第 4 章二元关系与函数

(1)

第 4 章二元关系与函数



4.1

集合的笛卡儿积与二元关系



4.2

关系的运算



4.3

关系的性质



4.4

关系的闭包



4.5

等价关系和偏序关系



4.6

函数的定义和性质



4.7

函数的复合和反函数

(2)

4.1 集合的笛卡儿积和二元关系

 有序对

 笛卡儿积及其性质

 二元关系的定义

 二元关系的表示

(3)

有序对

定义由两个客体 x 和 y ，按照一定的顺序组成的二元组称为有序对，记作 <x,y>

实例：点的直角坐标 (3,4) 有序对性质

(1)

有序性 <x,y><y,x> （当 x

 y

时）

(2) <x,y>

与 <u,v> 相等的充分必要条件是

例 1 <2, x+5> = <3y

 4, y>

，求 x, y.

解 3y

 4 = 2, x+5 = y  y = 2, x =  3

<x,y>=<u,v>  x=u  y=v

(4)

有序 n 元组

定义一个有序 n (n3) 元组 <x₁, x₂, …, x_n> 是一个 有序对，其中第一个元素是一个有序 n-1 元组，即 <x₁, x₂, …, x_n> = < <x₁, x₂, …, x_n-1>, x_n>

当 n=1 时 , <x> 形式上可以看成有序 1 元组 .

实例 n 维向量是有序 n 元组 .

(5)

笛卡儿积

定义设 A,B 为集合， A 与 B 的笛卡儿积记作

A

B ，即 AB ={ <x,y> | xA  yB } 例 2 A={1,2,3}, B={a,b,c}

AB ={<1,a>,<1,b>,<1,c>,<2,a>,<2,b>,<2,c>, <3,a>,<3,b>,<3,c>}

BA ={<a,1>,<b,1>,<c,1>,<a,2>,<b,2>,<c,2>, <a,3>, <b,3>,<c,3>}

A={}, P(A)A={<,>, <{},>}

(6)

6

笛卡儿积的性质

(1)

不适合交换律 AB

 BA (AB, A, B) (2)

不适合结合律

(AB)CA(BC) (A, B)

(3)

对于并或交运算满足分配律

A(BC)=(AB)(AC) (BC)A=(BA)(CA)

A(BC)=(AB)(AC) (BC)A=(BA)(CA)

(4)

若 A 或 B 中有一个为空集，则 AB 就是空集 .

A=B=

(5)

若 |A|=m, |B|=n, 则 |AB|=mn

(7)

性质的证明

证明 A(BC)=(AB)(AC) 证任取 <x,y>

<x,y>∈A×(B∪C)

 x∈A∧y∈B∪C

 x∈A ( ∧ y∈B∨y∈C)

(x∈A∧y∈B) (

∨ x∈A∧y∈C)  <x,y>∈A×B < ∨ x,y>∈A×C

 <x,y> ( ∈ A×B) ( ∪ A×C)

所以有 A×(B∪C) = (A×B) (

∪ A×C).

(8)

例题

解 (1) 任取 <x,y>

<x,y>AC  xA  yC

 xB  yD  <x,y>BD

例 3 (1) 证明 A=B  C=D  AC=BD

(2) A

C=BD 是否推出 A=B  C=D ? 为什么？

(2)

不一定 . 反例如下：

A={1}

， B={2}, C=D=, 则 AC=BD 但是

AB.

(9)

二元关系的定义

定义如果一个集合满足以下条件之一：

（ 1 ）集合非空 , 且它的元素都是有序对

（ 2 ）集合是空集

则称该集合为一个二元关系

,

简称为关系，记作 R.

如 <x,y>∈R, 可记作 xRy ；如果 <x,y>R, 则记作

x y

实例： R={<1,2>,<a,b>}, S={<1,2>,a,b}.

R

是二元关系 , 当 a, b 不是有序对时， S 不是二元 关系

根据上面的记法，可以写 1R2, aRb, a c 等 .

(10)

从 A 到 B 的关系与 A 上的关系

定义设 A,B 为集合 , A×B 的任何子集所定义的二元关系叫做从 A 到 B 的二元关系

,

当 A=B 时则叫做 A 上

的二元关系

.

例 4 A={0,1}, B={1,2,3}, R₁

={<0,2>}, R

₂

=A×B,

R

₃

=, R

₄

={<0,1>}.

那么 R₁

, R

₂

, R

₃

, R

₄ 是从 A 到 B 的二元关系 , R₃ 和 R₄ 同时也是 A 上的二元关系 .

