圍 2-6 一次方程組班級姓座號名

(1)

高雄市明誠中學高一數學平時測驗日期：98.12.15 範

圍 2-6 一次方程組班級姓座號名

一、填充題 (80 格每格 0 分共 0 分)

1. 若 a b 3

c d = ﹐則3 2 4 3 2 4

a b a

c d c

− =

− ____________﹒

解答 24

解析 3 2 4 3 4 2 4 4 2

8 8 3 24

3 2 4 3 4 2 4 4 2

a b a a a b a a b a b

c d c c c d c c d c d

− −

= + = = = ⋅ =

− − ﹒

2. 設^A

( )

^{1, 0} ^﹐^B

(

⁻^{1, 2}

)

^﹐^C

( )

^3,k ﹐若△ ABC 的面積為 5﹐則 k= ____________﹒

解答 − 或 3 7

解析 ^AB



^{= −}

(

^{2, 2}

)

_﹐_AC



₌

_{( )}

_2,_k

⇒ △ ABC 的面積 1 2 2

| | 5 2 5 7

2

2 k k

k

= − = ⇒ − − = ⇒ = − 或 3﹒

3. 求下列各行列式的值﹕

(1) 4 7 3 8

− = ____________﹔ (2) 2001 2002

2003 2004 = ____________﹔ (3)31 58

63 117 = ____________﹒

解答 (1)53;(2) 2− ;(3) 27−

解析 (1)⁴ ⁷ ^{4 8}

( )

⁷ ³ ⁵³

3 8

− = ⋅ − − ⋅ = ﹒

(2) ^{2001 2002}

( )

¹ ^{2001 2002} ^{2001 1} ²

2003 2004 × − = 2 2 = 2 0 = − ﹒

( )

¹

× −

(3)^{31 58}

( )

² ^{31 58} ^{31 58} ²⁷

63 117 × − = 1 1 = − = − ﹒ 4. 利用克拉瑪公式解 2 3 4 0

3 4 5 0

x y

− + =

 + − =

 ﹐得

( )

^{x y}^, = ____________﹒

解答 1 22 17 17,

− 

 

 

解析 2 3 4 3 4 5

x y

− = −

 + =



2 3

8 9 17 3 4

∆ = − = + = ﹐ 4 3

16 15 1 5 4

x

∆ = − − = − + = − ﹐ ² ⁴ 10

(

12

)

22 3 5

y

∆ = − = − − = ﹐

1 17 x ∆x

= = −

∆ ﹐ 22

17 y ∆y

= =

∆ ﹐∴

( )

^, ^{1 22}^,

17 17 x y = − 

 ﹒

5. 設 a b 3 d e = ﹐ 2

2 5 c b

f e = ﹐ 7

3 3 a d

c f = ﹐求 2 3

2 3

ax by c

dx ey f

+ =

 + =

 的解為____________﹒

解答 5 7 2 6,

 

 

 

解析依題意 a b 3

d e = ﹐ 5

2 c b

f e = ﹐ 7

3 a c

d f = ﹐

(2)

則

3 2 3 2 5

2 3 2

2 2

x

c b c b

f e f e

x a b a b

d e d e

∆ ⋅

= = = = ⋅ =

∆ ﹐

3 3 7

3 3 3 7

2 2 3 6

2 2

y

a c a c

d f d f

y a b a b

d e d e

=∆ = = = ⋅ =

∆ ﹐ ∴

( )

^, ^{5 7}^,

x y 2 6

=  

 ﹒

6. 求 2 2 13 15 2 13 2 2 13 15 2 5

+ +

+ − − =____________﹒

解答 − 65 解析

( )( ) ( )

²

2 2 13 15 2 13 2 15 2 13

2 15 2 15 2 13 2 2 13 15 2 15 2 13 2 15

+ + +

= = + − −

+ − − −

× −( 1) 13 52 65

= − − = − ﹒

7. 設



u =

(

3, 2−

)

