(39)點與線的距離
請看下圖
上圖中，有一點P 與一直線 L。在 L 上取一點 Q，使得PQ⊥L。PQ的長度d 就是 P 點到直線L 的距離。
在一般教科書中，L 的方程式是 ax+by+c=0
假設P 點的坐標(x0,y0)，則 P 點到直線 L 的距離 d 是：
0 0
2 2 ...(39.1) ax by c
d a b
而我們所使用的直線方程式是y =ax+b
如果使用這個方程式，則P 點到直線 L 的距離 d 是：
0 0
2 ...(39.2) 1
y ax b
d a
以下我們用三種不同的方法來導出(39.2)
39-1
方法(1)：幾何法 請看下圖
我們先作一條通過P=(x0,y0)且與 y =ax+b 平行的直線 L’
因為L’與 y =ax+b 平行，我們可以設 L’的直線方程式為 y =ax+b’
因為P=(x0,y0)在 L’上，所以 y0=ax0+b’
→ b’= y0ax0
L’的直線方程式是 y =ax+(y0ax0)……(39.3) L’與 y 軸交於 Q 點，Q=(0, y0ax0)
L 與 y 軸交於 S 點，S=(0, b)
0 0
QS y ax b
過Q 作一直線與 L 垂直，此直線與 L 交於 R 點，則QR就是P 與 L 的距離，因為 L’//L，而且QR//PU 。
△QSR 和△TSO 相似，因此∠SQR=∠STO=θ
△QSR 中，QR=QS cosθ=( y0ax0b) cosθ……(39.4) tanθ=a
∴1 tan2 1 2 sec2 12 a cos
∴cos 1 2...(39.5)
1 a
代(39.5)到(39.4)，得
QR=( y0ax0b) cosθ= 0 02 1
y ax b a
因為y0ax0b 之值可能為負，求距離 d 時我們應該取絕對值
0 0
1 2
y ax b
d QR a
因此我們導出了(39.2)
39-3
方法(2)：三角形面積法 請看下圖
y =ax+b 與 y 軸和 x 軸分別交於 Q、R 兩點，其中 Q=(0,b)，R=( b
a,0)
△PQR 的三頂點分別是：
P(x0,y0)、Q(0,b)、R( b
a,0)
如果三角形三點為(x1,y1)、(x2,y2)、(x3,y3)，則面積為
1 2 3 2 3 1 3 1 2
1 ( ) ( ) ( )
2 x y y x y y x y y 代入P、Q、R 三點
0 0 0
2
0 0
0 0
0 0
1 ( 0) 0( ) ( )( )
2 1 2
1 ( )( )
2
1 ( )
2
b b
x b y y b
a a
b b
bx y
a a
b y ax b a
b y ax b a
根據畢式定理，QR b22 b2 b 1 a2
a a
又△PQR 的面積是1
2PS QR ， 所以可以列出：
2
0 0
0 0
2
1 1
( ) 1
2 2
1
b b
y ax b PS a
a a
y ax b
PS a
PS就是P 點到直線 L 的距離
39-5
方法(3)：向量法 請看下圖
如上圖，L2是通過P 且與 L1垂直的直線，L1與L2相交於Q，因此PQ=d 是 P 點到 L1的距離。
L1的方程式是y =ax+b
其中a 是 L1的斜率。因為L2與L1垂直，所以L2的斜率是 1
a。 L2的方程式可以寫成是y = 1
ax+c 因為P(x0,y0)在 L2上，所以
y0 = 1
ax0+c c = y0+1
ax0
所以L2的方程式可以寫成y = 1
ax+ y0+1 ax0
我們現在有聯立方程式：
0 0
...(39.6)
1 1
...(39.7) y ax b
y x y x
a a
將(39.6)代入(39.7)，得 ax+b = 1
ax+ y0+1 ax0
ax+1
ax = y0+1 ax0b (a +1
a)x = y0+1 ax0b (a2 +1)x = ay0+x0ab
0 0
2 1
ay x ab
x a
……(39.8)
0
0 0
2 0
2
0 0 0
2 2
2
0 0 0 0
2 2
2
0 0
2
0 0
2
1
( 1)
1 1
