第 16 章向量微積分 (Vector Calculus)

(1)

第 16 章

向量微積分 (Vector Calculus)

16.1 向量場 (Vector Fields)

向量場

定義 16.1.1. (1) 令 D ⊂ R², R² 的向量場 (vector ﬁeld) 是一個函數 F : D → R²,將 (x, y) 對應到向量 F (x, y)。

(2) 令 E ⊂ R³, R³ 的向量場 (vector ﬁeld) 是一個函數 F : E → R³, 將 (x, y, z) 對 應到向量 F (x, y, z)。通常可表為 F (x, y, z) = hP (x, y, z) , Q (x, y, z) , R (x, y, z)i = P (x, y, z) i + Q (x, y, z) j + R (x, y, z) k.

(3) 若其分量函數 P, Q, R 為連續函數, 則稱其為連續向量場。

(2)

第 16 章向量微積分 16.1 向量場

(4) 若其分量函數 P, Q, R 可微, 則稱其為可微向量場。

例 16.1.2. (1) 令 R² 上的向量場 F (x, y) = h−y, xi。描繪其向量場。

(2) 描繪 R³ 上的向量場 F (x, y, z) = zk。

例 16.1.3. 描繪以下各 R² 上的向量場:

(1) F (x, y) =hy, sin xi,

(2) F (x, y) =hln (1 + x²) , ln (1 + y²)i。

例 16.1.4. 描繪以下各 R³ 上的向量場:

(1) F (x, y, z) =hy, z, xi, (2) F (x, y, z) =hy, −2, xi, (3) F (x, y, z) =_y

z,−^x_z,^z₄®

。

例 16.1.5. (1) 一流體流經一管子, v (x, y, z) 表其速度向量, 則得一速度向量場(velocity ﬁeld)。

速率即為箭頭的長度。

(2) Newton 萬有引力定律: |F| = −^{mM G}_r2 。假設質量 M 之物體是位於原點, 而質量 m 的物體是 在 x = hx, y, zi 處, r = |x|。則重力場 (gravitational ﬁeld) 為

F =

* −mMGx

(x²+ y²+ z²)³²

, −mMGy

(x²+ y²+ z²)³²

, −mMGz

(x²+ y²+ z²)³² +

。

(3) 電荷 Q 位於原點, 由 Coulomb 定律, 則 Q 對於位在 (x, y, z) 的電荷 q 所作用的電力為 F (x) = ^²qQ

|x|³x。令 E = ¹_qF (x) = ^²Q

|x|³x,稱為 Q 的電場 (electric ﬁeld)。

保守場

定義 16.1.6. 若 f 為多變數函數, 則 ∇f 為梯度場 (gradient ﬁeld)。

例 16.1.7. 求 f (x, y) = x²y− y³ 的梯度場。

定義 16.1.8. 若一個向量場 F 是某個純量函數 f 的梯度場, 即 F = ∇f, 則稱 F 為保守場 (conservative vector ﬁeld), f 稱為 F 的位勢函數 (potential function)。

例 16.1.9. 令 f (x, y, z) = √^{mM G}

x²+y²+z², 則 ∇f 即為重力場, 所以重力場是保守場。

定義 16.1.10. 一個向量場的流線 (ﬂow line or streamline) 是一個粒子在向量場中移動的路徑, 此向量場即為其運動的速度場。

例 16.1.11. 令 R² 上的向量場 F (x, y) = hx, −yi。

(a) 若一條流線的參數式是 x = x(t), y = y(t), 則它滿足 ^dx_dt = x, ^dy_dt =−y。

(b) 求通過 (1, 1) 之流線的方程式。

(c) 若向量場為 F (x, y) = h1, xi。求通過 (0, 0) 之流線的方程式。

(3)

第 16 章向量微積分 16.2 線積分

16.2 線積分 (Line Integrals)

線積分

定義 16.2.1. 在空間中, f(x, y, z) 為一實值函數, 其定義域為 D, 曲線 C : r(t) = hg(t), h(t), k(t)i, t∈ [a, b] 為包含在 D 中的曲線。於是 f(g(t), h(t), k(t)) 為定義在 [a, b] 上的函數。將曲線 C 分 割為 n 段 s1,· · · , sn,其長度為 4s1,· · · , 4sn,在每一段上任取一樣本點 (x^∗k, y_k^∗, z_k^∗),則得 Rie- mann 和 P_n

k=1f (x^∗_k, y_k^∗, z_k^∗)4sk。令 P = max{4sk}, 若極限 lim

kP k→0

P_n

k=1f (x^∗_k, y^∗_k, z^∗_k)4sk

存在, 則定義它是 f(x, y, z) 在 C上的線積分 (line integral of f along C), 記為R

Cf (x, y, z)ds

。

註 16.2.2. (1) (線積分計算法) 若 r(t) 為平滑 , 則 s(t) =Rt

a|v(τ)|dτ 。故 Z

C

f (x, y, z)ds = Z b

a

f (g(t), h(t), k(t))|v(t)|dt

= Z b

a

f (g(t), h(t), k(t))

sµdx dt

¶2

+ µdy

dt

¶2

+ µdz

dt

¶2

dt。 (2) 對平面上的曲線和函數也可同樣定義線積分。

(3) 若 C 為有限條平滑曲線 C1, C₂, . . . , C_n 的聯集, 即 C 是逐段平滑曲線, 則 R

Cf (x, y) ds = R

C1f (x, y) ds + . . . +R

Cnf (x, y) ds。

例 16.2.3. (1) 令 C 為 x²+ y² = 1 的上半圓, 求 R

C(2 + x²y) ds。

(2) C₁ 是 y = x² 上從 (0, 0) 到 (1, 1) 的弧, C2 是從 (1, 1) 到 (1, 2) 的線段, C 是它們的聯集。

求R

C2xds。

例 16.2.4. (1) 若 C 為連接原點到 (1, 1, 1) 的線段 , f(x, y, z) = x − 3y² + z 。求 f(x, y, z) 在 C 上的線積分。

(2) C 為從 (0, 0, 0) 到 (1, 1, 0), 再到 (1, 1, 1) 之折線段。求 f(x, y, z) = x − 3y²+ z 在 C 上 的線積分。

