勾股定理證明-G085
【作輔助圖】
1. 以 AB 為邊，向內作一正方形 ABKH ，以BC 為邊，向外作一正方形 BCED ，以 AC 為邊，向外作一正方形 ACFG (於證明過程第 1 點說明點 H 在GF 上)。
2. 分別延長 GF 與 DE ，使其相交於 L 點(於證明過程第 2 點說明點 K 在 LE 上)。
3. 連接 LC ，使其與 HK 交於 M 點。
4. 延長 MC ，使其與 AB 交於 N 點。
L
A B
C
D E
F
G
H K
N M
【求證過程】
以直角三角形 ABC 的三邊分別向上向外作正方形，先證明圖中的三角形全等，推 得正方形 ABKH 的面積會等於兩個長方形的面積和，再利用底高的面積計算得到這兩 個長方形的面積和會等於正方形 BCED 與正方形 ACFG 的面積和，來推出勾股定理的關 係式。
1. 先證明三角形 GAH 與三角形 CAB 全等，再得到點 H 的位置在 GF 上：
因為 AH AB, AG AC, GAH 90 HAC CAB，所以 GAH CAB
(SAS 全等).
得到HGA BCA90，又FGA90，所以
點 H 在 GF 上，即 G H F共線。
2. 先證明三角形 DKB 與三角形 CAB 全等，再得到點 K 的位置在 LE 上：
因為 KB AB, BDBC, DBK 90 NBC CBA，所以 DKB CAB
(SAS 全等).
得到BDK BCA90，又EDB90，所以
點 K 在 LE 上，即 L K E 共線。
3. 證明三角形LHK 與三角形 CAB 全等：
因為 HK AB，又由平行關係可得到 LHK CAB與 LKH CBA，所以 LHK CAB
(ASA 全等).
4. 證明四邊形 HLCA與四邊形 LKBC 皆為平行四邊形：
由作圖的平行關係得知 HL // AC ，又因為 LHK CAB，所以 HL AC. 因此
四邊形 HLCA為平行四邊形.
同理， LK // CB , LK CB，故
四邊形 LKBC 為平行四邊形.
5. 證明四邊形 HMNA與四邊形 MKBN 皆為長方形：
因為四邊形 HLCA為平行四邊形，所以 LC // HA ，因此LN HK, LN AB，故 四邊形 HMNA為長方形.
同理
四邊形 MKBN 為長方形.
6. 找出長方形與正方形的面積關係：
MKBN BK KM
LKBC BC CE
BCED
長方形 面積＝
＝平行四邊形 面積 ＝
＝正方形 面積.
且
HMNA AH HM
HLCA AC CF
ACFG
長方形 面積＝
＝平行四邊形 面積 ＝
＝正方形 面積.
7. 最後利用面積關係推出勾股定理的關係式：
ABKH MKBN HMNK
BCED ACFG
正方形 面積＝長方形 面積＋長方形 面積
＝正方形 面積＋正方形 面積.
得到
2 2 2
, AB BC AC 即
2 2 2
. c a b
【註與心得】
1. 來源：這個證明是一名威徹斯特高中的學生 Joseph Zelson 於 1939 年所證出，同時 也記載於：
(1) J. Wipper (1880). 46 Beweise des pythagoraischen Lehrsatzes, nebst kurzen biogr. Mittheilgn uber Pythagoras (p. 13). Leipz.: Friese.
(2) Edwards, George C.(1895). Elements of Geometry(p.156). New York : Macmillan and co.
(3) Benj. F. Yanney and James A. Calderhead(1897). New and Old Proofs of the Pythagorean. The American Mathematical Monthly, 4(11), 251.
(4) J. M. Richardson (1859). Note on the forty-seventh proposition of Euclid, Mathematical Monthly, 2(2), 45-52.
2. 心得：此題證明簡單清楚，先將正方形 ABKH 切割為兩個長方形，再透過輔助線將 長方形面積轉移為平行四邊形面積的計算，進而推得正方形 ABKH 面積會等 於正方形 BCED 與正方形 ACFG 的面積和。
3. 評量：
國中 高中 教學 欣賞 美學
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