1-2相似形※

1-2 相似形

※相似多邊形

定義：兩個邊數相同的多邊形，若它們的對應角相等，且對應邊成比例，則這兩個多邊形 會相似。

1. 因此圖形縮放的過程中，縮放中心的位置並不會影響圖形縮放前後的角度大小及邊長的 比例關係。

隨堂練習--- 如右圖，△ABC 是由四個全等的三角形

拼合而成，試回答下列問題：

(1) ：＝　 _______ 　 。

(2) 若△ABC 是△PQR 放大為 k 倍的圖形，則 k＝　 　 。

--- 隨堂練習--- 已知△ABC ～ △DEF。若＝4，＝6，∠B＝75，求：

(1) ：＝　 _______ 　 。 (2) ∠E＝　 　 。

--- 例題1. --- 已知四邊形ABCD～四邊形 EFGH。

(1) 若∠F＝100，∠G＝41，∠H＝84，求∠A 的度數。

(2) 若＝14，＝21，＝15，求的長度。

--- A

B

C

V

D P

Q

R S

A

B

C O

D E

F H

G

A

B C

P R

Q

A

B C E

D

F

相似多邊形：其對應角相等，對應邊成比例必須同時成立，缺一不可。

1. 若只有對應角相等，則這兩個多邊形不一定相似。

2. 若只有對應邊成比例，則這兩個多邊形不一定相似。

3. 任意兩個正多邊形必相似。

4. 若兩圖形全等，則此兩圖形必相似，反之未必成立。

5. 若兩多邊形相似，則此兩圖形的 周長比 ＝ 對應邊長 的比。

6. 若兩多邊形相似，則此兩圖形的 面積比 ＝ 對應邊長平方 的比。

隨堂練習--- 1. 一個正方形和一個菱形是否一定相似？ 答：___________。

2. 一個長方形和一個正方形是否一定相似？ 答：___________。

3. 任意兩個正方形是否一定相似？ 答：___________。

4.如下圖，判斷這兩個五邊形是否相似。 答：__________

_。--- ----

B A

C ^60°

4 120°

4

6

2 2

120°

115°

125°D E

G F

H ^60°

120°

6

6

9

3

120° 3

115°

125°I J

例題2. --- 下圖中，兩個長方形是否為相似

形？--- ---

3

5 6

9

隨堂練習---

右圖中，若x＞6，且這兩個長方形為相似形，則 x

＝？--- ---

3

5 6

x

我們曾學過全等三角形的「全等判別性質」( SSS、SAS、RHS、ASA、AAS )，那麼相似三角形是否 也有「相似判別性質」呢？

相似三角形的判別

(1) AA 相似性質：兩個三角形中，如果有兩組內角對應相等，則這兩個三角形相似。

(2) SAS 相似性質：兩個三角形中，如果有一組內角相等，而且夾此角的兩邊對應成比例，

則這兩個三角形相似。

(3) SSS 相似性質：兩個三角形中，如果三邊長對應成比例，則這兩個三角形相似。

AA 相似性質：兩個三角形中，如果有兩組內角對應相等，則這兩個三角形相似。

證明：在△ABC 與△A'B'C' 中，如果∠A＝∠A'，∠B＝∠B'，那麼

A

B C

　　　　　　　 _{A , A'}

B C

C' B'

由∠B＝∠B'，可知 // ，因此＝＝。

所以△ABC 和△A'B'C' 的對應角相等，且對應邊成比例，故△ABC ～ △A'B'C'。

例題3. --- 右圖△ABC 中，已知∠ADE＝∠B。

(1) 試問△ADE ～△ABC 成立嗎？

(2) 若＝6，＝4，＝7，求 的長度。

---

隨堂練習--- 與交於A 點，形成△ABC 與△AEF。已知∠B＝∠E。

(1) 試問△ABC ～△AEF 成立嗎？

(2) 若＝50，＝80，＝40，求的長

度。--- -

將△ABC 放在△A'B'C'上

A

B C

D E

A B C

E

F

SAS 相似性質：兩個三角形中，如果有一組內角相等，而且夾此角的兩邊對應成比例，則 這兩個三角形相似。

證明：將△ABC 放在△A'B'C'上，使 A 點與 A' 點重合，且落在上。

A

B C

A , A'

B C

C' B'

