1.4 函數圖形

第 1 章 函數 (Functions)

目錄

1.1 一些基本概念 . . . . 1

1.2 函數 . . . . 5

1.3 函數運算 . . . . 6

1.4 函數圖形 . . . . 7

1.5 常見之函數類型 . . . . 8

1.6 函數特性 . . . . 9

1.7 反函數 . . . . 10

1.8 指數函數 . . . . 11

1.9 對數函數 . . . . 12

1.10 三角函數 . . . . 13

1.11 反三角函數 . . . . 15

(1) 介紹有關函數的一些基本觀念 (2) 介紹一些基本函數的圖形

(3) 介紹指數函數, 對數函數, 三角函數與反三角函數

1.1 一些基本概念

數

符號 1.1.1. (1) 我們以下列符號來表示各數系:

N 自然數系 (正整數, natural numbers), Z 整數系 (integers),

Q 有理數系 (rational numbers), R 實數系 (real numbers), C 複數系 (complex numbers)。

(2) ∀ 表示 “對所有”(for all) ,

∃ 表示 “存在”(there exists),

∃ ! 表示 “存在唯一”(there is a unique)。

第 1 章 函數 1.1 一些基本概念

例 1.1.2. 解以下各方程式:

(1) x⁴− 3x²+ 2 = 0, (2) _x+1^2x = ^2x_x⁻¹,

(3) 2x(4− x)^−1/2− 3√

4− x = 0。

定義 1.1.3. 一直線上任選一點 O, 稱為原點 (origin), 對應實數 0 。 適當選一長度為單位長, 對任 一正實數 a, 對應直線上原點右邊距離 a 單位之點; 任一負實數 −a 對應直線上原點左邊距離 a 單 位之點。 則實數稱為該點之座標 (coordinate), 此直線稱為座標線 (coordinate line)。

集合

定義 1.1.4. 一組物件合稱為一個集合 (set), 這些物件稱為元素 (element) 。 若 S 為一集合, x ∈ S 表示 x 為 S 之元素。

註 1.1.5. 集合有兩種描述法:

(1) 表列法 {a1, a₂,· · · };

(2) 描述特性法 {x : x 滿足某性質}。

定義 1.1.6. (1) 若 S, T 為集合。 則 S ∪T = {x|x ∈ S 或 x ∈ T } 稱為 S 與 T 的聯集 (union);

S∩ T = {x|x ∈ S 且 x ∈ T } 稱為 S 與 T 的交集 (intersection)。

(2) 令 S1, S₂, S₃,· · · 為一序列集合, 則 [n i=1

S_i 表示 S1∪ S2∪ · · · ∪ Sn, [∞

i=1

S_i 表示 S1∪ S2 ∪ S3∪ · · · 。 交集符號也有同樣表法。

區間

定義 1.1.7. (1) 有限區間:

(i) 開區間 (open intervals): (a, b) = {x| a < x < b};

(ii) 閉區間 (closed intervals): [a, b] = {x| a ≤ x ≤ b};

(iii) 半開區間: [a, b) = {x| a ≤ x < b}, (a, b] ={x| a < x ≤ b}。

(2) 無限區間: (a,∞) = {x| x > a}, [a,∞) = {x| x ≥ a}, (−∞, b) = {x| x < b}, (−∞, b] = {x| x ≤ b}。

(3) 在以上各區間中, a、b 稱為邊界點 (boundary points)。 在各有限區間中 (a, b) 上的點, 或 無 限區間中 (a, ∞) 及 (−∞, b) 之點, 稱為內點 (interior points)。

第 1 章 函數 1.1 一些基本概念

[註] (i) 無限區間 (a, ∞) 不可記為 (a, ∞]。 (ii) ∞ 不是 (a, ∞) 的邊界點。

例 1.1.8. 求:

(1) T^∞

n=1

¡0,¹_n¤ ,

(2) T^∞

n=1

£0,_n¹¢ ,

(3) S^∞

n=1

[−n, n],

(4) S^∞

n=2

£₁

n, 1− _n¹¤

。 不等式

性質 1.1.9. 令 a, b, c ∈ R。

(1) 若 a < b, 則 a + c < b + c。

(2) 若 a < b, c < d, 則 a + c < b + d。

(3) 若 a < b, c > 0, 則 ac < bc。

(4) 若 a < b, c < 0, 則 ac > bc。

(5) 若 0 < a < b, 則 ¹_a > ¹_b。 例 1.1.10. 解以下各不等式:

(1) 2x− 3 < x + 4 ≤ 3x − 2, (2) x³ > x,

(3) (2− x)(1 − x)²x³ ≤ 0, (4) −2 < 2x− 3

x + 1 ≤ 1。

絕對值

定義 1.1.11. 實數 a 的絕對值 (absolute value) |a|, 定義為 |a| = a 若 a ≥ 0; |a| = −a 若 a < 0。

性質 1.1.12. 若 a > 0, 則

(1) |x| = a 若且唯若 ( if and only if ) x = ±a;

(2) |x| < a 若且唯若 −a < x < a;

(3) |x| > a 若且唯若 x > a 或 x < a。

性質 1.1.13. a, b∈ R, 則

第 1 章 函數 1.1 一些基本概念 (1) √

a² =|a|, (2) |ab| = |a||b|, (3) |^a_b| = ^|a|_|b|,

(4) |a + b| ≤ |a| + |b|, (5) |a| − |b| ≤ |a − b|。

例 1.1.14. 解下列絕對值方程式或不等式:

(1) |^2x−1_x+1| = 3, (2) |5 − 2x| < 3,

(3) |x − 1| − |x − 10| ≥ 5。

平面幾何

定義 1.1.15. 平面上取兩互相垂直的座標線, 一為鉛垂線, 一為水平線相交於 O。 水平線正向為右, 稱為 x-軸; 鉛垂線正向為上, 稱為 y-軸。 平面上任一點 P 對 x, y-軸的垂足之座標分別為 a 及 b, 則 (a, b) 為 P 的座標, 如此得到直角座標系 (rectangular coordinate system) 。

例 1.1.16. 作以下集合的圖形:

(1) {(x, y)| − 3 ≤ y < 1}, (2) {(x, y)||x| < 4 且 |y| < 2}, (3) {(x, y)|y ≥ x²− 1},

(4) {(x, y)| − x ≤ y < ¹₂(x + 3)}, (5) {(x, y)|x + |x| = y + |y|}, (6) {(x, y)||x − y| + |x| − |y| ≤ 2}。

性質 1.1.17. (1) 平面上兩點 P1(x₁, y₁), P₂(x₂, y₂) 之距離為p

(x₂− x1)²+ (y₂− y1)² 。 (2) 一非鉛直之直線通過兩點 P1(x₁, y₁), P₂(x₂, y₂),則其斜率為 m = ^∆y_∆x = _x^y2−y1

2−x1。 (3) 直線之方程式有如下之表法:

(a) 點斜式 y − y1 = m(x− x1), (b) 斜截式 y = mx + b,

(c) 兩點式 (x2− x1)(y− y1) = (x− x1)(y₂− y1), (d) 截距式 ^x_a + ^y_b = 1 。

(4) (a) 兩非鉛垂線平行的充要條件是它們的斜率相等;

(b) 兩非鉛垂線互相垂直的充要條件是它們的斜率互為負倒數 。 例 1.1.18. 考慮以 A(6, −7), B(11, −3), C(2, −2) 為頂點之三角形。

第 1 章 函數 1.2 函數

(1) 以距離證明它是直角三角形 , (2) 以斜率證明它是直角三角形 , (3) 求其面積。

註 1.1.19. 一些二次方程式的圖形如下:

(1) (x− h)²+ (y− k)² = r² 為圓方程式,

(2) y = ax²+ bx + c 或 x = ay²+ by + c 為拋物線方程式, (3) ^(x−h)_a2 ² +^(y−k)_b2 ² = 1 為橢圓方程式,

(4) ^(x−h)_a2 ² − ^(y−k)_b^{2 2} = 1 或 ^(y−k)_a^{2 2} − ^(x−h)_b^{2 2} = 1 為雙曲線方程式。

例 1.1.20. 作圖 x⁴− 4x²− x²y²+ 4y² = 0。

1.2 函數 (Functions)

函數的呈現方式

1.2.1. 一函數可能以下列方式呈現:

(1) 以文字方式描述。 例: (i) 圓面積與半徑的平方成正比; (ii) 小於或等於 x 的質數個數。

(2) 以數值方式描述。 例: 人口數圖表。

(3) 以圖形方式描述。 例: 地震圖。

(4) 以數學式描述。

例 1.2.2. 一個立方體無蓋的盒子體積為 10 立方公尺, 底部的長是寬的兩倍。 底的材料成本是每平 方公尺 10 元; 側面的材料 成本是 每平方公尺 6 元。 將盒子的總成本以底部之寬度的函數表出。