_﹐



_v _{= − −}

₍

_{1, 3}

₎

_{﹐試求 u}



與 v



所決定的平行四邊形面積為____________﹒

解答 11

解析所求 3 2

| | 9 2 11

1 3

= − = − − =

− − ﹒

8. 解

3 2

2 2

3 1 ax y a x ay a

 − =



+ = +

 ﹐得

( )

^{x y}^, = ____________﹒

解答

(

^a²⁺^{1, 2}^a

)

解析 2 1 ² 2 1 1

a a

a

∆ = − = + ﹐

( )( )

3

4 2 2 2

2

2 1

2 3 1 2 1 1

3 1

x

a a a a a

a a

∆ = − = + + = + +

+ ﹐

( )

3

3 3 3 2

2

2 2

6 2 2 4 2 2 2 1

1 3 1

y

a a

a a a a a a a

a

∆ = = + − = + = +

+ ﹐

(

²

)(

²

)

2

2 1 1

x a a

x a

a

+ +

=∆ = = +

∆ + ﹐

(

²

)

2

2 2 1 2 1 2

y a a

y a

a

∆ +

= = =

∆ + ﹐∴

( )

^{x y}^, ⁼

(

^a² ⁺^{1, 2}^a

)

^﹒

9. 小花使用矩陣列運算解一個三元一次聯立方程組如下﹕

1 4 2 1 0 0 1

3 11 4 0 1 0 1

5 7 11 0 0 1 1

a b c

   

   

→ − → → 

   

   

 ﹐求 a= ____________﹒

解答 − 3

解析解

(

^{x y z}^{, ,}

) (

⁼ ^1,1,1

)

^代回^x⁺⁴^y⁺âz⁼² ^{⇒ + + = ﹐∴}^{1 4} â ² â^{= − ﹒}³

2x−3y+4z=7

 + + =

 ﹐則

( )

= ____________﹒

(3)

解答

(

^{1,1, 2}

)

解析

2 3 4 7

5 8

3 2 4 9

x y z

− + =

 + + =

 − + =









 4 : 2x 23y 25

× − + = 

  

:x y 2

− + = 

  

( ) ( )

2 : 21y 21 y 1 x y z, , 1,1, 2

× − − = − ⇒ = ⇒ =

  ﹒

11. 若a b 5

c d = ﹐則 2

2 3 3

c d a b a a b

a b c d c c a d b

+ + + =

+ + + ____________﹒

解答 15

解析原式 2

0 3 0 5 5 3 5 15 2 3 3

c d a b a a a b a b a b a b a b

a b c d c c c d a b c d c d c d

= + + + + = − + + + + = − + + ⋅ = ﹒

12. 設xyz≠ ﹐若 30 x+6y− =z 9x−2y+5z= +x 8y−5z﹐則 : :x y z= ____________﹒

解答

( ) ( )

⁻^{5 :} ⁻^{3 :1}

解析 3 6 9 2 5 6 8 6 0 3 4 3 0

3 6 8 5 2 2 4 0 2 0

x y z x y z x y z x y z

+ − = − + − + = − + =

  

⇒ ⇒

 + − = + −  − + =  − + =

  







∴ ^{: :} ^{4 3} ^:^{3 3 3}^: ⁴

( ) ( )

^{5 :} ^{3 :1}

1 2 2 1 1 1

x y z − −

= = − −

− − ﹒

13. x ﹐ y ﹐ z 皆為實數﹐xyz≠ ﹐且0

(

²^x⁻⁵^y⁺⁷^z

) (

²⁺ ⁷^x^{− −}^y ³^z

)

²⁼⁰

(1)試求 : :x y z= ____________﹔ (2) 1 1 1 1 1 1

x y z

y z x z x y

 + −  + +  + 

     

   之值為____________﹒

解答 (1) 2 : 5 : 3;(2) 1− 解析 (1) 2 5 7 0

: : 2 : 5 : 3

7 3 0

x y z

x y z

x y z

− + =

 ⇒ =

 − − =

 ﹒

(2)由(1)令x=2t﹐y= ﹐5t z= （3t t≠ ）﹐ 0 原式 x x y y z z

y z x z x y

= + − − + + z y x z x y

x y z

− + −

= + + 2 5 3

2 5 3 1

t t t

− −

= + + = − ﹒

14. 利用克拉瑪公式解 cos sin sin cos

x y a

x y b

θ θ

− =

 + =

 ﹐得

( )

