3.3 3.3 平 面平 面

3.3

3.3 平 面 平 面

一一 . . 点法式方程点法式方程

二二 . . 一般式方程一般式方程 三三 . . 截距式方程截距式方程

四四 . . 平面与平面的位置关平面与平面的位置关 系系



x y

z

o M0

M

平面 可由 _{上任意一点和} 垂直于 _{的任一向量完全确定} . 垂直于 的任一向量称为 的法线向量．

法线向量的特征： 垂直于平面内的任一向量．

设 ^{n  ( , ,A B C), M}₀^(x₀^{, y}₀^{, z}₀^), 为平面上的任一点，

) , ,

( x y z M

n M

M

 

必有

 M

M  n   0

一、点法式方程 _n

3.3

), ,

,

( _{0 0 0}

0M x x y y z z

M    



) 1 ( 0

) (

) (

)

(  ₀   ₀   ₀ 

 A x x B y y C z z

方程 (1) 称为平面的点法式方程 ,

平面上的点都满足方程 (1) ，不在平面上的 点都不满足方程（ 1 ），方程 (1) 称为平面 的方程，平面 称为方程 (1) 的图形．

其中法向量 n  ( , , ),A B C 已知点 ⁽x0^, y0^, z0^).

例1求过三点

A ( 2 ,  1 , 4 )

B (  1 , 3 ,  2 )

)

3 , 2 , 0 (

C

AB  {  3 , 4 ,  6 }

} 1 , 3 , 2

{  

 AC

取

n   AB  AC _{ { 14 , 9 ,  1 },}

所求平面方程为

14 ( x  2 )  9 ( y  1 )  ( z  4 )  0 ,

14 x  9 y  z  15  0 .

例 2 求 过 点

( 1 , 1 , 1 )

x  y  z  7

3 x  2 y  12 z  5  0

), 1 , 1 , 1

1  ( 

n n₂  (3,2,12) 取法向量

n   n 

 n 

, 0 )

1 (

5 )

1 (

15 )

1 (

10 x   y   z  

2 x  3 y  z  6  0 .

所求平面方程为 解

由平面的点法式方程

0 )

( )

( )

( x  x

 B y  y

 C z  z

 A

0 )

(













 Ax By Cz Ax By Cz

 D

 0





 By Cz D

Ax

法向量 ^{n  (A,B,C).}

二、一般式方程

平面一般方程的几种特殊情况：

, 0 )

1

( D 

, 0 )

2

( A 

 





 , 0

, 0 D

D

x

x

, 0 )

3

( A  B 

xoy

类似地可讨论 情形 .

A  C  0 , B  C  0

0 ,

0 

 C

类似地可讨论 情形

B

例 3 观察下列平面 (1) 2x - y - z = 0;

(2) - x + 3y + 6 = 0; (3) 3z - 7 = 0.

x

y z

o

x

y z

o 6

 2

x

y z

o

例 4 设平面过原点及点

( 6 ,  3 , 2 )

8

2

4 x  y  z 

设平面为

Ax  By  Cz  D  0 ,

D  0 ,

由平面过点

( 6 ,  3 , 2 )

6 A  3 B  2 C  0

), 2 , 1 , 4 ( 



 n

 4 A  B  2 C  0 3 ,

2 C B

A   



. 0 3

2

2 x  y  z 

解

例5 设平面与

x , , y z

P (a , 0 , 0 )

)

0 , , 0 ( b

Q

R ( 0 , 0 , c )

a  0

b  0

c  0

求此平面方程.