例 1.2.3. 面積為25的直角三角形, 將斜邊長 h 以周長 p 表出。

例 1.2.4. 某地之計程車費率為起跳75元, 超過兩公里後每 500 公尺 5 元, 將費用對里程的函數寫 出。

函數定義

定義 1.2.5. (1) 函數 (function) f : A → B 是一個對應, 滿足: 對所有 a ∈ A, 存在惟一 b ∈ B, 使得 f 將 a 對應到 b。 即 ∀a ∈ A, ∃ ! b ∈ B 使得 f(a) = b。

(2) A稱為 f 的定義域 (domain); B 稱為 f 的對應域 (codomain); f(A) = {f(a)|a ∈ A} ⊂ B 稱為 f 的值域 (range)。

[註] f 可視為從 A 到 f(A) 的函數。

定義域與值域

註 1.2.6. 若 f(x) 是個以數學式定義的實值函數, 但未指明其定義域, 則其定義域即為使該數學式 有意義之所有 x 值。

第 1 章 函數 1.3 函數運算

例 1.2.7. 如圖。 (a) 求 f(1) 及 f(5) 之值; (b) f 之定義域及值域分別為何?

例 1.2.8. 求以下函數的定義域與值域。

(1) f (x) =√

2 + x− x², (2) f (x) =√

x²− 1 + 1

√4− x² ,

(3) f (x) =p sin√

x 。 一對一與映成

定義 1.2.9. (1) 一個函數 f 若滿足: “x1 6= x2 則 f(x1) 6= f(x2)”, 則 f 稱為一對一 (one-to- one) 函數。

(2) 若 f 之值域等於對應域, f 稱為映成 (onto) 函數。

例 1.2.10. 證明 y = x³ 為一對一函數。

例 1.2.11. 令 Z+=N ∪ {0}。 f 為從 Z+× Z+ 對應到 Z+ 的函數, 定義為

f (m, n) = (m + n)(m + n + 1)

2 + m。

試證: f 是一對一且映成的函數。

1.3 函數運算

1.3.1. (1) 四則運算:

(i) (f ± g)(x) = f(x) ± g(x), Dom(f ± g) = Dom f ∩ Dom g。

(ii) (f · g)(x) = f(x)g(x), Dom(f · g) = Dom f ∩ Dom g。

(iii) (^f_g)(x) = ^{f (x)}_g(x), Dom^f_g = Dom f ∩ Dom g ∩ {x|g(x) 6= 0}。

(2) 合成運算:

(f ◦ g)(x) = f(g(x)), Dom(f ◦ g)(x) = {x ∈ Dom(g)|g(x) ∈ Dom f}.

例 1.3.2. 設 f(x) = x, g(x) = ¹_x,且 h(x) = (f · g)(x) = x ·_x¹ = 1, 則函數 h 的定義域 Dom h 應為 R − {0}, 而非 R。

例 1.3.3. 求函數 f(x) = ₁₊^x+11

x+1 之定義域。

例 1.3.4. 令 F (x) = cos²(x + 9)。 求函數 f, g, h 使得 F = f ◦ g ◦ h。

例 1.3.5. 令 f(x) =√

x, g(x) =√

2− x, 求 f ◦ g, g ◦ f, f ◦ f, g ◦ g 及它們的定義域。

例 1.3.6. 若 f0(x) = _x+1^x 且 fn+1= f0◦ fn, n = 0, 1, 2, . . . , 求 fn(x)的公式。

例 1.3.7. (1) 若 g(x) = 2x + 1 且 h(x) = 4x²+ 4x + 7,求一函數 f(x) 使得 f ◦ g = h。

(2) 若 g(x) = 2x + 1 且 h(x) = 4x²+ 4x + 7,求一函數 f(x) 使得 g ◦ f = h。

第 1 章 函數 1.4 函數圖形

1.4 函數圖形

函數圖形

定義 1.4.1. 若 A, B ⊂ R, 則 f : A → B 稱為實數值函數 (real valued function), 集合 {(x, f(x)) : x ∈ A} 稱為 f 的圖形 (graph)。