^{x y}^, = ____________﹒

解答

(

^a^cos^θ⁺^b^{sin ,}^θ ⁻^a^sin^θ ⁺^b^cos^θ

)

解析 cos sin ² ² cos sin 1 sin cos

θ θ

∆ = − = + = ﹐

sin cos sin

x cos

a a b

b

θ θ θ

θ

∆ = − = + ﹐

cos cos sin

y sin

a b a

b

θ θ θ

∆ = θ = − ﹐

cos sin x=^∆x =a θ+b θ

∆ ﹐y=^∆^y = −asinθ+bcosθ

∆ ﹐

∴

( ) (

^{x y}^, ⁼ ^a^cos^θ⁺^b^{sin ,}^θ ⁻^a^sin^θ⁺^b^cos^θ

)

^﹒

(4)

15. 若二元一次聯立方程組 6 2

1 4 x y ax by

 + = −



 + =



與 4 1

4

3 4 26

x y ax by

 − =



 − =



為同義方程組﹐且恰有一解﹐求數對

( )

^{a b}^, = ____________﹒

解答

( )

^{3, 4}

解析由二方程組中選 6 2

1 4 1

4 x y

x y

 + = −



 − =







 2 :14 7 x 2

× + x = ⇒ =

  代入 1

y= − ﹐ 2 代入

4 2 1 4

2 3

3 4 26

6 2 26

ax by a b

ax by a

a b

+ =  − =

 ⇒ ⇒ =

 − = 

  + =

﹐b= ﹐∴4

( ) ( )

a b, = 3, 4 ﹒

16. 求方程組 3 1

1

2 9

xy y x

 =

 −



 =

 +



的解

( )

^{x y}^, = ____________﹒

解答 1 1 2 5,

 

 

 

解析

3 3 1

1 1

2 2 1

9 9

y x

xy x y

y x

xy x y

 − =  − =

 

 ⇒

 + 

 =  + =

 

 







5 1

: 10 x 2 + x = ⇒ =

  代回 1

4 9

⇒ + = ∴y 1

y= ﹐故5

( )

^, ^{1 1}^,

x y 2 5

=  ﹒

17. 求方程組 3 2 4 4

x y xy

− = −

 + =

 的解

( )

^{x y}^, = ____________﹒

解答

(

^{2, 1}^{− 或}

) ( )

^{0, 0}

解析 (1)x= ﹐0 y= 代入原式成立﹐∴0

( )

^{0, 0 為一解﹐}

(2)x≠ ﹐0

3 2 4

0 1 4

1 y x y

y x

 − = −

≠ ⇒ 

 + =







 2 :7 7 y 1

× + y = − ⇒ = −

  代入x= ﹐ ∴2

( ) (

^{x y}^, ⁼ ^{2, 1}^{− 或}

) ( )

^{0, 0 ﹒}

18. 甲﹑乙兩人同解方程組 2 3 7 x ay bx y

− =

 + =

 ﹐若甲看錯 a 得解

( )

^{x y 為}^,

(

^{2, 1}− ﹐乙看錯 b 得解

) ( )

^{x y 為}^,

(

^{1, 1}^{− ﹐則﹕(1)數對}

) ( )

^{a b}^, = ____________﹔ (2)正確解

( )

x y 為____________﹒ ^,

解答 (1)

( )

^{1, 4 ;(2)} ^{5 1}^,

3 3

 

 

  解析 (1) 2 3

7 x ay bx y

− =

 + =









(5)

(

^{1, 1}^{− 代入式﹕ 2}

)

+ = ⇒ = ﹐ ∴a 3 a 1

( ) ( )

