二次函數圖形的上下移動 二次函數圖形的上下移動

認識二次函數 認識二次函數

二次函數圖形的上下移動 二次函數圖形的上下移動

自我評量

y=ax

的圖形 y=ax

的圖形

的最大值與最小值

的最大值與最小值 y  ax

 k

第二冊我們學過， 在兩個變數 x 與 y 的 關係式中，如果給定一個變數 x 的值，就恰好 可得到一個對應變數 y 的值，則稱 y 是 x 的函數（ function ），且 x 為自變數， y 為 應變數 。其中形如 y ＝ ax ＋ b ， a≠0 的函數，

自變數 x 最高的次數為一次，稱為一次函數，

例如： y ＝ 3x － 5 ， y ＝－ 2x ＋ 1 ， y ＝ 5x

等。

而形如 y ＝ ax² ＋ bx ＋ c ， a≠0 的 函數，自變數 x 最高的次數為二次，稱為二 次函數，例如：

(1) 邊長為 x 的正方形，若其面積為 y ，則 可 得關係式 y ＝ x² ，式中給定一個變數 x 的值 ，就恰好可得到一個對應變數 y 的值，

也就是說 y 是 x 的函數，且為二次函數。

(2) 大小兩數的乘積為 y ，若大數為 x ，且 小數比大數少 3 ，則可得關係式 y ＝ x （ x － 3 ）＝ x

－ 3x ，也就是說 y 是 x 的函數，且為二次函數。

(3) 一個小彈珠從 100 公尺高的地方落下，經 過 t 秒鐘後，它離地面的高度為 h 公尺

，根據物理學的自由落體公式， h 與 t

滿足關係式 h ＝ 100 － 4.9t

，也就是說

h 是 t 的函數，且為二次函數。

下面哪些是一次函數？哪些是二次函數？

(1) y ＝ 2 － x (2) y ＝ 3

(3) y ＝－ 2x²－ 3x ＋ 1 (4) y ＝ x （ x ＋ 1 ） (5) y ＝ x²＋ x ＋ 1 (6) y ＝－ 0.2 x ＋ 5

2 3

1 3

一次函數： (1) 、 (6)

二次函數： (3) 、 (4) 、 (5)

當 y 是 x 的函數時，常用符號 y ＝ f

（ x ） 來表示它們之間的關係，並用 f （ a ） 代 表 x ＝ a 時所對應的函數值。

例如：二次函數 y ＝ x （ x － 3 ），

可寫成 y ＝ f （ x ）＝ x （ x － 3 ）

∴ f （ 0 ）＝ 0 × （ 0 － 3 ）＝ 0 f （ 2 ）＝ 2 × （ 2 － 3 ）＝－ 2

f （ ）＝ × ( － 3) ＝ × ( )

＝－

f （－ 0.1 ）＝（－ 0.1 ） ×

（－ 0.1 － 3 ）

＝（－ 0.

1 ） × （－ 3.1 ）＝ 0.31 5 2

2 5

5 2

2 5

1 2

 5 4

在一個問題中同時討論幾個函數時，常用 f

（ x ）、 g （ x ）、 h （ x ）、……表示不同的 函數。 1 函數值

解 解 ∵ f （－ 1 ）＝（－ 1 ）

＋ 3 ＝ 4

g （－ 2 ）＝（－ 2 ＋ 1 ）（－ 2 ＋ 2

）＝ 0

∴ f （－ 1 ）＋ g （－ 2 ）＝ 4 ＋ 0 ＝ 4 已知函數 f （ x ）＝ x

＋ 3 ， g （ x ）＝（ x

＋ 1 ）（ x ＋ 2 ），試求 f （－ 1 ）＋ g （－

2 ）之值。

1. 已知函數 y ＝ 2 （ x － 3 ）

＋ 5 ，若此函數 在 x ＝ 2 與 x ＝ 3 的函數值分別為 a 、 b ，試 求 a ＋ b 之值。 x ＝ 2 ， y ＝ a ＝ 2 （ 2 － 3 ）