例 16.2.5. (1) C 為 x²³ + y²³ = a²³,求 R

C(x⁴³ + y⁴³)ds。 (2) C 為 (x²+ y²)² = a²(x²− y²), 求R

C|y|ds。

(3) C 為 y = acosh^x_a, 求 R

C ds y²。

(4) 若 C 為 hcos t, sin t, ti,t ∈ [0, 2π] , 求 R

Cy sin zds。

例 16.2.6. C 為 x² + y² = z² 與 y² = ax (a > 0,) 之交線上, 從 (0, 0, 0)到 (a, a,√

2a) 的曲線段, 求 R

Czds。線積分的應用

定義 16.2.7. 若一金屬線位於空間平滑曲線 C 上 , 其密度為 δ(x, y, z) , 則 (1) 質量為 M =R

Cδ(x, y, z)ds。 (2) 對座標面的一次矩為 Myz =R

Cxδds, M_xz =R

Cyδds, M_xy =R

Czδds。

(4)

第 16 章向量微積分 16.2 線積分

(3) 質心 (x, y, z) 為 x = ^M_M^yz, y = ^M_M^xz, z = ^M_M^xy。 (4) 對座標軸及一般直線之二次矩 Ix =R

C(y²+ z²)δds, I_y = R

C(x²+ z²)δds, I_z = R

C(x²+ y²)δds, I_L =R

Cr²δds ,其中 r(x, y, z) 為 (x, y, z) 到直線 L 的距離。

(5) 對直線 L 的迴轉半徑為 RL= qIL

M。

例 16.2.8. 一金屬線形狀為 x²+ y² = 1, y ≥ 0, 其任一點的密度與它和 y = 1 的距離成正比。求 其質心。

例 16.2.9. 一金屬線形狀為 yz-平面上的半圓 y²+ z² = 1, z ≥ 0 , 其密度為 δ(x, y, z) = 2 − z

。求其質心。

例 16.2.10. 有一金屬線為 r(t) = hcos 4t, sin 4t, ti, t ∈ [0, 2π] , 密度 δ = 1 。求其質量, 對 z 軸的二次矩及迴轉半徑。

例 16.2.11. 一座牆其底為 x = 10 cos t, y = 10 sin t, 在 (x, y) 處牆高為 h(x, y) = 4+0.01(x²− y²),則牆的面積為多少?

對 x, y 的線積分

定義 16.2.12. (1) f 沿著 C 對 x 的線積分為 R

Cf (x, y) dx =R_b

af (x (t) , y (t)) x⁰(t) dt。 (2) f 沿著 C 對 y 的線積分為 R

Cf (x, y) dy =Rb

a f (x (t) , y (t)) y⁰(t) dt。 註 16.2.13. (1) R

Cf (x, y) ds可稱為對弧長的線積分。

(2) P 對 x 及 Q 對 y 之線積分的和可記為 R

CP (x, y) dx +R

CQ (x, y) dy =R

CP (x, y) dx + Q (x, y) dy。

例 16.2.14. 令 C1 為從 (−5, −3) 到 (0, 2) 的線段, C2 是拋物線 x = 4 − y² 上, 從 (−5, −3) 到 (0, 2) 的弧。求R

C1y²dx + xdy 及 R

C2y²dx + xdy。

例 16.2.15. C₁ 是 (2, 0, 0)到 (3, 4, 5)的線段, C2 是從 (3, 4, 5)到 (3, 4, 0)的線段, C 是 C1 及 C₂ 聯集。求 R

Cydx + zdy + xdz。 註 16.2.16. (1) 對一曲線 C, 給定參數式

(

x = x (t)

y = y (t) , t∈ [a, b], 則可決定其賦向(orientation), 以 t 的增加為其正方向。

(2) −C 代表與 C 相同的曲線, 但其方向是從 C 的終點到起點。

(3) 對弧長的線積分滿足 R

−Cf (x, y) ds =R

Cf (x, y) ds, 因為 ds > 0。

(4) 但 4x 和 4y 在 C 的賦向改變時會變號, 故R

−Cf (x, y) dx =−R

Cf (x, y) dx、R

−Cf (x, y) dy =

−R

Cf (x, y) dy。向量場的線積分

定義 16.2.17. 令 F 是 R³ 上的連續力場, 此力作用在一物體上, 將其沿著平滑曲線 C 移動。令 T 為 C 的單位切向量, 則所做的功 (work) 為

W = Z

C

F (x, y, z)· T (x, y, z) ds = Z b

a

F (r (t))· r⁰(t) dt = Z

C

F· dr。

(5)

第 16 章向量微積分 16.2 線積分 例 16.2.18. 求力場 F (x, y) = hx²,−xyi 沿著四分之一圓 r (t) = hcos t, sin ti,t ∈£

0,^π₂¤ 的功。所做

例 16.2.19. (a) 力 F = hy − x², z− y², x− z²i 沿著曲線 r(t) = ht, t², t³i 作用 , 從 (0, 0, 0) 到 (1, 1, 1) 所作的功為何?

(b) 若 r(t) = ht, t, ti, 則如何?

定義 16.2.20. 令平滑曲線 C 由 r(t), a ≤ t ≤ b 所定義, T 為 C 的單位切向量。 F 是 R³ 上 的連續向量場, 則 F 沿著 C 的線積分 (the line integral along C) 為R

CF· dr =R_b

aF (r (t))· r⁰(t) dt =R

CF (x, y, z)· T (x, y, z) ds。

例 16.2.21. 求R

CF· dr, 其中 r(t) = hxy, yz, zxi, 且 C 為 x = t, y = t², z = t³, 0≤ t ≤ 1。

例 16.2.22. 若 F(x, y, z) = hsin x cos y, xzi, r(t) = ht³,−t², ti, 0 ≤ t ≤ 1, 求 R

CF· dr。

例 16.2.23. 一物體的質量是 m, 移動的位置函數為 r(t) = ha sin t, b cos t, cti, 求這段時間內對 這物體所作的功。

例 16.2.24. (1) 若 F = h√ ^x

x²+y²,√ ^y

x²+y²i, C 是 y = 1 + x² 上從 (−1, 2) 到 (1, 2) 曲線段, 求 R

CF· dr, 並解釋該結果。

(2) 以力場 F = hx², xyi 作用在物體上, 使其沿著 x²+ y² = 4逆時針繞一周, 求所作的功, 並解釋該結果。

註 16.2.25. (a) 若 F(x, y, z) = hP, Q, Ri, 則 R

CF· dr =R

CP dx + Qdy + Rdz。 (b) 功的五種表法:

W = Z b

a

F·Tds = Z b

a

F·dr = Z b

a

F·dr dtdt =

Z b

a

(Pdx dt+Qdy

dt+Rdz dt)dt =

Z b

a

P dx+Qdy+Rdz。

(c) R

−CF· dr = −R

CF· dr 因為當 C 變為 −C 時,T 變為 −T。

例 16.2.26. (a) 一個半徑 8 公尺之圓柱形穀倉, 外圍有螺旋狀扶梯, 轉三圈到 12 公尺高的倉頂。

某人重 80 公斤, 提 10 公斤油漆桶到倉頂, 他作了多少功對抗地心引力?

