1-2 廣 義 角 與 極 坐 標

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1-2 廣 義 角 與 極 坐 標

1. 試問 tan 45   tan135   tan 225   tan 315 的和為 (1)

2

(2)

1

(3) 0 (4) 4﹒

解：

tan 45  ﹐ tan1351  tan(180    45 ) tan 45   ﹐ 1 tan 225 tan(180   45 ) tan 45  ﹐ 1

tan 315 tan(360    45 ) tan 45   ﹐ 1 得原式 1 ( 1) 1 ( 1) 0       ﹒

2. 設 A  sin1230  ﹐

Bcos( 1140 ) 

﹐ C  tan1665 ﹐ D  cos 2250  ﹐試問最大的值是 (1)

A

(2)

B

(3) C (4)

D

﹒

解：

sin(150 360 3) sin150 sin 30 ¹ A         ﹐ 2

cos( 60 360 3) cos( 60 ) cos 60 1

B           ﹐ 2 tan(225 360 4) tan 225 tan 45 1

C         ﹐

cos(90 360 6) cos 90 0 D       ﹐

3. 在  ABC 中﹐下列哪些選項的條件有可能成立？

(1)

sin sin sin ¹

A B C 2

(2)

cos cos cos ¹ A B C2

(3) tan A  tan B  tan C  (4) sin 1 A  cos A  tan A ﹒ 解：

(1) 1

sin 時﹐2  30 或150 ﹐     A B C 180 ﹒

(2) 1

cos  時﹐2  60 ﹐     A B C 60 ﹐     A B C 180 ﹒ (3) tan  時﹐1  45 ﹐     A B C 135 ﹒

(4) sinAcosA時﹐ A 45 ﹐ tanA ﹐ cos1 AtanA﹐

4. 設

sin ³



5

且 90     180  ﹐試問 tan  的值﹒

解：

因 3

sin 且 905    180 ﹐知 cos  ﹐ 0

2 2 16

cos 1 sin

  25﹐得 4 cos  ﹐ 5

知 sin 3

tan cos 4

 

    ﹒

2

5. 設 

₁

﹐ 

₂

﹐ 

₃

﹐ 

₄

分別為第一﹐二﹐三﹐四象限角﹐且都介於 0 與 360

之間﹐已知 | cos 

₁

|  | cos 

₂

|

3 4

| cos | | cos | 1

 

5

  

﹐試問  

₃

 的值﹒

₄

解：

₁是第一象限角﹐

2 180 1

    ﹐ ₃180  ﹐₁ ₄ 360  ﹐ ₁ 知 ₃ ₄(180 ₁)(360 ₁)540 ﹒

6. 設極坐標平面上﹐

A[4, 20 ]

﹐

B[4, 80 ]

﹐試求

AB

的長﹒

解：

OAOB 且4 AOB60 ﹐ 知OAB是正三角形﹐

得AB ﹒ 4

1. 已知對任意角  ﹐換角公式均成立﹐設

sin ³



 5

﹐試求：

(1)

sin(180 



)

﹒ (2)

sin(



180 )

﹒

解：

(1) 3

sin(180 ) sin

  5

     ﹒

(2) sin(180 )  sin(180 ) sin ³

  5﹒

2. 設  是一銳角﹐已知  有一個同界角的度數恰為 6  ﹐試問  值﹒

解：

由同界角的關係：

6  360． ﹐ k 為整數﹐ k 5360． ﹐知k   ． ﹐ 72 k 因 是銳角﹐取

k  1

， 72 ﹒

3. 試求 sin( ) cos( 180 ) tan( 360 ) sin(180 ) cos( 180 ) tan( )

  

  

    

 

     的值﹒

解：

sin(  ) sin﹐ sin(180 )sin﹐

cos(180 )  cos﹐ cos(180 ) cos(180 ) cos﹐ tan(360 )  tan(360 )tan﹐ tan(  ) tan﹐

原式 sin cos tan

sin cos tan

  

  

 

  