＋ 5 ＝ 7

x ＝ 3 ， y ＝ b ＝ 2 （ 3 － 3 ）

＋ 5 ＝ 5

∴a ＋ b ＝ 7 ＋ 5 ＝ 12

2. 已知函數 f （ x ）＝ 3x － 2 ，試求 f （ 1 ）＋

f （ 2 ）＋ f （ 3 ）＋……＋ f （ 19 ）＋ f

（ 20 ）之值。 f （ 1 ）＋ f （ 2 ）＋ f （ 3 ）＋……＋ f

（ 19 ）＋ f （ 20 ）

＝（ 3 × 1 － 2 ）＋（ 3 × 2 － 2 ）＋（ 3 × 3

－ 2 ）＋……＋（ 3 × 19 － 2 ）＋（ 3 × 20

－ 2 ）

＝ 3 （ 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋……＋ 19 ＋ 20 ）－ 2 × 20

＝ 590

我們知道一次函數在坐標平面上所描繪出 的圖形是一條直線，而二次函數在坐標平面上 會描繪出怎樣的圖形呢？

現在就以如何畫出二次函數 y ＝ x

的圖形

，當作探討的起點。

首先選擇一些簡易的整數作為 x 值，然 後求出對應的 y 值，以列表方式呈現如下：

x … －

4 －

3 －

2 －

1 0 1 2 3 4 …

y … 16 9 4 1 0 1 4 9 16 …

圖 1-1 接著將上表中數對所

對應的點描到坐標平面上

。為使圖形準確起見，本 節中的圖形都會盡可能畫 在方格紙上，如圖 1-1 。 在本章中，若無特別說明

，則方格紙的格子長皆為

1 單位長。

為了更清楚的觀察函數圖形，我們在 0 和 1 之間多取一些 x 值，並求出對應的 y 值，

如下表：

x

y

圖 1-2 因為在 0 與 1 之間的

格子太小，不易描出上表 這些數對所對應的點，為 了方便觀察，我們暫時以 格子長為 0.05 單位長的放 大方式來描點，並依序以 線段連接這些點，如圖 1-2

，可發現它們幾乎可連成

一條平滑的曲線。

其實，當我們 取的數對愈多，描 在坐標平面上的點 就愈密，愈容易看 出圖形是一條平滑 的曲線，最後可得 到如圖 1-3 的圖形：

圖 1-3

由圖 1-3 可知： ( － 4 , 16) 的對稱點 (4 , 16) ，

( － 3 , 9) 的對稱點 (3 , 9) ，…… 都在圖形上

，故二次函數 y ＝ x

的圖形，是以 y 軸為對稱

軸的線對稱圖形，而且這個圖形有一個最低點

(0 , 0) 。因為整個圖形會一直向上延伸，且不會

在上方相交，所以我們說此圖形開口向上。

2 y ＝－ x

的繪圖

描繪二次函數 y ＝－ x

的圖形。

首先將 x 和 y 的對應值列表如下：

x

y

解 解

接下來描點，並仿照 y ＝ x

的圖形畫法，

以平滑的曲線將這些點連接起來，如下圖：

在例題 2 中，二次函數 y ＝－ x

的圖形，

也是以 y 軸為對稱軸的線對稱圖形，而且這個

圖形有一個最高點 （ 0 , 0 ）。因為整個圖形會

一直向下延伸，且不會在下方相交，所以我們說

此圖形開口向下。

當我們投擲物體時，該物體所經過的路線 稱為拋物線 。圖 1-4 中，籃球所經過的路線就 是拋物線的一部分。而在例題 2 中， y ＝－ x

的圖形也稱為拋物線。

圖 1-4

拿出第 145 頁的附件 1 與附件 2

，試比較右圖中 y ＝ x

和 y

＝－ x

這兩個圖形的形狀、開口方向 與開口大小。

兩圖形的形狀相同，且可完全

疊合，開口方向相反，開口大小相同。

由動動腦可知：

y ＝ x

與 y ＝－ x

的圖形可以疊合，開口 大小相同，只是開口方向相反，所以 y ＝ x

的圖形也稱為拋物線。不論是 y ＝－ x

圖形 的最高點或是 y ＝ x

圖形的最低點都稱為拋 物線的頂點，且對稱軸都一定會通過拋物線頂 點。

接著我們將改變 x

項的係數，探討形如 y ＝ ax

， a≠0 的二次函數圖形，看看當 a

改變時， y ＝ ax

圖形的變化情形。

3 y ＝ ax

的繪圖

描繪下列二次函數的圖形：

(1) y ＝－ x

(2) y ＝－ 2x

搭配習作 P4 基礎題 3

1 2

(1) 首先將 x 和 y 的對應值列表如下：

接下來描點，並以平滑的曲線將這些點連接 起來，如圖 ( 一 ) 。

x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 … y … -8  2 9 -2 0 -2  9 2 -8 …