(b) 若該桶穩定的漏出油漆, 到倉頂漏出 4 公斤, 則他作了多少功?

環流量與通量

定義 16.2.27. (1) 若一個曲線之起點與終點相同, 則稱為封閉曲線或線圈 (closed curve or loop)。

(2) 若一個封閉曲線, 除端點外, 本身均不相交, 則稱為簡單曲線 (simple curve)。

定義 16.2.28. 令 F 為連續速度場, r(t) 為一曲線, 則沿著這曲線從 a 到 b 的流量(ﬂow) 為 R_b

a F· Tds。此積分稱為流量積分 (ﬂow integral)。若此曲線為封閉線圈 (closed loop), 則此流量稱為此曲線的環流量 (circulation)。

例 16.2.29. 一液體的速度場為 F = hx, y, zi 。求它沿著曲線 r(t) = hcos t, sin t, ti, t ∈ [0, 2π]

的流量。

例 16.2.30. 求速度場 F = hx − y, xi 沿著封閉曲線 r = hcos t, sin ti, t ∈ [0, 2π] 的環流量。

(6)

第 16 章向量微積分 16.3 線積分基本定理

定義 16.2.31. F =hP (x, y), Q(x, y)i 為平面上的連續向量場 , C 為包含在 F 之定義域中的封 閉平滑曲線, n 為 C 之向外單位法向量 , 則 F 通過 C 的通量 (ﬂux) 為 R

CF· nds。

定理 16.2.32. 令 C 為平滑封閉參數曲線

½ x = g(t)

y = h(t), 且 t 從 a 到 b 為逆時針方向。則速度 場 F = hP, Qi 通過 C 的通量為 H

CP dy− Qdx。

例 16.2.33. 求速度場 F = hx − y, xi 通過圓 x²+ y² = 1 之通量。

16.3 線積分基本定理 (Fundamental Theorem of Line Integrals)

線積分基本定理

定理 16.3.1. (線積分基本定理) 平滑曲線 C 定義為 r (t),t ∈ [a, b]。f 為可微函數,∇f 在 C 上連

續, 則 Z

C

∇f · dr = f(r(b)) − f(r(a))。

例 16.3.2. 重力場 F (x) = −^{mM G}_|x|³ x對質量 m 之物體沿著平滑曲線從 (3, 4, 12) 移到 (2, 2, 0)。

求所做的功。

路徑獨立

定義 16.3.3. (1) 逐段平滑曲線稱為路徑 (path)。

(2) 令 F 是定義在 D 上的連續向量場。若對任意有相同起迄點之路徑 C1及 C2均有R

C1F·dr = R

C2F· dr, 則稱線積分R

CF· dr 為路徑獨立 (independent of path)。

定理 16.3.4. R

CF·dr 在 D 上為路徑獨立的充要條件是對任意 D 上的封閉曲線 C,R

CF·dr = 0。

註 16.3.5. 任意保守場之線積分是路徑獨立的。

定義 16.3.6. (1) 一個區域 D 是連通的 (connected) 表示其上任兩點均可以用 D 上的路徑加 以連接。

(2) 平面上的連通區域 D, 其上任意封閉曲線的內部均只包含 D 的點, 則稱 D 為單連通區域 (simply connected)。

定理 16.3.7. 令向量場 F 在開連通區域 D 上連續。若R

CF· dr 在 D 上是路徑獨立, 則 F 在 D 上是保守場。

保守場

定理 16.3.8. 若 F (x, y) = hP (x, y) , Q (x, y)i 是保守場, P 及 Q 在 D 上有連續的一階偏導函 數, 則在 D 上 ^∂P_∂y = ^∂Q_∂x。

定理 16.3.9. 若 F 是單連通區域 D 上的向量場, 若 P 及 Q 均有連續的一階偏導數, 且在 D 上

∂P

∂y = ^∂Q_∂x, 則 F 為保守場。

定理 16.3.10. 假設 F 定義在單連通區域上。 F = hP, Q, Ri 之分量函數有連續的一階偏導函數。

則 F 為保守場的充分必要條件是 ^∂R_∂y = ^∂Q_∂z,^∂P_∂z = ^∂R_∂x,^∂Q_∂x = ^∂P_∂y。

(7)

第 16 章向量微積分 16.3 線積分基本定理

例 16.3.11. 以下是否為保守場?

(1) F =hx − y, x − 2i;

(2) F =h3 + 2xy, x² − 3y²i。

例 16.3.12. (a) 若 F (x, y) = h3 + 2xy, x²− 3y²i, 求函數 f 使 ∇f = F。

(b) 求R

CF· dr, 其中 C 是由 r (t) = he^tsin t, e^tcos ti,0 ≤ t ≤ π 所定義。

例 16.3.13. 令 F(x, y) = h_x²^−y_+y²,_x2+y^x ²i。

(a) 驗證 ^∂P_∂y = ^∂Q_∂x。 (b) 求 R

C1F· dr 及 R

C2F· dr, 其中 C1 及 C2 分別是單位圓的上半與下半。

(c) 若 C1 及 C2 分別為 x² + y² = 1 及 (x − 2)²+ y² = 1, 求R

C1F· dr 及 R

C2F· dr。

(d) 若 C 為 C1, C₂ 的聯集, C1 為 x²+ y² = 1之上半圓, C2 為從 (−1, 0) 經 (−1, −1), (1, −1) 到 (1, 0) 的折線段, 求 R

CF· dr。

(e) 若 C 為 C1, C2 的聯集, C1 為 (x − 2)² + y² = 1 之上半圓, C2 為從 (1, 0) 經 (2, −1), 到 (3, 0) 的折線段, 求R

CF· dr。

例 16.3.14. 若 F (x, y, z) = hy², 2xy + e^3z, 3ye^3zi, 求函數 f 使 ∇f = F。

例 16.3.15. 證明 F = h2x − 3, −z, cos zi 不是保守場。

例 16.3.16. F = hyz, xz, xyi = ∇(xyz) 是一個保守場 , 求 F 沿著曲線從 A(−1, 3, 9) 到 B(1, 6,−4) 所做的功。

