 =1.414 。 （二）小數化分數 1. 有限小數型：將有限小數化為有理數（分數型），再擴分去掉小數點，最 後約分求最簡分數。例如： 250 781 1000 3124 1000 1000 124 . 3 1 124 . 3 124 . 3 = =  = = 2. 循環小數型：國中課程尚未介紹，故省略。 二、有理數（Q）的四則運算規律（以符號表示）： （1）交換律（限用於加、乘法） a b b a a b b a  =  + = + Ex： ) 2 ( 3 3 ) 2 ( , 3 2 2 3 ) 2 ( 3 3 ) 2 ( , 3 2 2 3 −  =  −  =  − + = + − + = + （2）結合律（限用於加、乘法）

(

₍

₎

)

₍

(

₎

)

c b a c b a c b a c b a   =   + + = + + Ex：

(

)

(

) ( )





( ) ( )



( )



(

2 3

)

5 2

(

3 5

)

,



( )

2 3



( ) ( )

5 2



3

( )

5



5 3 2 5 3 2 , 5 3 2 5 3 2 −   − = −   −   =   − + + − = − + + − + + = + + （3）分配律（法 v.s. 法；法 v.s. 法）

(

)

(

)

(

)

(

)



:



b a b c a c b a c c b c a c c b c a b a c c b a          =      =   =   注意 Ex：

(

)

(

2 3

)

5 2 3 3 5 5 3 5 2 5 3 2    =      =   （4）單位元素律 a a a a a a =  =  = + = + 1 1 0 0 【整數的交換律及結合律運算】 講解 1： 請計算下列各式： （1）163+337+345=？ （2）969+

(

−1047

)

+847=？ （3）567+1806−367=？

（4）150336=？ （5）2500011

(

−24

)

=？ 解： （1）原式=

(

163+337

)

+345=845 （2）原式=969+



(

−1047

)

+847



=969+

(

−200

)

=769 （3）原式=



567+

(

−367

)



+1806=200+1806=2006 （4）原式=

(

1506

)

33=29700 （5）原式=



25000

(

−24

)



11=−6600000 練習一： 請計算下列各式： （1）293+507+11111=？ （2）

( ) (

−11 + −2008

)

+1908=？ （3）12321+221−321=？ （4）404311=？ （5）400012

(

−25

)

=？ 解： （1）原式=

(

293+507

)

+11111=11911 （2）原式=

( ) (

−11 +



−2008

)

+1908



=

( ) (

−11 + −100

)

=−111 （3）原式=



12321+

(

−321

)



+221=12221 （4）原式=

(

40411

)

3=13332 （5）原式=



4000

(

−25

)



12=−1200000 【分數的交換律及結合律運算】 講解二： 請計算下列各式： ○1 13 11 × 18＋ 13 11 × 12－ 13 11 × 7－ 13 11＝？ ○2 ₄13 48 ÷ （ 13 18＋ 5 12） ÷ 27 64＝？ Sol) ○1 原式＝13 11 ×（18＋12－7－1）＝ 13 11 × 22＝26 ○2 原式＝205₄₈ ÷（26 36＋ 15 36）× 64 27＝ 80 9 練習二： 請計算下列各式： ○1 17_×111_÷(21＋11_)＝？

○2 _（1＋ 2 1 ）×（1＋ 3 1 ）×（1＋ 4 1 ）×…×（1＋ 100 1 ）＝？ sol) ○1 _原式=17 23 11 6 17 17 17 5 5 23 2 5 5 2 5 2 17 2    _ + _=  =  =   ○2 _原式=3 4 5 101 101 2   3 4 L 100 = 2 【分數與小數的四則運算】 講解三： 請計算下列各式： ○1 _計算：1 4 3 ÷[3×(1.6＋5÷3)]×4＝？ ○2 _{計算：0.5÷[(} 3 1 ＋0.4)× 11 3 ]＝？ Sol) ○1 _原式=7 ₃ 16 5 ₄ 7 ₃ 49 ₄ 7 5 ₄ 5 4 10 3 4 15 4 49 7       _{ } + _ = _  _ =   =       ○2 _原式=1 1 2 3 1 11 3 1 ₅ 5 2 3 5 11 2 15 11 2 2      _ + _ _= _  _=  =       練習三： 請計算下列各式： ○1 _計算：1 3 2 ÷[(0.5－ 4 1 )÷ 44 21 × 11 7 ]＝？ ○2 _計算：14 5 1 －(3 2 1 ÷ 3 2 ＋0.5)＝？ Sol) ○1 _原式=5 1 1 44 7 5 1 4 5 _{3 5} 3 2 4 21 11 3 4 3 3      _ − _  _= _  _=  =       ○2 _原式=71 7 3 1 71 21 1 71 46 71 23 169 ₈ 9 5 2 2 2 5 4 2 5 8 5 4 20 20     −_  + _= −_ + _= − = − = =     【數的四則運算應用題】 講解四： 已知一年 18 班的人數大於 20 人且不滿 50 人，在第一次段考數學科分數，80 分 以上的人數恰好佔全班人數的 4 1 ，70 幾分的人數恰好佔全班人數的 2 1 ，60 幾分 的人數恰佔全班人數的 5 1 ，請問不及格的人數應為幾人呢？ Sol)