^{a b}^, ⁼ ^{1, 4} ^﹒

(2)解 2 3 5

4 7 3

x y x y x

 − =

 + = ⇒ =

 ﹐ 1

y= ﹐ ∴正確的解為3 5 1 3 3,

 

 

 ﹒ 19. x ﹐y 之方程組 ¹ ¹ ¹

2 2 2

a x b y c a x b y c

+ =

 + =

 恰一組解

( ) (

^{x y}^, ⁼ ^{2, 3}^{− ﹐則}

)

¹ ¹ ¹

2 2 2

3 2 6

b x a y c b x a y c

− =

 − =

 之解

( )

^{x y}^, ^{= ______﹒}

解答

(

^{− −}^{6, 6}

)

解析

( ) ( )

1 1 1 1 1 1

3b x−2a y=6c ⇒a −2y +b 3x =6c ﹐ ₁ 2 ₁ 3 ₁

6 6

y x

a − +b  =c ﹐

2 2 6

6

y y

− = ⇒ = − ﹐3

3 6

6

x = − ⇒ = − ﹐∴x

( ) (

x y, = − − ﹒ 6, 6

)

20. 若

1 3 2 0 2 1 2 1 4 1 3 3

 − − 

 

 

經列運算得矩陣 1 0 0

0 1 0 0 0 1

a b c

 

 

 

求序組

(

^{a b c}^{, ,}

)

= ____________﹒

解答

(

^{5, 7, 8}⁻

)

解析

1 3 2 0 1 3 2 0

2 1 2 1 0 7 6 1

4 1 3 3 0 13 11 3

− − − −

   

  → 

   

   

× −( 2)

× −( 4)

× −( 2)

1 3 2 0 1 3 2 0

0 7 6 1 0 1 0 7

0 1 1 1 0 1 1 1

− − − −

   

   

→  → 

 − −   − 

  ×6   × −( 1)

×3

1 0 2 21 1 0 0 5 0 1 0 7 0 1 0 7 0 0 1 8 0 0 1 8

 −   

   

→  → 

 −   − 

   

×2

∴

(

^{a b c}^{, ,}

) (

⁼ ^{5, 7, 8}^{− ﹒}

)

21. 若 a 為一常數﹐且二元一次聯立方程式

(

² ²

)

⁴

3 2

a x ay a

ax y a

 + + = +



+ =

 恰有一組解﹐則可得其解

( )

^{x y}^, ⁼

____________（以常數 a 表示）﹒

解答 4

(

⁵

)

2, 2 a a a

a a

 − − − 

 − − 

 

解析 ² ² ² ² ^{4 3} ²

(

²

)(

²

)

3 2

a a

a a a a

a

∆ = + = + − = − + − ﹐

( )( )

4 2

2 8 4 2

x 2

a a

a a a a

a

∆ = + = + − = − − + ﹐

( )( )

2

3 2

2 4

2 3 12 5 2

y 3

a a

a a a a a a a

a a

+ +

∆ = = + − − = − + ﹐

當a≠ 或2 a≠ − 時﹐恰有一解2

( )

4

(

⁵

)

, , ,

2 2

x y a a a

x y a a

∆  − 

∆  −

= ∆ ∆  = − − − ﹒

(6)

22.

2 4 3 2 11 x y z ax y z

x y z

− + = −

 + + =

 + − =



與

2 6

2 2

3 2 5

x by z x y z x y cz

+ − =

 − + =

 + + =



表 x ﹐ y ﹐ z 的三元一次方程組﹐若兩方程組為同義方程組﹐

且恰有一組解﹐則(1)此解為____________﹔(2)序組

(

^{a b c}^{, ,}

)

= ____________﹒

解答 (1)

(

4, 5, 11− −

)

;(2) 3 5, 4,

11

 − 

 

 

解析 (1)

2 3 2 11

2 2

x y z

− + = −

 + − =

 − + =









  − : 4y−3z=13﹐  − ×2 :y− =z 6﹐

∴y= − ﹐5 z= − 代回﹐得11 x= ﹐ 故4

(

^{x y z}^{, ,}

) (

⁼ ^{4, 5, 11}^{− −}

)