例 16.3.17. 證明 F = he^xcos y + yz, xz− e^xsin y, xy + zi 是保守場, 並求其位勢函數。

例 16.3.18. 求 R

Cydx + xdy + 4dz,其中 C 是連接 (1, 1, 1) 到 (2, 3, 1) 的線段。

例 16.3.19. 令 P = (1, 0), Q = (0, 1), R = (−1, 0), S = (0, −1), 曲線 C 從 P 開始沿著 P QRS 繞一圈, 求R

C dx+dy

|x|+|y| 。

例 16.3.20. 令 C 為從 (1, π) 到 (2, π) 的直線段, 求R

C(1−^y_x²2 cos_x^y)dx + (sin_x^y+^y_xcos_x^y)dy。 例 16.3.21. 若 f(x, y) = sin(x−2y), F = ∇f, 求非封閉曲線 C1及 C2,使得 (a)R

C1F·dr = 0, (b) R

C2F· dr = 1。

例 16.3.22. 若 F(r) = ^cr_r3, c為常數, r = hx, y, zi。 F 將一物體從 P1 移到 P2, 求所作的功, 以 P₁ 及 P2 到原點之距離表示之。

例 16.3.23. 能量保守定律 (Law of conservation of energy): 若 F 是保守力場, 其位勢函 數為 f (x, y, z), 其位能定義為 P (x, y, z) = −f (x, y, z), 則 W = P (A) − P (B)。又由牛 頓運動定律 F = ma 可得 W = ¹₂m|v (b)|² − ¹₂m|v (a)|², 則 W = K (B) − K (A), 故 P (A) + K (A) = P (B) + K (B)。

(8)

第 16 章向量微積分 16.4 Green定理

16.4 Green 定理 (Green’s Theorem)

定義 16.4.1. 一個平面封閉曲線 C : r(t) 若滿足下列條件, 則稱為正賦向(positive orientation):

當 t 增加時, C 的內部 D 均在其左手側。

定理 16.4.2. (Green)令 C 為平面上正賦向, 連續, 逐段平滑, 簡單封閉曲線, D 為其內部區域。

若 P 、Q 在包含 D 的開區域上有連續的偏導函數, 則 Z

C

P dx + Qdy = ZZ

D

·∂Q

∂x − ∂P

∂y

¸ dA 。

[註]

(1) 對正賦向封閉曲線 C,R

CP dx + Qdy 可表為 H

CP dx + Qdy。 (2) D 之邊界可表為 ∂D, 因此上式也可表為R

∂DP dx + Qdy。

註 16.4.3. (Green 定理之通量及環流量型) 令 F = hP (x, y), Q(x, y)i 為平面上的向量場。其 定義域上有一簡單封閉, 平滑之曲線 C, 其包圍之區域為 D 。假設 P, Q 及其一階偏導數函數在包 含 D 及 C 之某一開區域上為連續。

(1) (通量-散度或法線型, ﬂux-divergence or normal form) F 之通過 C 之外通量滿足下式 I

C

F· nds = I

C

P dy − Qdx = ZZ

D

(∂P

∂x + ∂Q

∂y)dxdy。

(2) (環流量-旋度或切線型, circulation-curl or tangent form) F 繞著 C 之逆時針方向的環流

量為 I

C

F· Tds = I

C

P dx + Qdy = ZZ

D

(∂Q

∂x − ∂P

∂y)dxdy。

例 16.4.4. 令 F = hx − y, xi, C : r(t) = hcos t, sin ti, t ∈ [0, 2π]。驗證 Green 定理。

例 16.4.5. 若 C 為三角形曲線, 是從 (0, 0)到 (1, 0)、(1, 0) 到 (0, 1)、(0, 1) 到 (0, 0) 的折線段。

求R

Cx⁴dx + xydy。 例 16.4.6. 求 R

CF· dr, 其中 F = h√

x²+ 1, tan⁻¹xi, C 為一三角形從 (0, 0) 經 (1, 1), (0, 1) 到 (0, 0)。

例 16.4.7. (1) 若 C 為圓 x²+ y² = 9。求 H

C

¡3y− e^{sin x}¢ dx +

³

7x +p y⁴+ 1

´ dy。 (2) 若 C 為橢圓 4x²+ y² = 4。求H

C(2x− x³y⁵) dx + x³y⁸dy。

例 16.4.8. (1) C是上半平面中,x²+y² = 1及 x²+y² = 4之間所圍的半環狀邊界。求H

Cy²dx+

3xydy。

(2) CH 是從 (−1, 1) 到 (1, 1) 的直線段接上拋物線 y = 2 − x² 從 (1, 1) 到 (−1, 1) 的部份。求

Cy²e^xdx + x²e^ydy。 例 16.4.9. 求 H

Cxydy− y²dx , 其中 C 是第一象限中由 x = 1, y = 1 所圍出之矩形。

例 16.4.10. 求 F = hx, y²i 通過由 x = ±1, y = ±1 所圍之矩形的外通量 (outward ﬂux)。

(9)

第 16 章向量微積分 16.5 旋度與散度 例 16.4.11. 求一正向, 簡單, 封閉曲線 C, 使得積分R

C(y³− y)dx − 2x³dy 之值為最大。

例 16.4.12. (安培電流環場積)

(a) 令 R 為圓環 h² ≤ x²+ y² ≤ 1, 0 < h < 1 。令 F = h_x2^−y+y²,_x2+y^x ²i 。驗證 Green 定理的 環流量形式。

(b) 令 K 為任意包含單位圓之簡單封閉曲線 , 驗證 H

KF· dr = 2π。

例 16.4.13. 求 R

CF· dr, 其中 F = ^2xyi+(y_(x2+y²²^−x)²²^)j, C 為任意包圍原點之正向, 簡單, 封閉曲線。面積

註 16.4.14. D 的面積為 A (D) =H

Cxdy =−H

Cydx = ¹₂H

Cxdy− ydx。

例 16.4.15. 求橢圓 ^x_a²² + ^y_b²2 = 1 之內部面積。

例 16.4.16. 求曲線 x = a cos³t, y = a sin³t, t∈ [0, 2π], 所包圍的區域之面積。

例 16.4.17. 令 D 為 xy-平面上簡單封閉曲線 C 所圍成的區域, 證明 D 之形心 (x, y) 為 x =

1 2A(D)