计数

2ⁿ2

|A|=n, |A×A|=n

²

, A×A

的子集有个 . 所以 A 上有个不同的二元关系 .

例如 |A|=3, 则 A 上有 =512 个不同的二元关系 .

(11)

A 上重要关系的实例

设 A 为任意集合，

 是 A 上的关系，称为空关系

E

_A

, I

_A 分别称为全域关系与恒等关系，定义如下：

E

_A

={<x,y>|x∈A∧y∈A}=A×A I

_A

={<x,x>|x∈A}

例如 , A={1,2}, 则

E

_A

={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>}

I

_A

={<1,1>,<2,2>}

(12)

A 上重要关系的实例（续）

小于等于关系

L

_A

,

整除关系

D

_A

,

包含关系

R

_ 定义

：

L

_A

={<x,y>| x,y∈A∧x≤y}, AR

， R 为实数集合

D

_B

={<x,y>| x,y∈B∧x

整除 y},

B

Z*, Z* 为非 0 整数集

R

_

={<x,y>| x,y∈A∧xy}, A

是集合族 .

类似的还可以定义大于等于关系 , 小于关系 , 大于 关系 , 真包含关系等等 .

(13)

实例

例如 A = {1, 2, 3}, B ={a, b}, 则

LA={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,2>,<2,3>,<3,3>}

DA={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,2>,<3,3>}

A=P(B)={

,{a},{b},{a,b}}, 则 A 上的包含关系是

R

_

={<,>,<,{a}>,<,{b}>,<,{a,b}>,<{a},{a}>,

<{a},{a,b}>,<{b},{b}>,<{b},{a,b}>,<{a,b},{a,b}>}

(14)

14

关系的表示

表示方式：关系的集合表达式、关系矩阵、关系图关系矩阵：若 A={a₁

, a

₂

, …, a

_m

}

， B={b₁

, b

₂

, …, b

_n

}

， R 是从 A 到 B 的关系， R 的关系矩阵是布尔矩阵

M

_R

= [ r

_ij

]

_mn

,

其中 r_ij

= 1 < a

_i

, b

_j

> R.

关系图：若 A= {x₁

, x

₂

, …, x

_m

}

， R 是从 A 上的关系

， R 的关系图是 G_R

=<A, R>,

其中 A 为结点集， R 为边集 . 如果 <x_i

,x

_j

>

属于关系 R ，在图中就有一条 从 x_i 到 x_j 的有向边 .

注意： A, B 为有穷集，关系矩阵适于表示从 A 到 B 的关系或者 A 上的关系，关系图适于表示 A 上的关 系

(15)

实例

A={1,2,3,4},

R={<1,1>,<1,2>,<2,3>,<2,4>,<4,2>}, R

的关系矩阵 M_R 和关系图 G_R 如下：















0 0

1 0

0 0

1 1

0 0

1 1

M R

(16)

 基本运算定义

定义域、值域、域

逆、合成、限制、像

 基本运算的性质

 幂运算

定义

求法

性质

4.2 关系的运算

(17)

关系的基本运算定义

定义域、值域和域

dom R = { x | y (<x,y>R) } ran R = { y | x (<x,y>R) } fld R = dom R  ran R

例 1 R={<1,2>,<1,3>,<2,4>,<4,3>}, 则

dom R={1, 2, 4}

ran R={2, 3, 4}

fld R={1, 2, 3, 4}

(18)

关系的基本运算定义（续）

逆与合成

R

^1

= {<y,x> | <x,y>R}

R ∘S = |<x,z> |  y (<x,y>R<y,z>S) }

例 2 R={<1,2>, <2,3>, <1,4>, <2,2>}

S={<1,1>, <1,3>, <2,3>, <3,2>, <3,3>}

R

^1

={<2,1>, <3,2>, <4,1>, <2,2>}

R ∘ S ={<1,3>, <2,2>, <2,3>}

S∘R ={<1,2>, <1,4>, <3,2>, <3,3>}

(19)

合成运算的图示方法

利用图示（不是关系图）方法求合成

R∘S ={<1,3>, <2,2>, <2,3>}

S ∘R ={<1,2>, <1,4>, <3,2>, <3,3>}

(20)

限制与像

定义

^F

在 A 上的限制

F↾A = {<x,y> | xFy  xA}

A

在 F 下的像

F[A] = ran(F↾A)

实例 R={<1,2>, <2,3>, <1,4>, <2,2>}

R {1}={<1,2>,<1,4>} ↾ R[{1}]={2,4}

R↾=

R[{1,2}]={2,3,4}

注意： F↾AF, F[A] ranF

(21)

关系基本运算的性质

定理 1 设 F 是任意的关系 , 则

(1) (F

^¹

)

^¹

=F

(2) domF

^¹

=ranF, ranF

^¹

=domF

证 (1) 任取 <x,y>, 由逆的定义有

<x,y> ( ∈ F

^ ¹

)

^¹ <y,x>∈F^¹ <x,y>∈F 所以有 (F^¹

)

^¹

=F.

