數學(B)卷 107-5-B

107-5共同科目 數學(B)卷 詳解

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107 學年度四技二專第五次聯合模擬考試 共同科目 數學(B)卷 詳解

數學(B)卷 107-5-B

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 C D A B D C A B A D B A C B C C D A B D D C A B A

1. 直 線 L1 的 斜 率 1

3 3 2 2

  

m  ， 直 線 L2 的 斜 率

2

 4

m b；又 _{1 2 1 2} 1 3 ( 4) 1

       2  

L L m m

b

 b 6，故選(C) 2. 將sin cos 4

 3

  左右平方得

2 2 16

sin 2sin cos cos

   9

   

1 2sin cos 16

     9

7 7

2sin cos sin cos

9 18

       

故

4

1 1 sin cos 3 24

sin cos sin cos 7 7 18

 通分    

   

故選(D)

3. 由 tan 32  k 畫出一個直角三角形如下圖所示 由這個圖形可以得到

sin 32 2

  1

 k k 則 cos 238 cos(270   32 )

sin 32 2

1

    

 k

k ，故選(A) 4. 2sin120 4cos( 30 ) 3 tan 240   

2sin(180 60 ) 4 cos 30 3 tan(180 60 )

          2sin 60 4cos 30 3 tan 60

     

3 3

2 4 3 3 6 3

2 2

       _，故選(B) 5.        3 k 6 ( 2) 0 k 4

故選(D)

6. 2^10x(2 )^{3 x1} 2^{ 3x 3}，又底數2 1

故 13

10 3 3 2 13 6.5

2

    x x x   x    故 x 之最大整數解為7_，故選(C)

7. log[(x2)(x1)] 1 log10 

2  2 10 2 12 0

x x x x

(x4)(x   3) 0 x 4或3(不合，使真數0) 則log (₂ x4) log (4 4) log 8 3 ₂   ₂  ，故選(A) 8. ₄₉ 49( ^{1 49}) ₂₅

49 49 35 1715 2

 ^a ^a    

S a ，故選(B)

9. f x( )為零次多項式 3 0 3

2 0 2

  

 

     

a a

b b

故3a2b     3 3 2 ( 2) 5，故選(A)

10. 由餘式定理知p(1) 2 ，q(1) 2，再由餘式定理得 到所求之餘式為

3 1 2 p(1) 1 q(1) 3 2 1 ( 2) 4      ，故選(D)

11. 由根與係數關係得

3 3 1

5 5 1

    

 

    



 

 

( ) ( ) 8

( ) ( ) 15

    

     

   

   

則以   _{、 }  _{為兩根的新方程式為}

2 ( 8) 15 0  28 15 0

x x x x

故b c  8 15 23 ，故選(B)

12.

1 2 1 1 2

1 2 32 1 1 2 32

1 2 1 1 2



    



a d x a d a x

b e y b e b y

c f z c f c z

1 1

2 2 1 32 1 15

1 1

    

a x a x

b y b y

c z c z

，故選(A)

13. 由柯西不等式得

2 1 2 2 2

(2 1 )[(2 )x y ] (2 2  x 1 y)

2 2 2 2 2 2

5(4 ) (4 ) 5(4 ) 15 225

 x y  x y  x y  

2 2

4 45

 x y  ，即最小值為 45，故選(C)

14. 圖 解 如 下 ， 將 各 頂 點 代 入 目 標 函 數 f x y( , ) 得 (5 , 0) 35

f ， f(4 , 1) 32 ， f(0 , 10) 40 ，即最小 值為 32，故選(B)

15. 個位數：由 2，4，6 擇一  方法 3 種

十位數及百位數：扣除個位數 1 個數字後，所剩 6 個 數字選 2 個排一列 P2⁶

故所求P2⁶    3 6 5 3 90，故選(C)

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16. x y^{5 2}項係數為 5^{7 5 2}

2 ( 1) 7 6 32 672 2

       C

故選(C)

17. 依題意，所求即在黑桃 13 張中選 2 張的條件下，求 黑桃英文字母 4 張選 2 張的機率

( )

( )

( )

 ^{英文字母 黑桃} 英文字母 黑桃

黑桃 P P

P

4 2 13 2

4 3 2 1 13 12 13

2



  

 C

C ^，故選(D)

18. 6₂ 6₂ 1000 5

1000 ( ) (1 ) 100 100

6

6 6

        p

p

1000 5 600 5 400 80

  p  p  p ，故選(A) 19. 1000 25

100 97.5 1000

   ，小數點需無條件捨去，故百分

等級為 97，故選(B)

20. 使用負角公式得cos 55 cos 25   k sin 55 sin 25  再利用和差角公式得

cos 55 cos 25 sin 55 sin 25 cos(55 25 )

         

k cos30 3

   2 _，故選(D)

21.  A 180     75 60 45，由正弦定理得

12 3

12 2 6 6

sin sin 1 3 2

2 2

      

a c AB

A C AB

故選(D) 22. 如下圖所示

圓心(1 , 1)_，半徑r 25 5 又圓心到直線L_的距離

2 2

| 4 1 3 1 13 | 4 3 4

   

 

d 

故PQ2 r²d² 2 5²4²   2 3 6，故選(C) 23. 中心為 3 7 2 2

( , ) (2 , 2)

2 2

  

 ，且貫軸平行 x 軸

2 2

2c ( 3 7)   (2 2) 10 c 5。又 2a8 4 2 16

  a a  ，則b² c²a² 25 16 9  得雙曲線方程式為( 2)² ( 2)²

16 9 1

   

x y

，故選(A)

24. ²

2 2 2

4 ( 2)( 2) lim ( ) lim lim

2 2

  

  

 

 

x x x

x x x

f x x x

lim (2 2) 4

    

x x ，又 ( )f x 在x 2連續 所以 ( 2) lim ( )2 4

     

f x f x A ，故選(B)

25. [ ( ) ( )] 15 [ ( ) ( )] 30

  



  







b a b a

mf x ng x dx mf x nh x dx

( ) ( ) 15 6 3 15 6 2 30 ( ) ( ) 30

     

     

 

 

b b

a a

b b

a a

m f x dx n g x dx m n m n m f x dx n h x dx

2 5

3 15

  

    m n m n

4 3

 

   m

n ^，則m n^{ 7}，故選(A)