H

Cx²dy, y = _2A(D)¹ H

Cy²dy。

16.5 旋度與散度(Curl and Divergence)

旋度

定義 16.5.1. 令 F = hP, Q, Ri 為 R³ 上的向量場, 若 P 、Q、R 的導函數存在, 定義 F 的旋度 (curl)為 curl F = ∇ × F = D

∂R

∂y −^∂Q_∂z,^∂P_∂z − ^∂R_∂x,^∂Q_∂x − ^∂P_∂yE

。

[註] F = hP, Qi 為平面上流體的速度場。 A 為其定義域中的小矩形, 考慮 F 沿著 A 之邊界逆時 針方向的環流量 (circulation)。則沿著 A 的環流量A的面積 ≈ ^∂Q_∂x − ^∂P_∂y。

定義 16.5.2. 一向量場 F = hP, Qi 在 (x, y) 的環流量密度(或旋度的k-分量 circulation density, k-component of the curl)為 curl F · k = ^∂Q_∂x − ^∂P_∂y。

例 16.5.3. 求 F(x, y) = hx²− y, xy − y²i 之旋度的 k-分量。

例 16.5.4. 若 F (x, y, z) = hxz, xyz, −y²i, 求 curl F。

定理 16.5.5. 若 f 是三變數函數, 且有連續得二階偏導數, 則 curl(∇f) = 0。換言之, 若 F 是保 守場, 則 curl F = 0。

例 16.5.6. 證明 F (x, y, z) = hxz, xyz, −y²i 不為保守場。

定理 16.5.7. 若 F 為一向量場, 定義在全部的 R³ 上, 其分量函數有連續的偏導函數, 且 curl F = 0,則 F 為保守場。

例 16.5.8. (a) 證明 F (x, y, z) = hy²z³, 2xyz³, 3xy²z²i 為保守場。

(b) 求一函數 f 使 ∇f = F。

(10)

第 16 章向量微積分 16.5 旋度與散度

例 16.5.9. 令 B 為繞 z-軸旋轉的剛體 (rigid body), ω 是角速度, w = ωk, 令 v 為 B 的速度 場, 證明 curl v = 2w 。

註 16.5.10. (1) 若 F 為一流體的速度場, 在流體中 (x, y, z) 附近的粒子, 沿著以 curl F 為軸旋 轉, curl F 的長度表示其轉動的快慢。

(2) 若在 P 點 curl F = 0, 則流體在 P 點沒有旋轉, 稱作 F 在 P 為無旋 (irrotational)。

例 16.5.11. 證明: 形如 F(x, y, z) = hf(x), g(y), h(z)i, f, g, h 為可微函數, 之向量場必為無旋。

散度

定義 16.5.12. 若 F = hP, Q, Ri 為 R³上的向量場, 且 ^∂P_∂x、^∂Q_∂y、^∂R_∂z 均存在, 則 F 的散度(divergence) 定義為 divF = ^∂P_∂x +^∂Q_∂y +^∂R_∂z =∇ · F。

[註] 令 F = hP, Qi 為平面上流體之速度場, 且在一個區域 R 上, P , Q 均為連續。令 (x, y) ∈ R, 且 A 為一個小矩形以 (x, y) 為一頂點。則通過 A 之邊界的通量A 之面積 ≈ (^∂P_∂x +^∂Q_∂y)。

定義 16.5.13. 向量場 F = hP, Qi 在 (x, y) 的散度或通量密度(divergence, ﬂux density) 為 divF = ^∂P_∂x +^∂Q_∂y。

例 16.5.14. 令 F = hx²− y, xy − y²i , 求其散度。

例 16.5.15. 若 F (x, y, z) = hxz, xyz, −yzi, 求 divF。

例 16.5.16. 證明每一個 R³ 上的連續函數都是某個向量場的散度。

定理 16.5.17. 若 F = hP, Q, Ri 為 R³ 上的向量場, 且 P 、Q、R 有連續的二階偏導數, 則 div(curl F) = 0。

例 16.5.18. 證明向量場 F (x, y, z) = hxz, xyz, −y²i 不為一向量場的旋度場。

定理 16.5.19. (Green定理的向量形式):

(1) H

CF· dr =RR

D(curl F)·kdA。

(2) H

CF· nds = RR

DdivF (x, y) dA。 此處 C 是由 r (t) 所定義, n 是單位法向量。

註 16.5.20. (1) divF 是衡量一流體在 (x, y, z) 點發散的傾向。若 divF = 0, 則稱 F 是不可壓 縮的 (incompressible)。

(2) div(∇F) = ∇ · ∇F = ^∂_∂x²^f² +_∂y^∂²^f2 +^∂_∂z²^f2,∇² =∇ · ∇ 稱為 Laplace 算子 (operator)。

(3) 對於向量場 F = hP, Q, Ri,∇²F =h∇²P,∇²Q,∇²Ri。

例 16.5.21. 證明: 形如 F(x, y, z) = hf(y, z), g(x, z), h(x, y)i 之向量場必為不可壓縮的。

例 16.5.22. 驗證以下各等式:

(1) div (fF) = f · divF + F · ∇f, (2) div(F× G)=G· curl F − F· curl G,

(11)

第 16 章向量微積分 16.6 參數曲面

(3) div(∇f × ∇g) = 0,

(4) curl(curl F)=grad(div F)− ∇²F。

例 16.5.23. (1) 令 r = hx, y, zi 及 r = |r|。求以下各式:

(a) ∇²r³。 (b) ∇ × r。

(c) ∇ ln r。

(2) 若 F = r/r^p, 是否存在 p 使得 Div F = 0?

