2 垂直、平分與尺規作圖 3

在日常生活中，常見到許多線對稱圖形。下列圖形都是線對稱圖形，你看 得出來嗎？

我們可以用對摺疊合的方法檢驗圖形是否為線 對稱圖形。一個線對稱圖形對摺後，重疊的兩點稱為 對稱點，重疊的線段稱為對稱線段，重疊的角稱為 對稱角，摺線為對稱軸。

圖 2-38 中，B 點的對稱點為 B' 點，∠C 的對稱 角為∠C'，AB 的對稱線段為 AB'，直線 L 為對稱軸。

因為 A 點在對稱軸上，所以 A 點的對稱點即為 A 點本 身。

圖 2-38 A

B M B'

C C'

L

1 2

2 3 垂直、平分與尺規作圖

1 線對稱

2 3 垂直、平分與尺規作圖

畫出下列圖形的所有對稱軸：

長方形 等腰梯形 菱形

正八邊形 等腰三角形

正五邊形

圖 2-38 中，連接 BB'，與直線 L 交於 M 點，BM ＝B'M，也就是 M 為 BB' 的中點，我們說直線 L 平分 BB'。又∠1＝∠2，且∠1＋∠2＝180°，所以∠1＝

∠2＝90°，也就是直線 L 垂直 BB'，可以記成 L ⊥ BB'，讀作「L 垂直 BB'」。

直線 L 與 BB' 的交點 M 稱為垂足。

因為直線 L 垂直 BB' 且又平分 BB'，我們就說直線 L 垂直平分 BB'，直線 L 是 BB' 的垂直平分線，又稱為中垂線。

同樣地，直線 L 也會垂直平分 CC'，所以我們說對稱軸垂直平分兩對稱點 之連線段。

配合習作基礎題 1

1

例

因為對稱軸垂直平分對稱點連線，在 L 的右側，找到 B 點的對稱點 B '。

同理，找到 C'、D'、E '、F '、G '、H '。

連接 AB'、B'C'、C'D'、D'E'、E'F'、

F'G'、G'H'、H'I，即為所求。

右圖是線對稱圖形的一部分，直線 L 是對 稱軸，請完成此線對稱圖形。

L A

B C

D E

F G

H I

L A

B C C' B'

D E E' D'

F G G' F'

H H'

I

如圖 2-39，△ABC 是等腰三角形，AB ＝ AC。

我們可以對摺將 B 點疊合在 C 點上，AB 和 AC 疊 合，由摺痕得到 BC 中點 D，∠ADB＝∠ADC＝90°。 也就是△ABC 是一個線對稱圖形， AD 是對稱軸。

由此可知，AD 是 BC 邊的高，也是 BC 的垂直平 分線。即等腰三角形底邊上的高垂直平分底邊。

同樣地，正三角形的高也會垂直平分底邊。

如圖 2-40，正三角形 ABC 的邊長為 a，因為 AD 垂直平分 BC，所以 BD ＝ CD ＝ 1

2 a。

由勾股定理得 AD＝ AB ²－ BD ² ＝ a²－（ 1

2 a）² ＝ 3

4 a² ＝ a

△ABC 面積＝ 1

2 ×BC×AD ＝ 1

2 ×a× a＝ a²

圖 2-39 A

B C

D

A

B C

a

圖 2-40 D

若正三角形的邊長為 a，則高為 a，面積為 a

2

2

1如右圖，四邊形 ABCD 是菱形，請問它是線對稱圖形嗎？

若 ABCD 是線對稱圖形，則 B 點的對稱點為何？

2 如右圖，四邊形 PQRS 是箏形，請問它是線對稱圖形嗎？

Q

P

S

R A

B D

C

在隨堂練習中，我們可以利用對摺的方法，檢驗得知箏形和菱形都是線對 稱圖形。

菱形 ABCD 中，若以對角線 BD 為對稱軸，則 A、C 為對稱點，所以 BD 垂直平分 AC。同樣地，若以對角線 AC 為對稱軸，則 B、D 為對稱點，所以 AC 垂直平分 BD。也就是對角線 AC、BD 互相垂直平分。即

