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§12-2 多元函数的极值及其求法

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Academic year: 2021

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全文

(1)

§12-2 多元函数的极值及其求法

多元函数的极值和最值

(2)

引例1:某商店卖两种牌子的果汁,本地牌子 每瓶进价1元,外地牌子每瓶进价1.2元,店主 估计,如果本地牌子的每瓶卖 元,外地牌子 的每瓶卖 元,则每天可卖出 本地牌子的果汁, 瓶外地牌子的果 汁问:店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁 可取得最大收益?

x

y 70 5 x + 4 y

y x 7 6

80 + −

显然每天的收益为

f ( x , y ) =

) 7 6

80 )(

2 . 1 (

) 4 5

70 )(

1

( x − − x + y + y − + xy

求最大收益即为求二元函数的最大值.

0、问题的提出

(3)

引例2: 小王有200元钱,他决定用来购买两 种急需物品:计算机U盘和鼠标,设他购买 个U盘, 个鼠标达到最佳效果,效果函数

.设每个U盘8元,每

个鼠标10元,问他如何分配这200元以达到 最佳效果.

x y

y x

y x

U ( , ) = ln + ln

问题的实质:求 在条

下的极值点.

y x

y x

U ( , ) = ln + ln 200

10

8 x + y =

(4)

无条件极值:对自变量除了限制在定义域内外,并 无其他条件.

条件极值:对自变量附加条件的极值问题称为条件 极值.

如引例1。

如引例2。

从上面的两个引例中可以看到,与一元函数极值不 同,多元函数的极值分为两类:

思考:为什么一元函数的极值没有分类!

两个引例中都是求多元函数的最值!为了求最值,

先讨论与最值有密切联系的极值问题!

(5)

的图形 观察二元函数 2 2

y

ex

z = xy+

一、 多元函数极值的定义

(6)

二元函数

z = f ( x , y )

在点

( x

0

, y

0

)

的某邻域内有

定义,对于该邻域内异于

( x

0

, y

0

)

的点

( x , y )

:若

满足不等式

f ( x , y ) < f ( x

0

, y

0

)

,则称函数在

)

,

( x

0

y

0 有极大值;若满足不等式

) ,

( )

,

( x y f x

0

y

0

f >

,则称函数在

( x

0

, y

0

)

有极小

值;

注意:这里要求严格小于。

多元函数极值的定义

(7)

极大值、极小值统称为极值.

使函数取得极值的点称为极值点.

(8)

(1)

(3)

例1

处有极小值.

函数 ) 0 , 0 (

4 3x2 y2 z = +

例2

处有极小值.

函数 ) 0 , 0 (

2

2

y

x

z

= +

例3

处无极值.

函数 ) 0 , 0 (

xy z =

(9)

定理1 (必要条件) 函数 偏导数,

证:

据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.

0 )

, (

, 0 )

,

( 0 0 = 0 0 =

x y f x y

fx y

取得极值 , 取得极值 取得极值 且在该点取得极值 , 则有

存在

二、多元函数取得极值的条件

该定理说明偏导数存在并且不等于0的点一定不是极值!

(10)

如例 3, 点

( 0 , 0 )

是函数

z = xy

的唯一驻点,

但不是极值点.

注:1)几何意义:极值点处的切平面平行于xoy平面;

驻点 偏导存在的极值点

如何判定驻点是否为极值点?(稍后回答)

注意:

2)使一阶偏导数同时为零的点,称为函数的驻点.

(11)

与一元函数类似,可能的极值点除了驻点之外,

偏导数不存在的点也可能是极值点。

如例2,显然函数 z = x2 + y2 . )

0 , 0

( 处取得极小值

处偏导数 但函数在

( 0 , 0 )

不存在。

结论:极值点必在驻点和偏导数不存在的点中!

把驻点和偏导数不存在的点称为可疑极值点

.

(12)

时, 具有极值 定理2 (充分条件)

的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,

则: 1) 当 A<0 时取极大值;

A>0 时取极小值.

2) 当 3) 当

不证明,自己看第二节(P108) . 时, 没有极值.

时, 不能确定 , 需另行讨论.

若函数

z

=

f

(

x

,

y

) 在点 (

x

0 ,

y

0)

0 )

, (

, 0 )

,

(

x

0

y

0 =

f x

0

y

0 =

f

x y

) ,

( ,

) ,

( ,

) ,

(

x

0

y

0

B f x

0

y

0

C f x

0

y

0

f

A

= xx = xy = yy

2 > 0

− B AC

2 < 0

− B AC

2 = 0

− B AC

(13)

例4.求函数

解: 第一步 求驻点.

第二步 判别.

的极值.

求二阶偏导数

(14)

求函数 极值的一般步骤:

z = f(x,y)

第一步 解方程组

f

x

( x , y ) = 0 , f

y

( x , y )

=

0

求出实数解,得驻点.

第二步 对于每一个驻点

( x

0

, y

0

)

求出二阶偏导数的值 A、B、C.

第三步 定出

ACB

2的符号,再判定是否是极值.

由上例可知:

注意: 如果AC B2 = 0,只能用定义判定是否是极值!

(15)

5.讨论函数 是否取得极值.

在点(0,0)

O

x y

z

(16)

推广 如果三元函数

u = f ( x , y , z )

在点

P ( x

0

, y

0

, z

0

)

具有偏导数,则它在

P ( x

0

, y

0

, z

0

)

有极值的必要条

件为

f

x

( x

0

, y

0

, z

0

) = 0

f

y

( x

0

, y

0

, z

0

) = 0

f

z

( x

0

, y

0

, z

0

) = 0

.

(17)

3、最值应用问题

函数 f 在闭域上连续

函数 f 在闭域上可达到最值

最值可疑点

驻点

边界上的最值点

我们可以把最值问题分为两类:

偏导不存在的点

(18)

(1)连续函数在开区域上的最值;

(2)连续函数在闭区域上的最值:

方法:将函数在

D

内的所有驻点和偏导不存在的点处的

方法:将函数在

D

内的所有驻点处的函数值及在

D

的边界 函数值相互比较,其中最大者即为最大值,最 小者即为最小值.

上的最大值和最小值相互比较,其中最大者即为 最大值,最小者即为最小值.

(19)

特别, 当区域内部最值存在, 且只有一个极值点P 时,

) (P

f 为极小值 f (P) 为最小值

(大) (大)

更特别的,当可微函数在区域内部有最值存在,且只 有唯一的驻点时,则该点必是该最值点!

(20)

6. 有一宽为 24cm 的长方形铁板 , 把它折起来做成

x 24

一个断面为等腰梯形的水槽,

x 2 24

α

x

积最大.

问怎样折法才能使断面面

(21)

例7. 某厂要用铁板做一个体积为2 的有盖长方体水 箱,问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省?

(22)

思考题: 求二元函数

) 4

( )

,

( x y x

2

y x y

f

z = = − −

在直线

x + y = 6

x

轴和

y

轴所围成的闭区域 D 上的最大值与最小值.

x y

o

= 6 + y x

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