^﹒

(2)解代回﹐得

4 5 11 4 4 5 22 6 12 10 11 5

a b

c

− − =

 − + =

 − − =



(

^{, ,}

)

^{5, 4,} ³

a b c  11− 

⇒ =  ﹒

23. 設方程組 ¹ ¹ ¹

2 2 2

a x b y c a x b y c

+ =

 + =

 恰有一組解為x= ﹐2 y= − ﹐則方程組3

( )

1 1 1 1

2 2 2 2

2 3 2 0

a b x b y c

a b x b y c

 − + + =



− + + =

 之

解為____________﹒

解答

(

⁻^{2, 0}

)

解析

( )

1 1 1 1

2 2 2 2

2 3 2 0

a b x b y c

a b x b y c

 − + + =



− + + =

 ⇒a1

( )

2x +b y1

(

−3x

)

= −2c1 1

( )

1 1

3 2

y x

a x b  −  c

⇒ − +  − = ﹐

2 2

x x

− = ⇒ = − ﹐ 3

3 0

2

y x

− y

= − ⇒ =

− ﹐ ∴

( ) (

^{x y}^, ^{= −}^{2, 0}

)

^﹒

24. 設 x ﹐ y ﹐ z 皆為實數﹐且xyz≠ ﹐若0 3 2 3 5

4 5 6

x+ z y+z x+ −y z

= = ﹐求

(

²^x^{− +}^y ^z

)

²⁺^{8 2}

(

^x^{− +}^y ^z

)

− 的最小值____________﹒ ⁵ 解答 − 21

解析

3 2 3

4 5

3 2 5

4 6

x z y z

x z x y z

+ +

 =

 + + −

 =



5 4 2 0

: : 2 : 3 :1 2 8 0

x y z

x y z

x y z

− + =

⇒ + − = ⇒ = ﹐

令x=2t﹐y= ﹐ z t3t = （t≠ ）﹐代入 0

(

²^x^{− +}^y ^z

)

²⁺^{8 2}

(

^x^{− +}^y ^z

)

^{− =}⁵ ⁴^t²⁺¹⁶^t^{− =}⁵ ⁴

(

^t⁺²

)

² ⁻²¹^{﹐最小值為 21}^{− ﹒}

25. 設α﹐β 為二次方程式 cos sin sin cos 0 x

x

θ θ

− =

− − 的二根﹐ n 為整數﹐則αⁿ+βⁿ = ____________﹒

解答 2cos nθ

解析 ^cos ^sin

(

^cos

)

² ^sin² ⁰

sin cos

x x

x

θ θ

− = − + =

− −

(

^x ^cos^θ

)

² ^sin²^θ ^x ^cos^θ ⁱ^sin^θ

⇒ − = − ⇒ − = ± ⇒ =x cosθ±isinθ﹐ 取α =cosθ+isinθ ﹐β =cosθ−isinθ﹐

則^αⁿ⁺^βⁿ ⁼

(

^cos^θ⁺ⁱ^sin^θ

) (

ⁿ⁺ ^cos^θ⁻ⁱ^sin^θ

)

ⁿ

(7)

26. 若 a 為實數﹐代表方程組之增廣矩陣為

3 1 1 1 3 3 1 1 1 2 1 a

a a

 

 − + 

 

 − − 

 

有解﹐則 a= ____________﹒

解答 3 2

解析原式

1 1 2 1 1 1 2 1

1 3 3 1 0 4 5 2

3 1 1 0 4 5 3 4

a a

− − − −

   

   

⇒ − +  → − 

   − − + 

  × −( 3)  

× −( 1)

若有解﹐即第二列﹐第三列成比例 4 5 2 3

2 3 4

4 5 3 4 2

a a a a

a

⇒ =− = ⇒ = − + ⇒ =

− − + ﹒

圍 2-6 一次方程組 班級 姓 座號 名

高雄市明誠中學 高一數學平時測驗 日期：98.12.15 範