        ﹒ 1 1 1 1

3 4. 試求 cos 20   cos 40   cos 60   cos80   cos100   cos120   cos140   cos160 

cos180

  的值﹒

解：

cos(180 ) cos﹐

即 cos100  cos80 ﹐ cos120  cos 60 ﹐ cos140  cos 40 ﹐ cos160  cos 20 ﹐

原式 (cos 20  cos160 ) (cos 40 cos140 ) (cos 60 cos120 ) (cos80 cos100 ) cos180 cos180   ﹒ 1

5. 已知點

A

﹐

B

的極坐標﹐試求其直角坐標：

(1)

A[5, 90 ]

﹒ (2)

B[4, 120 ]

﹒

解：

(1)r ﹐5  90 ﹐設 A 的直角坐標 ( , )A x y ﹐ 5cos 90 0

x   ﹐ y5sin 90  ﹐知 (0, 5)5 A ﹒ (2)r ﹐4  120 ﹐設 B 的直角坐標 ( , )B x y ﹐

4 cos120 2

x    ﹐y4sin120 2 3﹐知 ( 2, 2 3)B  ﹒

6. 已知點

P

﹐

Q

的直角坐標﹐試求其極坐標

[ , ]r

 ﹐限制 0    2  ： (1)

P(0,7)

﹒ (2)

Q( 5, 5)

﹒

解：

(1)rOP ﹐且7  270 ﹐ 得 P 的極坐標是 [7, 270 ]P  ﹒

(2)rOQ5 2﹐且 135 ﹐ 得 Q 的極坐標是 [5 2,135 ]Q  ﹒

7. 右圖是邊長為 1 的正六邊形 OABCDE ﹐已知 O 是原點﹐試問點 C 的 極坐標﹒

解：

因OC ﹐且2 COA60 ﹐得點 C 的極坐標為 [2, 60 ] ﹒

8. 右圖中﹐單位圓 O 與

y

軸相交於

A

﹐

B

兩點﹐已知 OA  ﹐角 1  的終邊上有一點 C ﹐ CA  OA 且

tan ⁵



 3

﹐試問 AC 的長﹒

解：

設 C 的坐標為 ( , 1)k  ﹐知AC| |k ﹐ 1 5

tan^k  ﹐得3 3

k  ﹐知5 3 AC ﹒ 5

9. 設 cos 50   ﹐試用 k 表示 tan 230﹒ k

解：

因 cos50  ﹐由k sin 50²   1 cos 50²   1 k²﹐得sin 50  1 k ² ﹐ tan 230 tan(180   50 ) tan 50 ﹐

sin 50 1 2

tan 50

cos 50

k k

 

  

 ﹒

4

1. 一個時鐘從上午 9 時整走到上午 10 時 20 分﹐時鐘的分針旋轉的有向角是幾度？

解：

分針每分鐘旋轉 6  ﹐知 80 分鐘所旋轉的有向角為 ( 6 ) 80    480 ﹒

2. 有一摩天輪直徑為 60 公尺﹐已知摩天輪是等速順時針旋轉﹐且旋轉一圈的時間是 24 分鐘﹐現在大明從地面入口搭上摩天輪﹐試問 8 分鐘後大明離地面的高度﹒

解：

每分鐘旋轉的角度是 360 24 15  ﹐ 8 分鐘時旋轉 15  8 120 ﹐POA120 ﹐ 在坐標平面上知 8 分鐘後大明的位置 ( , )P x y ﹐ 因OP30﹐POB150 ﹐y30 sin150．  15﹐ 知離地面的高度h y OA15 30 45（公尺）﹒

3. 沙漠旅行中﹐有一駱駝客告訴沙漠旅行者說：離此最近的兩綠洲﹐一是在面對太陽向 右轉 50 ﹐前進 5 公里處；一是在面對太陽向左轉 40﹐前進 12 公里處﹐試問兩綠洲的 距離﹒

解：

設 O 是旅行者所在位置﹐太陽在正東方的位置﹐

在極坐標中A[5,  ﹐ [12, 40 ]50 ] B  ﹐ 因OA ﹐5 OB12﹐AOB90 ﹐

知AOB是直角三角形﹐得AB13（公里）﹒