第三章一次方程組與矩陣的列運算 §31

(1)

第三章一次方程組與矩陣的列運算

§31

一次方程組的解法與矩陣的列運算

(甲)高斯消去法

(1)一次方程組與高斯消去法：

例子：解下列的一次方程組



























) 3 ( 1 3

4

) 2 ( 4 2

3

) 1 ( 1 2

2 : ) (

z y

x

z y

x

z y

x L

) 3 ( 2 ) 1 (

) 2 2 ( ) 1 1 (







 

 





























) 3 ( 1

) 2 ( 3

) 1 ( 1 2

2 : ) (

/ / 29

27

/ /

z y

x L

) 3 7 ( ) 2 2 (

) 1 7 ( ) 2 2 (

/ /

 









 

 





























^

) 3 (

) 2 ( 3

) 1 ( 2

: ) (

//

72 71

//

2 9 2

7

//

72 7

8 //

z z y

z x

L

) 2 ( 21 ) 3 (

) 1 ( 8 ) 3 (

//









 











7 2 71

221 27

///

2 2

: ) (

z y x

L 故











2 3 1

z y x

高斯消去法(Gauss Elimination)解題過程：

(a)將一次方程組(L)利用某個方程組中 x 的係數消去其它方程式中 x 的係數，

得出同解的方程組(L^/)。

(b)利用另一方程式中 y 的係數消去其它方程式中 y 的係數，而得出同解方程組 (L^//)。

(c)再利用另一方程式中 z 的係數消去其它方程式中 z 的係數，而得出同解方程 組(L^///)。

繼續上面的作法，把另外還有的變數以同樣的方式消去，最後便能得此一次方程組的解。

(2)利用高斯消去法討論一次方程組的解：

無解：利用高斯消去法到最後，出現下列的型式，則方程組無解。













) 0 ( 0 a a

或 ⁽^a ^b⁾ b

x a x

n

n 











(2)

無限多解：當一方程組用高斯消去法到最後，出現下列的型式，

則方程組無限多解。











0 0

[例題1] 試利用高斯消去法解下列一次方程組：





















31 8

7

7 2

5 2

z y x

Ans：x=1+t，y=3t，z=t，t 為實數。

(練習1) 試利用高斯消去法解下列一次方程組：

























6 2 3

3 3 2

5 3 2

z y x

Ans：x=1，y=1，z=2

(乙)矩陣的列運算

(1)矩陣的引入：

在方程組























4 2 3

2 3 2

6 3 2

z y x

中，將係數與常數項列出來成一個矩形陣列，並用一對

括號把這些數圍起來而成為



















4 2 1 3

2 3 1 2

6 3 2 1

，像這樣型式的矩形陣列，稱之為矩陣。

(2)記號與符號：

矩陣 M=



















6 2 1 3

3 3 1 2

5 3 2 1

直行橫列 ^__行^列

(a)元：矩陣中列出來的每個數稱為矩陣的元。

(b)列：同一水平線各元合稱此矩陣的一列。

(c)行：同一鉛直線各元合稱此矩陣的一行。

(d)位於第 i 列，第 j 行的元稱為(i,j)元。

(e)當一個矩陣 M 有 n 列 m 行時，我們稱 M 為 nm 階的矩陣。

(f)當一個矩陣 M 有 n 列 n 行時，我們稱 M 為 n 階的方陣。

(g)設 A=[aij]mn是一個

m



n

階矩陣，作一

n



m

_{階的矩陣 B=[b}_ij_]_nm，其 中 bij=aji，則稱矩陣 B 為矩陣 A 的轉置矩陣，符號：B=A^T。

(3)

例如：A=















 

7 1 6 2

1 0 7 3

4 6 6 2

A^T=















7 1 4

1 0 6

6 7 6

2 3 2

。

例子：















 



7 2 2 4

5 0 3 1

3 1 1 2

M1















 