1 2

  1 2

解 解

圖 ( 一 )

(2) 首先將 x 和 y 的對應值列表如下：

接下來描點，並以平滑的曲線將這些點連接起 來，如圖 ( 二 ) 。

x … -2 -1 0 1 2 …

y … -8  9 2 -2 0 -2 -8 … 9 2

2 

 1

1 2

 2 3

  1 2

1 2

2 3

解 解

圖 ( 二 )

描繪下列二次函數的圖形：

(1) y ＝ x

x … －

4 －

3 －

2 －

1 0 1 2 3 4 …

y … …

1 2

8 92 _{2 0 2 8}

12

12

92

在例題 3 中，二次函數 y ＝－ x

與 y

＝－ 2x

的圖形也稱為拋物線。 1 2

描繪下列二次函數的圖形：

(1) y ＝ x

2 1

描繪下列二次函數的圖形：

(2) y ＝ 2x

x … －

2 －

1 0 1 2 …

y … 8 92 _{2 0 2 8} …

12

12

92 23

 12

12

23

描繪下列二次函數的圖形：

(2) y ＝ 2x

1. 拿出第 145 頁的附件 3 與附件 4 ，試比較右圖 中

y ＝ x

與 y ＝－

x

這兩個圖形的形 狀、開口方向與開口大 小。

1 2

2 1

兩圖形的形狀相同，且可完全疊合

，開口方向相反，開口大小相同。

2. 拿出第 146 頁的附件 5 與附件 6 ，試比較右圖 中

y ＝ 2x

與 y ＝－ 2x

這兩個圖形的形狀、開 口方向與開口大小。

兩圖形的形狀相同，且可

完全疊合，開口方向相反，開口大小相同。

由動動腦可知：

(1) y ＝ x

的圖形可和 y ＝－ x

的圖形 疊合， 開口大小相同，只是開口方向相反。

(2) y ＝ 2x

的圖形可和 y ＝－ 2x

的圖形疊合，

開口大小相同，只是開口方向相反。

因此 y ＝ x

與 y ＝ 2x

的圖形也都是拋物線。

2 1

2 1

1 2

如圖 1-5 ，把前面所畫的二次函數圖形，都 畫在同一個坐標平面上：

圖 1-5

由圖 1-5 可知，上述的二次函數圖形都是拋 物線，而且都有相同的頂點（ 0 , 0 ），與相同 的對稱軸（ y 軸）。其中 y ＝ 2x

、 y ＝ x

與 y ＝ x

的圖形開口向上且愈來愈大，頂點

（ 0 , 0 ）是最低點；而 y ＝－ 2x

、 y ＝－ x

與 y ＝－ x

的圖形開口向下且愈來愈大，

頂點（ 0 , 0 ）是最高點。

1 2

1 2

事實上，形如 y ＝ ax

的二次函數圖形，都是以

（ 0 , 0 ）為頂點，以 y 軸為對稱軸的拋物線，

且

(1) 當 a ＞ 0 時，圖形的開口向上，頂點是最低點

。

(2) 當 a ＜ 0 時，圖形的開口向下，頂點是最高 點。

(3) ｜ a ｜愈小，其圖形開口愈大。

4 y ＝ ax

的圖形比較

試寫出下列二次函數圖形的開口方向、頂點 坐標與對稱軸，並比較其開口大小：

甲： y ＝ 3x

乙： y ＝－ 3x

丙： y ＝－ x

丁： y ＝ x

2 3

4 3

解 解 (1)∵ 甲、丁兩個函數的 x

係數為正數，

∴ 甲、丁的圖形開口向上。

反之，乙、丙的圖形開口向下。

(2) 各圖形均以（ 0 , 0 ）為頂點，且均以 y 軸為對稱軸。

(3)∵ ｜ 3 ｜＝｜－ 3 ｜＞｜－ ｜＞｜

｜，

∴開口大小為：甲＝乙＜丙＜丁 2 3

4 3

試寫出下列二次函數圖形的開口方向、頂點 坐標與對稱軸，並比較其開口大小：

甲： y ＝－ x

乙： y ＝－ x

丙： y ＝ x

丁： y ＝－ x

32

13 32

43

(1) 開口向上：丙。

開口向下：甲、乙、丁。

(2) 各圖形均以（ 0 ,0 ）為頂點， y 軸為對稱軸

。

(3) 開口大小為：丁＜甲＝丙＜乙。

5 y ＝ ax

的應用

如右圖， A 、 B 兩點分別在 第一、二象限內，且兩點均 在 y ＝ x

的圖形上，

並與 x 軸相距 4 單位。試求

：

(1) A 、 B 兩點的坐標。

(2) 的長度。

1 2

AB

解一 解一

由圖可知 A 、 B 兩點的 y 坐標均為 4 ，且分 別在第一、二象限內，故可設 A （ a , 4 ）、 B

（ b , 4 ），其中 a ＞ 0 、 b ＜ 0 。兩點均在 y

＝ x

的圖形上，分別將其坐標代入函數得：

4 ＝ a

4 ＝ b

a

＝ 8 b

＝ 8

a ＝ （ a ＞ 0 ） b ＝－

　 （ b ＜ 0 ）

因此可得 A （　　 , 4 ）、 B （－　　 ,4 ） ＝∣ －（－ ）∣＝

2 2

2 2 2

2 4 2

2 2

21

--- --- --- -- AB

21

2 2

2 2

12

解二 解二

由圖可知 A 、 B 兩點的 y 坐標均為 4 ，且均在函數 y ＝ x

的圖形上，

∴ 將 y ＝ 4 代入該函數可求得它們的 x 坐標：

4 ＝ x

， x

＝ 8 ， x ＝ ± 。

又 A 、 B 兩點分別在第一、二象限內，

因此可得 A （ ,4 ）、 B （－ 　 ,4 ） ＝∣　 －（－ ）∣＝

12 2 2

12

2

2 2 2

2

2 2 2

AB

1. 若二次函數 y ＝ 2x

的圖形通過坐標 ( － 3 , a) ，而 y ＝ bx

的圖形通過坐標 ( － 2 ,

－ 12 ) ，

試求 a 、 b 之值。

∵ y ＝ 2x

的圖形通過（－ 3 ,a ）

∴ 將（－ 3 ,a ）代入得 a ＝ 2( － 3)

＝ 18

又 y ＝ bx

的圖形通過（－ 2 , － 12 ）

∴ 將（－ 2 , － 12 ）代入得－ 12 ＝ b( － 2)

，

b ＝－ 3

2. 如圖， A 、 B 兩點均在 y ＝－ x

的圖形上，其中 A 點在第三象限內，與 x 軸相距 2 單位， B 點在第 四象限內，與 y 軸相距 2 單位，試求

A 、 B 兩點的坐標。

設 A （ a , － 2 ）、 B （ 2 ,b ），其中 a ＜ 0 ， b ＜ 0 。 ∵A 、 B 兩點均在 y ＝－ x

的圖形上，

∴ 分別將（ a , － 2 ）、（ 2 ,b ）代入得：

－ 2 ＝－ a

， a ＝－

b ＝－ 2

， b ＝－ 4

故 A 點坐標為（－ , － 2 ），

B 點坐標為（ 2 , － 4 ）。

2

2

2.