箏形 PQRS 中，對角線 PR 是對稱軸，Q、S 為對稱點，所以對角線 PR 會 垂直平分對角線 QS。即

菱形的兩對角線互相垂直平分。

箏形的兩對角線互相垂直，且一對角線平分另一對角線。

菱形 ABCD 是線對稱圖形，

B 點的對稱點是 D 點。

箏形 PQRS 是線對稱圖形。

（ PR 為對稱軸）

1 畫一直線 L，在 L 上取一點 C。

2 以 C 為圓心，AB 長為半徑畫弧，交直線 L 於一點 D。

3  CD 即為所求的線段。

如右圖，已知一線段 AB，如何畫出一線段，

使它的長度等於 AB 呢？

A B

L C

C D

L

2

例

例題 2 的畫法是不是和我們比較兩線段長度疊合的方法，有一點類似呢？

一般來說，在進行幾何作圖時，應保留作圖的痕跡，並輔以文字說明。

直尺和圓規是幾何作圖的主要工具，尺規作圖是指用直尺和圓規來畫圖，

而且直尺只用來畫直線或線段，不利用上面的刻度。

比較線段大小時，除了用直尺測量之外，也可以使用圓規。如圖 2-41，將 圓規張開如 AB 之大小，不改變圓規張角的大小，將圓規的一端移至 C 點上，

觀察圓規的另一端。如果另一端落在 CD 上，如圖 2-42，表示 CD ＞ AB；如 果另一端落在 CD 外，如圖 2-43，表示 CD ＜ AB 。

圖 2-41 圖 2-42 圖 2-43

B C D C D

尺規作圖的意義

2

C D

L A

對應能力指標 8-s-04

1如右圖，試在 BC 上找出 D 點，使得 BD ＝ AB。

2已知兩線段長 a、b，求作線段 PQ，

使得 PQ＝a＋b。

1 作一直線 L，在 L 上取一點 C。

2 以 C 為圓心，AB 為半徑畫弧，

交直線 L 於 P 點。

3 以 P 為圓心，AB 為半徑畫弧，

交直線 L 於 D 點。

4 CD 即為所求。

A B

已知一線段 AB ，求作一線段 CD，

使它的長度等於 AB 的 2 倍。

3

例

a b

A

B C

D P

C L

C L

P C

L

D P

C L

配合習作基礎題 2

A

B C

D

P R Q

a b

1 以 A 為圓心，並以大於 1 2 AB 長為半徑畫弧。

     2 以 B 為圓心，同長為半徑畫 弧，兩弧相交於 C、D 兩點。

     3 畫 CD，則 CD 即為所求。

已知 AB，求作 AB 的垂直平分線。

4

例

在例題 4 的作圖過程中，為何要以大於 1

2 AB 的線段長為半徑畫弧呢？小於 1

2 AB 可以嗎？等於 1

2 AB 可以嗎？

動動腦

1 在紙上畫出一線段，以摺紙的方式找出該線段的垂直平分線，並標出 該線段的中點。

2 說說看，為什麼你的摺法摺出來的是垂直平分線？

之前我們已經用對摺的方法，摺出 AB 的垂直平分線，接下來，我們將利 用尺規作圖，作已知線段的垂直平分線。

垂直平分線

3

A B

A B

A B

C

D

A B

D C

以大於 1

2 AB 長為半徑畫弧，兩弧才會有交點。小於 1

2 AB 畫弧，兩弧就無 法相交。以 1

2 AB 為半徑畫弧，兩弧會在 AB 中點相交，無法形成三角形。

對應能力指標 8-s-07

參考課本 P74 第三段

圖 2-44

動動腦

由動動腦的結果可知，

垂直平分線上任一點到線段兩端點的距離相等。

C

D

A B

P

A B

如下圖，已知 AB，利用尺規作圖將 AB 四等分 。 如右圖，若 L 是 AB 的垂直平分線，在 L 上任取 一點 P，連接 AP、BP。想想看，AP 是否會等於 BP ？

例題 4 中，如何確定 CD 會垂直平分 AB 呢？

我們可以連接 AC、BC、AD、BD，因為 AC ＝ BC

＝ AD ＝ BD，若以 CD 為摺線對摺，則△ACD 與

△BCD 會重合，即 CD 為四邊形 ACBD 的對稱軸，

所以 CD 垂直平分 AB。

A B

L

會

A B

（註：此為等比列縮小圖）

我們可用尺規作圖複製一線段，那麼是否也可用尺規作圖複製一個角呢？

已知∠A，求作一角等於∠A。

A

B

C

A

B

C O

L

O

L

O Q

L

O Q L

P

A

B

O Q C

L P

5

例

在例題 5 中，我們可以用量角器測量∠A 及∠P O Q 的度數，檢驗出

∠POQ 確實等於∠A。

4 角平分線

A

1 畫一直線 L，在 L 上取一點 O。

2 以 A 為圓心，取一適當長為半徑畫弧，

交∠A 的兩邊於 B、C 兩點。

3 以 O 為圓心，AB 為半徑畫弧，交直線 L 於 Q 點。

4 以 Q 為圓心，BC 為半徑畫弧，交前弧於 P 點。

5 畫 OP ，則∠POQ 即為所求。

對應能力指標 8-s-07

配合習作基礎題 3、4

圖 2-45 A

B C

D

將 一 個 角 平 分 為 兩 相 等 角 的 線 ， 我 們 稱 為 角平分線，又稱為分角線。如圖 2-45，若∠BAC 與∠DAC 的度數相等，也就是∠BAC＝∠DAC，

