4-2 線型函數與函數圖形
線型函數：
形如f（x）＝ax＋b 的函數，稱為線型函數。其中，
(1) 當 a≠0 時，f（x）＝ax＋b 稱為一次函數。
(2) 當 a＝0 時，f（x）＝b 稱為常數函數。
在一次函數f（x）＝ax＋b 中，a 與 b 都是固定的數，並不會隨著 x 的改變而改變，稱 a 與 b 為常數，ax稱為f（x）中 x 的一次項，b稱為f（x）中的常數項。
例1 函數值的應用
一次函數f（x）＝ax＋4，如果 f（3）＝－2，則 a 之值為多少？
a＝－2。
隨堂練習
一次函數f（x）＝3x－b，如果 f（－2）＝－8，則 b 之值為多少？
b＝2
例2 求一次函數
有一個一次函數f（x）＝ax＋b，且 f（2）＝5，f（3）＝7，求此一次函數。
f（x）＝2x＋1。
隨堂練習
有一個一次函數f（x）＝ax＋b，且 f（1）＝4，f（3）＝10，求此一次函數。
f（x）＝3x＋1。
例3 求常數函數
有一個常數函數f（x）＝b，且 f（2）＝－5，求此常數函數。
f（2）＝－5，
g（x）＝3
2. 若 f（x）為常數函數，且 f（5）＋f（－5）＝8，求此常數函數。
f（x）＝4
數學小語錄
想像遠比知識重要，因為知識是有限的，而想像力卻可以遨遊世界。
—愛因斯坦（Albert Einstein，1879-1955）
函數圖形：
在坐標平面上，將合於y＝f（x）關係的所有點（x , y）標示出來，
所得到的圖形就是函數y＝f（x）的圖形。
例4 畫一次函數的圖形
在坐標平面上畫出函數y＝f（x）＝2x＋1 的圖形。
隨堂練習
在坐標平面上畫出下列各函數的圖形：
(1) y＝f（x）＝－x＋3 (2) y＝g（x）＝x－1
例5 畫常數函數的圖形
畫出函數y＝f（x）＝－2 的圖形。
隨堂練習
在坐標平面上畫出下列各函數的圖形：
(1) y＝g（x）＝－1 (2) y＝h（x）＝0
例6 已知兩點，求線型函數
已知f（x）為一個線型函數，其圖形通過（2 ,－4）與（－1 , 5）兩點，且分別與 x 軸、y 軸 交於A、B 兩點，求：
(1) f（x）
(2) 三角形 ABO 的面積。（O 為坐標平面的原點）
f（x）＝－3x＋2。
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隨堂練習
已知f（x）為一個線型函數，其圖形通過（－1 ,－4）與（3 , 4）兩點，且分別與 x 軸、y 軸 交於A、B 兩點，求：
(1) f（x）
(2) 三角形 ABO 的面積。（O 為坐標平面的原點）
例7 函數圖形
在坐標平面上畫出當x 是小於 5 的正整數時，函數 y＝f（x）＝2x－1 的圖形。
(1) y＝g（x）＝－2x＋3，x 是小於 6 的正整數。
(2) y＝h（x）＝4，x 是大於－5 的負整數。
例8 一次函數圖形的應用
某次數學考試，老師用一次函數f（x）＝ax＋b 來調整分數，其中 x 表示原來的分數，f（x）
表示調整後的分數。已知原來60 分變成 68 分，100 分還是 100 分，則：
(1) a、b 之值為多少？
(2) 原來分數為 80 分，調整後變成多少分？
(3) 原來分數為多少分，則調整後變成 60 分？
一次函數為f（x）＝0.8x＋20。
84 分。
50 分
隨堂練習
已知海平面的高度與氣溫成線型函數的關係。若離海平面 500 公尺處的氣溫為 22℃，而離 海平面 1000 公尺處的氣溫為 19℃，如圖所示。則：
(1)海平面的氣溫為多少 ？℃
(2)離海平面 1800公尺處的氣溫為多少 ？℃ 25（℃）14.2（℃）
例9 函數圖形的應用
摩天輪的時間與高度之間的關係圖如下圖所示，每一個時間都對應到一個高度，因此它是函 數的對應關係，如果以x 表示時間，g（x）表示該時間點所對應的高度。求：
(1) g（0）之值。
(2) g（6）之值。
(3) g（22）之值。
g（0）＝3。g（6）＝45。g（22）＝10。
例10 函數的應用問題
端午節期間某地舉行龍舟競賽（全長1000 公尺），甲、乙兩支隊伍比賽時的路程 y（公尺）