(2)

任取 x, x dom

∈ F

^¹ y(<x,y>∈F^¹

)

y(<y,x>∈F)  x ran

∈ F

所以有 domF^¹

= ranF.

同理可证 ranF^¹

=

(22)

定理 2 设 F, G, H 是任意的关系 , 则

(1) (F ∘G)∘H=F∘(G∘H)

(2) (F∘G)

^¹

= G

^¹

∘F

^¹ 证 (1) 任取 <x,y>,

<x,y>(F∘G)∘H t(<x,t>∈F∘G < ∧ t,y>∈H)

t (s(<x,s>∈F <

∧ s,t>∈G) < ∧ t,y>∈H

t s (<x,s>∈F <

∧ s,t>∈G < ∧ t,y>∈H)

s (<x,s>∈F∧t (<s,t>∈G <

∧ t,y>∈H))

s (<x,s>∈F <

∧ s,y>∈G∘H)

<x,y>∈F∘(G∘H)

所以 (F∘G)∘H = F∘(G∘H)

关系基本运算的性质（续）

(23)

(2)

任取 <x,y>,

<x,y> ( ∈ F∘G)

^¹

<y,x>∈F∘G

t (<y,t>∈F (

∧ t,x)∈G)

t (<x,t>∈G^¹

∧ t,y)∈F (

^¹

)

<x,y>∈G^¹

∘F

^¹

所以 (F∘G)^¹

= G

^¹

∘F

^¹

关系基本运算的性质（续）

(2) (F∘G)

^¹

= G

^-1

∘F

^¹

(24)

定理 3

设 F, G, H 是任意的关系 , 则

(1) F (G ∘ H)=(F G) ∘ (F H) ∘

(2) F (G ∘ H) (F G) ∘

(F H)

∘

(3) (GH) F=(G F) ∘ ∘ (H F) ∘

(4) (GH) F ∘  (G F) ∘ (H F) ∘

(25)

A 上关系的幂运算

设 R 为 A 上的关系 , n 为自然数 , 则 R 的 n 次幂定义为：

(1) R

⁰

={<x,x> | x∈A }=I

_A

(2) R

ⁿ⁺¹

= R

ⁿ

∘R

注意：

对于 A 上的任何关系 R₁ 和 R₂ 都有

R

₁⁰

= R

₂⁰

= I

_A

对于 A 上的任何关系 R 都有

(26)

幂的求法

对于集合表示的关系 R ，计算 Rⁿ 就是 n 个 R 右 复合 .

矩阵表示就是 n 个矩阵相乘 , 其中相加采用逻辑 加 .

例 3 设 A={a,b,c,d}, R={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>}, 求 R 的各次幂 , 分别用矩阵和关系图表示 .

解 R 与 R² 的关系矩阵分别为















0 0 0 0

1 0 0 0

0 1 0 1

0 0 1 0

M









































0 0 0 0

1 0 1 0

0 1 0 1

0 0 0 0

1 0 0 0

0 1 0 1

0 0 1 0

0 0 0 0

1 0 0 0

0 1 0 1

0 0 1 0 M2

(27)

同理， R⁰

=I

_A

, R

³ 和 R⁴ 的矩阵分别是：





























0 0 0 0

1 0 1 0

0 1 0 1 ,

0 0 0 0

0 1 0 1

1 0 1 0

4

3 M

M















1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1 M0

幂的求法（续）

因此 M⁴

=M

²

,

即 R⁴

=R

²

.

因此可以得到

R

²

=R

⁴

=R

⁶

=…, R

³

=R

⁵

=R

⁷

=…

(28)

R

⁰

, R

¹

, R

²

, R

³

,…

的关系图如下图所示

幂的求法（续）

(29)

幂运算的性质

定理 4 设 A 为 n 元集 , R 是 A 上的关系 , 则存 在自然数 s 和 t, 使得 R^s

= R

^t

.

定理 5 设 R 是 A 上的关系 , m, n N,

∈

则

(1) R

^m

∘R

ⁿ

=R

^m+n

(2) (R

^m

)

ⁿ

=R

^mn

第 4 章 二元关系与函数