向量與內積
劉珈銘
幾何物體在平移，旋轉，鏡射的作用之後，幾何物體本身的形狀並沒有任何的改 變，邊長不變，對應的角度也不會變。透過這個特性，想研究幾何物體，我們便 將幾何物體放置於座標系之中，其物體的幾何特性並不會因為座標在上述作用之 後就有所改變，於是我們可以透過代數的方法來研究幾何學，這樣的方法簡化了 很多輔助線，以及使用古典幾何繁複的證明。舉例來說，我們將三角形ABC旋 轉，並且平移至新的座標A B C' ' '。雖然三角形的座標不同，但是這兩個一樣還 是全等三角形。
我們說兩幾何物體特性相等指的是這兩個幾何物體是「全等」的。
因此，為了方便我們研究幾何物體，我們便將幾何物體放置在一個方便我們研究 的座標系中。例如，將某個頂點放置在原點。或者是將三角形的外心放置在原點。
至於該怎麼放置我們的幾何物體得仰賴於我們對問題研究的經驗，這沒有一個標 準答案。而「位移向量」的概念正是將幾何物體的某個頂點放在原點，如此放置 座標系的確是有他的方便之處，而最大的好處就是可以透過所謂的「內積」去計 算出幾何物體內的某個角度，或者是邊長。
假設給定平面中的兩點P x y( ,1 1), ( ,Q x y2 2)，由 P 至 Q 的位移向量定義為
2 1 2 1
( , )
PQ= x −x y −y
JJJG .
此位移向量的長度定義為PQ= (x2−x1)2+(y2−y1)2 。請注意，由 Q 至 P 的位移
向量為QPJJJK=(x1−x y2, 1−y2)
，如圖所示，我們發現這兩個向量長度相等但是方向 相反。這不僅僅是告訴我們，位移向量的概念不僅包含了長度，也包含了方向性。
A
B
C
' A
' B
' C
平移與旋轉
所以向量是一個具有方向與長度的數學的概念。
說明：位移向量 PQJJJK
的實際意義是說，我們怎麼去描述從 P 沿著 PQ 的方向移動
至 Q ， PQJJJK
不只描述了物體的移動方向，也描述了物體行走的距離。
觀察 PQJJJK 與 QPJJJK
向量的x座標與 y 座標，我們發現一個有趣的事實
2 1 ( 1 2)
x − = −x x −x 與y2−y1 = −(y1−y2) 也就是說其x座標與 y 座標分別差一個負號。假設uG=( , )x y
是一個位移向量，且 a為一個實數，那麼我們定義
( , ) a u⋅ =K ax ay
稱為向量的係數積。就可以發現，透過向量的係數積定義，
2 1 2 1 1 2 1 2
( , ) ( 1) ( , ) ( 1)
PQ= x −x y −y = − ⋅ x −x y −y = − ⋅QP
JJJG JJJK
因此，如果給了一個向量uK
，−uK
的幾何意義便是與原向量同長度但是方向相差 180的向量。
習題 1.試討論向量a u⋅K
的幾何意義。
如果給定平面中一個三角形與其三個頂點P x y( ,1 1), ( ,Q x y2 2), ( ,R x y ，假設我們3 3) 將 P 點平移至原點得到三位移向量PQJJJK=(x2−x y1, 2−y1)
與JJJKPR=(x3−x y1, 3−y1)
， JJJK
P
Q
O x
y
O
x y
PQJJJK
QPJJJK
平移
3 1 ( 3 2) ( 2 1)
x − =x x −x + x −x 與y3−y1=(y3−y2) (+ y2−y1)。 也就是說呢，PRJJJK
向量的x座標與 y 座標分別是 PQJJJK 與 QRJJJK
的x座標與 y 座標的和。
假設任給兩個位移向量uG =( , ),x y vK=( ', ')x y
，我們定義
( ', ') uK K+ =v x+x y+y 稱為向量 ,u vK K
的和。那麼由此定義，我們不難發現
PR=PQ QR+ JJJK JJJK JJJK
. 所以這就給出了向量和的幾何意義。
任給平面中的三角形ABC，將 A 平移至原點，並且 ,B C 的新座標分別為
1 1 2 2
( , ), ( , ) B x y C x y 。
為了讓符號簡單，我們用uK 表 ABJJJK
，vK 表JJJKAC
，由餘弦定理可知
2 2 2
1 2 1 2
cos 2
x x y y AB AC BC
A AB AC u v
+
+ −
= = G K .
於是我們定義一個量稱為向量uK 與vK
的內積：
1 2 1 2
u vK K⋅ =x x +y y . 則我們發現，u vK K⋅ = u vK K cosA
。如圖所示。由此我們可以得到一個重要的不等式：
PQJJJK JJJKPR QRJJJK
科西不等式
u vK K⋅ ≤ u vK K
所以如果知道了向量的內積，我們便可以求出其向量的夾角。反之，如果知道了 向量的夾角，也可以求得向量的內積。令一方面，我們也發現到
u uK K⋅ = uK2
. 所以知道了向量的內積，也可以求得向量的長度。
以下作為向量內積的應用，我們來計算三角形的面積。如上圖，我們知道，三角 形的面積為
1 sin 2 AB AC A Δ = ×
因此我們可得2Δ = AB AC× sinA，令一方面，由向量內積定義可知
sin AB AC⋅ =AB AC× A JJJK JJJK
。由於sin2 A+cos2 A= ，我們將兩式平方之後相加得到 1
2 2
2 2
(2 )Δ +(JJJK JJJKAB AC⋅ ) = AB ×AC , 因此我們知道
2 2 2
1 ( )
2 AB AC AB AC Δ = JJJK ×JJJK − JJJK JJJK⋅
.
將JJJKAB=( ,x y1 1),JJJKAC =( ,x y2 2)
帶入JJJKAB2×JJJKAC2−(JJJK JJJKAB AC⋅ )2 可得
2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1
(x +y )(x +y ) (− x x +y y ) =(x y −x y) 因此可得 1 1 2 2 1
2 x y x y
Δ = − ，我們記
1 1
1 2 2 1
2 2
x y
x y x y
x y = −
C B
A
那麼三角形面積公式成為
1 1
2 2
1| |
2
x y x y
Δ = .
如果我們想要求由向量 ,u vK K
所張成的平行四邊形面積，那麼從三角形面積為平行 四邊形的二分之一知道
1 1
2 2
| x y | x y
= .
其中 1 1
2 2
x y
x y 稱為向量 ,u vK K
的行列式。
附註：雖然我們人為的定義了一些數學概念，如向量和與係數積，向量的內積與 行列式等等，儘管這些定義看起來似乎沒有任何的意義，然而只要了解了定義是 為了表現出幾何的概念，那麼這樣的定義也不是那麼突兀。也就是說，數學的定 義是有其目的的，並非天外飛來一筆。
