1. 將多項式函數

習題 習題 習題

習題 3-3 解答 解答 解答 解答 一

一 一

一、基本題 基本題 基本題 基本題

1. 將多項式函數

y= +x³

2

x

的圖形往右平移 2 單位，再往上平移 1 單位，試求所得圖形 對應的多項式函數。

解 解 解

解

y= +x³

2

x ^{向右平移 單位2} → y= −

(

x

2)

³+

2 (

x−

2)

^{向上平移 單位}1 → y= −

(

x

2)

³+

2 (

x− +

2) 1 ，

得新的多項式函數為

y= −

(

x

2)

³+

2 (

x− + = −

2) 1

x³

6

x² +

14

x−

11

2. 試解下列不等式：

(1) 2

x+

5 ＜ 3 5

+ x

(2)

x²−

2

x−

3 ＜ 0 (3)

x²−

2

x+ ≥

1 0 (4)

x²

+ +2

x

＜ 0

解 解 解

解 (1) 2

2 5 3 5 3 2

x+

＜

+ x

x

＞

x

＞ 3 ，亦可記為 2 3

 

 



∞

， 

(2) x²−

2

x− = −

3 (

x

3) (

x+

1) ＜ 0 ，

畫 y＝（x－3）（x＋1）的概略圖形如下圖所示

故不等式的解為

−

1 ＜ ＜

x

3 ，亦可記為 (

−

1 ， 3 )

(3) x²−

2

x+ = −

1 (

x

1)

² ≥

0 ，

畫

y= −

(

x

1)

² 的概略圖形如下圖所示

故不等式的解為所有實數，亦可記為 (

−∞ ∞

， )

(4) x²

+ +2

x

＜ 0 ，判別式

b²−

4

ac= −

1

²

4 ． ． 1 2

= −

7 ＜ 0 ， 畫

y= + +x² x

2

的概略圖形如下圖所示。\

故不等式為無解

3. 若 f（x）為多項式且 y＝f（x）的函數圖形如下圖，試求不等式

f x

( )

≤

0 的解

(1) (2)

解 解 解

解 (1) 由題圖可得

f x

( )

≤

0

的解為 x≤ −

1

或 x≥

4 ，亦可記為 (

^{−∞ −， 1}

] [

^{U 4，∞}

)

(2) 由題圖可得 f x

( )

≤

0

的解為 x≤

3 ，亦可記為 (

^−∞，3

]

4. 試解下列不等式：

(1) (

x−

1) (

x−

2) (

x+

1) ＞ 0 (2) (2

x+

1) (

x−

2) (

x+ ≥

1) 0 解 解 解

解 (1) 〔解法一〕

考慮每個因式的正負號：

x＋1 在 x＜－1 時為負，在 x＞－1 時為正 x－1 在 x＜1 時為負，在 x＞1 時為正 x－2 在 x＜2 時為負，在 x＞2 時為正

因此可得下表：

x

(

−∞ −

， 1) (

−

1 ， 1 ) (1 ， 2) (2 ，

∞

)

x＋1

－ ＋ ＋ ＋

x－1

－ － ＋ ＋

x－2

－ － － ＋

(

x−

1) (

x−

2) (

x+

1) － ＋ － ＋

因此不等式 (

x−

1) (

x−

2) (

x+

1) ＞ 0

的解為 −

1 ＜ ＜

x

1

或 x＞

2 ， 亦可記為 (

−

1 ， 1 ) U ( 2 ，

∞

) 。

〔解法二〕

畫

y= −

(

x

1) (

x−

2) (

x+

1) 的概略圖形如下圖

因此不等式 (

x−

1) (

x−

2) (

x+

1) ＞ 0

的解為 −

1 ＜ ＜

x

1

或 x＞

2 ，

亦可記為 (− 1 ， 1 ) U ( 2 ，

∞

)