例 16.5.24. 若 C, D 滿足 Green 定理的假設, 且 f 及 g 的適當偏導函數存在且連續, 證明下列 等式:

(1) Green 第一等式: RR

Df∇²gdA =H

Cf (∇g) · nds −RR

D∇f · ∇gdA。

(2) Green 第二等式: RR

D(f∇²g− g∇²f )dA =H

C(f∇g − g∇f) · nds。

例 16.5.25. (1)H 若在 D上, ∇²g = 0, 則稱 g 為調和 (harmonic)。證明若 g 在 D 上調和, 則

CD_ngds = 0 , 其中 C 為 D 的邊界。

(2) 若 f 在 D 上為調和函數, 且在 D 之邊界 C 上, f(x, y) = 0, 則 RR

D|∇f|²dA = 0 。

16.6 參數曲面 (Parametrized Surfaces)

定義 16.6.1. (1) 令 R 為 uv-平面上之區域 , r(u, v) = hf(u, v), g(u, v), h(u, v)i 為 R 上的連 續向量場 , 且在 R 上為一對一。則 r 的值域 S 稱為參數曲面 (parametrized surface)。

(2) r 以及 R 稱為 S 的參數化 (parametrization), R 是參數定義域, u, v 為參數。 r(u, v) 稱為 S 的向量方程。

(3) 若 r (u, v) 為一曲面 S 之向量方程, 固定 u = u0。則定義 S 上之曲線 C1; 若固定 v = v0,也 定義 S 上之曲線 C2,這些曲線稱為格子曲線 (grid curve)。

例 16.6.2. (a) 描述向量方程 r (u, v) = h2 cos u, v, 2 sin ui 之曲面。

(b) 若 θ ≤ u ≤ ^π₂, 0≤ v ≤ 3, 其曲面為何?

例 16.6.3. 描繪曲面 r (u, v) = h(2 + sin v) cos u, (2 + sin v) sin u, u + cos vi, u 為定值之格子 曲線為何? v 為定值之格子曲線為何?

例 16.6.4. P₀ 點的位置向量為 r0,一平面通過 P0 且包含兩個非平行的向量 a 及 b, 求該平面的 向量方程。

例 16.6.5. (1) 求 z = x²+ 2y² 之向量方程。

(2) 寫出球 x²+ y²+ z² = a² 的參數方程式。

(3) 求柱面 x²+ y² = 4, 0≤ z ≤ 1, 之參數方程式。

(4) 將錐面 z =p

x²+ y², 0≤ z ≤ 1, 參數化。

(12)

第 16 章向量微積分 16.7 曲面之表面積

(5) 將柱面 x²+ (y− 3)² = 9, 0≤ z ≤ 5, 參數化。

(6) 將曲面 4x²− 4y²− z⁴ = 4 位於 yz-平面前方的部份參數化。

(7) 將球面 x²+ y²+ z² = 4 位於錐面 z =p

x²+ y² 上方的部份參數化。

(8) 將平面 z = x + 3 位於圓柱面 x²+ y² = 1 內部的部份參數化。

例 16.6.6. 將曲線 y = f (x), a ≤ x ≤ b 繞 x 軸旋轉 (f (x) ≥ 0)。其旋轉面的參數表示為 x = x、 y = f (x) cos θ、 z = f (x) sin θ, a ≤ x ≤ b 、0 ≤ θ ≤ 2π。

例 16.6.7. 將曲線 y = sin x, 0 ≤ x ≤ 2π 繞 x 軸旋轉, 求旋轉面的參數表示。

16.7 曲面之表面積 (Area of Surfaces)

定義 16.7.1. 一曲面由 r (u, v) = hx (u, v) , y (u, v) , z (u, v)i 定義。

(1) 若 (ru× rv) (u₀, v₀)6= 0 ∀ (u0, v₀),則稱 S 為平滑。

(2) 通過 r (u0, v₀),且包含向量 ru(u₀, v₀)、rv(u₀, v₀) 之平面稱為切平面。

(3) r_u× rv 為法向量。

例 16.7.2. 求曲面 x = u²、y = v²、z = u + 2v 在點 (1, 1, 3) 之切平面。

定義 16.7.3. 平滑參數曲面 S 由 r (u, v) = hx (u, v) , y (u, v) , z (u, v)i,(u, v) ∈ D 所定義。當 (u, v)跑遍 D 時, 其圖形跑遍 S 一次。則 S 的曲面面積(surface area) 為

A (S) = ZZ

D

|ru× rv| dA 。

註 16.7.4. (1) 若 S 是由 z = f (x, y),(x, y) ∈ D 所定義。f 有連續的偏導函數。則 S 之面積為

A (S) = ZZ

D

s 1 +

µ∂z

∂x

¶2

+ µ∂z

∂y

¶2

dA 。

(2) 若 f (x) ≥ 0 且 f⁰(x) 為連續, 將曲線 y = f (x),a ≤ x ≤ b 繞 x 軸旋轉所得旋轉面 S, 其 面積為 A = 2πR_b

af (x) q

1 + (f⁰(x))²dx 例 16.7.5. 求半徑為 a 之球表面積。

[註] 對半徑為 a 之球, rφ× rθ = a sin φ r(θ, φ), |rφ× rθ| = a²sin φ。 例 16.7.6. (1) 求曲面 z = x²+ y² 在 z = 9 之下的部分面積。

(2) 求錐面 z =p

x²+ y², 0≤ z ≤ 1, 之側表面積。

(3) 求曲面 z = ²₃(x^3/2+ y^3/2), 0≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 的面積。

(4) 求曲面 x²+ y²+ z² = a² 在 x²+ y² = ax 之內的表面積。

例 16.7.7. (1) 半球 x²+ y²+ z² = 2, z > 0 被圓柱 x²+ y² = 1 所切出的曲面, 求其面積。

(13)

第 16 章向量微積分 16.8 面積分

(2) 曲面 z = xy 位於柱面 x²+ y² = 9 之內部, 求其面積。

例 16.7.8. 求曲面 r(u, v) = hu cos v, u sin v, vi, 0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ π, 的面積。

例 16.7.9. 將 xz-平面上, 圓心為 (b, 0), 半徑為 a < b 之圓, 繞 z-軸旋轉得一環狀面。寫出其參 數式, 並求其表面積。

例 16.7.10. 求曲面 x²+ z² = a² 與 y² + z² = a² 相交部分之表面積。

16.8 面積分 (Surface Integrals)