3 6 2

1 2 4

0 1 1 M2

(a)M1中(2,1,1,3)為第列。(b) M1中

















2 0 1

為第行。

(c)M1為階矩陣。(d)M1的(2,3)元為。

(e)M2為階方陣。(f)M2中第二行的向量為。 (3)係數矩陣與增廣矩陣：

(a)係數矩陣：將方程組(L)的係數依序列出來的矩陣稱為係數矩陣。

(b)增廣矩陣：將方程組(L)的係數及常數項依序列出來的矩陣稱為增廣矩陣。

例： 





















4 8 2

2 3

: ) (

z x

z y x

L 的係數矩陣：















 

1 0 1

1 2 1

1 1 3

，增廣矩陣：



















4 1 0 1

8 1 2 1

2 1 1 3

(4)矩陣的列運算：

我們使用高斯消去法求解一次方程組，在求解的過程中，可以把方程組以它的增廣矩陣來代替，如此就把方程組的變形過程轉成增廣矩陣的變形。

































) 3 ( 6 2 3

) 2 ( 3 3

2

) 1 ( 5 3 2 :

) (

z y x

L 





















6 2 1 3

3 3 1 2

5 3 2 1 M































) 3 ( 9 7

5

) 2 ( 13 9

5

) 1 ( 5 3 2 : ) (

/ /

z y

z y x

L 





















9 7 5 0

13 9 5 0

5 3 2 1 M/



























) 3 ( 4 2

) 2 ( 13 9

5

) 1 ( :

) (

//

5 1 5

3 //

z z y

z x

L 























4 2 0 0

13 9 5 0

0

1 ₅³ ₅¹ M//



















) 3 ( 4 2

) 2 ( 5 5

) 1 ( 1 :

) (

///

z y x

L 



















4 2 0 0

5 0 5 0

1 0 0 1 M///

矩陣的列運算：

(a)將一矩陣的某一列乘上某一數值加入另一列。

(b)將一矩陣的某一列乘以一個不為 0 的數。

(c)將一矩陣的某一列中的某兩列互換位置。

(4)

簡化矩陣：

一個矩陣，只要列運算後所得的矩陣達到在每個不為0 的列中，第一個不為 0 的 元所屬的行中，只有這個元不等於0。我們就稱它為一個簡化矩陣。

例如：

















4 2 0 0

5 0 5 0

1 0 0 1

為一個簡化矩陣。

[例題2] 對以下的矩陣作列運算化到最簡形式(即化成簡化矩陣) (1)

















4 1 0

0 1 2

2 3 1

(2)



















7 2 1 7

3 4 3 5

2 2 2 1

Ans：(1)

















1 0 0

0 1 0

0 0 1

(2)















0 0 0

0 13

7 13 1 19 0

13 12 13 0 1

1

(5)

[例題3] 設矩陣 A=



















6 2 1 3

3 3 1 2

5 3 2 1

(1)試求矩陣 A 所對應的方程組 L。

(2)化矩陣 A 為簡化矩陣。

(3)試寫出(L)的解。

Ans：(1)L：

























6 2 3

3 3 2

5 3 2

z y x

(2)

















4 2 0 0

5 0 5 0

1 0 0 1

(3)x=1,y=1,z=2

[例題4] 設 A=[aij]33，其中 aij=















j i

j i , 2

, 2

, 1

，請寫出 A 與 A^T。

(練習2) 設 A=



















15 16 8 1 3

6 6 7 7 8

5 1 0 2 3

請回答下列各問題：

(1)有幾行幾列？(2)請問 A 的階數為何？

(3)寫出 A 的第二列行向量(4)請寫出 a12、a35。

Ans：(1)5 行 3 列(2)35 階(3)[8,7,7,6,6] (4)2，15

(6)

(練習3) 設 A 為 3 階方陣，且 A=[aij]，其中 aij=i²+2j1，請寫出 A^T。 Ans：A^T=

















14 9 6

12 7 4

10 5 2

(練習4) 將下列矩陣用列運算化成簡化矩陣。

(1)



















7 7 2

1 1 2

6 6 4

(2)















