第 1 章極限與函數

(1)

第 1 章極限與函數 12

1-3 函數的概念

1. 已知函數 ^{f x}

 

^x

 x ﹐求﹕

(1) ^{f x 的定義域}

 

⁽²⁾ ^{f x 的值域}

 

(1) 因為分母不可為 0 ﹐所以 ^{f x 的定義域為}

 

^

 

⁰ ^﹒

(2) 當x0時﹐ ^{f x}

 

^x ¹

 x ﹔當x0時﹐ ^{f x}

 

^x ¹

x

   ﹒

故 ^{f x 的值域為}

   

^{1, 1}^ ^﹒

2. 已知函數 ^{f x}

 

^ ^{8 2}^ ^x^^x² ^﹐求﹕

(1) ^{f x 的定義域}

 

⁽²⁾ ^{f x 的值域}

 

(1) 因為根號內不可為負數﹐所以

8 2 xx20  x²2x 8 0 



^x^⁴



^x^²



^⁰^﹒

解得 4  x 2﹒

故 ^{f x 的定義域為}

  

^x^ ^{| 4}^{  }^x ²



^﹒

(2) 因為

 

^{8 2} ²



¹



² ⁹

f x   xx   x  且 4  x 2﹐所以⁰^ ^{f x}

 

^³^﹒

故 ^{f x 的值域為}

  

^y^ ^{| 0}^{ }^y ³



^﹒

第 1 章極限與函數

(2)

3. 已知函數 f x

 

log3



9 x²



﹐求﹕

(1) ^{f x 的定義域}

 

⁽²⁾ ^{f x 的值域}

 

(1) 因為真數9x² 0﹐即 3  x 3﹐

所以 ^{f x 的定義域為}

  

^x^ ^{| 3}^{  }^x ³



^﹒

(2) 因為0 9 x² 9﹐所以



²



3 3

log 9x log 92﹒ 故 ^{f x 的值域為}

  

^y^ ^|^y^²



^﹒

4. 已知函數 f x

 

  x² 4x1的定義域為



^x^ ^{| 0}^{ }^x ³



^﹐求 ^{f x 的值域﹒}

 

(1) 函數 ^{f x}

 

^{  }^x² ⁴^x^{  }¹



^x ^²



² ^³^{的圖形是以}^V

 

^2,3 ^為頂點﹐

直線x2為對稱軸之開口向下的拋物線﹒

(2) 因為定義域為



^x^ ^{| 0}^{ }^x ³



﹐所以函數圖形為拋物線的一部分﹐

如下圖中的實線部分﹕

因為圖形的最高點為頂點^V

 

^2,3 ^{﹐最低點為}



^{0, 1}^



^﹐

所以函數 ^{f x 的值域為}

  

^y^ ^{| 1}^{  }^y ³



^﹒

5. 設 ^{f x}

 

^{  }²^x ³^的值域為



^y^ ^{| 5}^{  }^y ⁹



^﹐求 f x 的定義域﹒

 

由

5 2x 3 9

         8 2x 6    3 x 4﹒ 得 ^{f x 的定義域為}

  

^x^ ^{| 3}^{  }^x ⁴



^﹒

(3)

6. 求 ²⁰



2



1

log

k



 ^{的值﹐其中符號}

^{ }

^{為高斯符號﹒}

原式



log 12

 

 log 22

 

 log 32



 



log 202



       

2 4 8 5

0 1 1 2 2 3 3 4 4

           

個個個個

0 2 8 2 4 2 0﹒  5 4

7. 已知函數 ^{f x}

 

^x ¹

x

  與

 

1 g x x

 x

 ﹐求下列各函數﹕

(1)



^f ^^g

 

^x ⁽²⁾



^{f g}^

 

^x ⁽³⁾



^g ^f

 

^x

(1)

        

 

2 2

2

1 1 2 1

1 1

x x

x x x

f g x f x g x

x x x x x x

 

  

      

   ﹒

(2)

      

¹ ¹

1

x x

f g x f x g x

x x

      

 ﹒

(3)

      

1

1 1

1 1 x

x x

g f x g f x g x

x x

x

 

 

         ﹒

8. 設 ^{f x}

 

^²^x^¹^{﹐求一次函數}^{g x 使得}

  

^f ^g

 

^x ^ ^x^﹒

設^{g x}

 

^^{ax b}^ ^﹐則



^f ^g

 

^x ^ ^{f g x}

   

^ ^{f ax b}



^

 

^² ^{ax b}^{  }



¹ ²^ax^



²^b^¹



^﹒

因為



^f ^g

 

^x ^ ^x^﹐所以

2a1且 2b 1 0﹐ 解得 1

a 2﹐ 1

b 2﹐即

 

¹ ¹

2 2 g x  x ﹒

第 1 章 極限與函數

1-3 函數的概念

 

 

 

 

 

 

 

   

 

 

 







  



 





 

  