註 1.4.2. (1) 垂直線判別法: 一個圖形是函數圖形的充要條件為任一垂直線與其至多交於一點。

(2) 一個函數是一對一的充要條件為其圖形與每一水平線至多交於一點。

函數圖形的變動

1.4.3. (1) 鉛直方向平移: y = f(x) + k。

(2) 水平方向平移: y = f(x + h)。

(3) 鉛直方向伸縮: y = cf(x)。

(4) 水平方向伸縮: y = f(cx)。

(5) y =−f(x) 是 y = f(x) 對x-軸的鏡射。

(6) y = f (−x) 是 y = f(x) 對y-軸的鏡射。

例 1.4.4. 由 y = √

x 之圖形作以下各函數之圖形: y = √

x− 2, y = √

x− 2, y = −√ x, y = 2√

x, y =√

2x, y =√

−x。

例 1.4.5. 作以下函數的圖形:

(1) f (x) = x²+ 6x + 10, (2) y = 1− sin 2x, (3) f (x) = _1−x¹ , (4) f (x) =|x²− 1|。

例 1.4.6. (1) 對不同的 c 作 f(x) = x³+ cx 之圖形。

(2) 討論 f(x) = sin 50x 之圖形。

(3) 討論 f(x) = sin x + ₁₀₀¹ cos 100x 之圖形。

例 1.4.7. 以函數圖形求方程式 cos x = x 的解。

第 1 章 函數 1.5 常見之函數類型

1.5 常見之函數類型

分段定義的函數 例 1.5.1. (1) |x| =

½ x x≥ 0,

−x x < 0。

(2) f (x) =





−x x < 0, x² 0≤ x ≤ 1, 1 x > 1。

(3) 最大整數函數, 高斯函數, 地板函數 (greatest integer function, Gauss function, floor func- tion)

bxc = n, 若 n ≤ x < n + 1, n ∈ Z。 bxc 即小於或等於 x 的最大 整數。

(4) 天花板函數 (ceiling function)

dxe = n + 1, 若 n < x ≤ n + 1, n ∈ Z。 dxe 即大於或等於 x 的最小整數。

(5) 將圖中的函數以數學式寫出。

例 1.5.2. 如何以 bxc 表出 dxe ?

例 1.5.3. 以 max{a, b, . . . } 表示 a, b, . . . 中之較大者。

(1) 作函數 f(x) = max{x², 2 + x, 2− x} 之圖形 , (2) 描繪出不等式 −1 ≤ max{x, 2y²} ≤ 1 所定義的區域 ,

(3) 以一個涉有絕對值之數學式表出函數 f(x) = max{g(x), h(x)}。

例 1.5.4. (1) 一個數列 (sequence) {an} 可視為定義在 N 上的函數, 即 f(n) = an。 (2) 數列亦可用遞迴公式 (recursive formula) 來定義。 例如

½ a1 = a2 = 1,

a_n = a_n−1+ a_n−2, n≥ 3, 此數列稱為 Fibonacci 數列。 事實上, 可證明

a_n= 1

√5

"Ã 1 +√

5 2

!n

− Ã

1−√ 5 2

!n# .

基本函數

1.5.5. (1) 線性函數 (linear function): f(x) = mx + b。

(2) 冪次函數 (power function): f(x) = xⁿ。 (i) n ∈ N。

(ii) −n ∈ N。

(iii) n = _m¹ ∈ Q。

第 1 章 函數 1.6 函數特性

(iv) n ∈ R。

(3) 多項式函數 (polynomial function): P (x) = anxⁿ+ a_n−1xⁿ⁻¹+· · ·+a1x + a₀。 若 an 6= 0, 則 P (x) 的次數 (degree) 為 n。

若 n = 2, 則稱為二次函數 (quadratic function); 若 n = 3, 則稱為三次函數 (cubic func- tion)。

(4) 有理函數 (rational function): f(x) = ^{P (x)}_Q(x), 其中 P (x), Q(x) 為多項式。

(5) 代數函數 (algebraic function): 將多項式函數反覆作有限次四則及開方運算而得。

(6) 三角函數 (trigonometric function)。

(7) 反三角函數 (inverse trigonometric function)。

(8) 指數函數 (exponential function): f(x) = a^x, a > 0, a 6= 1。 注意, 比較指數函數與冪次函 數之分別。

(9) 對數函數 (logarithmic function): f(x) = logax, a > 0, a6= 1。

(10) 超越函數 (transcendental function): 非代數函數。

(11) 基本函數 (elementary function): 將有理函數, 冪次函數, 三角函數, 反三角函數, 指數函數, 對數函數反覆作有限次四則、 合成及開方運算而得。

