勾股定理證明-G156

(1)

勾股定理證明-G156

【作輔助圖】

1. 分別以BC , AC , AB 為邊長向內作正方形 CBDE ，正方形 ACFG ，以及正方形 ABKH .

2. 延長 GA 至 M 點，延長 GF 至 N 點，使得 AM AG, FN BC. 3. 直線 MH 與直線 NK 相交於 L 點，連 LH , HM , LK , KN . 4. 直線 DB 與直線 AC 分別交 LN 於 O 點, P 點，連 BO , CP . 5. 直線 BC 交 LM 於 R 點，連 CR .

A B

H

C

K

D E

G

F

N M

P L

O R

【求證過程】

分別以直角三角形 ABC 的三邊向內作正方形 CBDE 、正方形 ACFG 與正方形 ABKH ，並向外延伸作大長方形 GMLN ，正方形 ABKH 面積等於大長方形 GMLN 面積 減去正方形 ABKH 外的四個三角形，並證明等於正方形 CBDE 的面積加上正方形

ACFG 的面積，最後推出勾股定理的關係式。

(2)

1. 證明三角形AMH 、三角形 KOB 與三角形 HLK 皆和三角形 ACB 全等：

因為HAM  HAC90^  CAB HAC，所以 HAM  CAB，又 AM  AG ACb, AH  ABc，可推得

AMH ACB

   (SAS 全等), 即AMH  ACB90^；同理可證

KOB ACB

   (SAS 全等), 因為 LHK  CAB, LKH  CBA, HK  AB，所以

HLK ACB

   (ASA 全等).

2. 利用第 1 點證明四邊形 GMLN 為長方形：

因為 AMH  ACB, HLK  ACB，所以AMH  ACB90^, 90

HLK ACB ^

    。因為NGM 90^, GML AMH 90^, 90

MLN HLK ^

    ，所以

四邊形GMLN為長方形。

3. 證明四邊形 CBOP 為面積是a 的正方形： ²

因為 KOB  ACB，所以KOB ACB90^，又PCB90^, OBC 90^，可推得

四邊形CBOP的四個內角都是直角。

又因為 KOB  ACB，所以 BOBC a，故 CBOP a2

四邊形是面積為的正方形。

4. 證明長方形 CPLR 面積等於兩倍的三角形 ACB 面積：

因為四邊形 CPLR 的四個內角皆為 90^，且 CPa, PL AM b，所以

2

CPLR CP PL a b

ACB

 

 

長方形面積

面積。

5. 證明梯形 ACRH 面積等於梯形 AGFB 面積：

(3)

因為四邊形 ACRM 的四個內角皆為 90^，且 AC AM b，所以 ACRM b2

四邊形是面積為的正方形。

故

ACRH ACRM AMH

ACFG ACB AGFB

  

 正方正方

梯形面積形面積面積

形面積面積梯形

面積。

6. 最後利用面積關係推出勾股定理的關係式：

2

ABKH GMLN BFNO KBO

HLK AMH AGFB

GMLN BFNO ACB

AMH ACRH

   

    

   

  

長方形長方形

梯形

正方形面積面積面積面積

面積面積面積

面

長方形長方形梯形

積面積

GMLN BFNO CPLR

AMH ACRH

CBOP ACFG

CBDE ACFG

  

  

 

長方形長方形長方形梯形

正方形正方形

面積面積面積

面積

正方形正方形

面積面積面積。

得到

2 2 2

AB BC AC , 即

2 2 2

. c a b

【註與心得】

1. 來源：這個證明出自於以下書籍：

J. Wipper (1880). 46 Beweise des pythagoraischen Lehrsatzes, nebst kurzen biogr. Mittheilgn uber Pythagoras (p. 22). Leipz.: Friese.

2. 心得：此證明畫完輔助線之後，圖形形成一個大長方形，很有美感。此證明的方法 是利用正方形 ABKH 面積等於大長方形 GMLN 面積減去正方形 ABKH

外的其它圖形面積，最後得到了三個正方形的面積關係。此證明方法很直觀，

很容易理解。

3. 評量：

(4)

國中高中教學欣賞美學

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