數學(B)卷 106-2-B

106-2共同科目 數學(B)卷 詳解

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106 學年度四技二專第二次聯合模擬考試 共同科目 數學(B)卷 詳解

數學(B)卷 106-2-B

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 B C D A A B A D B C A C A D C B D C D B A B B C D

1. 1 1

2 ( 4) 6

AB

k k

m    

  ，直線斜率 3 3

    1 因為 AB 與直線垂直，所以斜率相乘等於1

1 ( 3) 1 6

k

    ，得k  1

2. 點 ( ,1)A k 到直線 3x4y  之距離為 4 0

2 2

| 3 4 1 4 | 2 3 ( 4) k   

  ，| 3 8 | 2 5

k 

得 3k 8 10或 10 ，k 或6 2

 3 因為點A在第一象限，所以k 6 3. 如右圖，因AB BC_： 2 3_：

且C在第二象限 所以B為內分點 由分點公式可知

3 2 5 A C

B 



5B3A2C_， 5 3 2 B A C 

5(2 , 1) 3(6 , 1) (10 , 5) (18 , 3)

( 4 , 4)

2 2

C    

   

4

a  _，b4_，a b    4 4 0

4. 由定義可知 4

tan 3

y

   x _且_{為第二象限角} 所以x 3_，y 4

2 2 ( 3)2 42 5

r x y     sin 4

5 y

  r _， 3

cos 5

x

 r 

 

原式

5 45 2 6

3 5

10 1

5

   

 

  5. 如右圖

_{的終邊上點}P為 ( 1 k2 , )k

由定義可知 1 ²

cot k

 ^{ }k

6. 原式 3 cos150 sec300 sin( 150 ) 

3 2 1 3 1

3 2 0

2 1 2 2 2

  

       

7. 由向量性質可得

2(4 , 3) (8 , 6)

 

(8 x, 6 y)

  

(9 , 6) 3(8 x, 6 y)

    

9 24 3x

   ， 6 18 3y   5

 x _，y ，∴8 x y   5 8 13

8. 因為  C 90 _，所以

利用 (1 ,k1)

得    ( 2 , 1) (1 ,k    1) 2 k 1 1 0

   k ，k 1 9.

2 1 2

9 1 12 1 2 ( ) 4 2 9 12 16 13 2

            

故

10. 原式的分子利用對數性質得

3 3 3 3

log 20 log 5 log 20 log 4

  5 

原式 ³ 16

3

log 4 1

log 4

log 16 2

  

換底公式

11. 令y2^x  ，原式可化為0 y²10y  ，且二根為8 0 2 , 2^{ }

8 3

2 2 2 2 3

1

     ^       12. 原式log 2 540 ^a ^b log 4040 ²

2 3 1 2 6 2

2 5^a ^b 40 (2 5 ) 2  5 得a ，6 b ，2 a b    6 2 8 13. a₂ a₁ ，d a8  a1 7d

2 8 2 1 8 8

a a  a  d  ，a14d 4

3 1 2

a a  d，a6a15d

3 2 6 1 2 2( 1 5 )

a  a  a d a  d

1 1

3a 12d 3(a 4 ) 3 4 12d

       14. 因為 6 , 2 , a 成等差，所以公差為 4

2 4 2 a   

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因為 2 , 6 , b 成等比，所以公比為 3 6 ( 3) 18

b    

2 ( 18) 20 a b       15. 由題意可知公比 r   k

2 2 3 1

1 ( ) 1 2 k 3 k  k  

   16. ³⁰

1

(2 3) 1 1 3 5 57

k

k



       



由等差級數公式得30( 1 57) 30 56 2 2 840

     17. 由長除法(採分離係數法)

1 3 1 2 1 1 1 1 4 5 3

1 1 1 3 4 3 3 3

1 ( 3) 3

1 1 1

( 4) 2 2 2 2

0

p q

p p

p q

  

      

 

 

 

  

 

  

 

4 2 , 6 2

p p

q

  

 

 ，p q    6 2 8 18. 由題意可知

2

( ) ( 3 2) ( ) 21 3

f x  x  x Q x  x  f(2) 7 ( ) ( 2) ( ) 22 (2) 2

q x  x Q x  q   ( ) ( )

f x q x 除以 (x2)得餘式為 (2) (2) 7 ( 2) 5

f q     19. 由題意可知

6x27x 1 (px q )(2x   1) ( 3) (px q )(2x 1) 6x27x 2

6 2 7 2 3 2 2 1

x x

px q x

x

 

   

 3

p ，q ，2 p q    3 2 5 20. 令兩根為 , ²

利用根與係數的關係， ² ( 12) 12

   ^{ }1 

2 12 0

    ， (4)(  3) 0

   或 3，得兩根為 4 ,164  或 3 , 9 所以二根積  4 16  或 3 9 2764  

由題意知二根積 0

1 k k

   ，故k27

21. 原式 3 4 3

a e c b f d

 



4(3 a c c e ) 4(3 3 2) 4 7 28

b d d f

       

22. 原式

1 2

3 3 3 1 6

4 2 8

a b a b

c d c d

e f e f

    

3 1 10 15

   2  

23. 外接圓面積16 _{，可知半徑}R4

由正弦定理 2

sin BC R

A _， 1

sin 30 2 8 4 BC  R  2 24. AB BC CA_{： ：} 4 6 7_{： ：} c a b_{： ：} 4 6 7_{： ：}

令a6_，b7_，c4_{，由餘弦定理知}

2 2 2 72 42 62 29

cos 2 2 7 4 56

b c a

A bc

   

  

  25. 3x²7x  因式分解得 2 0

(3x1)(x2) 0 _得 1 x3_{或 2} 因為 1 sin1_，所以 1

sin 3 由二倍角公式知

   1 ² 7 1 2 ( )

3 9

   