[註] 我們將在本章後四節簡要地介紹這些函數。

1.6 函數特性

奇偶性

定義 1.6.1. (1) 若 ∀x ∈ Dom f, f(−x) = f(x), 則 f(x) 稱為偶函數 (even function);

(2) 若 ∀x ∈ Dom f, f(−x) = −f(x), 則 f(x) 稱為奇函數 (odd function)。

註 1.6.2. (1) 奇函數之圖形對原點對稱; 偶函數之圖形對 y−軸對稱。

(2) 任一 定義在實數上的函數必可寫成一個奇函數和一個偶函數的和, 且其表法是惟一的。

例 1.6.3. (1) 若 g(x) 為奇函數, 則對 g(0) 可下什麼結論?

(2) 若 g(x) 為偶函數, 則對 g(0) 可下什麼結論?

例 1.6.4. 判斷下列函數的奇偶性:

(1) f (x) = 4x⁵− 3x², (2) f (x) = _1+x^x24, (3) f (x) =√³

x⁵− 4x³, (4) f (x) = x|x|,

第 1 章 函數 1.7 反函數

(5) f (x) =bxc 。

例 1.6.5. 作圖 y = |x²− 4|x| + 3|。

例 1.6.6. 令 f(x), g(x) 為定義在 R 上的函數。 試分別就 f(x), g(x) 的奇偶性, 討論 f(x)+g(x), f (x)− g(x), f(x) · g(x), f(x)/g(x) 及 f(g(x)) 的奇偶性 。

昇降性

定義 1.6.7. (1) 若 ∀x, y ∈ I, x < y, 則 f(x) < f(y), 我們稱 f(x) 在 I 上為遞增 (或上昇 increasing );

(2) 若 ∀x, y ∈ Dom f, x < y, 則 f(x) > f(y), 我們稱 f(x) 在 I 上為遞減 (或下降 decreasing )。

例 1.6.8. 令 f(x), g(x) 為定義在 R 上的函數。 試分別就 f(x), g(x) 的昇降性, 討論 f(x)+g(x), f (x)− g(x), f(x) · g(x), f(x)/g(x) 及 f(g(x)) 的昇降性 。

1.7 反函數 (Inverse Functions)

定義 1.7.1. 若 f 為一對一函數, 其定義域為 D, 值域為 R, 則其反函數 (inverse function) f⁻¹ : R → D 定義為 f⁻¹(b) = a⇔ f(a) = b, 其中 a ∈ D 且 b ∈ R。

註 1.7.2. (1) f⁻¹(y) = x⇔ f(x) = y。

(2) f⁻¹ 的定義域=f 的值域; f⁻¹ 的值域=f 的定義域。

(3) f⁻¹(x)6= _{f (x)}¹ = (f (x))⁻¹。 (4) (f⁻¹◦ f)(x) = x, ∀x ∈ Dom f。

(5) (f ◦ f⁻¹)(y) = y,∀y ∈ Dom f⁻¹ = Rangef。

(6) 若 f 為 D 上的嚴格上昇 (下降) 函數, 則 f(x) 為一對一且有反函數。

(7) y = f (x) 與 y = f⁻¹(x)之圖形對 x = y 直線對稱。

例 1.7.3. g(x) = sin x:

(i) 定義在 [0, π] 上時, 不是一對一;

(ii) 定義在 [−π/2, π/2] 上時為嚴格遞增, 所以是一對一。 故可定義反函數 sin⁻¹ : [−1, 1] → [−π/2, π/2]。

[註] 詳見本章最後一節。

例 1.7.4. (1) 求 f(x) = x³ + 2 之反函數。

(2) 求 y = x², x≥ 0 之反函數。 x ≤ 0 呢?

例 1.7.5. 作 f(x) =√

−1 − x 及其反函數的圖形。

第 1 章 函數 1.8 指數函數

1.8 指數函數 (exponential functions)

例 1.8.1. 在2000年, 將 100元存入銀行, 以 5.5% 的年利率複利計算, 則在 r 年後本利和若干?