 

0 4 3 2

0 3 2 1

0 1 1 2

Ans：(1)

















0 0 0

0 0 2

8 8 0

(2)

















1 0 0 0

0 0 0 1

0 5 0 0

(練習5) 利用增廣矩陣的列運算，求下列方程組的解。

(1)

























6 6 3 5

1 2 2

4 2

z y x

(2)

























2 8

3

1 4 8 2

0 2 4

z y x

Ans：(1)^x^^³^,^y^^⁷^²^t^,^z^^t (2)無解

(練習6) 利用高斯消去法解：

























1 2

6 9 3 3

9 8 3

4 3 2 1

4 3 1

4 3 2 1

x x x x

x x x

x x x x

Ans：無解

(練習7) 利用高斯消去法解：



































0 8 6 9

0 13 6

3

0 5 4

0 18 6

3 2 1

3 2

1

3 1

3 2

1

x x x

x x

x

Ans ：

x1=30t，x2=67t，x3=24t。

(丙)一元聯立方程組

(7)

[例題5] 用加減消去法解下列方程組 (1)























3 5

2

5 6

2

2 3

z y x

。 (2)























3 3 4 2

2 3

1 2 4

z y x

z x

z y x

Ans：(1)x=9，y=4，z=1 (2)x=t，y=+t，z=3t2。

[例題6] 解下列方程組：

(1)

















 

 

 

 

 

 

3 3 4

2 2 4

1 1 6

y x x z

x z z y

z y y x

(2)



























1 2) (1 15

1 1) (1 15

10 1 1 1 1

z x

z y

z y x

Ans：(1)(x,y,z)=(,,) (2)(x,y,z)=(30,20,60)

(練習8) 若

























8 2

4 9 3 2

z y x

z y ax

z y x

與

























12 2

13 3 2

1 2

cz y x

z y x

z by x

為同義方程組，且恰有一解，

則(a,b,c)=？Ans：(1,0,3)

(8)

(練習9) 解方程組















 





 

2 3 6 6

x z

xyz z y

xyz y x

xyz

。Ans：(x,y,z)=(1,2,3)或(1,2,3)

[提示：原方程組可化為















 



 



 

3 2 6

1 6 1

xyz z x

xyz z y

xyz y x

]

(練習10) 解方程組













xy y x

2 2

4

3 。(x,y)=(0,0)或(,) [提示：考慮 xy=0 與 xy0 兩種情形]

[例題7] 有一工程，如甲、乙、丙三人合作，10 天可完成；如乙、丙合作，15 天可 完成；如甲做 15 天，餘下由丙來做，要再 30 天才做成；問甲、乙、丙獨做，各需幾天完成？Ans：甲需 30 天,乙需 60 天,丙需 20 天

(9)

[例題8] 一容量為 100 立方公尺的水池，由 A、B 二水管注水，而由第三水管 C 放 水，若三水管全開，則由滿池至水乾需 3 小時，若只開 A、C 兩水管，則 1 小時水乾，若只開 B、C 兩水管，則只需 45 分鐘水乾，請問三水管每小時的注水(放水)量各為多少？

(練習11) 某公司有甲乙丙三條生產線，現欲生產三萬個產品，如果甲乙 丙三條生產線同時開動，則需 10 小時；如果只開動乙、丙兩條生產線，

則需 15 小時，如果只開動甲生產線 15 小時，則需再開動丙生產線 30 小時，才能完成所有產品。問如果只開動乙生產線，則需____小時才能生產三萬個產品。Ans：20 小時

(練習12) 已知一長方體的底面積為 200 平方公分，兩相鄰之側面的面積 分別為 600 平方公分與 300 平方公分，試問此長方體的長寬高為何？

綜合練習

(1)用高斯消去法解下列方程組：

(a)





























1 3 7 4 3

4 3

2

7 2

u z y x

(b)

























6 2 3

3 3 2

5 3 2

z y x

(2)解下列各二元一次方程式：

(a)