6 y ＝ ax

圖形開口大小的應用

在坐標平面上，直線 y ＝ 1 分別與 y ＝ x

、 y ＝ x

、 y ＝ x

的圖形在第一象限內相交

於 A 、 B 、 C 三點，在第二象限內相交於 D

、 E 、 F 三點。試

比較 、 、 長度的大小。

AD BE CF

2 1

1 3

解 解 ∵y ＝ x

、 y ＝ x

、 y ＝ x

的圖 形都是以（ 0 , 0 ）為頂點的拋物線，

又 x

項係數均大於 0 ， 且｜ 1 ｜＞｜ ｜＞｜ ｜，

可知圖形的開口向上且愈來愈大

∴ 依題意可圖示如下：

1 2

1 3

1 2

1 3

觀察圖形可發現： CF ＞ BE ＞ 。 AD

坐標平面上 y ＝ x

的圖形，分別與直線 y ＝ 2 、

y ＝ 3 、 y ＝ 4 在第一象限內相交於 A 、 B 、 C 三點，在第二象限內相交於 D 、 E

、 F 三點。試比較 、 、 三線段長度的大小。

AD BE CF

依題意圖示如右，

觀察圖形可發現：

＞ 　 ＞ 。 CF BE AD

形如 y ＝ ax

， a ＞ 0 的二次函數，其圖形 開口向上，有最低點（ 0 , 0 ），由圖 1-6 可知，

此類函數在 x ＝ 0 時，有最小值 y ＝ 0 。

相反的，形如 y ＝ ax

， a ＜ 0 的二次函數

，其圖形開口向下，有最高點（ 0 , 0 ），由圖 1-6 可知此類函數在 x ＝ 0 時，有最大值 y ＝ 0

。

圖 1-6

其實不經由畫圖，我們也可由不等式發現 此現象：

1. 若 y ＝ ax

， a ＞ 0 ：

∵ x

≧ ，∴ ax 0

≧ ， 0 即函數值 y 0 ≧ ，

又 x ＝ 0 時， ax

＝ 0 ，

故此函數在 x ＝ 0 時，有最小值 y ＝ 0 。

2. 若 y ＝ ax

， a ＜ 0 ：

∵ x

≧ ，∴ ax 0

≦ ， 0 即函數值 y 0 ≦ ，

又 x ＝ 0 時， ax

＝ 0 ，

故此函數在 x ＝ 0 時，有最大值 y ＝ 0 。

因為拋物線 y ＝ ax² 的開口方向只有向上 或向下，因此當此類函數有最小值時，就不

可能有最大值；若有最大值時，就不可能有 最小值。

為了便於描繪形如 y ＝ ax²＋ k ， k≠0 的 二

次函數圖形，我們先來練習如何利用不等 式，找出此類二次函數的最大值或最小值。

7 最大值或最小值

試求下列二次函數的最大值或最小值，並寫出 x 的值為多少時，會得到最大值或最小值。

(1) y ＝ 3x

－ 4 (2) y ＝－ x

＋ 2

搭配習作 P5 基礎題 2

(1) 3 ∵ x

≧ ， 0

3x

－ 4 0 ≧ － 4 ，

∴y ＝ 3x

－ 4≧ － 4 ，

又 x ＝ 0 時， 3x

－ 4 ＝－ 4 ，

故函數在 x ＝ 0 時，有最小值 y ＝－ 4 。 (2) ∵ － x

≦ ， 0

－ x

＋ 2 0 ≦ ＋ 2 ， ∴y ＝－ x

＋ 2 2 ≦ ，

又 x ＝ 0 時，－ x

＋ 2 ＝ 2 ，

故函數在 x ＝ 0 時，有最大值 y ＝ 2 。