註 1.8.2. (1) 現考慮形如 f(x) = a^x 之函數。 就不同的 x 值而言, 其意義如下:

x = n, n ∈ N ⇒ aⁿ = a× · · · × a.

a⁰ = 1

x =−n ⇒ a⁻ⁿ = (¹_a)ⁿ.

x = ¹_n ⇒ aⁿ¹ = √ⁿ

a.

x = q/p, (p, q) = 1, p, q ∈ Z ⇒ a^q/p = (√^p a)^q.

(2) 若 a > 0, x = r 為無理數, 則先取 x 為有理數, 當 x 越來越接近 r 時, a^x 會越來越接近某定 值, 此值即定義為 a^r。

(3) 綜合上述, 可得到以 a 為底的指數函數 (exponential function) f(x) = a^x。 此定義使得 f(x) 的圖形沒有“孔”或“ 跳躍”, 即為連續函數。

例 1.8.3. 定義無理指數 2^√2: 令 an 為 √

2 的小數點後第 n 位數字, 即 √

2 = 1.a1a2a3a4· · · , 則可以定義

2^√2 = lim

n→∞2^{1.a1a2···an}, 其中 1.a1a2· · · an 均為有理數。

性質 1.8.4. 若 a, b > 0, x, y ∈ R, 則 (1) a^x· a^y = a^x+y,

(2) a^−x = _a¹x, (3) ^a_a^xy = a^x−y,

(4) (a^x)^y = a^xy = (a^y)^x, (5) a^x· b^x= (ab)^x, (6) ^a_bx^x = (^a_b)^x。

註 1.8.5. (1) 自然指數函數為 y = e^x。 其中 e 是一特定數值, 使指數函數 y = e^x 與 y-軸相交處 的斜率為 1。

(2) 此數值 e 大約為 2.718281828 · · · 。 (3) 又當 x 很大時, (1 +_x¹)^x 很接近 e。

(4) e^x 亦可記為 exp(x)。

例 1.8.6. 解方程式或不等式:

(1) e^ax = Ce^bx, a6= b, (2) 1≤ 3^4x−1 ≤ 2。

第 1 章 函數 1.9 對數函數 註 1.8.7. (1) y = e^kx(k6= 0) 通常作為指數成長或衰變的模型。

當 k > 0, y = y0e^kx 稱為指數成長;

當 k < 0, y = y0e^kx 稱為指數衰變。

(2) 連續複利: 設本金為 A, 年利率為 r。 若計息的時間間隔很短, 即 A(1 +_n^r)^nx 中的 n 很大的時 候, 則在 x 年後, 本利和會接近 Ae^rx。 因此, 連續複利為一種指數成長。

例 1.8.8. 投資公司通常以連續複利計算投資的成長, 在 2010 年投資 100 元, 年利率 5.5%, 估計 2014 年的資金總額。

例 1.8.9. C¹⁴ 的衰變常數為 1.2 · 10⁻⁴。 若原本 C¹⁴ 的量為 A, 預測在 866 年後, 衰變所餘的量 為何?

1.9 對數函數 (Logarithm Functions)

定義 1.9.1. 以 a 為底的對數函數 (Logarithm Function) 定義為 y = a^x 的反函數 (a 6= 1, a > 0), 記為 logax。

註 1.9.2. (1) log_ax = y ⇔ a^y = x。 (2) log_a(a^x) = x, x∈ R。

(3) a^logax= x, x > 0 。 (4) log₂x 在計算科學上常用。

(5) log_ex 常記為 ln x, 稱為自然對數。

(6) log₁₀x 常記為 log x, 稱為常用對數。

性質 1.9.3. 對 b > 0, x > 0, a > 0, a 6= 1, 對數函數滿足:

(1) log_abx = log_ab + log_ax。 (2) log_ax^b = log_ab− logax。 (3) log_a¹_x =− logax。 (4) log_ax^r = r log_ax。 (5) ln e = 1。

(6) a^x = e^{x ln a}。 (7) log_ax = ^{ln x}_{ln a}。

例 1.9.4. 解方程式或不等式:

(1) ln(x² − 2x − 2) ≤ 0,

(2) 3^log37− 4^log42 = 5^{(log5x−log5x2)}。 例 1.9.5. 作圖 y = ln(x − 2) − 1。

例 1.9.6. Sarah 拿 1000 元投資, 年利率 5.5%, 以連續複利計息, 則何時可達到 2500 元?