(2) 〔解法一〕

考慮每個因式的正負號：

x＋1 在 x＜－1 時為負，在 x＞－1 時為正 2x＋1 在

1

x

＜

−

2

時為負，在

1

x

＞

−

2

時為正 x－2 在 x＜2 時為負，在 x＞2 時為正。

因此可得下表：

x

(

−∞ −

， 1) 1

1 2

 

− −

 

 ，  1 2 2

 

−

 

 ，  (2 ，

∞

)

x＋1

－ ＋ ＋ ＋

2x＋1

－ － ＋ ＋

x－2

－ － － ＋

(2

x+

1) (

x−

2) (

x+

1) － ＋ － ＋ 因此不等式 (2

x+

1) (

x−

2) (

x+ ≥

1) 0

的解為

1

1

x

2

− ≤ ≤ − 或 x≥

2 ，

亦可記為 ^{1 1} [ ² )

2

 



−

，

−

 U ，

∞

〔解法二〕

畫

y=

(2

x+

1) (

x−

2) (

x+

1) 的概略圖形如下圖

因此不等式 (2

x+

1) (

x−

2) (

x+ ≥

1) 0

的解為

1

1

x

2

− ≤ ≤ − 或 x≥

2 ，

亦可記為 ^{1 1} [ ² )

2

 



−

，

−

 U ，

∞

5. (1) 若已知

y= +x³

6

x²+

11

x+

7 可化為

y= +

(

x b

)

³+p x b

(

+ +

)

k

的形式，試求出

b，p，

k 的值

(2)

y= −x³ x

的圖形要如何平移才能得到

y= +x³

6

x²+

11

x+

7 的圖形？

(3) 試求

y= +x³

6

x²+

11

x+

7 圖形的對稱中心

P

解 解 解

解 (1) 因為

y= +x³

6

x² +

11

x+ = +

7 (

x b

)

³+ p x b

(

+ +

)

k

，

將右式 (

x+b

)

³+p

(

x+ +b

)

k 直接展開，比較 x²

，x 項係數及常數項 因為

x² 項係數相等，可得 3b＝6，即 b＝2

因為 x 項係數相等，可得 3

b²+ =p

11 ，即 p＝－1 因為常數項相等，可得

b³+ pb+ =k

7 ，即 k＝1 故 b＝2，p＝－1，k＝1

(2) 因為 y= +x³

6

x² +

11

x+ = +

7 (

x

2)

³− + +

(

x

2) 1 ，

則

y= −x³ x ^{向左平移 單位2} → y= +

(

x

2)

³− +

(

x

2)

^{向上平移1單位}→

( 2)

3

( 2) 1

y= +x − + +x

，

故

y= +x³

6

x²+

11

x+

7

的圖形可由 y= −x³ x 的圖形向左平移 2 單位再向上平

移 1 單位得到

(3) 由於 y= −x³ x 圖形的對稱中心在（0，0）

，經上述平移後可知

3 2

6 11 7

y= +x x + x+ 圖形的對稱中心為（－2，1）

二 二

二 二、進階題 進階題 進階題 進階題

6. 考慮函數

y= −x³

2

x²+

2

x+

5 ，試求：

(1) 此函數在

x＝1 附近的一次近似

(2) 此函數在

x＝1.002 的近似值。

（四捨五入至小數點後第三位）

解 解 解

解 (1) 連續利用綜合除法，我們可以將

y= −x³

2

x² +

2

x+

5

改寫為

3 2 3 2

2 2 5 ( 1) ( 1) ( 1) 6

y= −x x + x+ = −x + −x + − +x

取到一次項，故

y= −x³

2

x²+

2

x+

5

在 x＝1 附近的一次近似為 y＝（x－1）＋6 (2) 將 x＝1.002 代入 x－1 可得 x－1＝0.002，

所以

y= −x³

2

x²+

2

x+

5

在 x＝1.002 的近似值，可用此函數在 x＝1 附近的一次

近似求出，故此函數在 x＝1.002 的近似值為 0.002＋6＝6.002

7. 試解下列不等式：

(1) (

x−

1) (

² x+ ