第二章 現金流與金錢的時間價值

2 2 --11

第二章

現金流與金錢的時間價值

2 2 --22

現金流與現金流圖

• 以財務角度分析工程方案，需使用現金流 圖(表)來描述方案

• 現金流代表金錢(現金)在某特定時間或期 間的流動或轉移

• 專案計畫的現金流入與流出

– 流入：收入或收益 – 流出：花費或支出 – 淨現金流：收入 – 支出

2 2 --33

現金流與現金流圖

• 離散性：專案計畫的現金流入或流出發生 在特定的時間點上

• 連續性：在某一段期間，現金會以某個速 率流入或流出專案

2 --4

現金流圖

• 專案計畫的財務性描述。

• 描繪某個時間範圍中現金流的類型、大 小、與時間性 。

0 1 2 3 4 5

時間範圍中的時間期間

2 2 --55

現金流圖(離散型)

500K

50K

100K

0 1 2 3 4 5

離散型的現金流出 (花費、支出) 請注意箭頭的方向！

200K

500K 200K 200K

離散型的現金流入(收入)

2 2 --66

現金流圖(離散型)

500K

50K

100K

0 1 2 3 4 5

200K

500K 200K 200K

可以改成淨現金流

• 淨現金流是將同個時間點上的收入與支出

合併

2 2 --77

現金流圖(離散型)

500K

50K

0 1 2 3 4 5

200K

500K 200K

100K

淨現金流

• 淨現金流是將同個時間點上的收入與支出 合併

2 --8

現金流圖(連續型)

• 連續型現金流：定義金錢在時間中移動的 速率

0 1 2 3 4 5

500K

200K 200K

500K

連續型的現金流入 (收入) 每單位時間200K的流動速率

• 雖然利於分析長期計畫，但實務上不常用

2 2 --99

現金流圖(離散型)

• 可以描繪任何投資機會

• 典型的投資：

0

P 進行初始的投資 (購買)

2 2 --1010

現金流圖(離散型)

• 可以描繪任何投資機會

• 典型的投資：

P

0 1 2 3 N

在各時間點支出花費

在時間 點N得 到殘餘 價值

2 2 --1111

現金流圖(離散型)

• 可以描繪任何投資機會

• 典型的投資：

0 1 2 N

將每個期間寫成淨現金流 P

3

A₁

A₂ A₃ A_N

2 --12

例題2.1 現金流圖(離散型)

• Perryman Co.是一家位於賓州的鈦製造商

• 在2005年購買1,000萬美元的軋鋼廠以擴展其營運 – 其年產量增加超過60%，達到700萬磅

可用來製造圈狀或棒狀產品的鈦錠 – 假設這座新廠房是在2005年初購置

– 在10年內都可用最高產能運作(每年產出437.5萬磅) – 假設每一磅的產出都可以產生$9美元的收入

– 其生產成本則為$3.90美元

– 第一年的設備維護費為$1,000萬美元，且每年會增加 100萬美元

– 這座廠房在10年後會被拆除，並獲得$50萬美元

• 請為此項投資繪製現金流圖，假設所有的花費與收入都 出現在年尾

2 2 --1313

例題2.1 現金流圖(離散型)(解答)

• (a)個別現金流圖

• (b)淨現金流圖

• 固定期間的淨現金流，就是該段期間所有個別現 金流的總和。

04 05 06 14 04 05 06 13 14

（a) （b)

1000萬 1000萬 1706萬

3938萬 3938萬

1706萬

1100萬

1900萬 50萬

1000萬

1232萬 1132萬

382萬

2 2 --1414

額外例題：現金流圖(離散型)

• 面紙公司Svenska Cellulosa宣布在其西班牙Valls的工 廠投資4.9億元添購一座新的面紙機器，將其每年的產 能擴展60,000噸。該工廠大部分產品都是供應給零售 商的自有品牌。 (幣值：瑞典克朗)

• 假設：於2006年進行投資，於2007年開始運作。這具 機器擁有10年的服務年限以及2,500萬元的殘餘價值。

第1年的固定O&M成本為1,000萬元，每年增加8%。

收入為每噸6,400元，成本為每噸4,600元。

• 試繪製其現金流圖。

Source：“SCA Invests Around SEK490M in New Tissue Machine in Spain,” Dow Jones Newswires, December 22, 2005.

2 2 --1515

額外例題：現金流圖(離散型) )(解答步驟)

• 時間線

0 1 2 3 10

2 --16

額外例題：現金流圖(離散型) )(解答步驟)

• 個別現金流：投資成本(期初)

0 1 2 10

490M

3

2 2 --1717

額外例題：現金流圖(離散型) )(解答步驟)

• 個別現金流：每期收入

6400 60, 000

× 噸 = 384M 噸 年 每年

0 1 2 10

490M

3

384M 384M 384M 384M

2 2 --1818

額外例題：現金流圖(離散型) )(解答步驟)

• 個別現金流：每期(變動)成本

0 1 2 10

490M

3

384M 384M 384M 384M

276M 276M 276M 276M

4600 60, 000

× 噸 = 276M

噸 年 每年

2 2 --1919

額外例題：現金流圖(離散型) )(解答步驟)

• 個別現金流：每期固定成本

=10M(1+ 0.08)ⁿ⁻¹

0 1 2 10

490M

3

384M 384M 384M 384M

276M 276M 276M 276M

10M 10.8M

11.7M

20M

2 --20

額外例題：現金流圖(離散型) )(解答步驟)

• 個別現金流：殘餘價值(期末)

0 1 2 10

490M

3

384M 384M 384M 384M

276M 276M 276M 276M

10M 10.8M 11.7M

20M 25M

2 2 --2121

額外例題：現金流圖(離散型) )(解答步驟)

• 淨現金流圖

0 1 2 10

490M

3

98.0M 97.2M 96.4M

113M

9

89.5M

這是一種「典型的」投資案 (投資於時間零，稍後得到報償)

2 2 --2222

現金流分析

• 既然所有的投資機會都可以繪製為現金流圖

，我們要如何從中選擇最佳的投資機會？

• 將所有現金流圖轉換成類似的示意圖以進行 比較

– 使用共同的利率

– 使用金錢的時間價值運算

2 2 --2323

金錢的時間價值

• 金錢有價值，因為它會提供我們效用

• 一般來說，相較於未來的金錢，我們比較 喜歡當下的金錢 (同樣金額)

– 我們可以馬上花用然後取得效用

– 我們可以將之投資，然後期待它隨利息而增 長，以取得未來較高的效用

– 我們若將它藏在枕頭底下，則會坐視它喪失 購買力

2 --24

金錢的時間價值

• 描述不同時間相同金額的金錢價值 需要使用利率。面對正利率時：

– 金錢會成長 (增生) 使未來有較高的總額 – 過往的金錢會較少 (受到折價)

• 利息 ~ 金錢的成本

– 借(出)款人針對使用金錢所索取的使用費

– 任何交易都會有某個人賺取金錢，某個人支付利息 – 例：存款帳戶：銀行支付~~1.5%的費用給存款人

房屋/汽車抵押貸款：

貸(入)款人支付銀行~~7.5%的費用給銀行

2 2 --2525

利息與利率

• 利率有許多組成要素

• 案例：房屋抵押貸款：7.5%

– 基本利率：

(

– 風險因素：1%

– 管理費用：0.5%

– 利潤：1%

• 風險較高的客戶，利率可能會更高

2 2 --2626

利息與利率

• 定義利息

– 本金 (資本)：P

• 投資或借貸的金額 – 利率：i

– 金錢的使用費(租金)

為在每個期間中本金的某個比例 – 複利期間

為計算利息的時間長度

借貸/投資的時間長度：N期間

2 2 --2727

利息與利率：單利

• 所賺取(或支付)的利息，是所牽涉到之資 本的某個比例

I = PiN

=(本金)(利率)(期數)

2 --28

例題2.4(單利)：

• 2004年，波音宣布將在2007年生產新型7E7 Dreamliner (後來改名為787)，售價將高達$1,275 億美元。

• 如果某家航空公司向銀行貸款購買一架787，利 率(單利)為每年5.5%，請問這家公司這筆貸款在 四年後需支付多少錢？

Source：Penton, K., “Keystone gets $7 million funding,” The Morning Call, p. D1, January 13, 2006.

2 2 --2929

例題2.4(單利) 解答：

‧四年後所積欠的利息可用公式(2.1)計算如下：

4年的利息款項總計為 4年後要歸還的貸款總計為

‧如果貸款要在第四年後的第一季結束後歸還，則 利息會變成

額外的一季會造成利息費用多出175萬美元 (=127.5M*0.055*1/4)

(

)(

)

N= =

=

Pi M I

億5,555萬美金 1

$28.05M

$127.5M P

F= +

I

( )( )

(4 1 055 . 0 5 . 127

$

N= + =

=

Pi M I

$127.5M

例2.4之現金流圖

F

2 2 --3030

利息與利率：複利

• 需同時針對本金與已增生的利息總額支 付利息

• 必須每期計算所積欠的利息

2 2 --3131

複利與現金流圖

• 案例：P=$1000，i =10%，一年後(第一期 期末)會增生多少？

– 本金：P = $1000

– 所賺取之利息：I = Pi = $1000(0.10) = $100 – 總計：F

₁

• 如果在第一期期末取出這筆錢：

1

F

= 1100

P = 1000

2 --32

複利與現金流圖

• 兩年後(第二期期末)會增生多少？

– 第二期期初本金：F

₁

I ₂

₁ i = P(1+i)i = $1100(0.10) = $110

F

• 如果在第二期期末取出這筆錢：

0 1 2

P = 1000

F

= 1210

2 2 --3333

複利與現金流圖

• 第N期期末會增生多少？

– 一般化公式為：F = P(1+i)

^N

• 在第N期期末取出這筆錢：

0 1 2

P

F = P(1+i)

3 N

2 2 --3434

例題2.5(複利)：

• 考量購買波音787的1.275億美元購買成本

• 此時若5.5%的利率是以每年複利計算。

• 如果貸款必需在四年後一次還清，請計 算總共所需支付的利息為何。

解答：

• 這筆交易的現金流圖與例2.4相同，但利息的計 算較為複雜，因為利息的計算是依據本金與所有 增生的利息為基礎。

• 在第四年之前，這筆貸款不會被歸還，所增生的 利息也不會被支付，因此利息將會累積。

2 2 --3535

例題2.5(複利)解答：

• 在第一年(第一個複利期間)期末，借款人 積欠利息為：

I ₁

• 第一年期末積欠總金額(本金+利息)為：

F ₁

₁

P=$127.5M

0 1

F

2 --36

例題2.5(複利)解答：

• 第二年所增生的利息為：

I

= [$127.5M + $7.0125M](5.5%) = $7,398,178.5

• 第二年期末積欠總金額(本金+利息)為：

F

+ I

= P[1 + 2i + i)i] = P(1 + i)²

= $127.5M(1.055)²= $141,910,687.5

• 第二年期末積欠未支付的利息總額為

I

P=$127.5M

0 1

F

2 (1+i)

2 2 --3737

例題2.5(複利)解答：

• 第三年所增生的利息為：

I

+ I

i = [$127.5M + $14.4107M](5.5%) =

$7,805,087.3

• 第三年期末積欠總金額(本金+利息)為：

F

+ I

+ F

i = F

= P(1 + i)

= $127.5M(1.055)

• 第三年期末積欠未支付的利息總額為

I

2 2 --3838

例題2.5(複利)解答：

• 一般公式：

第N期結束積欠總金額為： F = P(1 + i) ^N F通常被稱為目前總額P的未來值

• 第N期結束積欠利息總額為： I = F - P

P=$127.5M

0 1

F

2

(1+i) (1+i)

N-1 N

……….

2 2 --3939

例題2.5(複利)解答：

• 第四年所增生的利息為：

I ₄

₁ +I ₂ +I ₃

₃ i = $149715775.31(5.5%) =

$8,234,367.64

• 第四年(N=4)期末積欠總金額F為：

F = P(1 + i) ⁴ = $127.5M(1.055) ⁴

• 在第四期末積欠未支付的利息總額為

I = I ₁

₂

₃

₄

= $157,950,143 - $127,500,000 = $30,450,143

2 --40

名目利率與實際(有效)利率

• 名目利率：金融機構通常以年度為基準，不計入 複利的影響，來提供利率數據 ，亦稱為年百分率 (Annual Percentage Rate – APR)

• 實際(有效)利率：每期應得的利率(複利計算)

• 需將名目利率轉換成實際(有效)利率以進行分析 – 名目利率在分析上沒有用處！

• 名目年利率：r

但以每期（通常≤ 1年，如每月、季、半年）複利 計算

– 一年內的複利次數：M

• 注意：名目利率不一定是”年“利率，但最常以年利率定義名 目利率

2 2 --4141

轉換名目利率

• 一定要將名目利率轉換為實際(有效)利率

– 若一年內複利M次(期) 則每期實際利率為 i：

• (2.2)

• 例如：「 12%，每月複利一次」的意義為

名目年利率 r = 12%

每月複利一次 = 一年複利12次

則每月實際利率 i = r/M = 12%/12 = 1%

i

r M

2 2 --4242

例題2.6：名目利率

• First Quantum Minerals, Ltd. 針對其礦產運作，

向渣打銀行取得3,000萬美元的信用額度。

• 這項信用額度的利率為LIBOR (London Inter- Bank Offered Rate；倫敦銀行同業拆借率)加上 2.5%，且要以每季計費的方式還款。

• 假設LIBOR固定在每年1.37%，則每年的名目利 率為1.37% + 2.50% = 3.87%。

• 假設複利是以每季計算，試求有效的季利率。

2 2 --4343

例題2.6 解答

• 使用每季的複利計算，以公式(2.2)定義每 季利率(i _q )為

• 這意味著每季的實際(有效)利率為0.97%

0.0387

0.009675

q 4

i r

=

M

2 --44

例題2.7 再次檢視名目利率

• 再檢視前一例題

• 這次假設提供給Quantum Minerals 的貸款 利率是以季利率2.5%以及三個月的LIBOR 利率0.28%計算，總利率為每季2.78%。

• 請問其名目利率為何？

2 2 --4545

例題2.7 解答

• 使用公式(2.2)求解名目利率r，可發現

r = i _q M = (0.0278)(4) = 11.12%

• 即名目年利率為11.12%，每季複利計算

或可表示為：「 11.12% ，每季複利」