面積分

定義 16.8.1. 曲面 S 為 r (u, v) = hx (u, v) , y (u, v) , z (u, v)i,(u, v) ∈ D。若 D 為矩形, 將其 分割成小矩形 Rij, 其邊長為 4u 及 4v。於是曲面 S 被分成對應的小片 Sij, 在 Sij 上任選樣本 點 Pij^∗ 則可得 Riemann 和 P^m

i=1

Pn j=1

f¡ P_ij^∗¢

4Sij(4Sij 為 Sij 之面積)。則 f 在曲面 S 之面積分 為 RR

Sf (x, y, z) dS = lim

m,n→∞

Pm i=1

Pn j=1

f¡ P_ij^∗¢

4Sij。

定理 16.8.2. 若 S 由 r (u, v),(u, v) ∈ D 所定義 (D 不見得是矩形), 且 |ru× rv| 在 D 的內部

不等於 0。則 ZZ

S

f (x, y, z) dS = ZZ

D

f (r (u, v))|ru× rv| dA。

[註] 若曲面 S 為 z = g (x, y), (x, y) ∈ D。則 ZZ

S

f (x, y, z) dS = ZZ

D

f (x, y, g (x, y)) s

1 + µ∂z

∂x

¶2

+ µ∂z

∂y

¶2

dA。

例 16.8.3. (1) 令 S 為單位球, 求 RR

Sx²dS。

(2) 令 S 為曲面 z = x + y², 0≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2, 求RR

SydS。

(3) 若曲面 S 之側面 S1 為柱面 x²+ y² = 1,其底 S2 為平面 z = 0 上的圓盤 x²+ y² ≤ 1, 其 頂部在平面 z = 1 + x 上。求 RR

SzdS。

例 16.8.4. (1) 曲面 S 為 z = ²₃(x³² + x³²), 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 求 RR

SydS。 (2) 曲面 S 為 y = x²+ z² 位於 x² + z² = 4 之內部的部分, 求 RR

SydS。

例 16.8.5. (1) x = 1, y = 1, z = 1 在第一卦限切出一立方體, 它在第一卦限部分的表面為 S。

求 g(x, y, z) = xyz 在 S 上的積分。 (2) 求 G(x, y, z) = x² 在錐面 z =p

x²+ y², 0≤ z ≤ 1, 上的積分。

例 16.8.6. (1) 求RR

S(x²+y²)dS,其中 S 為曲面 r(u, v) = h2uv, u²−v², u²+v²i, u²+v² ≤ 1。

(2) 求 RR

S(x²+ y²+ z²)dS,其中 S 為柱面 x² + y² = 9, 0≤ z ≤ 2, 連同其上下底。

面積分的應用

(14)

第 16 章向量微積分 16.8 面積分

定義 16.8.7. 令S 為一薄殼, δ(x, y, z) 為其密度, 則 (1) 質量 M =RR

Sδ(x, y, z)dS。 (2) 對座標面之一次矩 , Myz =RR

SxδdS, M_xz =RR

SyδdS, M_xy =RR

SzδdS。 (3) 質心 (x, y, z) 為 x = ^M_M^yz, y = ^M_M^xz, z = ^M_M^xy。

(4) 對座標軸之二次矩 Ix =RR

S(y²+ z²)δdS, I_y =RR

S(x²+ z²)δdS, I_z = RR

S(x²+ y²)δdS, 對 L 之二次矩 IL=RR

Sr²δdS, r(x, y, z) 為 (x, y, z) 到直線 L 的距離。

(5) 對一直線 L 的迴轉半徑為 RL= qIL

M。

例 16.8.8. 一個半徑為 a 之半球殼, 其密度 δ 為常數 , 求其質心。

例 16.8.9. 一個均勻密度的薄片是由錐面 z =p

x² + y² 被 z = 1, z = 2 截出 , 求其質心。

賦向曲面

定義 16.8.10. 一個曲面 S, 假設在內點上均有切平面, 因此有兩個單位法向量 n 及 −n。如果 我們對每個點 P , 可以適當選取法向量 n (P ) 使得 n (P ) 在 S 上是連續的, 則稱 S 是賦向曲面 (oriented surface), 所定 n 之方向稱為 S 的方向 (orientation)。因此一個賦向曲面可以有兩個 方向。

註 16.8.11. (1) Mobius band:







x = 2 cos θ + r cos^θ₂ y = 2 sin θ + r cos^θ₂ z = r sin^θ₂,

−¹₂ ≤ r ≤ ¹₂、0 ≤ θ ≤ 2π, 為非賦

向曲面。

(2) 若曲面 S 為 z = g (x, y), 則一個自然的方向是 n = ^√ ¹

1+(∂x^∂g)²⁺(^∂g∂y)²

D−_∂x^∂g,−^∂g_∂y, 1 E

(3) 若曲面 S 由 r (u, v) 所定義, 則一個自然的方向是 n = _|r^r^u_u^×r_×r^v_v_|。

(4) 在球面上 r (θ, φ) = ha sin ϕ cos θ, a sin ϕ sin θ, a cos ϕi, 則 n = ¹_ar (θ, φ)。

定義 16.8.12. (1) 如果一個曲面是一個立體 E 的邊界, 則稱為封閉曲面 (closed surface)。

(2) 一個封閉曲面的正向 (positive orientation) 為其法向量 n 指向 E 的外側。

向量場的面積分

定義 16.8.13. 若 F 是賦向曲面 S 上的連續向量場, 其法向量為 n, 則 F 在 S 上的面積分是 ZZ

S

F· dS = ZZ

S

F· ndS 。

這積分稱為 F 經過 S 的通量(ﬂux)。

註 16.8.14. (1) 若 S 是由 r (u, v) 所定義, n 為自然賦向。則 ZZ

S

F· dS = ZZ

D

F· (ru× rv) dA 。

(15)

第 16 章向量微積分 16.9 Stokes定理

(2) 若 S 是曲面 z = g (x, y), 則 ZZ

S

F· dS = ZZ

D

µ

−P∂g

∂x − Q∂g

∂y + R

¶ dA 。 例 16.8.15. 求向量場 F = hz, y, xi 經由單位球面 x²+ y²+ z² = 1 的通量。

例 16.8.16. (1) 若 S 是由 z = 1−x²−y²及 z = 0 所圍成之區域的邊界, F (x, y, z) = hy, x, zi, 求RR

SF· dS。

(2) 若 S 是半柱面 0 ≤ z ≤p

1− y², 0≤ x ≤ 2, F (x, y, z) = hx², y², z²i, 求 RR

SF· dS。

(3) 若 S 是 x²+ y²+ z² = 25, y ≥ 0, 指向正 y-軸, F (x, y, z) = hxz, x, yi, 求 RR

SF· dS。

例 16.8.17. 曲面 S 是由柱面 y²+ z² = 1, z > 0被 x = 0 及 x = 1 所截出。求 F = h0, yz, z²i 經由 S 之向外通量。

例 16.8.18. 求 F = hyz, x, −z²i 沿著曲面 y = x², 0≤ x ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 4, 向外的通量。