解 解

試求下列二次函數的最大值或最小值，並寫出 x 的值為多少時，會得到最大值或最小值。

(1) y ＝ 2x ∵2x

≧ 0

－ 5 (2) y ＝－ 3x

＋ 4 2x

－ 5≧ － 5

∴y ＝ 2x

－ 5≧ － 5

又 x ＝ 0 時， y ＝－ 5 ， 故函數在 x ＝ 0 時，

有最小值 y ＝－ 5 。

∵ － 3x

≦ 0

－ 3x

＋ 4 4 ≦

∴y ＝－ 3x

＋ 4 4 ≦

又 x ＝ 0 時， y ＝ 4 ， 故函數在 x ＝ 0 時，

有最大值 y ＝ 4 。

(3) y ＝ x 1 3

＋ 1 (4) y ＝－ 4x

－ 2 3

∵ x

≧ 0

x

＋ 1 1 ≧

∴y ＝ x

＋ 1 1

≧

又 x ＝ 0 時， y ＝ 1 ，

故函數在 x ＝ 0 時

，

有最小值 y ＝ 1 。 1 3

3 1

1 3

∵ － 4x

≦ 0

－ 4x

－ ≦－

∴y ＝－ 4x

－ ≦－

又 x ＝ 0 時， y ＝－ ， 故函數在 x ＝ 0 時，

有最大值 y ＝－ 。 2 3

2 3

2 3

2 3

2 3

2 3

一般而言，形如 y ＝ ax

＋ k ， k≠0 的 二次函數：

1. 若 a ＞ 0 ：

∵ ax

≧ ， 0

ax

＋ k 0 ≧ ＋ k ，

∴ y ＝ ax

＋ k≧k ，

且 x ＝ 0 時， ax

＋ k ＝ k ，

故此函數在 x ＝ 0 時，有最小值 y ＝ k

。

2. 若 a ＜ 0 ：

∵ ax

≦ ， 0

ax

＋ k 0 ≦ ＋ k ，

∴ y ＝ ax

＋ k≦k ，

且 x ＝ 0 時， ax

＋ k ＝ k ，

故此函數在 x ＝ 0 時，有最大值 y ＝ k

也就是說，形如 y ＝ ax 。

＋ k ， k≠0 的二次函數，

可以得到下面的結論：

(1) 若 a ＞ 0 ，函數在 x ＝ 0 時，有最小值 k 。

(2) 若 a ＜ 0 ，函數在 x ＝ 0 時，有最大值 k 。

接下來，讓我們來看一些形如 y ＝ ax

＋ k ， k≠0 的二次函數圖形。

描繪二次函數 y ＝ x

＋ 1 的圖形。

搭配習作 P4 基礎題

8 y ＝ ax

＋ k 的繪圖（ a ＞ 0 ）

∵ x

項係數是 1 ，大於 0 ，

∴ 函數在 x ＝ 0 時，有最小值 y ＝ 1 。

因此從 x ＝ 0 開始，對稱的將 x 和 y 的 對應 列表如下： 值

x … －

3 －

2 －

1 0 1 2 3 …

y … 10 5 2 1 2 5 10 …

解 解

然後描點並畫平滑曲線如右圖：

在下面的坐標平面上，描繪二次函數 y ＝ x

－ 1

的圖形：

x … …

y x … … － …

3 －

2 －

1 0 1 2 3 …

y … 8 3 0 －

1 0 3 8 …

圖形的形狀相同，且可 完全疊合，開口方向、

開口大小也相同。

拿出第 145 頁的附件 1 ，疊在右圖中 y ＝ x

、

y ＝ x