我們就說 AC 是∠BAD 的角平分線。

下圖是一已知角，我們用對摺的方法，讓角 的兩邊疊在一起，則摺痕就是角平分線。

古希臘幾何三大作圖難題：

1三等分角：把一任意角三等分。

2立方倍積：作一立方體，使其體積是一已知立方體體積的兩倍。

3化圓為方：作一正方形，使其面積等於一已知圓的面積。

這三個題目，乍看之下似乎不是很難，為何被稱為三大難題呢？這 是因為只能使用沒有刻度的直尺和圓規作圖。現代數學家已經證明了這 三個題目都無法用尺規作圖完成。

數學萬花筒

×

÷

－

利用尺規作圖，畫出一角等於∠B。

B

圖 2-46

P

O Q

L

已知 ∠A，求作∠A 的角平分線。

A

A C

B A

C

B D

A C

B D

由例題 6，連接 CD、BD，因為 AB＝AC，

CD＝BD，所以四邊形 ABDC 為箏形。當我們以 AD 為摺線時，就可以發現∠CAD 與∠BAD 相等。

圖 2-47 A

C

B D

6

例

1求作∠B 之角平分線，

並用量角器測量被平分 的兩角角度是否相等。

2試作一平角的角平分線。

接下來，我們將利用尺規作圖的方法，畫出一已知角的角平分線。

1 以 A 為圓心，取一適當長為半徑畫弧，交∠A 的兩邊於 B、C 兩點。

2 分別以 B、C 為圓心，大於 1

2 BC 為半徑畫弧，兩弧交於 D 點。

3畫 AD ，則 AD 即為所求。

1 2 3

B

配合習作基礎題 5

B

A

1 以 P 為圓心，取一適當長為半徑畫弧，

交直線 L 於 A、B 兩點。

2 分別以 A、B 為圓心，大於 1

2 AB 為半徑 畫弧，兩弧交於 C 點。

 3連接 CP ，則 CP 即為所求。

已知直線 L 及 L 上一點 P ，求作過 P 點與 L 垂直 的直線。

例題 7 的作法和例題 6 隨堂練習中平角的角平分線作法是相同的。

L

P

L A P B

C

P

A B

C 圖 2-48 L

7

例

已知直線 L 及 L 外一點 P ，求作過 P 點與 L 垂直 的直線。

L

P

L A B

C P

8

例

1 以 P 為圓心，取一適當長為半徑畫弧，交 直線 L 於 A、B 兩點。

 2 分別以 A、B 為圓心，大於 1

2 AB 為半徑 畫弧，兩弧交於 C 點。

 3連接 CP ，則 CP 即為所求。

5 垂線

在例題 7 中，若連接 CA、CB，由作法的步驟1 可知 P 點為 AB 的中點，由步驟2可知 CA＝CB，也 就是△CAB 為等腰三角形。在前面已說明「等腰三 角形為線對稱圖形」，所以 CP 為△CAB 之對稱軸，

∠CPA＝∠CPB＝90°，因此 CP 確實為過 P 點與 L 垂 直之直線。

對應能力指標 8-s-07 配合習作基礎題 4、5

已知△ABC，求作 BC 邊上的高。

圖 2-50 A

B C

A

B C

B C

C C A

B C

A

L A B

C P

利用「過線外一點作垂線」的作圖方法，我們 可以作出三角形的高。如圖 2-49，△ABC 中，BC 邊 上的高即為過 A 點垂直 BC 的線段。

在例題 8 中，我們可連接 PA、PB、CA、CB，因 為 PA ＝PB ，CA ＝CB ，所以四邊形 PACB 為箏形。

在前面我們學過「箏形的兩對角線互相垂直」，所 以 CP ⊥L，即 CP 確實為過 P 點與 L 垂直之直線。

除了用尺規作圖的方法作出三角形的高，我們也可以用對摺的方法，摺出 三角形的高。

A

D C B

圖 2-49

A

B C

△ABC 中，BC 邊上的高的作法，

與過 A 點作 BC 之垂線作法相同。

A

B C

作等線段、作等角、作已知線段的垂線、作已知線段的垂直平分線、作已 知角的角平分線，這幾種作圖方法，我們稱為基本作圖。將來在作圖時，如果 需要使用這些基本作圖，我們不再詳列它們的作法，只簡述即可。在下面的例 題中，我們將以這些基本作圖為基礎，完成其他作圖。

