利用平方差公式因式分解 利用平方差公式因式分解
自我評量
利用和的平方公式因式分解 利用和的平方公式因式分解
利用差的平方公式因式分解 利用差的平方公式因式分解
綜合運用 綜合運用
在第一章，我們學過乘法公式：
（ a ＋ b ）（ a － b ）＝ a
2－ b
2，（ a ＋ b ）
2＝ a
2＋ 2ab ＋ b
2，（ a － b ）
2＝ a
2－ 2ab ＋ b
2如果我們將上述三個公式反過來寫成：
a
2－ b
2＝（ a ＋ b ）（ a － b ）， a
2＋ 2ab ＋ b
2＝（ a ＋ b ）
2， a
2－ 2ab ＋ b
2＝（ a － b ）
2這樣的寫法相當於將一個 a 、 b 的二次多項式因 式分解。
乘法公式中的 a 、 b 可代表任何文字或
數字，所以我們可以利用這些乘法公式進行因式
分解。
如果一個多項式可以寫成 a
2－ b
2的 形式，就可以利用平方差公式 a
2－ b
2＝（ a ＋ b ）（ a － b ）進行因式分解。
例如：要因式分解 x
2－ 9 ，可以先將
x
2－ 9 化為 x
2－ 3
2，再利用平方差公式分解
為（ x ＋ 3 ）（ x － 3 ）。
1 二次項係數為 1
利用平方差公式因式分解下列各式：
(1) x
2－ 4 (2) x
2－ 1
解 解 平方差公式： a
2－ b
2＝（ a ＋ b ）（ a
－ b ）
x
2－ 4 ＝ x
2－ 2
2＝ （ x ＋ 2 ）（ x － 2 ） (2) x
2－ 1
＝ x
2－ 1
2＝（ x ＋ 1 ）（ x － 1 ）
1 可以寫成 1
2配合習作 P34 基礎題 1(1)
(1
)
2 二次項係數不為 1
利用平方差公式因式分解下列各式：
(1) 4x
2－ 25 (2) x
2－ 9y
2解 解 (1) 4x
2－ 25
＝（ 2x ）
2－ 5
2＝（ 2x ＋ 5 ）（ 2x － 5 ）
(2) x
2－ 9y
2＝ x
2－（ 3y ）
2＝（ x ＋ 3y ）（ x － 3y ）
配合習作 P34 基礎題 1(2)
利用平方差公式因式分解下列各式：
(1) x
2－ 36 (2) 9x
2－ 16y
2＝ x
2 －6
2＝（ x ＋ 6 ）（ x － 6 ）
＝（ 3x ）
2－（ 4y ）
2＝（ 3x ＋ 4y ）（ 3x －
4y ）
3 複合型
因式分解下列各式：
(1) （ x ＋ 3 ）
2－ 17
2(2) （ 2x ＋ 1 ）
2－
（ x ＋ 3 ）
2解 解 (1) （ x ＋ 3 ）
2－ 17
2＝〔 (x ＋ 3) ＋ 17 〕〔 (x ＋ 3 )
－ 17 〕
＝ ( x ＋ 20) ( x － 14 )
配合習作 P35 基礎題 2(1)
解 解
(2) ( 2x ＋ 1 )
2－ ( x ＋ 3 )
2＝〔 ( 2x ＋ 1) ＋ ( x ＋ 3 ) 〕〔 ( 2x ＋ 1) － ( x
＋ 3 ) 〕
＝ ( 2x ＋ 1 ＋ x ＋ 3 ) ( 2x ＋ 1 － x － 3 )
＝（ 3x ＋ 4 ) （ x － 2)
負號去括 號要變號
利用平方差公式因式分解下列各式：
(1) x
2－（ y ＋ 2 ）
2＝〔 x ＋（ y ＋ 2 ）〕〔 x －（ y ＋ 2 ）〕
＝（ x ＋ y ＋ 2 ）（ x － y － 2 ） (2) （ x ＋ 2 ）
2－ 49
＝〔 (x ＋ 2) ＋ 7 〕〔 (x ＋ 2 ) － 7 〕
＝（ x ＋ 9 ）（ x － 5 ）
如果一個多項式可以寫成 a
2＋ 2ab ＋ b
2
的形式，就可以利用和的平方公式 a
2＋ 2ab ＋ b
2
＝（ a ＋ b ）
2進行因式分解。
例如： x
2＋ 6x ＋ 9 ＝ x
2＋ 2 • x • 3 ＋ 3