∵ ＝　∴ //

由此得知∠B＝∠B'，∠C＝∠C'。

由AA 相似性質，可以得到△ABC ～ △A'B'C'。

例題4. ---

△ABC 中，已知＝12，＝8，＝10，＝14。

(1) 試問△ABC ～△AED 成立嗎？

(2) 若＝14，求的長度。

---

隨堂練習--- 右圖中， 與 交於 A 點，形成△ABC 與△AEF。

已知＝30，＝40，＝60，＝80。

(1) 試問△ABC ～△AEF 成立嗎？

(2) 若＝40，求的長度。

--- 將△ABC 放在△A'B'C'上

A

B C

D

E

A B C

E

F

SSS 相似性質：兩個三角形中，如果三邊長對應成比例，則這兩個三角形相似。

例題5. --- 若一個三角形的三邊長分別為10、12 與 18，另一個三角形的三邊長分別為 27、18 與 15，

試問這兩個三角形相似

嗎？--- ---

隨堂練習--- 下列各選項分別代表三角形的三邊長，試問何者與右圖中的三角形相似？

(A) 6、10、8 (B) 8、12、10 (C) 14、10、12 (D) 12、24、18

--- 思考題--- 如右圖，四邊形 ABCD 與四邊形 A'B'C'D' 中，對應邊成比例，

即＝＝＝。

(1) 試問四邊形 ABCD ～ 四邊形 A'B'C'D' 成立嗎？

(2) 當再加上「 A ∠∠ ＝ A' 」的條件，試問四邊形 ABCD ～ 四邊形 A'B'C'D' 成立嗎？

(3) 當再加上「＝」的條件， 試問四邊形 ABCD ～ 四邊形 A'B'C'D' 成立嗎？

相似三角形的對應關係

(1) 兩個相似三角形對應邊長的比 6

8

4

C B D

A

＝對應角平分線長度的比

＝對應中線長的比

＝對應高的比

(2) 兩個相似三角形面積的比等於對應邊平方的比。

例題6. --- 已知△ABC ～ △A'B'C'，

且平分∠BAC，平分

∠B'A'C'。若＝12，＝8，

＝10，求 的長度。

---

例題7. --- 已知△ABC ～ △A'B'C'，

且M 為的中點，M'為的中點。

若＝6，＝8，＝4，求的長

度。--- ----

例題8. --- 已知△ABC ～ △A'B'C'，

為上的高，為

若＝16，＝20，求：

(1) 和的長度比。

(2) △ABC 和△A'B'C'的面積比。

---

D

A B

C

A M

C B

A

B C

H

四邊形ABCD ～四邊形 A'B'C'D'。試問：

(1) △ABC ～ △A'B'C' 成立嗎？

(2) 若：＝2：3，＝14，

則的長度為

何？--- ---

隨堂練習--- 四邊形ABCD～四邊形 A'B'C'D'。

若＝12，＝18，求：

(1) 對角線和的長度比。

(2) 四邊形 ABCD 和四邊形 A'B'C'D'的面積比。

---

坐標平面畫相似的多邊形 步驟如下：

1. 標示出此多邊形各頂點的坐標。

2. 各頂點的 x 坐標與 y 坐標都放大

或縮小為相同倍數，得出各頂點的對應點。

3. 將這些對應點依序用線段連接起來，即可畫出相似形。

例題10. --- 將四邊形ABCD 四個頂點的

x 坐標與 y 坐標都縮小為原來的倍，

得四邊形EFGH，則

E、F、G、H 四點的坐標分別為何？

--- D

C B

A

D

C B

A

O x

y

A(3,4)

A (6,8)

B B

A(4,0) D(0,6)

B(8,4) C(4,8)