1 1 19 1 1 , 2 5 20 20 1 1 x 20 50 , 2( ) 20 x 20 x  _{+ +} _{= − =}         = 1 不及格人數=1-4 設不及格人數有 人, 人 答：2 人 練習五： 櫻怡、良宜、宇倫、育杰等四人合資10000元開店，良宜出全部資金的 5 2 ，櫻怡 的資金是良宜的 4 3 ，宇倫出的資金是櫻怡的 3 1 ，剩下的資金由育杰出，則育杰出 多少錢呢？ Sol) 2 2 3 3 3 1 1 , , , 5 5 4 10 10 3 10 2 3 1 10000 1 2000 ( ) 5 10 10 = =  = =  =    =  −_{ } + + _=     良宜 櫻怡 宇倫 育杰出資 元 答：2000 元 十分鐘即時練習： （ B）1. 台灣高鐵每天早上 5：30 從台北車站發第一班車，已知早上 7：00~9： 00 的時段，每 6 分鐘就發一班車，其他時段每 10 分鐘發一班車。請問 台灣高鐵於 7：34~9：34 共發了幾班車呢？（A）16（B）18（C）20（D） 22。 （ B）2. 1 4＋7 1 2 × 3 5＝？ (Ａ) 19 8 (Ｂ) 19 4 (Ｃ) 19 16(Ｄ) 19 2。 （ A）3. 已知牛仔褲的成本為每件 400 元，且店家依成本加三成作為定價。若 褲架上標示售價為定價的 20%OFF，則每件物品可賺多少元？ (Ａ) 16 元(Ｂ) 18 元(Ｃ) 20 元(Ｄ) 24 元。 （ C）4. 育安從家裡到學校的上學途中，走了全程的 1 3 到達育平蛋糕店，又走 了剩餘路程的 1 3 到達小華文具店。問文具店到學校的路程為全程的幾 分之幾？ (Ａ) 8 9 (Ｂ) 6 9 (Ｃ) 4 9 (Ｄ) 2 9。 （ B）5. 若 2 2 9＋3 5 6＋4 7 12 的值可化為最簡分數 n m，下列敘述何者正確？ (Ａ) m、n 均為質數(Ｂ) m＋n 為質數(Ｃ) m＋n 為 3 的倍數(Ｄ) m＋n 為 5 的倍數。

( )

( ) ( ) ( )

2 2 2 2 2 2 2 4, 2 2 2 4 , 2 2 2 4, 2 2 2 4 =  = =  = − = −  = − − = −  − =

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

3 3 3 2 2 2 2 2 8, 2 2 2 2 8, 2 2 2 2 8, 2 2 2 2 8 =   = =   = − = −   = − − = −  −  − = − 能力二：指數記法與指數律 一、指數記法 指數又名為次方，係指某相同整數其乘積的次數。 若a n  ¢, ，a 稱為底數，n 稱為指數，指數記法如下所示： 二、指數律 （一）設 a、b 為二實數（¡ ），m、n 為二整數（ ¢ ），則其有下列規律： 1. m n m n a a =a + 2.

( )

m n m n a =a  3. n n

(

)

n a b = a b （二）設 a 為實數（¡ ），m、n 為整數（ ¢ ），且 m>n，則其有下列規律： 1. a>1 m n a a 2. 0<a<1 m n a a   （三）設 a、b 為實數（¡ ）且不為 0，且 m>n>0，則其有下列規律： 1. m n m n a a =a − 2. 1 n n m m m n a a a a a −  = = 3. m m m a a b b    _{=  }   4. n 1 n a a − _{= ，}

(

)

0, a n ¢ 5. 0 0

(

)

1 1 0 m m m m m m a a =  a a =a − =a  a = a （四）指數的奇、偶性質與底數正、負數的關係 1. 2. （五）帶有指數之數的大小比較 1. 指數相同，底數愈大，該數值愈大；反之亦同。

n

a

=    

a a a

L

a

n

次

( )( ) ( ) ( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

( )( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 3 4 2 3 4 2 3 4 2 3 4 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 3 3 1 1 1 1 1 1 1 4 1 1 1 1 1 1 1 − + − + − = + − + = − + − + − = − + − + − = − − − − =  −  = − − − − = −  −  − = −

( ) (

)

(

)

( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

(

)(

) (

)(

)

50 100 0 50 3 2 2 2 2 3 2 3 2 2 2 1 3 1 1 101 2 50 3 120 4 2 6 = 1 1 0 2 2 (15 22) (9 16) (3 4) (3 4 ) = 7 7 1 7 7 7 7 7 7 0 3 456 455 457+458 459 457 460 =456 456 1 456 1 458.5 0.5 458.5 0.5 458.5 −   −  +  +_ −  _   + + = −  − − −  − −  − −  − = −  − + = − + = −   −  − − + + − + −