與時間x（分鐘）的函數關係如圖所示，回答下列問題：
(1) 第 4 分鐘時，哪支隊伍處於領先地位？
(2) 這次龍舟賽中哪支隊伍先抵達終點？領先另一支隊伍多少時間？
(3) 乙隊在第 4 分鐘經減速後至抵達終點前，路程 y（公尺）與時間 x（分鐘）為通過（4 , 800）與（8 , 1000）的線型函數，求此函數關係式。
(1) 乙隊處於領先地位。
(2) 所以甲隊先抵達終點，且領先乙隊 2 分鐘。
(3) y＝50x＋600。
右圖為凱威電信公司的通話費計算方式：600 秒以內只繳基本費，超過 600 秒之後的費用，
與通話時間成線型函數關係，則基本費是多少元？
關係式為 y＝ 1
25x＋56。
基本費為 y＝ 1
25×600＋56＝24＋56＝80（元）。
4-2 自我評量
1. 下列各函數中，哪些是常數函數？哪些是一次函數？哪些是線型函數？
(A) f（x）＝2 (B) g（x）＝3x－5 (C) h（x）＝2 5 (D) A（x）＝6x (E) B（x）＝2－x
(1) 常數函數： (A) 、 (C) (2) 一次函數： (B) 、 (D) 、 (E)
(3) 線型函數： (A) 、 (B) 、 (C) 、 (D) 、 (E)
2. 已知一次函數 f（x）＝ax－7，如果 f（2）＝－1，則 a 的值為多少？
答：3。
3. 已知 f（x）＝ax＋b 為一次函數，且 f（0）＝5，f（2）＝－3，求：
(1) f（x）
(2) f（5）之值。
答：(1) f（x）＝－4x＋5，(2)－15。
(1) y＝f（x）＝－x (2) y＝f（x）＝－x－3
(3) y＝f（x）＝3 (4) y＝f（x）＝3x＋1，x 是小於 4 的
5. 已知 f（x）為一個線型函數，其圖形通過（－1 , 2）與（3 , 10）兩點，且分別與 x 軸、y 軸交於A、B 兩點，求：
(1) f（x）
(2) A、B 兩點的坐標。
(3)三角形 OAB 的面積。（O 為坐標平面的原點）
答：(1) f（x）＝2x＋4，
(2) A（－2 , 0），B（0 , 4），
(3) 4。
6. 興東文具行舉辦周年慶促銷活動，已知促銷方式是將原來的價格用線型函數調整成新的 價格，使得原來40 元的文具變成 28 元，60 元的文具變成 40 元，則：
(1) 原來價格 80 元的文具，調整後變成多少元？
(2) 原來價格多少元的文具，調整後變成 100 元？答：(1) 52 元，(2) 160 元。
超值通 基本月租費90元＋每通話1 分鐘0.5元 快易通 免月租費＋每通話1 分鐘0.8元
假設通話x 分鐘，超值通方案收費f（x）元，快易通方案收費g（x）元。
(1) 求 f（x）與 g（x）。
答：f（x）＝90＋0.5x，g（x）＝0.8x。
(2) 小志每個月平均通話時間 400 分鐘，則哪一種方案比較划算？
超值通：90＋0.5×400＝90＋200＝290 快易通：0.8×400＝320
因為 290＜320，所以使用超值通比較划算。
答：超值通。
(3) 當一個月的通話時間是多少分鐘時，兩種計費方案的電話費會相等？
答：300 分鐘。
數學萬花筒
常用的溫度單位有三種：
攝氏溫度、華氏溫度、絕對溫度。
攝氏溫度： 將一大氣壓下水的冰點（即水和冰共存時的溫度）定為 0℃，水的沸點定為 100℃，這兩個定點溫度間等分成一百個單位，每一單位稱為 1℃。
華氏溫度： 水的冰點定為32℉，水的沸點定為 212℉。
絕對溫度： 在科學研究上，則使用國際單位系統規定的絕對溫度。絕對溫度的單位稱為K，
其大小和攝氏溫度的1 度相同，但是水的冰點則取為 273K。
(1) 華氏溫度和攝氏溫度間的換算關係如下：
華氏溫度＝9
5×攝氏溫度＋32 y＝f（x）＝9
5x＋32。
(2) 絕對溫度和攝氏溫度間的換算關係如下：
絕對溫度＝攝氏溫度＋273 y＝g（x）＝x＋273。
由上面的討論可知：任兩個溫標之間的轉換皆為線型函數。
電腦軟體「Excel」則提供了”CONVERT”這個函數轉換的功能，只要我們在儲存格上輸 入＝CONVERT（20 ,"C" , "F"），就可將攝氏溫度 20℃轉換成華氏溫度輸出在儲存格中。
