勾股定理證明-G021

(1)

勾股定理證明-G021

【作輔助圖】

1. 以 AB 為邊，向外作一正方形 AHKB ，以BC 為邊，向外作一正方形 CBDE ，以 AC 為邊，向外作一正方形 CAGF 。

2. 從 C 點作 HK 的垂線交HK於 Q 點，並交 AB 於 R 點。

3. 從 H 點作 AC 的平行線交 CQ 於 M 點，連接 KM 。

4. 從 G 點作 AB 的平行線交 CF 於W 點，延長 HA 與 GW 交於 X 點。

5. 從 E 點作 CQ 的平行線交 BD 於V 點，從 D 點作 AB 的平行線交 EV 於U 點。

6. 延長 DB 與 CQ 交於 L 點；延長 GA 與 HM 交於 N 點。

7. 在 BK 上取 P 點，使得 PK LM，並且從 P 點作 AC 的平行線交 MK 於 O 點。

8. 在 CE 上取T 點，使得TEBL，從T 點作 CR 的平行線交 CB 於 S 點。

A B

C

E F

G

D

H K

L

M N

O P

Q R

S T X W

V U

(2)

【求證過程】

以直角三角形 ABC 的三邊分別向外作三個正方形，證明正方形 AHKB 所切割出的 區塊中，長方形 BKQR 內的區塊可以拼出正方形 CBDE 的區域，同時長方形 AHQR 內的 區塊可以拼出正方形 CAGF 的區域，證明了長方形 BKQR 的面積等於正方形 CBDE 的面 積，同時長方形 AHQR 的面積也與正方形 CAGF 的面積相等，最後推出畢氏定理的關 係式。

1. 首先證明四邊形 BKMC 為平行四邊形：

由作圖 2.3.知四邊形 AHMC 為平行四邊形，所以 CM AH ，又 AH BK，得到

CM BK且 CM // BK ,

因此四邊形 BKMC 為平行四邊形。

2. 由平行四邊形 BKMC 所得到的長度關係，證明三角形 MQK 與三角形 EUD 全等：

因為四邊形 BKMC 為平行四邊形，得到對邊 MK 與 CB 平行且等長，可得知

MK CBED且MK/ /CB/ /ED ，由平行的關係(作圖 3.5.)得到對應角 KMQ DEU MKQ EDU

   且   ，所以

MQK EUD

   (ASA 全等).

3. 利用與三角形 ARC 的全等關係，證明三角形 HQM 與三角形 AXG 全等：

因為 HM  AC  AG，且AC/ /HM ,AB/ /HK 可得到 MHQ  CAR，又

90

GAX ^ XAC CAR

      ，所以 MHQ  CAR GAX，又

90 MQH CRA GXA ^

      ，所以

HQM ARC AXG

     (AAS 全等).

4. 利用與三角形 CAB 的全等關係，證明三角形 NAH 與三角形 FGW 全等：

先證明三角形 FGW 與三角形 CAB 全等：

由作圖 4.知 GW // AB ，又 GA//WB ，得到四邊形 GABW 為平行四邊形，所以

GW  AB，又因平行關係(同第 3 點證明)，所以 FGW  CAB且 FWG  CBA，得到

FGW CAB

   (ASA 全等).

再證明三角形 CAB 與三角形 NAH 全等：

由垂直的互餘關係得到NAH 90^ BAN  CAB，且由AC/ /HM 的平行關係

(3)

得到ANH 90^  ACB，又 AH  AB，得到 CAB NAH

  (AAS 全等), 所以

. NAH FGW

   5. 證明四邊形 ANMR 與四邊形 ACWX 全等：

由上述全等證明得到 AR AX(因為 ARC  AXG)， AN AC(因為

CAB NAH

   )，又 HM  ACCF﹐且 HN WF (因為 NAH  FGW)，所以

NM HM HN CF WF CW，再由垂直的互餘關係得到 XAC  RAN，且 90

ANM ACW ^

    ，所以

. ANMR ACWX

四邊形四邊形

6. 證明三角形RLB 與三角形UVD 全等：

因為 LV CEBD，得到

LB LV BV CE BV BD BV VD

 

 且由平行關係得到對應角相等，所以

RLB UVD

   (ASA 全等).

