§12-2 多元函数的极值及其求法
多元函数的极值和最值引例1:某商店卖两种牌子的果汁,本地牌子 每瓶进价1元,外地牌子每瓶进价1.2元,店主 估计,如果本地牌子的每瓶卖 元,外地牌子 的每瓶卖 元,则每天可卖出 瓶 本地牌子的果汁, 瓶外地牌子的果 汁问:店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁 可取得最大收益?
x
y 70 − 5 x + 4 y
y x 7 6
80 + −
显然每天的收益为
f ( x , y ) =
) 7 6
80 )(
2 . 1 (
) 4 5
70 )(
1
( x − − x + y + y − + x − y
求最大收益即为求二元函数的最大值.
0、问题的提出
引例2: 小王有200元钱,他决定用来购买两 种急需物品:计算机U盘和鼠标,设他购买 个U盘, 个鼠标达到最佳效果,效果函数
为 .设每个U盘8元,每
个鼠标10元,问他如何分配这200元以达到 最佳效果.
x y
y x
y x
U ( , ) = ln + ln
问题的实质:求 在条
件 下的极值点.
y x
y x
U ( , ) = ln + ln 200
10
8 x + y =
无条件极值:对自变量除了限制在定义域内外,并 无其他条件.
条件极值:对自变量附加条件的极值问题称为条件 极值.
如引例1。
如引例2。
从上面的两个引例中可以看到,与一元函数极值不 同,多元函数的极值分为两类:
思考:为什么一元函数的极值没有分类!
两个引例中都是求多元函数的最值!为了求最值,
先讨论与最值有密切联系的极值问题!
的图形 观察二元函数 2 2
y
ex
z = − xy+
一、 多元函数极值的定义
二元函数
z = f ( x , y )
在点( x
0, y
0)
的某邻域内有定义,对于该邻域内异于
( x
0, y
0)
的点( x , y )
:若满足不等式
f ( x , y ) < f ( x
0, y
0)
,则称函数在)
,
( x
0y
0 有极大值;若满足不等式) ,
( )
,
( x y f x
0y
0f >
,则称函数在( x
0, y
0)
有极小值;
注意:这里要求严格小于。
多元函数极值的定义
极大值、极小值统称为极值.
使函数取得极值的点称为极值点.
(1)
(3)
例1
处有极小值.
在
函数 ) 0 , 0 (
4 3x2 y2 z = +
例2
处有极小值.
在
函数 ) 0 , 0 (
2
2
y
x
z
= +例3
处无极值.
在
函数 ) 0 , 0 (
xy z =
定理1 (必要条件) 函数 偏导数,
证:
据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.
0 )
, (
, 0 )
,
( 0 0 = ′ 0 0 =
′ x y f x y
fx y
取得极值 , 取得极值 取得极值 且在该点取得极值 , 则有
存在
故
二、多元函数取得极值的条件
该定理说明偏导数存在并且不等于0的点一定不是极值!
如例 3, 点
( 0 , 0 )
是函数z = xy
的唯一驻点,但不是极值点.
注:1)几何意义:极值点处的切平面平行于xoy平面;
驻点 偏导存在的极值点
如何判定驻点是否为极值点?(稍后回答)
注意:
2)使一阶偏导数同时为零的点,称为函数的驻点.
与一元函数类似,可能的极值点除了驻点之外,
偏导数不存在的点也可能是极值点。
如例2,显然函数 z = x2 + y2 . )
0 , 0
( 处取得极小值 在
处偏导数 但函数在
( 0 , 0 )
不存在。
结论:极值点必在驻点和偏导数不存在的点中!
把驻点和偏导数不存在的点称为可疑极值点
.
时, 具有极值 定理2 (充分条件)
的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,
令
则: 1) 当 A<0 时取极大值;
A>0 时取极小值.
2) 当 3) 当
不证明,自己看第二节(P108) . 时, 没有极值.
时, 不能确定 , 需另行讨论.
若函数
z
=f
(x
,y
) 在点 (x
0 ,y
0) 的0 )
, (
, 0 )
,
(
x
0y
0 =f x
0y
0 =f
x y) ,
( ,
) ,
( ,
) ,
(
x
0y
0B f x
0y
0C f x
0y
0f
A
= xx = xy = yy2 > 0
− B AC
2 < 0
− B AC
2 = 0
− B AC
且
例4.求函数
解: 第一步 求驻点.
第二步 判别.
的极值.
求二阶偏导数
求函数 极值的一般步骤:
z = f(x,y)
第一步 解方程组
f
x( x , y ) = 0 , f
y( x , y )
=0
求出实数解,得驻点.
第二步 对于每一个驻点
( x
0, y
0)
,求出二阶偏导数的值 A、B、C.
第三步 定出
AC − B
2的符号,再判定是否是极值.由上例可知:
注意: 如果AC − B2 = 0,只能用定义判定是否是极值!
例5.讨论函数 及 是否取得极值.
在点(0,0)
O
x y
z
推广 如果三元函数
u = f ( x , y , z )
在点P ( x
0, y
0, z
0)
具有偏导数,则它在
P ( x
0, y
0, z
0)
有极值的必要条件为
f
x( x
0, y
0, z
0) = 0
,f
y( x
0, y
0, z
0) = 0
,f
z( x
0, y
0, z
0) = 0
.3、最值应用问题
函数 f 在闭域上连续
函数 f 在闭域上可达到最值
最值可疑点
驻点
边界上的最值点
我们可以把最值问题分为两类:
偏导不存在的点
(1)连续函数在开区域上的最值;
(2)连续函数在闭区域上的最值:
方法:将函数在
D
内的所有驻点和偏导不存在的点处的方法:将函数在
D
内的所有驻点处的函数值及在D
的边界 函数值相互比较,其中最大者即为最大值,最 小者即为最小值.上的最大值和最小值相互比较,其中最大者即为 最大值,最小者即为最小值.
特别, 当区域内部最值存在, 且只有一个极值点P 时,
) (P
f 为极小值 f (P) 为最小值
(大) (大)
更特别的,当可微函数在区域内部有最值存在,且只 有唯一的驻点时,则该点必是该最值点!
例6. 有一宽为 24cm 的长方形铁板 , 把它折起来做成
x 24
一个断面为等腰梯形的水槽,
x 2 24 −
α
x积最大.
问怎样折法才能使断面面
例7. 某厂要用铁板做一个体积为2 的有盖长方体水 箱,问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省?
思考题: 求二元函数
) 4
( )
,
( x y x
2y x y
f
z = = − −
在直线
x + y = 6
,x
轴和y
轴所围成的闭区域 D 上的最大值与最小值.x y
o
= 6 + y x