微分方程 第七章

微分方程 第七章

y x

f

y 求

已知   ( ), — 积分问题

y y 及其若干阶导数的方程 求

已知含 ,

— 微分方程问题 推广

微分方程的基本概念 第一节

微分方程的基本概念 引例 几何问题

物理问题

引例 1

. 一曲线通过点 (1,2) , 在该曲线上任意点处的 切线斜率为 2x , 求该曲线的方程 .

引例 2. 列车在平直路上以20 m s 的速度行驶 , 制动 获得加速度 a  0.4 m s² , 求制动后列车的运动规律 .时

说明 : 利用这一规律可求出制动后多少时间列车才 能停住 , 以及制动后行驶了多少路程 .

常微分方程 偏微分方程

含未知函数及其导数的方程叫做微分方程 .

方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程 ( 本章内

容 )

0 )

, ,

, ,

(x y y y⁽ⁿ⁾ 

F 

) ,

, ,

,

( ^{( 1)}

)

(ⁿ  f x y y y ⁿ

y  ^{( n 阶显式微分方} 程 )

微分方程的基本概念

一般地 , n 阶常微分方程的形式是 的阶 .

分类

或

,

0  0



s t ^d_{d t}^s _t0  20 引例 2 ²₂ 0.4

d

d  

x y

— 使方程成为恒等式的函数 .

通解 — 解中所含独立的任意常数的个数与方程

) 1 0(

) 0 1 0 (

0 0

0) , ( ) , , ( )

(x  y y x  y y ^n x  y ^n

y 

— 确定通解中任意常数的条件 n 阶方程的初始条件 ( 或初值条件 ). :

的阶数相同 特解 .

x x

y 2

d

d 

1 2



y x

引例 1

C x

y  ²  s  0.2t²  C₁t  C₂ 通解 :

t t

s  0.2 ²  20

2 1

 x 特解 : y

微分方程的解

— 不含任意常数的解 , 定解条件

其图形称为积分曲线 .

例 1. 验证函数 是微分方程

t k C

t k C

x  ₁ cos  ₂ sin

2 2

d d

t

x 的解 ,

0 A ,

x _t  0

d 0

d t t  

x 的特解 . 解 : ² ₂

d d

t

x  C₂k ² sin kt ) cos

sin

( _{1 2}

2 C kt C kt

k 



  k ²x

这说明 x  C₁ coskt  C₂ sin kt _{是方程的解 .} 是两个独立的任意常数

2 ,

1 ,C C

) ,

(C₁ C₂为常数

t k k

C₁ ² cos





2  0

 k x

利用初始条件易得 : C₁  A, _{故所求特解为} t

k A

x  cos

,

2  0 C

故它是方程的通解 . 并求满足初始条件

求所满足的微分方程 .

例 2. 已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与 x 轴交点为 Q

P

Q x

y

o

解 : 如图所示 ,



 y

Y  y1

) (X  x

令 Y = 0 , 得 Q 点的横坐标 y

y x

X    ,

x y

y

x    

 _即 yy  2x  0

点 P(x, y) 处的法线方程为 且线段 PQ 被 y 轴平分 ,