姓名： 重點 1：多項式函數的概念 1.函數：設 x，y 為兩個變數

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Ch3.2 一次與二次函數圖形的平移與應用 一年____班 座號：____ 姓名：

重點 1：多項式函數的概念

1.函數：設 x，y 為兩個變數。若對於每一個 x 所取的值，都只找到一個 y 值與之對應，則我們稱 y 是是是 x 的函數是 的函數的函數的函數 若用 f 代表這個函數，則此函數可寫成 y＝f (x)

註：函數符號 f (x)由瑞士數學家尤拉(1707~1783)在 1734 年首先採用 2.變數：在函數的定義中，x 稱為此函數的自變數自變數自變數自變數，y 稱為應變數應變數應變數 應變數

定義域：自變數 x 所有可能值的全體稱為這個函數的定義域定義域定義域定義域 對應域：應變數 y 所有可能值的全體稱為這個函數的對應域對應域對應域對應域

函數值：給定 x＝a，代入函數

f (x)

◎函數的轉變與記法：

例 1.1：設 A(x)＝2x、B(x)＝3x²，則：

(1)若 L(x)＝A(x－1)，則 L(x)＝？ (2)若 M(x)＝A(x)＋5，則 M(x)＝？

(3)若 f (x)＝B(x－2)，則 f (2)＝？ (4)若 g(x)＝B(x－2)＋1，則 g(2)＝？

重點 2：一次與二次函數的圖形

1.意義：對於函數 f (x)，利用描點法，將 x 當作橫坐標，y 當作縱坐標，

將所有的點(x，f (x))描繪在坐標平面上，得函數的圖形函數的圖形函數的圖形函數的圖形 函數的圖形有助於我們更加理解函數的特性

2.多項式函數與圖形的概念：

(1)形如 f (x)＝a_n x ＋ⁿ a_n−1 xⁿ⁻¹＋……＋

a

x

(2)若a_n≠0，則稱 n 為多項式函數 f (x)的次數，簡記為 deg f (x)＝n 3.多項式函數的類型：(依多項式函數 f (x)的次數分類)

(1)常數函數：f (x)＝k，k 為常數，其圖形為水平線水平線水平線水平線 (2)一次函數：f (x)＝ax＋b，其中 a≠0，其圖形為一直線一直線一直線一直線 (3)二次函數：f (x)＝ax²＋bx＋c，其中 a≠0，其圖形為拋物線拋物線拋物線拋物線 (4)三次與四次函數：f (x)＝x³，與 f (x)＝x⁴等等

註：常數函數與一次函數合稱為線型函數

例 2.1：颱風來襲，高鐵列車行駛了 3 分鐘後為了保持安全，不能再加速，只能等速前進。假設行駛距離為 d (km)，時間 為 t (min)。已知 d＝f (t)，且 f (4)＝6，f (7)＝14.4，請問高鐵列車由啟動行駛 6 分鐘後行駛距離為多少？

函數 f

定義域 值域

對應域

A B

x y

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重點 3：一次函數圖形的平移

設單項一次函數 f (x)＝ax，其中 a≠0，則：

1.水平(左、右)平移：

函數 f (x)＝ax，若沿 x 軸方向向右平移 h 單位，得一次函數 g(x)＝a(x－h) 函數 f (x)＝ax，若沿 x 軸方向向左平移 h 單位，得一次函數 g(x)＝a(x＋h) 2.鉛直(上、下)平移：

函數 f (x)＝ax，若沿 y 軸方向向上平移 k 單位，得一次函數 g(x)＝ax＋k 函數 f (x)＝ax，若沿 y 軸方向向下平移 k 單位，得一次函數 g(x)＝ax－k