已知一扇形 ABC，求作扇形 DEF＝扇形 ABC。

A

L D E Q

F

P B

9

例

右圖是線對稱圖形的一部分，直線 L 是對稱軸，

試利用尺規作圖完成此線對稱圖形。

1以 A 為圓心，AB 為半徑畫弧，再以 D 為 圓心，DB 為半徑畫弧，兩弧交點即為 B 點的對稱點 B'。

2以 A 為圓心，AC 為半徑畫弧，再以 D 為 圓心，DC 為半徑畫弧，兩弧交點即為 C 點的對稱點 C'。

3連接 AB'、B'C '、C 'D，所得圖形即為所 求。

A

C D B

L

C D C'

B B'

L A

完成線對稱圖形

例

10

1畫一直線 L，在 L 上取一點 D。

 2作∠PDQ＝∠CAB。

 3以 D 為圓心，AC 為半徑畫弧，

分別交 DP、DQ 於 F、E 兩點。

 4扇形 DEF 即為所求。

配合習作基礎題 6

如下圖，仿照例題 10 的作法，完成此線對稱圖形

例題 10 中，若在 L 上任取二點 P、Q，分別以 P、Q 為圓心，PB、QB 為半 徑畫弧，此兩弧的交點是否為 B 點的對稱點？為什麼？

動動腦

!對稱軸： 線對稱圖形上，對稱軸會垂直平分兩對稱點的連線段。

@尺規作圖：尺規作圖是指用直尺和圓規來畫圖，而且直尺只用來畫直 線或線段，不利用上面的刻度。

#垂直平分線：一已知線段的垂直平分線上任意一點到線段的兩端點等 距離。

$基本作圖：複製線段、複製角、作已知線段的垂線、作已知線段的垂 直平分線、作已知角的角平分線。

重點回顧

L

B

是。因為PBQB'為箏形（設兩弧的交點為B'）。

L

B

1如右圖，P 點在直線 AE 上，BP 平分∠APC，

DP 平分∠CPE，∠DPE＝43°。

1 求∠BPA。

2試問 BP 是否垂直 DP ？

2如下圖，利用尺規作圖在 AB 上作一點 P，AP ：PB ＝1：3。

3下圖是一線對稱圖形，利用尺規作圖畫出它的對稱軸。

自 我 評 量 2-3

E

A P

B C

D 43°

A B

1∠BPA＝ 1

2 ∠APC＝ 1

2 ×（180°－2×43°）＝ 1

2 ×94°＝47°

2 ∠BPD＝∠BPC＋∠CPD＝47°＋43°＝90°

所以 BP ⊥ DP 。

A B

P

4如右圖，△ABC 中，∠ABC＝62°，∠ACB＝58°，

1 求∠BAC。

2 △ABC 是何種三角形？（鈍角、銳角或直角）

3 若∠ABC 與∠ACB 的角平分線相交於 D 點，

求∠BDC。

A

B C

D

5如圖， △ABC為鈍角三角形，利用尺規作圖作 AC 上的高。

A

B C

1∠BAC＝180°－62°－58°＝60°

2 因為∠ABC、∠ACB、∠BAC 均為銳角，所以△ABC 為銳角三角形。

3∠BDC＝180°－∠DBC－∠DCB ＝180°－ 1

2 ×62°－ 1

2 ×58°

＝180°－31°－29°

＝120°

A

B C

A

B C

π 的故事

圓周率 π 是圓的周長與直徑的比，即 π＝ 圓周長 直徑 。 為什麼用 π 這個符號來代表圓周率呢？由來如下：

西元 1600 年，英國數學家奧托雷德（William Oughtred， 1574-1660）

首先用 π

δ 來表示圓周率。理由是希臘文中 「 圓周 」 的第一個字母是 π，

而「 直徑 」的第一個字母則是 δ（讀作 delta），因此 圓周長

直徑 很自然地就 寫成 π

δ 。但是為了簡化圓周率的計算過程，通常我們會令圓的直徑為 1，此時π

δ ＝ π

1 ＝π。

1706 年，英國數學家瓊斯 （William Jones， 1675-1749） 改用 π 來表 示圓周率，後來瑞士大數學家尤拉 （Leonhard Euler， 1707-1783） 也採用此 表示法，於是沿用至今。

圓周率 π 是一個無理數，目前已有人計算出它的近似值到小數十億 位以上。

π＝3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 79445 92307 81640 62862 08998 62803 48253 42117 06798 …

數學萬花筒

×

÷

－