－ 1 和 y ＝ x

＋ 1 這 三個圖形上，比較它們

的形狀、開口方向與開

口大小。

由動動腦可知：

y ＝ x

－ 1 與 y ＝ x

＋ 1 的圖形均可和 y ＝ x

的圖形疊合，所以這三個圖形都是拋物線，

其開口大小相同。且知將 y ＝ x

的圖形向上移 動 1 個單位，便是 y ＝ x

＋ 1 的圖形；而向下 移動 1 個單位，便是 y ＝ x

－ 1 的圖形，因此 這三個圖形均為開口向上且有相同的對稱軸（

y 軸）。

9 y ＝ ax

＋ k 的繪圖（ a ＜ 0 ） 描繪二次函數 y ＝－ x

－ 1 的圖形。

搭配習作 P6 基礎題 3

1 2

解 解 ∵x

項係數小於 0 ，

∴ 函數在 x ＝ 0 時，有最大值 y ＝－ 1 。 因此從 x ＝ 0 開始，對稱的將 x 和 y 的對 應值列表如下：

x … －

3 －

2 －

1 0 1 2 3 …

y … －

3 －

1 －

3

2

 11

2 3

  2 3

11 2



然後描點並畫平滑曲線如下圖：

在下面的坐標平面上，

描繪二次函數

y ＝－ x

＋ 2 的圖

形： 2 1

… y …

…

… x

2

0 1

0

2 3

… 0

y …

…

－ 1

－ 2

…

x

2 5

 2 3

2 3

2 5



圖形的形狀相同，且 可完全疊合，開口方 向、開口大小也相同

。

拿出第 145 頁的附件 4 ，疊在右圖中 y ＝－

x

、 y ＝－ x

－ 1 和 y ＝－ x

＋ 2 這三個圖形上，比較它們的

形狀、開口方向與開口大小。

2 1 1 2

1 2

由動動腦可知：

y ＝－ x

－ 1 與 y ＝－ x

＋ 2 的圖 形均可和

y ＝－ x

的圖形疊合，所以這三個圖形都 是拋物線，其開口大小相同。且知將 y ＝－

x

的圖形向下移動 1 個單位，便是 y ＝－

x

－ 1 的圖形；而向上移動 2 個單位，便是 y ＝－ x

＋ 2 的圖形，因此這三個圖形 均為開口向下且有相同的對稱軸（ y 軸）。

2 1 2 1 2 1 2 1 1 2

1 2

由前面的動動腦，我們可整理得表 1-1 ，請 在表 1-1 的空格內，填入適當的文字或符號。

圖形的移動 圖形

形狀 頂點

座標 對稱軸 y ＝ x

＋

1

由 y ＝ x

的圖 形向上移動 __

_ 個單位可得

。

開口向 上的拋

物線 (0 ,1) 項目

函數

y 軸 (x ＝ 0) 1

表 1-1

y ＝ x

－ 1

由 y ＝ x

的圖 形向 ___ 移動 1 個單位可得

。

開口向 上的拋 物線

y 軸 (x ＝

0)

y ＝ - x²－ 1

由 y ＝－ x

的圖形向下移 動 ___ 個單位 可得。

開口向 下的拋

物線 (0 ,-1) (0 ,-1)

y 軸 (x ＝ 0) 下

1

1 2

y ＝ - x² ＋ 2

由 y ＝－ x

的圖形向 ___

移動 2 個單位 可得。

開口向 下的拋

物線 (0 ,2)