(

−

)(

)

(

) (

) (

)

(

)(

)

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1.5 458.5 1.5 =456 456 1 458.5 0.5 458.5 1.5 =456 456 1 458.5 0.5 458.5 1.5 =1 0.5 1.5 1 1.5 0.5 1.5 0.5 1 2 3 + − − + − − − − + + − − + − + = + − + = + = 3 2 2 2 2 (15 22)−  −(9 16) − −(3 4) (3 −4 )

(

)

100

(

)

0 1 3 1 50 101 2 50 3 120 4 2 6   −  +  +_ −  _   2. 底數相同，指數愈大，該數值愈大；反之亦同。 3. 比較大小時，先把【指數】或【底數】化成相同數，再進行比較。 【指數律的運算】 講解一： 請計算下列各式的值為何呢？ ○1 _(－1)2＋(－1)3＋(－1)4 _○2 _(－12_)＋(－13_)＋(－14_{) ○}3 _(－1)2_(－1)3_(－1)4 ○4 _(－12_)(－13_)(－14_)。 Sol) 練習一： 請計算下列各式的值為何呢？ ○1 ○2 ○3 ₄₅₆2－455×457＋458×459－457×460 Sol)

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

35 35 105 3 35 3 70 2 35 2 35 35 35 35 35 35 35 105 70 6 6 5 6 36 5 30 3 5 8 6 36 30 8 5 5 3 5 7 1 2 2 2 , 3 3 3 8 , 9 , 5 5 8 9 5 2 3 2 64 2 2 , 2 2 , 8 32=2 2 2 2 2 2 64 2 8 32 3 0.7 1 , 0.7 0.7   = = = =       = = =   =          ∵ ∴ 0.7

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

14 14 42 3 14 28 2 14 14 14 14 28 42 14 10 3 10 2 20 5 15 3 4 3 4 15 20 5 10 5 7 3 5 7 1 3 3 =9 , 5 5 25 25 9 7 5 3 7 2 49 7 7 , 7 7 , 7 343 7 7 7 7 7 7 7 343 7 49 3 0.2 1 , 0.2 0.2 0.2− 0.2− 0.2− = = =       = = =  =  =        3      ∵ ∴ 0.2 【指數律的比較大小】 講解二： 請比較下列各數的大小關係為何？ ○1 ₂105 _{, 3 , 5 ○}70 35 2 _{64 , 2}5

( )

5 6 _{, 8 32} ○3

( ) ( ) ( )

_0.7 3 _{, 0.7} 5 _{, 0.7} 7 sol) 練習二： 請比較下列各數的大小關係為何？ ○1 _{3 , 7 , 5 ○}42 14 28 2 _{49 , 7}10

( )

5 3 _{, 7 343} ○3

( )

_0.2 −3 _{, 0.2}

( )

−5 _{, 0.2}

( )

−7 sol) 十分鐘即時練習： （C）1. 試比較 a=

(

)

2 5 . 0 − ，b=

(

3

)

5 . 0 − ，c=

(

4

)

5 . 0 − ，d=

(

)

5 5 . 0 − 的大小為何？（A） a>b>c>d（B）c>a>b>d（C）a>d>c>b（D）a>c>d>b （B）2. 試計算

( )

               −        − − − 6 2 1 3 1 3 4 2 2 2 2 之值為何？（A） 13 18 9 − （B）18 （C） 13 18 9 （D）-18 （B）3. 若有一式為−3333，可簡記為下列哪一數呢？（A）

( )

4 3 − （B） 4 3 − （C）

( )

−3 3 （D）−33 （B）4. 下列敘述何者錯誤？（A）7 個 7 相加等於 2 7 （B）

(

7+3

) (

2 − 7−3

)

2 =72

（C）7 個 7 相乘等於 7 7 （D）1002 −992 =299+1 （B）5. 下列哪一個式子其值與

( )

3 2 − 相等？（A）

( ) ( )

−2  −3 （B）−

(

222

)

（C）

( ) ( ) ( )

−2 + −2 + −2 （D）

( )

−2 3 能力三：十進位制與科學記號 一、十進位制 名稱（位） 兆 億 萬 千 百 十 個 換算 12 10 108 104 103 102 101 =10 100 =1 名稱（位） 十分 百分 千分 萬分 十萬分 百萬分 千萬分 換算 1 10− 10−2 10−3 10−4 10−5 10−7 10−8 eg： ○1 _{123456789 此數中「3」為百萬位，表示為 5 個百萬。} ○2 _{123.456789 此小數中「8」為負五分位，表示為 8 個十萬分之ㄧ。} 二、科學記號 （一）科學記號的表示法 設 n 為非零的整數，其科學記號的表示法如下所示：

(

)

10 1m 10, n= a  a  m¢ （二）科學記號與位數關係 1. m¢+

(

正數 則 的整數位數為

)

, n m+1位 。 2. m= 則 的整數位數只有一位0, n 。 3. m¢−

(

負數 則 的小數點後到第一個不是 的數之間有

)