设平面为

Ax  By  Cz  D  0 ,

将三点坐标代入得



 















, 0

, 0

, 0

D cC

D bB

D aA

 ,

a

A   D ,

b

B   D .

c C   D

解 1

三 . 截距式方程

a ,

A   D ,

b

B   D ,

c C   D

将

代入所设方程得

 1



 c z b

y a

x

x

y

z

解 2 ( 点法式 )

取 n PQ PR   _{ ( a b, , 0) ( a, 0, )c}

0 0

i j k a b

a c

 



  

( ,bc ac ab, )



所以， π ： bc(x-a) + ac(y - 0) + ab(z - 0) = 0 bcx + acy + abz = abc

 1



 c z b

y a

x

例 6 求 平 行 于 平 面

6 x  y  6 z  5  0

标 面 所 围 成 的 四 面 体 体 积 为 一 个 单 位 的 平 面 方 程 . 设平面为

   1 ,

c z b

y a

x

x

y z

,

 1

 V 1 ,

2 1 3

1  

 abc

由所求平面与已知平面平行得

6 , 1 1

1 6

1 a  b  c

解

6 , 1 1

6 1

c b

a  

化简得 令

t

c b

a    6

1 1

6 1

6 , 1 a  t

 1 ,

b  t , 6

1 c  t

t t

t 6 1 1

6 1 6

1  1   



代入体积式

6 ,

 1

 t

, 1 ,

6 ,

1  



 a b c

. 6 6

6 x  y  z 

定义 （通常取锐角）

1

n

2

n



两平面法向量之间的夹角称为两平面的 夹角 .

, 0

:

1

   

 A x B y C z D

, 0

:

2

   

 A x B y C z D

), ,

,

( _{1 1 1}

1 A B C

n 

), ,

,

( _{2 2 2}

2 A B C

n  1. 两平面的夹角

四、平面与平面的位置关系

按照两向量夹角余弦公式有

2 2 2

2 2

2 2

1 2

1 2

1

2 1 2

1 2

1

|

cos |

C B

A C

B A

C C B

B A

A













 



两平面夹角余弦公式 2. 两平面垂直与平行的充要条件：

2

)

1

(     A

A

 B

B

 C

C

 0 ;

2

)

2

(  //  ^.

2 1 2

1 2

1

C C B

B A

A  



例 7 讨论以下各组平面的位置关系：

0 1

3 ,

0 1

2 )

1

(  x  y  z   y  z  

0 1

2 2

4 ,

0 1

2 ) 2

( x  y  z    x  y  z   0 2

2 2

4 ,

0 1

2 ) 3

( x  y  z    x  y  z  

( 1 )

3 1

) 1 ( 2

) 1 (

| 3 1

1 2

0 1

cos |























 

 60

cos   1

60 arccos 1

 

) 2

(

2 ,

1 2

1 4

2

 

 

 

2 1

( 1 , 1 , 0 )

) 0 , 1 , 1

(   M  

 M

两平面平行但不重合．

或： ¹

2

: 2 1 0 : 2 1 0

2 x y z

x y z





   

   

所以，两平面平行但不重合．

) 3

( ,

2 1 2

1 4

2 

 

 



2 1

( 1 , 1 , 0 )

) 0 , 1 , 1

(   M  

 M

两平面平行

两平面重合 .



或： ₁

2

: 2 1 0 : 2 1 0

x y z x y z





   

    所以，两平面重合．

例 8 求过点 M₀(-1,3,2) 且与平面 2x - y + 3z - 4

= 0 和 x + 2y +2z -1=0 都垂直的平面 的方程 . 解 两个已知平面的法向量为

), 3 , 1 , 2

1  ( 

n n₂  (1,2,2), 故平面 的法向量为

2

1

n

n

n     

2 2

1

3 1

2 



k j

i  

k j

i   5 8  





故平面的方程为

-8(x +1) - (y - 3) +5(z -2) =0, 即 8x + y - 5z +15 =0.

例 9 求 点

P

( x

, y

, z

)

By

Ax   Cz  D  0

的 距 离 .





 P

( x

, y

, z

)

| Pr

| j P

P

d 

P



n

P

 }

, ,

{

0

1

P x x y y z z

P    

解

| 1 0 |

|| ||

PP n n

 

 



0 1 0 1 0 1

2 2 2

| (A x x ) B y( y ) C z( z ) |

A B C

    

  

0 0 0 1 1 1

2 2 2

| Ax By Cz (Ax By Cz ) |

A B C

    

  

1

0

1

1

 By  Cz  D 

 Ax ( P

  )

|.

|

2 2

2

0 0

0

C B

A

D Cz

By d Ax









 



点到平面距离公式