上 ²

1

因此，對於形如 y ＝

＋ k ， k≠0 的 二次

函數圖形，由表 1-1 可歸納得：

1. 其圖形都是拋物線，頂點坐標（ 0 ,k ），對 稱軸為直線 y 軸（

(1) 當 k ＞ 0 時，其圖形可由 y ＝ ax

的圖形向 上移動 k 個單位而得。

(2) 當 k ＜ 0 時，其圖形可由 y ＝ ax

的圖形向

下移動｜ k ｜個單位而得。

2. 其圖形的開口方向與 y ＝ ax

相同，因此：

(1) 當 a ＞ 0 時，圖形開口向上，頂點是最低 點，函數有最小值為 k 。

(2) 當 a ＜ 0 時，圖形開口向下，頂點是最高

點，函數有最大值為 k 。

我們也可將二次函數 y ＝ ax

＋ k ， k≠0 的圖形，整理如下：

條 件

a ＞ 0 a ＜ 0

k ＞ 0 k ＜ 0 k ＞ 0 k ＜ 0

圖

示

1. 若二次函數 y ＝－ 2x

的圖形向上移動 3 個單位 可得 y ＝ ax

＋ q 的圖形，試求 a ＋ q 之值。

搭配習作 P7 基礎題 4

∵y ＝－ 2x

的圖形向上移動 3 個單位可得 y ＝－ 2x

＋ 3

∴a ＝－ 2 ， q ＝ 3 ，

故 a ＋ q ＝ 1 。

2. 試寫出下列二次函數圖形的開口方向、頂點 坐標與對稱軸，並比較其開口大小。

甲： y ＝ 3x

＋ 1 乙： y ＝－ x

－ 4 甲：開口向上，頂點 (0 ,1) ，對稱軸為 y 軸

。

乙：開口向下，頂點 (0 , － 4) ，對稱軸 y 軸

。

開口大小：甲＜乙 。

8 3

1. 二次函數：

形如 y ＝ ax

＋ bx ＋ c ， a≠0 的函數，

自變數 x

的次數最高為二次，稱為二次函數。

2. y ＝ ax

＋ k 的圖形：

二次函數 y ＝ ax² ＋ k

a ＞ 0 a ＜ 0

圖形 拋物線

對稱軸 y 軸（ x ＝ 0 ）

頂點坐標 （ 0 , k ）

開口方向 開口向上，

頂點為最低點

開口向下，

頂點為最高點 最大值或最小值 最小值 k 最大值 k

1-1 自我評量

1. 已知函數 f （ x ）＝ x

－ 9x － 190 ，試求 f

（－ 10 ）＋ f （ 19 ）之值。

f （－ 10 ）＝（－ 10 ）

－ 9 （－ 10 ）－ 190 ＝ 100 ＋ 90 － 190

＝ 0

f （ 19 ）＝ 19

－ 9×19 － 190

＝ 19 ( 19 － 9 － 10 ) ＝ 0

∴ f （－ 10 ）＋ f （ 19 ）＝ 0

2. 試求下列二次函數的最大值或最小值，並寫出 x 的值為多少時，會得到最大值或最小值。

(1) y ＝ x

(2) y ＝－ 5x

4 3

∵ x

項係數 ＞ 0 ，

∴ 函數在 x ＝ 0 時，

有最小值 y ＝ 0 。

4 3 _{∵ x}

項係數－ 5 ＜ 0 ，

∴ 函數在 x ＝ 0 時，

有最大值 y ＝ 0 。

(3) y ＝ 4x

－ 3 (4)y ＝－ 3x

－ 5 2

∵ x

項係數 4 ＞ 0 ，

∴ 函數在 x ＝ 0 時，

有最小值 y ＝－ 3 。

∵ x

項係數－ 3 ＜ 0 ，

∴ 函數在 x ＝ 0 時，

有最大值 y ＝－ 5 2

3. 描繪下列二次函數的圖形：

(1)y ＝ x 2 3

1

6 2

… 0

6 y …

… 0

－ 1

… － 2

x

2 3

2 3

(2) y ＝ x

－ 2

x … －

2 －

1 0 1 2 … y … 2 －

1 －

2 － 1 2 …

(3) y ＝－ 2x

＋ 1

x … －

2 －

1 0 1 2 … y … －

7 －

1 1 －

1 －

7 …

x … －

4 －

2 0 2 4 …

y … －

7 －

1 1 －

1 －

7 …

(4)y ＝－ x 1 2

＋ 1

4. 若二次函數 y ＝ x

的圖形向下移動 個單位可得 y ＝ ax

＋ p 的圖形，試求 a ＋ p 之值。

1 2

2 5

∵ y ＝ x

的圖形向下移動 個單位，

可得 y ＝ x

－ ， ∴a ＝ ， p ＝－ ，

故 a ＋ p ＝ － ＝－ 2 1 2

5 2 1 2

2 5 1 2

5 2 1 2

5 2

5. 若二次函數 y ＝ 3x

的圖形向下移動幾個單位 後

，可得 y ＝ ax

＋ q 的圖形，且移動後的圖 形通過（－ 2 ,5 ），試求 q 之值。

∵y ＝ 3x

的圖形向下移動可得 y ＝ ax

＋ q ，

∴a ＝ 3 。

又移動後的圖形通過（－ 2 , 5 ），

∴ 代入 y ＝ 3x

＋ q 得 5 ＝ 12 ＋ q

q ＝－ 7

6. 試寫出下列二次函數圖形的開口方向、頂點 坐標與對稱軸，並比較其開口大小：

甲： y ＝－ 4x

乙： y ＝－ 2x

－ 5

丙： y ＝－ x

丁： y ＝ x

＋ 7 4 1

2 3

甲：開口向下，頂點 ( 0 , 0 ) ，對稱軸為 y 軸。

乙：開口向下，頂點 ( 0 , － 5 ) ，對稱軸為 y 軸。

丙：開口向下，頂點 ( 0, 0 ) ，對稱軸為 y 軸。

丁：開口向上，頂點 ( 0 ,7 ) ，對稱軸為 y 軸。

開口大小：甲＜乙＜丁＜丙。