1 1
1
( )
...(39.9) 1
x x
ay x ab a x
ay x ab a x
a a
ay x ab a x x
a a
ay a x ab a
a y ax a a
39-7
將(39.8)代入(39.7)，得
0 0
0 0
2
2
0 0 0 0
2 2
2
0 0 0 0 0 0
2 2
0 0
2
1 1
( )
1
1 ( 1)( 1 )
1 1
1 1
1 1
y
ay x ab
y x
a a a
y x b a y x
a a
a a
y x b a y ax y x
a a
a a y ax b
a
0 2
0 0
2 0
2 2
0 0 0
2 2
2 2
0 0 0 0
2
0 0
2
1
( 1)
1 1
1
( )
...(39.10) 1
y y
a y ax b a y
a y ax b a y
a a
a y ax b a y y a
y ax b a
根據畢式定理 PQ (x x 0)2 (y y 0)2 將(39.9)和(39.10)代入
2 2
0 0 0 0
2 2
2 2 2
0 0 0 0
2 2 2 2
2 2 2
0 0 0 0
2 2
2 2
0 0
2 2
2
0 0
2
0 0
2
( ) ( )
( ) ( )
1 1
( ) ( )
( 1) ( 1)
( ) ( )
( 1)
( 1)( )
( 1)
( )
1
1 PQ
a y ax b y ax b
a a
a y ax b y ax b
a a
a y ax b y ax b
a
a y ax b
a y ax b
a y ax b
a
我們證明了P 點到直線 L1的距離
39-9
例1：直角坐標平面上有直線 L：y=x 和一點 P(0,2)，試求 P 和 L 的距離。
解答：
利用公式 0 02 1
y ax b
d a
根據題意，a=1、b=0、x0=0、y0=2 P 和 L 的距離為：
2
2 1 0 0 1 1 2
2 2
我們可以用幾何方式來驗證這公式得到的答案是正確的
我們可以發現α=β=45°
∴PQ OQ
2 2 2 2
2 PO PQ OQ PQ
∴ 1 2 122 2
2 2
PQ PO
例2：直角坐標平面上有直線 L：y=x+1 和一點 P(1,1)，試求 P 和 L 的距離。
解答：
利用公式 0 02 1
y ax b
d a
根據題意，a=1、b=1、x0=1、y0=1 P 和 L 的距離為：
2
1 ( 1 1) 1 1 ( 1) 1
2 1
2
我們可以用幾何方式來驗證這公式得到的答案是正確的
△PRS 是一個等腰三角形，，所以PQ平分RS
∴Q 的坐標為(1 2,1
2 )
2 2 2 2
1 1 1 1 2 1
(1 ) (1 ) ( ) ( )
2 2 2 2 4 2
PQ
例3：直角坐標平面上有直線 L：y=3x+5 和一點 P(2,5)，試求 P 和 L 的距離。
解答：
利用公式 0 02 1
y ax b
d a
39-11
根據題意，a=3、b=5、x0=2、y0=5 P 和 L 的距離為：
2
5 ( 3) 2 5 1 ( 3) 6
10 6 10
例4：直角坐標平面上有直線 L：y=3 和一點 P(2,6)，試求 P 和 L 的距離。
解答：
利用公式 0 02 1
y ax b
d a
根據題意，a=0、b=3、x0=2、y0=6 P 和 L 的距離為：
2
6 0 2 3 1 0 3
1 3
同學們可以很容易地看出這個答案是正確的
例5：直角坐標平面上有直線 L：x=3 和一點 P(5,2)，試求 P 和 L 的距離。
解答：
這次我們換一個公式
當L 的方程式是 ax+by+c=0，P 點的坐標是(x0,y0)，則 P 點到直線 L 的距離 d 是：
0 0
2 2
ax by c
d a b
x=3 可以寫成 x+0y3=0
所以a=1、b=0、c=3、x0=5、y0=2 P 和 L 的距離為：
0 0
2 2
2 2
2
1 5 0 2 ( 3) 1 0 5 3
1 2
ax by c a b
同學們可以很容易地看出這個答案是正確的
39-13