, n 0 m+1個 。 0 【十進位制與科學記號】 講解一： ○1 ₂萬₃萬₄萬=_a萬，請問 a=？ ○2 _{999 189} 為多少？共有幾位數呢？ ○3 _{十兆減拾萬等於多少呢？（請用科學記號表示）} sol) ○1 ₂萬₃萬₄萬=

(

_{2 3 4}  萬萬 萬,

)

_a=₂₄萬萬=₂₄億 ○2 999 189 =

(

1000 1− 

)

189=189000 189−   

4 3 2 1 24130 2 10 4 10 1 10 3 10 1 10 2 10 3 10 4 10 2, 4, 1, 3 2 4 1 3 10 a b c c a b c d a b c d =  +  +  +  =  +  +  +  = = = = + + + = + + + = 對照後可知

(

) (

)

(

)

15 14 15 14 14 14 14 16 14 14 16 6 3 6 3.5 10 3 2.1 10 21 10 6.3 10 210 10 6.3 10 216.3 10 2.163 10 210 6.3 10 203.7 10 2.037 10 A B=    =    =      =  =   _{= }  =  

(

15

)

(

14

)

15 14 29 30 4 3 4 3.5 10 3 2.1 10 14 6.3 10 88.2 10 8.82 10 A B +  =      =   =  =  ○3

(

) (

)

13 5 13 5 5 8 5 8 5 5 12 1 10 , 1 10 , 1 10 1 10 1 10 10 1 10 10 1 1 10 99999999 10 9.9999999 10 =  =   −  =   −  = −   =  =  十兆 十萬 練習一： ○1 _{有一數為 32.43，請問十位的「3」所代表的值是百分位的「3」所代表的值的} 幾倍呢？ ○2 _{1 10} a + _{2 10}b+ _{3 10}c + _{4 10}d =_24130, 且_a  _{b c d}，請問 a+b+c+d=？ ○3 ₂1999₅1989是幾位數呢？ Sol) ○1 3

( )

2 10 1000 3 10−  = =  1 3 10 原式= 倍 ○2 ○3 ₂1999₅1989 =₂10 

(

_{2 5}

)

1989 =_{1024 10} 1989 =_{1.024 10} 1992_,有₁₉₉₃位數 【科學記號的四則運算】 講解二： 已知 15 14 3.5 10 , 2.1 10 A=  B=  ，請計算下列各式，並以科學記號表示之。 ○1 _6A_{3B ○}2 _4A_3B sol) ○1 ○2 練習二 已知 12 10 1.23 10 , 1.599 10 A=  B=  ，請計算下列各式，並以科學記號表示之。 ○1 1 1 3A−6B ○ 2 _13A _B

(

) (

)

(

)

12 10 12 10 12 10 10 10 11 1 1 1 1 1.23 10 1.599 10 0.41 10 0.2665 10 3 6 3 6 0.41 10 0.2665 10 41 0.2665 10 40.7335 10 4.07335 10 A− B=  −  =  −  =  −  = −  =  = 

(

12

) (

10

)

12 13 13 10 3 10 10 13 13 1.23 10 1.599 10 15.99 10 10 1 1 10 1 10 1.599 10 10 A B −  =        = = _{ }=  =   _{ } ○1 ○2 【科學記號的應用】 講解三 公益彩券選號共有 5240000 種組合，得到頭獎的機會是 5240000 1 ，錢臻多想中頭 獎，決定買下 5240000 種組合，一組 50 元，他共要花幾元？（以科學記號表示） sol) 50×5240000＝262000000（元）＝2.62×108（元） 練習三： 假設光速在真空中是每秒 3×108 _{公尺，1 天以 24 小時，1 年有 365 天來計算，天} 文學家發現有一顆新的星球距離地球 70000 光年，請問該星球距離地球幾公里？ （以科學記號表示） sol) 3×108×60×60×24×365×50000＝9.4608×1015_{×70000＝66.2256×10}19_{＝6.62256×10}20 （公尺）＝6.62256×1017_（公里） 十分鐘即時練習： （D）1. 計算 3.52×10－₄ －7.12×10－₅ ＋5.12×10－₃ ＝？（A）4.5008×10－₃ （B）4.5008 ×10－₄ （C）54.008×10－₄ （D）5.4008×10－₃ 。 Sol) 原式＝0.352×10－3－0.0712×10－₃ ＋5.12×10－₃ ＝（0.352－0.0712＋5.12）×10－ 3_{＝5.4008×10}－₃ （A）2. 計算 0.000025×1011_{×64＋0.95÷（5×10}－₈ ）=？（A）3.5×107_{（B）3.5×10}-7 （C）3×107_（D）3×108_。 Sol)25×10－6×10－12×64+ ₈ 10 5 95 . 0 －  ＝16×102×10 －₆ ×1011+0.19×108＝ 1.6×107+1.9×107=3.5×107 （C）3. 台灣人口 2 千 3 百萬人，每年減少 5％，請問兩年後台灣人口是多少人？ （請以科學記號表示）（A）2.4255×107 _{人（B）2.4255×10}8 _人（C） 2.07575×107人（D）2.07575×108_人。