7. 證明三角形 POK 與三角形TCS 全等：

如下圖所示，延長 DB 與 KM 交於Y 點，因為 LM PK，由平行關係得到對應角相 等，所以 POK  LYM(ASA 全等)，又 BK  AB，且由平行關係與垂直的互餘關係可得到BYK BCA90^﹐ CBA  YBK，所以 BYK  BCA(AAS 全等)，

由等長關係TE BL,YLOP與 CEBCBY，進一步得到

, CT CE TE BY BLYLOP 再由平行關係得到對應角相等可知

TCS POK

   (ASA 全等).

(4)

A B C

E

D

H K

L M

O P

Q S T

V U

Y R

8. 證明五邊形 LMOPB 與五邊形TSBVE 全等：

因為TEBL,TS LM, SBCB CS MKOK MO,

BV LV LBCE TE CT OP﹐

EV EUUV MQRLRQLM BK PK BP﹐再由平行關係得到對應角相等，進一步證出

. LMOPB TSBVE

五邊形五邊形

9. 將上述全等的關係整理，得到長方形 BKQR 面積等於正方形 CBDE 面積，且長方形 AHQR 面積等於正方形 CAGF 面積：

BKQR

MQK POK LMOPB RLB

EUD TCS TSBVE UVD

CBDE

  

長方形面積

＝面積＋面積＋五邊形面積＋面積

＝正方形面積.

且

AHQR

NAH HQM ANMR

FGW AXG ACWX

CAGF

 

長方形面積

＝面積＋面積＋四邊形面積

＝正方形面積.

(5)

10. 最後利用面積關係推出畢氏定理的關係式：

AHKB BKQR AHQR

CBDE CAGF

正方形面積＝長方形面積＋長方形面積

＝正方形面積＋正方形面積.

得到

2 2 2

, AB CB CA 即

2 2 2

. c a b

【註與心得】

1. 來源：根據魯米斯( E.S. Loomis ) 在他的著作《勾股定理》中說：這個證明是他在 1900 年 8 月 9 日想到的。之後在以下的書籍中也找到證明：

Versluys, J. (1914). Zes en negentig bewijzen voor het Theorema van Pythagoras (Ninety-Six Proofs of the Pythagorean Theorem) (p. 42). Amsterdam: A.

Versluys.

J. Wipper (1880). 46 Beweise des pythagoraischen Lehrsatzes, nebst kurzen biogr.

Mittheilgn uber Pythagoras (p. 28). Leipz.: Friese.

2. 心得：此證明輔助線雖多，但繪圖過程皆與平行有關，使學生較容易看出對應角的相等關係，再加上平行四邊形的對邊長相等關係，更能順利判斷三角形之間的全等性質。學生需要利用平移與旋轉的拼圖方法，來得到了三個正方形面積之間的畢氏定理關係，比 G022 的平移拼法更有挑戰性。此證明圖形可以讓學生體驗了拼圖操作的證明樂趣。

＜此題圖形的分割方式適合作為拼圖證明的教材＞

3. 評量：

國中高中教學欣賞美學

●

4. 說明：(1).證明過程第 3 點的證明概念為：由平行得到同位角相等與利用垂直的互餘關係得到角度相等。由於此證明方法常出現，因此之後出現類似概念，

證明將不再詳述。

(2).證明過程第5 點證明四邊形全等的概念為：利用所知條件，連接對角線並透過兩組三角形的全等證明，得到所有的對應邊及對應角均相等，進而證出兩四邊形全等，由於此證明方法亦常出現，因此之後出現類似概念，證明將不再詳述。

(3).此題圖形的作圖畫法雖與 G022 不同，但分割的元件數量與 G022 是相同且全等的，此題需要利用平移與旋轉的拼圖方法，來得到了三個正方形面積之間的畢氏定理關係，比 G022 的平移拼法更有挑戰性。