例 16.8.19. 令 F(r) = _|r|^cr3, r =hx, y, zi。證明 F 經由圓心為原點之球的通量與球的半徑無關。

註 16.8.20. (1) 若 E 是電場, 則RR

SE·dS 是 E 經由曲面 S 的電流量 (electric ﬂux)。 Gauss 定律說, 經由封閉曲面的淨電量 (net churge) 是 Q = ²0

RR

SE· dS (其中 ²0 是一常數)。

(2) 一物體在 (x, y, z) 的溫度是 u (x, y, z), 則熱流 (heat ﬂow) 定義為 F = −k∇u, 其中 k 是 該物質的傳導係數 (conductivity), 則通過 S 的熱流率 (rate of heat ﬂow) 為RR

SF·dS =

−kRR

S∇u · dS。

例 16.8.21. 一個金屬球的溫度與它到球心之距離的平方成正比。求經由球面的熱流率。

16.9 Stokes 定理 (Stokes’ Theorem)

定義 16.9.1. (1) 一個曲面 S 的邊界曲線為 C。由 S 的方向可以衍生 C 的正方向: 若你在 C 上沿著該方向前進, 且你的頭指向 S 的方向 n, 則曲面 S 在你的左側。

(2) 正賦向曲面 S 所定義的賦向曲線 C 記為 ∂S。

定理 16.9.2. (Stokes)令 S 為賦向, 連續, 平滑曲面, 且其邊界 C 是簡單封閉, 連續, 平滑曲線, 並取正賦向。若 F 為一向量場, 定義在包含 S 之開區域上, 且它的偏導函數在其上均為連續。則

ZZ

S

curl F· dS = Z

C

F· dr = Z

∂S

F· dr 。

[註] 若 S 為平面上的區域, 且賦向向上。則 Stokes 定理化約成 Green 定理。

例 16.9.3. 令 S 為半球 x²+ y²+ z² = 9, z ≥ 0, F = hy, −x, 0i , 驗證 Stokes 定理。

例 16.9.4. (1) C 是柱面 x²+ y² = 1 與 y + z = 2 的交線, 其方向是由上俯視的逆時針方向, F (x, y, z) =h−y², x, z²i, 求 H

CF· dr。

(2) 平面 2x + y + z = 2 在第一卦限所截出的平面區域, 其邊界為 C, 並取由上俯視的逆時針方 向。令 F = hxz, xy, 3xzi。求 H

CF· dr。

(16)

第 16 章向量微積分 16.10 散度定理 (3) 令 C 為 (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) 所成的三角形, F = hx+y², y + z², z + x²i。求H

CF·dr。

例 16.9.5. 曲線 C 是平面 z = 2 與錐面 z =p

x²+ y² 之交線。求 F = hx²− y, 4z, x²i 沿著 C 的逆時針方向 (由上看) 的環流量。

例 16.9.6. (1) S 是在球面 x²+ y²+ z² = 4上, 位於 x²+ y² = 1 之內, 且在 xy-平面之上的 部分, F = hxz, yz, xyi, 求 RR

Scurl F· dS。

(2) S是頂點為 (±1, ±1, ±1) 之立方體的頂部及四個側面, 賦向朝外, F(x, y, z) = hxyz, xy, x²yzi, 求RR

Scurl F· dS 例 16.9.7. 求R

C(y+sin x)dx+(z²+cos y)dy+x³dz,其中 C 是曲線 r(t) = hsin t, cos t, sin 2ti, 0≤ t ≤ 2π。

例 16.9.8. 令 C 為位於平面 x + y + z = 1 上的簡單封閉平滑曲線, 證明: 線積分 R

Czdx− 2xdy + 3ydz 只跟所圍的面積有關, 而跟 C 的形狀和它所在的平面無關。

例 16.9.9. 一平面之單位法向量為 n = ha, b, ci, C 為平面上簡單, 封閉, 逐段平滑之曲線, 證明:

所圍之面積為 ¹₂R

C(bz − cy)dx + (cx − az)dy + (ay − bx)dz。

註 16.9.10. (1) 若賦向曲面 S1及 S2有同樣的賦向邊界曲線 C, 則RR

S1curl F·dS =RR

S2curl F· dS。

(2) 在 R³ 上, curl F = 0 ⇒ F 為保守場。

(3) 設 f 之二階偏導函數均連續, 則 curl grad f=0, 即 ∇ × ∇f = 0。

16.10 散度定理 (Divergence Theorem)

定義 16.10.1. 若立體區域 E 為 §15.6 所述之 1,2,3 型, 則統稱為簡單立體區域 (simple solid region)。

定理 16.10.2. (散度定理, Divergence Theorem) 令 E 為簡單立體區域, S 是 E 的邊界曲面並 取正賦向。 F 定義在包含 E 的開區域上, 且分量函數在其上有連續的偏導函數。則

ZZ

S

F· dS = ZZZ

E

divFdV 。

例 16.10.3. 令 S 為球面 x² + y²+ z² = a², a > 0, F =hz, y, xi。驗證散度定理。

例 16.10.4. 令 S 為 x = 1, y = 1 及 z = 1 在第一卦限所圍出的立體 , 求 F = hxy, yz, xzi 經 由 S 之表面的通量。

例 16.10.5. (1) S 為由 z = 1 − x²、平面 z = 0、y = 0、y + z = 2 所圍成的區域的表面。

F (x, y, z) = D

xy, y²+ e^xz², sin xy

E。求RR

SF· dS。

(2) S 為單位球之上半, F = hz²x,¹₃y³+ tan z, x²z + y²i, 求 RR

SF· dS。

(3) SRR為柱面 x²+ y² = 1 與 z = x + 2, z = 0 所圍成之立體表面, F = hx⁴,−x³z², 4xy²zi, 求

SF· dS。

第 16 章 向量微積分 (Vector Calculus)

第 16 章

向量微積分 (Vector Calculus)

目錄

16.1 向量場 (Vector Fields)

16.2 線積分 (Line Integrals)

16.3 線積分基本定理 (Fundamental Theorem of Line Integrals)

16.4 Green 定理 (Green’s Theorem)

16.5 旋度與散度(Curl and Divergence)

16.6 參數曲面 (Parametrized Surfaces)

16.7 曲面之表面積 (Area of Surfaces)

16.8 面積分 (Surface Integrals)

16.9 Stokes 定理 (Stokes’ Theorem)

16.10 散度定理 (Divergence Theorem)

第 16 章向量微積分 (Vector Calculus)