sol) 23000000×（1-5％）×（1-5％）＝20757500（人）＝2.07575×107（人） （B）4. x 為一個小數，其小數點向左移 3 位後記成科學記號是 3.54×10－₇ ，則 x 的 小數點向右移 2 位記成科學記號為何？（A）3.54×10－₃ （B）3.54×10－₂ （C） 3.54×10－1（D）3.54×103_。 Sol) x＝3.54×10－7×103_＝3.54×10－₄ =3.54×10－4×102_＝3.54×10－₂ （D）5. 已知 1 奈米（nm）＝10－₉ 米（m），那麼請求出 0.0636 公尺是幾奈米？ （請以科學記號的形式表示）（A）6.36×104_{（B）6.36×10}5_{（C）6.36×10}6 （D）6.36×107_。 sol) ₉ 2 10 10 36 . 6 － －  ＝6.36×107_（奈米） 能力四：近似值與誤差 一、近似值與實際值 利用測量工具或描述某種數量時，在不可能或不必要作真正準確的描述 時，我們可以用一個「很接近實際量」的數值表示，稱為近似值。而原本 真正的數量，稱為實際值。 （一）近似值的讀取：再讀取數量的近似值時，應就指定位數或單位的下一位數， 依四捨五入法讀取。 （二）由近似值求實際值範圍的步驟： 1. 找出最小測量單位 2.（近似值– 2 1 最小測量單位）實際值<（近似值+ 2 1 最小測量單位） 二、誤差 近似值與實際值差的絕對值，稱為誤差（E）。 （一）絕對誤差與相對誤差： 絕對誤差係以 a（單位）b（單位）表示。 eg：300（公克）3（公克） 相對誤差係以 a（單位）c%表示。 eg：800（公分）2.5% ◎凡經過儀器（尺、秤等）測量所得的數量稱為近似值。 ◎凡可直接以肉眼數出來的數量稱為實際值。 （A– 2 1 U）R<（A+ 2 1 U）…… 公式

絕對誤差與相對誤差的互換

a（單位）b（單位） a（單位）（

a b

）100%

a（單位）c%  a（單位）（ac%）（克）

eg：300（g）3（g） 300（g）（ 300 3 ）100%  300（g）1% 800（cm）2.5%  800（cm）（8002.5%）  800（cm）200（cm） 【求實際值與範圍】 講解一：碩士書局最近販賣一種特別的直尺，它的最小單位是一般直尺（公分） 的 5 倍，今天昆勳用這種特別的直尺，量書桌的長度為 30 單位，請問： 此書桌的測量（定）值為何？（用公分表示） 此書桌的實際值範圍（用公分表示） （sol） 測量值=近似值=530=150（公分） （A– 2 1 U）R<（A+ 2 1 U） 150– 2 1 （5）R<150+ 2 1 （5） 147.5（公分）R<152.5（公分） 練習一：博士國中的校長宣稱該校有將近 5000 人，考上第一志願的人數大約 有 250 人，若以一百人為計量單位，則該校的實際人數範圍為何？考上 第一志願的人數最多有幾人？最少有幾人呢？ （sol） （A– 2 1 U）R<（A+ 2 1 U） 5000– 2 1 （100）R<5000+ 2 1 （100） 4950（人）R<5050（人） （A– 2 1 U）R<（A+ 2 1 U）

250– 2 1 （100）R<250+ 2 1 （100） 200（人）R<300（人） 最多有 299（人） 最少有 200（人） 【近似值與誤差的運算】 講解二：請用四捨五入法取 17 9 的近似值到小數第二位。 承（1），此時的誤差為何？ （sol）  17 9 =0.5294117… 0.53 誤差= 近似值–實際值 E= A −R = 0.53– 17 9 = 100 53 – 17 9 = 1700 900 901 − = 1700 1 = 1700 1 練習二：設 7 17 以四捨五入法取到小數第一位的近似值為 a，取到小數第二位的 近似值為 b，取到小數第三位的近似值為 c，則 a、b、c 三數的大小順 序？a、b、c 三數何者最接近 7 9 呢？ （sol）  7 17 =2.4285 近似值     = = = 429 . 2 43 . 2 4 . 2 c b a b>c>a 近似值愈接近實際值代表誤差值愈小。 E= A −U