O y

x H

E G

F

隨堂練習--- 已知在坐標平面上，△DEF 是△ABC 放大為 k 倍的相似三角形，其

中A ( 1 , 0 )、B ( 0 ,－2 )、C (－2 , 1 )、D ( 3 , 0 )、E ( 0 ,－6 )、F (－6 , 3 )，試問：

(1) k＝？

(2) △DEF 的周長是△ABC 周長的多少倍？

---

直角三角形的相似關係

如右圖，直角△ABC 中，∠BAC＝90，

且⊥於 D 點，則：

(1) ²＝ × 。 (2) ²＝ × 。 (3) ²＝ × 。

例題11. --- 直角△ABC 中，∠BAC＝90，且⊥於 D 點，試問：

(1) △ABC ～ △DBA 成立嗎？

(2) ²＝ × 成立

嗎？--- ---

A

B C

D A

B C

D

直角△ABC 中，∠BAC＝90，且⊥於 D 點，

若4，＝12，求：

(1) 的長度 (2) 的長度。

(3) 的長度。

---

例題12. --- 阿達想要測量與地面垂直的樹的高度，

他先測得該樹影子 的長度為 4 公尺，

在同一時間，拿一根長 1 公尺的標桿 ( ) 垂直地面，測得影子長度＝0.8 公尺。

試問該樹的高度 是多少公

尺？--- ---

隨堂練習--- 如右圖，小華為了要測量一盞路燈的高度，

於距離路燈7 公尺的 D 點處插一根垂直地面

的標桿，並在的延長線上找一點E，

使A、C、E 三點成一直線。已知＝1 公 尺，又測得＝1.4 公尺，試問路燈的高度 是多少公尺？

--- A

B C

D

A

B C

D F E

A

B E

C D

例題13. --- 地面A 點處有一光源，往牆面照射。身高

150 公分的安安，自 A 點向牆面走 300 公分，

牆上的人影恰好是300 公分，試問：

(1) A 點到牆面的距離為多少公分？

(2) 安安距離 A 點多少公分時，才能讓牆上的人影恰好是 400 公

分？--- ---

隨堂練習--- 如右圖，柏宇從A 點向北走 400 公尺可到

達直線公路 CD。若由 A 點向東走 600 公 尺到達E 點，再向北走 600 公尺也可到達 直線公路 CD，則柏宇由 A 點向西走多少 公尺，可到達直線公路CD？

---

1-2 自我評量

已知五邊形 ABCDE ～ 五邊形 FGHIJ，且＝15，＝20。試問：

(1) 若 A＝72∠ ，則 F 是多少度？∠

∠F ∠＝ A＝72。

(2) 若＝45，則的長度是多少？

A 300

300

N

400 A 600

C E

B D

600

15 × ＝20 × 45，＝60。

2

則＝_________，＝_________。

2＝ × ＝4 × ( 4＋2 )＝24，＝2

2＝ × ＝2 × 4＝8，＝2

3

(1) 甲和 己 是相似形 ( 根據 SSS 相似性質 )。

(2) 乙和 丁 是相似形 ( 根據 SAS 相似性質 )。

(3) 丙和 戊 是相似形 ( 根據 AA 相似性質 )。

4

已知＝12，＝8，＝6，＝9。

(1) 試問 AOD ～ △BOC 成立嗎？△

∵∠AOD ∠＝ BOC ( 對頂角相等 ) 且：＝12：8＝3：2＝9：6＝：

∴ △AOD ～ △BOC ( SAS 相似性質 )。

(2) 若＝10.5，求的長度。

∵ △AOD ～ △BOC ∴ ：＝：

故＝＝7。

(3) 試問 AOD△ 的面積： BOC 的面積＝？△

∵ △AOD ～ △BOC

∴ △AOD的面積： BOC 的面積＝△ ²：²＝9：4

(4) 若 AOD 的角平分線交於 P∠ 點， BOC 的角平分線交於 Q 點，則：＝？∠

∵ △AOD △～ BOC ∴ 對應角平分線長度的比等於對應邊長的比 故：＝：＝3：2。

A

B D C

A

P Q

B O

C

D

5

∵ ∠DEC＝∠BAC＝90，∠1＝∠2

∴ △CDE ～ △CBA ( AA 相似性質 )

＝，＝，＝7.5 ( 公尺 ) 故旗竿高度為 7.5 公尺。

紙張的規格

　　自東漢 蔡倫造紙以來，紙張即在人類生活中扮演重要的角色。為了不浪費紙張、便於印 刷和裝訂作業，因此印刷用紙多數是以對摺作裁切。一張按標準尺寸製作且未經裁切的紙稱 為全開紙，將全開紙對摺裁切後可得到對開紙 ( 半開紙 )，把對開紙再對摺裁切後可得到四 開紙，……。若我們希望裁切後所得的對開紙與原來的全開紙成為相似四邊形，則可得它們 的長、寬比為：1。

x

y 　　　

y x2

　　我國對紙張尺寸的國家標準是採用A 和 B 兩種系列，例如：A4、B4。

A 系列的全開紙定義成 A0，它就是長、寬比為：1，且 面積為1 平方公尺的紙張；B 系列的全開紙定義成 B0，它 就是長、寬比為：1，且短邊長度為 1 公尺的紙張。因 此B 系列紙張面積是同號 A 系列的倍，例如：B4 紙張 面積是A4 的倍。

　　當我們用影印機把A3 大小的文件縮小成 A4 大小時，

可以設定縮小為71％ (≒)；那麼想要把 B4 大小的文 件縮小成A4 大小時，我們應該設定縮小比例為多少呢？

2 A

B

1

E C

D

　x：y＝y：

 ＝y²

 ＝

A 1

A 2 A3 A4

A 7

A6 A5