2＝ (x ＋ 3)
2至於多項式 x
2＋ 3x ＋ 4 ，雖然首末兩項
可以寫成 x
2＝（ x ）
2， 4 ＝ 2
2，但一次項 3x
不等於 2 • x • 2 ，所以就不能利用和的平方公式
進行分解。
4 二次項係數為 1 因式分解 x
2＋ 8x ＋ 16 。
解 解 和的平方公式： a
2＋ 2 ． a ． b ＋ b
2＝（ a
＋ b ）
2x
2＋ 8x ＋ 16 ＝ x
2＋ 2‧x 4 ‧ ＋ 4
2＝（ x ＋ 4 ）
2配合習作 P34 基礎題 1(3)
利用和的平方公式因式分解下列各式：
(1) x
2＋ 10x ＋ 25
＝ x
2＋ 2 • x • 5 ＋ 5
2＝（ x ＋ 5 ）
2(2) x
2＋ 4x ＋ 4
＝ x
2＋ 2 • x • 2 ＋ 2
2＝（ x ＋ 2 ）
25 二次項係數不為 1 因式分解 9x2 ＋ 24x ＋ 16 。
解 解 和的平方公式： a
2＋ 2 ． a ． b ＋ b
2＝ (a
＋ b)
29x
2＋ 24x ＋ 16 ＝ (3x)
2＋ 2‧3x‧4 ＋ 4
2＝ (3x ＋ 4)
2利用和的平方公式因式分解下列各式：
(1) 4x
2＋ 12x ＋ 9
＝ (2x)
2＋ 2 2 ‧ x 3 ‧ ＋ 3
2＝ (2x ＋ 3)
2(2)16x
2＋ 8x ＋ 1
＝ (4x)
2＋ 2 4 ‧ x 1 ‧ ＋ 1
2＝ (4x ＋ 1)
26 代換型
因式分解（ x ＋ 1 ）
2＋ 12 （ x ＋ 1 ）＋ 36 。 解 解
設 x ＋ 1 ＝ A ，則原多項式可以寫成 A
2＋ 12A
＋ 36 。
A
2＋ 12A ＋ 36 ＝（ A ＋ 6 ）
2＝〔（ x ＋ 1 ）＋ 6 〕
2
＝（ x ＋ 7 ）
2配合習作 P35 基礎題 2(1)
因式分解 36 （ y － 2 ）
2＋ 12 （ y － 2 ）＋ 1 。 設 y － 2 ＝ A ，則多項式可以寫成 36A
2＋ 1 2A ＋ 1
36A
2＋ 12A ＋ 1 ＝（ 6A ＋ 1 ）
2＝〔 6 （ y － 2 ）＋ 1 〕
2＝（ 6y － 11 ）
2如果一個多項式可以寫成 a
2－ 2ab ＋ b
2的形式，就可以利用差的平方公式 a
2－ 2ab
＋ b
2＝（ a － b ）
2進行因式分解。
例如：
x
2－ 6x ＋ 9 ＝ x
2－ 2‧x 3 ‧ ＋ 3
2＝（ x －
3 ）
27 二次項係數為 1
因式分解 x
2－ 24x ＋ 144 。 解 解
差的平方公式： a
2－ 2 ． a ． b ＋ b
2＝
（ a － b ）
2x
2－ 24x ＋ 144 ＝ x
2－ 2 ‧x 12 ‧ ＋ 12
2＝ (x － 12)
2配合習作 P34 基礎題 1(4)
8 二次項係數不為 1
因式分解 4x
2－ 12xy ＋ 9y
2。 解 解
差的平方公式： a
2－ 2 ． a ． b ＋ b
2＝
（ a － b ）
24x
2－ 12xy ＋ 9y
2
＝ (2x)
2－ 2 2 ‧ x 3 ‧ y ＋ (3y)
2＝ (2x － 3y)
2配合習作 P34 基礎題 1(6)(9)
利用差的平方公式因式分解下列各式：
(1) x
2－ 12x ＋ 36
＝ x
2－ 2‧x 6 ‧ ＋ 6
2＝（ x － 6 ）
2＝（ 3x ）
2－ 2 3 ‧ x 5 ‧ y ＋（ 5 y ）
2＝（ 3x － 5y ）
2(2) 9x
2－ 30xy ＋ 25y
2如果一個多項式可以整理成（ a ＋ b
）
2或（ a － b ）
2的形式，我們就稱此多項式 為 完全平方式 。例如， x
2＋ 24x ＋ 144 與 9x
2－ 30xy ＋ 25y
2可以分別整理成（ x ＋ 12 ）
2與（ 3x － 5y ）