Ea= 2.4– 7 17 = 10 24 – 7 17 = 5 12 – 7 17 = 35 85 84 − = 35 1 Eb= 2.43– 7 17 = 100 243 – 7 17 = 700 1700 1701 − = 700 1 Ec= 2.429– 7 17 = 1000 2429 – 7 17 = 7000 17000 17003 − = 7000 3 Ec最小，代表 c 值最接近 7 9 。 ※所取位數愈多愈接近實際值。 【近似值與誤差的應用】 講解三：春暉專案生教組長對全班做尿液篩檢，規定尿液量須達 50（ml）25%， 則最多不可超過多少毫升（ml），最少不可低於多少毫升（ml）？ 五十崗的珍珠奶茶，標示著 500（g）15（g），若以「相對誤差」標 示，應如何標示？ （sol） ac% a（ac%） 50（ml）25%50（ml）（5025%）50（ml）12.5（ml） 最多不可超過62.5（ml）; 最少不可低於37.5（ml）  ab a（ a b ）100% 500（g）15（g） 500（g）（ 500 15 ）100% 500（g）3（g） 練習三：黑橋樑香腸的重量標示為 1500（g）30（g），黑坑道香腸的重量標 示為 1300（g）30（g），則上述哪一牌香腸的「相對誤差」標示的百 分比比較小呢？ 渴口可樂的重量標示為 300（ml）10（ml），百是可樂的重量標示為 300（ml）5%，請問哪一牌的可樂誤差較大呢？ （sol）  ab a（ a b ）100% 1500（g）30（g）1500（g）（ 1500 30 ）100%1500（g）2% （小） 1300（g）30（g）1500（g）（ 1300 30 ）100%1500（g）2.3% （大） Ans：黑橋樑香腸

20.1 0.05 20.1 0.05 20.10 0.005 20.10 0.005 20.05 20.095 40.145 −   + −   + + = + = 甲 乙 甲 乙最小值  ac% a（ac%） 300（ml）5%300（ml）（3005%）300（ml）15（ml） Ans：百是可樂 十分鐘即時練習： （C）1. 以完全捨去法新取近似值到萬位再計算，則 34508765+12445033 為何 呢？（A）49600000 （B）46960000 （C）46940000 （D）46950000。 （A）2. 蘋果每公斤 37 元，購買 9753 公斤，分別以百元、千元、萬元為單位， 四捨五入後所取的三種概數中，以多少為單位，會最接近實際值呢？（A） 百元 （B）千元 （C）萬元 （D）一樣接近。 （D）3. 一張桌子用最小刻度單位是 1 公分的尺去量，其測量值（近似值）為 225 公分，請問其實際值 x 的範圍為何呢？（A）224.5<x<225.5 （B） 224.5<x225.5 （C）224.5x225.5（D）224.5x<225.5 （C）4. 若以最小刻度為 1 度的量角器量∠A 時，使用四捨五入法量出∠A 的近 似值為 53，請問∠A 實際值的範圍為何呢？（A）52  <∠A<54 （B） 52.5∠A53.4 （C）52.5∠A<53.5 （D）52.6 <∠A<53.5  。 （C）5.設甲、乙分別四捨五入之後的值為 20.1 及 20.10，則甲+乙的最小值為何) 呢？（A）40（B）40.044（C）40.145（D）40.2。 sol) 【基本觀念題】 （ D）1. 如右圖，將矩形分成八塊大小相同的正方形，則斜線 區域面積與原長方形面積的比值為何？（A） 2 1 （B） 16 5 （C） 16 7 （D） 16 9 。 （C）2. 在下列選項中，最接近 2 1 2＋3 2 3＋4 3 4＋5 4 5 的值為何？ (Ａ) 15 (Ｂ) 16 (Ｃ) 17 (Ｄ) 18。 （C）3. 980 × 12.5＝980 ×（□ ÷ 8）＝980 ÷ 8 × △＝甲，則 (Ａ)□＋△＝1000 (Ｂ)甲＝12500 (Ｃ)□ × 2＝200 (Ｄ)（□＋△）× 2＝2000。 （B）4. 如果有四數 m、n、a、b 皆為自然數，則 m n ÷ a b＝ (Ａ) m n × a b (Ｂ) m × b n × a (Ｃ) m ÷ a n × b (Ｄ) m n ÷ a ÷ b。

（C）5.（2 1 3） 2 _÷（7 15） 2 _×（ 3 5） 2_{＝？ (Ａ) 3 (Ｂ) 6 (Ｃ) 9 (Ｄ) 12。}

（A）6. 設 a＞0、b＞0、c＞0，下列何者正確？ (Ａ) a ÷（b－c）＝a × 1

b－c (Ｂ) a ÷（b－c）＝a × 1 b＋a × 1 c (Ｃ)a ÷（b－c）＝a × 1 b－a × 1 c (Ｄ) a ÷（b －c）＝a × 1 b＋c。 （B）7. 試計算1023 10−19 10−3 =?（A）10（B） 7 10 （C） 35 10 （D） 49 10 （C）8. 若 20 2 1       = A ， 12 4 1       = B ， 6 81      = C ，則 A、B、C 三數的大小為何？（A）