註：一次函數 f (x)＝ax，沿 x 軸方向向右平移 h 單位，再沿 y 軸方向向上平移 k 單位，得一次函數 g(x)＝a(x－h)＋k

例 3.1：已知 f (x)＝－3x－6，請問：

(1) f (x)是由哪一個單項函數 A(x)平移而得？

(2)承(1)，如果沿 y 軸方向，是如何平移而得？

(3)承(1)，如果沿 x 軸方向，是如何平移而得？

例 3.2：已知 f (x)的圖形為 A(x)＝2x 沿 y 軸方向上移 6 單位，請問 f (x)的圖形沿 x 軸方向平移幾單位可得 A(x)的圖形？

重點 4：二次函數圖形的平移

設單項二次函數 f (x)＝ax²，其中 a≠0，則：

1.水平(左、右)平移：

函數 f (x)＝ax²，若沿 x 軸方向向右平移 h 單位，得一次函數 g(x)＝a(x－h)² 函數 f (x)＝ax²，若沿 x 軸方向向左平移 h 單位，得一次函數 g(x)＝a(x＋h)² 2.鉛直(上、下)平移：

函數 f (x)＝ax²，若沿 y 軸方向向上平移 k 單位，得一次函數 g(x)＝ax²＋k 函數 f (x)＝ax²，若沿 y 軸方向向下平移 k 單位，得一次函數 g(x)＝ax²－k

註：函數 f (x)＝ax²，若沿 x 軸方向向右平移 h 單位，再沿 y 軸方向向上平移 k 單位，得一次函數 g(x)＝a(x－h)²＋k

例 4.1：請在同一坐標平面上，畫出二次函數 A(x)＝3x²、f (x)＝3(x－2)²、g(x)＝3(x－2)²＋1 的圖形，並說明 f (x)與 g (x)是 如何由 A(x)平移而得的。

心得：

對 y：

−

=

⇒ +

=

⇒ y y 向下 向上

對 x：

−

⇒ +

⇒ x x 向右 向左

心得：

對 y：

−

=

⇒ +

=

⇒ y y 向下 向上

對 x：

−

⇒ +

⇒ x x 向右 向左

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例 4.2：在同一坐標平面上，y＝2x²與 y＝2(x＋1)²－4 的圖形是否可以經由適當的平移而完全重疊？若是可以，如何平移 呢？

重點 5：二次函數的一般式化為標準式

1.意義：利用配方法將二次函數 f (x)＝ax²＋bx＋c (一般式)化為 f (x)＝a(x－h)²＋k (標準式)的形式，則：

(1)圖形為拋物線，當 a＞0 時，開口向上；當 a＜0 時，開口向下 (2)頂點坐標(x，y)＝(h，k)＝(－

a b 2 ，

a b ac

4 4 − ²

) (3)對稱軸為 x－h＝0

(4)當

a

a

二次函數 f (x)＝ax²＋bx＋c (一般式) → 化為 f (x)＝a(x－h)²＋k (標準式) → 平移為 g (x)＝ax² 註：平移時，開口方向、大小不改變，而頂點與對稱軸、最大值(或最小值)會改變

3.二次多項式的泰勒形式之近似值與圖形：

將二次函數 f (x)＝ax²＋bx＋c 利用連續綜合除法，在 x＝k 之泰勒形式為 f (x)＝a′(x－k)²＋b′(x－k)²＋c′ 則在 x＝k 附近 f (x)的圖形會近似於一次函數 g(x)＝b′(x－k)²＋c′

例 5.1：請將二次函數 f (x)＝x²＋2x＋3 改為標準式，求其頂點及對稱軸，並畫出其圖形

例 5.2：請將下列二次函數化為標準式，並求其最大值或最小值：

(1) f (x)＝2x²＋4x－1 (2) g(x)＝－x²－3x＋

4 3

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例 5.3：已知二次函數 f (x)＝2(x－1)²－3，在下列 x 的範圍內，求 f (x)的最大值與最小值：

(1) x 為任意實數 (2)－2≤ x ≤－1 (3) 2≤ x ≤ 3 (4)－1≤ x ≤ 2

例 5.4：如右圖，一農夫要用 48 公尺的圍籬在牆邊圍出 3 間相鄰且形狀與面積都相等的矩形雞舍(牆邊不圍)，則：

(1) 3 間雞舍的最大總面積可達多少平方公尺﹖

(2)雞舍為了減少在寒冬的散熱面且增加夏季的通風順暢，其寬度宜在 9.8 ∼12.2 公尺之間，據此，雞舍的最大、最小總面積各為多少平方公尺？

◎泰勒多項式

例 5.5：已知 f (x)＝－2x²＋13x－15，求 x＝2 附近的圖形會近似於哪一個一次函數？

牆面