例 1.9.7. 釙210的衰變常數為 5 × 10⁻³,求半生期 (half life)。

例 1.9.8. 證明 f(x) = ln(x +√

x²+ 1) 是奇函數, 並求其反函數。

第 1 章 函數 1.10 三角函數

1.10 三角函數(Trigonometric Functions)

定義 1.10.1. (三角函數 Trigonometric Functions) (1) 銳角 (acute angles):

sin θ = 對邊

斜邊, cos θ = 鄰邊

斜邊, tan θ = 對邊 鄰邊, cot θ = 鄰邊對邊, sec θ = 斜邊鄰邊, csc θ = 斜邊對邊。

(2) 一般角 (general angles):

sin θ = y, cos θ = x, tan θ = y x, cot θ = x

y, sec θ = 1

x, csc θ = 1 y。 性質 1.10.2. (1) 特別角函數值:

sin cos tan cot sec csc

0^◦ 0 1 0 x 1 x

30^{◦ 1}₂ ^√₂³ √¹ 3

√3 √²

3 2

45^◦ √¹ 2

√1

2 1 1 √

2 √ 2 60^{◦ √}₂^{3 1}₂ √

3 √¹

3 2 √²

3

90^◦ 1 0 x 0 x 1

(2) 函數正負:

(3) 定義域與值域:

sin : R → [−1, 1], cos : R → [−1, 1], tan : R −©¡

n + ¹₂¢ πª

→ R, cot : R − {nπ} → R, sec : R −©¡

n + ¹₂¢ πª

→ R − (−1, 1), csc : R − {nπ} → R − (−1, 1)。

(4) 圖形:

(5) 週期:

sin, cos, sec, csc :最小週期 2π; tan, cot : 最小週期 π。

(6) 奇偶性:

sin, tan, cot, csc : 奇函數; cos, sec : 偶函數。

(7) 換角公式:

f (nπ + θ) =±f(θ), f¡¡

n + ¹₂¢

π + θ¢

=±cof(θ)。

( ± 之決定: 假設 0 < θ < ^π₂, 視 f 在 nπ + θ 處之正負值而定。)

第 1 章 函數 1.10 三角函數

(8) 倒數公式:

sin θ = 1

csc θ, cos θ = 1

sec θ, tan θ = 1 cot θ。 (9) 平方公式:

sin²θ + cos²θ = 1, tan²θ + 1 = sec²θ, cot²θ + 1 = csc²θ。 (10) 和角公式 (addition and subtraction formula):

sin(α± β) = sin α cos β ± cos α sin β, cos(α± β) = cos α cos β ∓ sin α sin α, tan(α± β) = tan α± tan β

1∓ tan α tan β。 (11) 倍角公式:

sin 2α = 2 sin α cos α, cos 2α = cos²α− sin²α = 2 cos²α− 1 = 1 − 2 sin²α。 (12) 半角公式:

sinα 2 =±

r1− cos α

2 , cosα 2 =±

r1 + cos α 2 , tanα

2 =±

r1− cos α

1 + cos α = 1− cos α

sin α = sin α 1 + cos α。 (正負號視左式的正負值而定。)

(13) 三倍角公式:

sin 3α = 3 sin α− 4 sin³α, cos 3α = 4 cos³α− 3 cos α。

(14) 和差化積:

sin α + sin β = 2 sinα + β

2 cosα− β 2 , sin α− sin β = 2 cosα + β

2 sinα− β 2 , cos α + cos β = 2 cosα + β

2 cosα− β 2 , cos α− cos β = −2 sinα + β

2 sinα− β 2 。 (15) 積化和差:

sin α cos β = 1

2[sin(α + β) + sin(α− β)] , cos α sin β = 1

2[sin(α + β)− sin(α − β)] , cos α cos β = 1

2[cos(α + β) + cos(α− β)] , sin α sin β =−1

2[cos(α + β)− cos(α − β)] 。

第 1 章 函數 1.11 反三角函數

定理 1.10.3. 令 ∠A, ∠B, ∠C 為一三角形的三個角, a, b, c 分別為其對應邊之長, 則 (1) 正弦定律 (law of sines):

a

sin A = b

sin B = c sin C。 (2) 餘弦定律 (law of cosines):

c² = a²+ b²− 2ab cos C。

(3) 面積公式:

三角形面積 = 1

2ab sin C。 定理 1.10.4. (n 倍角公式)

(1) sin nα = bXⁿ⁻¹2 c

k=0

(−1)^k¡ _n

2k+1

¢cos^n−2k−1α sin^2k+1α

=¡_n

1

¢cosⁿ⁻¹α sin α−¡_n

3

¢cosⁿ⁻³α sin³α+· · ·+

(

(−1)ⁿ⁻²² cos α sinⁿ⁻¹α n 為偶數 (−1)ⁿ⁻¹² sinⁿα n 為奇數 。

(2) cos nα = bⁿ2c X

k=0

(−1)^k¡_n

2k

¢cos^n−2kα sin^2kα

= cosⁿα−¡_n

2

¢cosⁿ⁻²α sin²α +· · · +

½ (−1)ⁿ² sinⁿα n 為偶數 (−1)ⁿ⁻¹² cos α sinⁿ⁻¹α n為奇數 。 [註]¡_n

i

¢= _i!(n^n!_−i)!。

例 1.10.5. 證明

(1) tan x sin x + cos x = sec x,

(2) sin²x− sin²y = sin(x + y) sin(x− y)。

例 1.10.6. (1) 解方程式 2 + cos 2x = 3 cos x, x ∈ [0, 2π], (2) 解不等式 sin x ≥ cos x, x ∈ [0, 2π] 。

1.11 反三角函數 (Inverse Trigonometric Functions)

定義 1.11.1. 以下函數分別在所限制的定義域上為一對一 , (1) sin x : [−^π₂,^π₂]→ [−1, 1],

(2) cos x : [0, π]→ [−1, 1], (3) tan x : (−^π₂,^π₂)→ (−∞, ∞), (4) cot x : (0, π)→ (−∞, ∞),

第 1 章 函數 1.11 反三角函數

(5) sec x : [0,^π₂)∪ [π,^3π₂ )→ (−∞, −1] ∪ [1, ∞), (6) csc x : (0,^π₂]∪ (π,^3π₂ ]→ (−∞, −1] ∪ [1, ∞) 。 因此均有反函數, 分別為

(1) sin⁻¹x : [−1, 1] → [−^π₂,^π₂], (2) cos⁻¹x : [−1, 1] → [0, π], (3) tan⁻¹x : (−∞, ∞) → (−^π₂,^π₂), (4) cot⁻¹x : (−∞, ∞) → (0, π),

(5) sec⁻¹x : (−∞, −1] ∪ [1, ∞) → [0,^π₂)∪ [π,^3π₂ ), (6) csc⁻¹x : (−∞, −1] ∪ [1, ∞) → (0,^π₂]∪ (π,^3π₂ ] 。 註 1.11.2. (1) sin⁻¹x又可寫為 arcsin x。

(2) (sin x)⁻¹ 表示 _{sin x}¹ 。 (3) sinⁿx = (sin x)ⁿ, n ∈ N;

sin xⁿ= sin(xⁿ), n ∈ Z。

(4) sin⁻²x表示什麼意思?

例 1.11.3. 求值 : (1) sin⁻¹(^√₂³), (2) cos⁻¹(−¹₂), (3) tan(arcsin¹₃)。

例 1.11.4. 若 α = sin^{−1 2}₃ , 求 cos α, tan α, cot α, sec α 及 csc α。

性質 1.11.5. (1) sin⁻¹(sin x) = x, −^π₂ ≤ x ≤ ^π₂; cos⁻¹(cos x) = x, 0≤ x ≤ π。

(2) sin(sin⁻¹x) = x, −1 ≤ x ≤ 1; cos(cos⁻¹x) = x, −1 ≤ x ≤ 1。

(3) sin⁻¹(−x) = − sin⁻¹x。 (4) cos⁻¹x + cos⁻¹(−x) = π。

例 1.11.6. 化簡 (1) cos(tan⁻¹x), (2) sec(2 tan^{−1 x}₃)。

例 1.11.7. 求函數 f(x) =¡

sin⁻¹(x⁻¹)¢₋₁

的定義域。

例 1.11.8. 令 f(x) = sin¡

sin⁻¹x¢

, g(x) = sin⁻¹(sin x)。 (1) 求 f, g 的定義域。

(2) 化簡 f(x) 及 g(x)。

(3) 作 y = f(x) 及 y = g(x) 之圖形。