B>C>A （B）A>B>C （C）C>A>B （D）C>B>A

（B）9. 若 2 1 1 − = a ，則 a 、 2 a 、 a 1 、 2 1       a 四數中，值最大的是哪一個呢？（A） a （B）a2 （C） a 1 （D） 2 1       a （B）10. x 的 1 2 的 2 3 的 3 4 的 4 5 是 210，則 x 的 1 5 是多少？ (Ａ) 105 (Ｂ) 210 (Ｃ) 315 (Ｄ) 420。 【溫故歷屆基測試題】 （B）1.若「⊕」是一個對於 1 與 0 的新運算符號，且其運算規則如下：1⊕1＝0， 1⊕0＝1，0⊕1＝1，0⊕0＝0，則下列四個運算結果哪一個是正確的？ (Ａ)（1⊕1）⊕0＝1 (Ｂ)（1⊕0）⊕1＝0 (Ｃ)（0⊕1）⊕1＝1 (Ｄ)（1⊕1） ⊕1＝0。【90.基測一】 （B）2.計算（－12）＋（－18）÷（－6）－（－3）×2 之值為何？ (Ａ)－15 (Ｂ) －3 (Ｃ) 11 (Ｄ) 16。【95.基測一】 （B）3.下列何者為 25 2 的科學符號（即科學記號）？ (Ａ) 8×10－₁ (Ｂ) 8×10－₂ (Ｃ) 2.3×10－1 (Ｄ) 2.3×10－₂ 。【95.基測一】 （D）4.下列哪一個式子是錯誤的？ (Ａ) 25 2 ＋ 35 3 ＋ 45 4 ＝ 35 3 ＋ 25 2 ＋ 45 4 (Ｂ) 25 2 － 35 3 － 45 4 ＝ 25 2 － 45 4 － 35 3 (Ｃ) 25 2 × 35 3 × 45 4 ＝ 45 4 × 35 3 ×

25 2 (Ｄ) 25 2 ÷ 35 3 ÷ 45 4 ＝ 35 3 ÷ 25 2 ÷ 45 4 。【95.基測一】 （D）5.計算 11－32_{×〔2－（－3）}2_{〕＋6 之值為何？ (Ａ)－82 (Ｂ)－8 (Ｃ) 28} (Ｄ) 80。【95.基測二】 （B）6.計算 1 389＋ 390 × 388 389 －379 之值為何？ (Ａ) 1 (Ｂ) 10 (Ｃ) 1 389 (Ｄ) 12 389。【94.基測二】 （D）7.計算 6 3 8 ÷（ 7 11＋2）的過程，下列哪一個是正確的？ (Ａ) 9 4 ÷（ 7 11＋2） ＝ 9 4 × 11 7＋ 9 4 × 1 2 (Ｂ) 9 4 ÷（ 7＋22 11 ）＝ 9 4 × 11 29 (Ｃ) 51 8 ÷（ 7 11＋2）＝ 51 8 × 11 7＋ 51 8 × 1 2 (Ｄ) 51 8 ÷（ 7＋22 11 ）＝ 51 8 × 11 29。【94.基測二】 （D）8.用科學符號（即科學記號）可將 1234 表示成「1.234 × 103_{」。若 A 的科} 學符號可表示成「1.23456 × 108_{」，則 A 為幾位數？ (Ａ) 6 (Ｂ) 7 (Ｃ)} 8 (Ｄ) 9。【94.基測一】 （B）9. 7 1 3 ÷ 1 2 5 可表示成下列哪一個式子？ (Ａ) 7 × 1 3 ÷ 1 × 2 5 (Ｂ)（7＋ 1 3）÷（1＋ 2 5）(Ｃ) 7＋ 1 3 ÷ 1＋ 2 5 (Ｄ)（7 × 1 3）÷（1 × 2 5）。【94.基 測一】 （C）10.下列敘述何者正確？ (Ａ) 23_{－（－2）}3_{＝0 (Ｂ) 2}4_－（－24_{）＝0 (Ｃ)} （－2）3_－（－23_{）＝0 (Ｄ)（－2）}4_－（－24_{）＝0。【91.基測二】} （B）11.某漱口水瓶上標示正確使用方式：一次使用量為瓶蓋容量的 3 1 。小瑜買 了一瓶，誤將 3 1 看成 2 1 ，在使用 10 次後才發現錯誤，此時漱口水已剩 原來的 4 3 。若往後小瑜依正確方式使用完畢，則還可以用多少次？ (Ａ) 30 (Ｂ) 45 (Ｃ) 60 (Ｄ) 75。【95 基測一】 Sol) 瓶蓋的1 2，使用 10 次，共用去 1 10 =5 2  （瓶蓋）， 每個瓶蓋容量為整瓶的 1-3 5= 1 , 3 1 1 =3 60=45 4 20 4 3 20 4  _{ } _  _         （C）12.已知 n 滿足 24 . 7 n ＝ 13 . 8 13 . 16 。若將 n 描在數線上，則下列哪一個數在數線 上的位置最接近 n？ (Ａ) 12.24 (Ｂ) 13.13 (Ｃ) 14.25 (Ｄ) 15.24。【95.