1

|

| 3

1

|

| 2

|

y x

y

x (b)

















 12 1 5

6 4 1

y x

y

x (c)













xy x y

xy x

y 2 3

18 3

2 (d)















 6 1 7

2 11 3

x x y

(3)解下列各三次方程式：

(a)



















1 6 1

x z

z y

y x

(b)





 

 

    8 9

7

12 x z z y y x

z y x

(c)



















) ( 3

) ( 2

y x xy

x z zx

z y yz

(10)

(4) 設 a1,a2,…,a50是從1 , 0 , 1 這三個整數中取值的數列。若a1a2...a509 且(a11)²(a21)²... ( a501)²107，則 a1,a2,…,a50當中有幾項是 0？

(5)有一個三位數其各位數字和為 18，交換個位數字與百位數字後就比原數大 495，交換十位數字與百位數字後就比原數大 630，試求這個三位數。

(6)相傳包子是三國時白羅家族發明的。孔明最喜歡吃他們所做的包子，因此白羅包子店門庭若市，一包難求，必須一大早去排隊才買的到。事實上，白羅包子店只賣一種包子，每天限量供應 999 個，且規定每位顧客限購三個；而購買一個、兩個或三個包子的價錢分別是 8、15、21 分錢。在那三國戰亂的某一天，包子賣完後，老闆與老闆娘有如下的對話：老闆說：「賺錢真辛苦，一個包子成本就要 5 分錢，今天到底賺了多少錢？」

老闆娘說：「今天共賣了 7195 分錢，只有 432 位顧客買到包子」

(a)請問當天白羅包子店淨賺多少錢？

(b)聰明的你，請幫忙分析當天購買一個、兩個及三個包子的人數各是多少人？(90 大學社)

進階問題

(7)解方程組



































11 4 21 5 4

8 3 13 3 2

4 2 8 2 2

7 2 13 3 2

2 4

u z y x

。

(8)解方程組





















xyz xy

zx yz

xyz xy

zx yz

zx yz xy

4 4

2 3

5 2 3 4

0

。

(9) x,y,z為實數，且(x+y+zk)²+(xy+z)²+(x+3y+zk1)²=0，則 k 的值為何？

(10)解方程組



























4) 2(

1

4) 2(

1

4) 2(

1

3 3 1

2 2 3

1 1 2

x x x

。

綜合練習解答

(11)

(1) (a)(x,y,z)=(s++3,st+2,s,t) (b)(x,y,z)=(1,1,2) (2) (a) (,)，(,)，(,)，(,) (b)(1,2) (c)(,)，(0,0)(d)(2,5) (3)(a)(3,2,4) (b)(3,4,5) (c) (0,0,0)或(12,,) (4) 11[提示：假 設 a1,a2,…,a50中有 x 項為1，y 項為 0，z 項為 1，根據題意可得

x+y+z=50，x+z=9，y+4z=107] (5) 297 (6) (a)2200 分錢(b)買一個包子有 95 人，

買二個包子有 107 人，買三個包子有 230 人

(7) x=t2，y=5t+3，z=t，u=1，t 為任意實數[提示：高斯消去法]

(8) (,1,)或(0,0,t)或(0,t,0)或(t,0,0)，t 為實數[提示：若 xyz0，將原方程組各式同 除 xyz，可解得(,1,)；若是 x,y,z 之中有一為 0，則可得解為(0,0,t)或(0,t,0)或 (t,0,0)，t 為實數] (9) k=1 [提示：x+y+zk=0，xy+z=0，x+3y+zk1=0]

(10) (2,2,2)或(2,2,2)[提示：因為 x1、x2、x3同號，且具有輪換性，所以可設 x1x2x3>0，因為 x1x204x1x3x322x3，又因為 x3=(x2+)=2 x3=2，同理 可得 x1=x2=2。若 0<x1x2x3，令 x1/=x1,x2/=x2,x3/=x3，則可得 x1/=x2/=x3/=2]

第三章 一次方程組與矩陣的列運算 §31