2的形式，所以它們都是完全
平方式。
接下來，我們將綜合運用兩種以上的方法，
進行下列題目的因式分解。
9
先提公因式再用乘法公式因式分解下列各式：
(1) 4x
3－ 9xy
2(2) x
2（ y ＋ 1 ）－ 16 （ y ＋ 1 ） 解 解 (1) 4x
3－ 9xy
2＝ x （ 4x
2－ 9y
2）
＝ x （ 2x ＋ 3y ）（ 2x － 3y ）
提出公因式 x 後， 4x2 － 9y2 可利用平方差公式分解
配合習作 P35 基礎題 2(3)
解 解 (2) x
2（ y ＋ 1 ）－ 16 （ y ＋ 1 ） ＝（ y ＋ 1 ）（ x
2－ 16 ） ＝（ y ＋ 1 ）（ x ＋ 4 ）（ x
－ 4 ）
因式分解 x
2（ y － 5 ）－ 4y
2（ y － 5 ）。
x
2（ y － 5 ）－ 4y
2（ y － 5 ）
＝（ y － 5 ）（ x
2－ 4y
2）
＝（ y － 5 ）〔 x
2－（ 2y ）
2〕
＝（ y － 5 ）（ x ＋ 2y ）（ x －
2y ）
10
運用兩次平方差公式因式分解 x
4－ 1 。 解 解 x
4－ 1
＝（ x
2）
2－ 1
2＝（ x
2＋ 1 ）（ x
2－ 1 ）
＝（ x
2＋ 1 ）（ x ＋ 1 ）（ x
－ 1 ）
x
2－ 1 可以再分解
配合習作 P35 基礎題 2(4)
11 綜合運用乘法公式 因式分解下列各式：
(1) x
2－ 10x ＋ 25 － xy ＋ 5y (2) x
2－ 6x ＋ 9 － 4y
2(1) x
2－ 10x ＋ 25 － xy ＋ 5y
＝ ( x
2－ 10x ＋ 25 ) － ( xy
－ 5y )
＝ ( x － 5 )
2－ y （ x － 5)
＝ ( x － 5 ) ( x － 5 － y )
解 解
解 解 (2) x
2－ 6x ＋ 9 － 4y
2＝ ( x
2－ 6x ＋ 9 ) － 4y
2＝ ( x － 3)
2－ ( 2y )
2＝ ( x － 3 ＋ 2y ) ( x － 3 － 2
y )
因式分解下列各式：
(1) x
4－ 16
＝ (x
2)
2－ 4
2＝ (x
2＋ 4) (x
2－ 4)
＝ (x
2＋ 4) (x ＋ 2) (x － 2)
＝ x
2－ (4y
2－ 12y ＋ 9)
＝ x
2－ (2y － 3)
2＝ (x ＋ 2y － 3) (x － 2y ＋ 3)
(2) x
2－ 4y
2＋ 12y － 9
在因式分解一個多項式的過程中，
我們有時會運用兩種以上的方法，如例題 9
，提公因式後發現多項式符合乘法公式的形 式，可以繼續分解；或者如例題 10 、例題 11
，連續運用兩次乘法公式。要能熟練運用各 種不同的因式分解方法解題，除了勤加練習 之外，對題目多做分析和嘗試也都是必要的
。
1. 利用平方差公式因式分解 ：利用平方差公式 可將形如 a
2－ b
2的多項式因式分解為（ a ＋ b ）（ a － b ）的形式。
2. 利用和的平方公式因式分解：利用和的平方 公式可將形如 a
2＋ 2ab ＋ b
2的多項式因式分 解為（ a ＋ b ）
2的形式。
3. 利用差的平方公式因式分解：利用差的平方
公式可將形如 a
2－ 2ab ＋ b
2的多項式因式分
解為（ a － b ）
2的形式。
3-2 自我評量
因式分解下列各式：
(1) x
2－ 196 (2) 36x
2－ 25
＝ x
2－ 14
2＝（ x ＋ 14 ）（ x － 14 ）
＝ ( 6x )
2－ 5
2＝ ( 6x ＋ 5 ) ( 6x － (3)4x
2＋ 24x ＋ 36 (4) x 5 )
2－ 18x ＋ 81
＝ 4 （ x
2＋ 6x ＋ 9 ）
＝ 4 （ x
2＋ 2‧x 3 ‧ ＋ 3
2