基測二】 Sol) n=16.13 7.24 8.13 14.36  ≒ 【模擬學力基測試題】 （C）1. 請問 2007 17 是 2006 17 的多少倍？（A）2006（B）2007（C）17（D）10 （A）2. 在電腦的容量規格中，1Kb=210bytes，1Mb=210Kb，1Gb=210Mb， 若小錠買了一顆 8GB 的隨身碟，相當於多少 bytes？（A） 33 2 （B）234 （C） 35 2 （D）2 36 （C）3.若”@ ”為一新運算符號，其運算規則如右，令 a、b 為正整數，則 3 4 @b a b a = − ，試求 5@4 之值為何？（A）559（B）560（C）561（D） 562 （A）3. 請觀察下列四個式子： 2 2 2 2 7 6 3 2 + + = ， 2 2 2 2 13 12 4 3 + + = ， 2 2 2 2 21 20 5 4 + + = ， 2 2 2 2 31 30 6 5 + + = ，若 a 為正整數，且 2 2 2 2 111 11 10 + +a = ，則 a 與 b 之值為何？（A）110（B）101（C）91 （D）21 （D）4. 設2 =x 512，y5 =243，則xy =?（A） 5 2 （B）34（C） 9 3 （D） 3 9 （A）5. 設 a b 5 2 20 10 42  3  =  ，求a+ b=?（A）13（B）10（C）7（D）5 （B）6. 若11 +12 +13 +...+12007 =a，則 a 與 2007 的大小關係，下列何者正確 （A）a<2007（B）a=2007（C）a>2007（D）a=2008 （C）7. 已知紫外線的波長是 1.362×10－₈ 公尺，γ射線的波長是 3×10－₁₂ 公分， 請問紫外光的波長是γ射線波長的幾倍？（以科學記號表示出來）（A） 4.54×103（B）4.54×104_{（C）4.54×10}5_{（D）4.54×10}6_。 （B）8. 計算（8.5×10－₆ ）＋（5.9×10－₈ ）的值，並以科學記號表示出來。（A） 8.559×10－5（B）8.559×10－₆ （C）8.559×10－₇ （D）8.559×10－₈ 。 （D）9.右表是史努比博士用顯微鏡觀察五種病毒大小的記錄表，請由大到小 排列出五種病毒的大小順序。（A）D＞C＞B＞E＞A（B）D＞B＞C ＞A＞E（C）A＞B＞C＞E＞D（D）D＞B＞C＞E＞A （A）10.有一星球距離地球 12 億公里，光每秒走 3×108 _{公尺，光由地球到此} 星球要幾分鐘？（A） 3 200 分（B）215 4 分（C） 230 7 分（D） 245 11 分。 【進階練習題】 （B）1. A × 3 5＝B ÷ 2 1

2，若 A＞0，B＞0，則 (Ａ) A＞B (Ｂ) A＜B (Ｃ) A＝B

(Ｄ)無法比較。 （D）2. （1－ 1 2）×（1－ 1 3）×（1－ 1 4）×……×（1－ 1 100）＝ (Ａ) 1 10(Ｂ) 1 20(Ｃ) 1 50 A 7.1×10－6 B 8.2×10－4 C 1.42×10－4 D 1.64×10－3 E 9×10－5

(Ｄ) 1 100。 （B）3. 1 3 4 × 2 2 3 ÷ 7 11＝？ (Ａ) 11 3 (Ｂ) 22 3 (Ｃ) 11 6 (Ｄ) 3 22。 （B）4. 某工程光緯獨作 15 日完工，承凱獨作 18 日完工。光緯每日比承凱每日 多做全工程的多少？ (Ａ) 1 3 (Ｂ) 1 90 (Ｃ) 1 60 (Ｄ) 1 80。 （A）5. 已知 32_＝9，33_＝27，34_＝81，35_{＝243，將 3}201_{乘開後，它的個位數的} 數字為何呢？（A）3 （B）4 （C）5 （D）6。 （C）6.下列計算式何者錯誤？ (A)25－3×[32_{＋2×(－3)]＋5的值為21} (B)[(－2)3×(－3)2－(－18)÷3＋5]－(－1)10_＝－62 (C)[(－2)3_{×(4－12)－(6－11)×4]÷(－2)}2_＝－21 (D)1＋2＋3＋…＋99＋100＋99＋…＋3＋2＋1＝1002。 （D）7.試比較 _     − = 3 2 a 、 2 3 2       − = b 、 3 3 2      − = c 、 4 3 2       − = d 之大小關係？（A） b>d>a>c（B）a>c>b>d（C）c>a>d>b（D）b>d>c>a （B）8.試計算

( ) ( ) ( ) ( )

2 3 4 2 8 2 4 2 2 2 1 − + − + − + − 為何？（A） 2 1 − （B）0（C） 2 1 （D） 4 1 （C）9. 試計算519 −

(

520 +519

)

6為何？（A） 38 5 （B）5（C）0（D） 1 5− （A）10.地球的半徑大約為 6400000 公尺，它的表面積大約是表面積＝4×π×（半 徑）2_{，其中π約為 3.14，地球的表面積大約有多少平方公里？(用科學記} 號來表示)（A）5.144576×108 _{平方公里（B）5.144576×10}9 _{平方公里（C）} 5.144576×1010 平方公里（D）5.144576×1011 _{平方公里。}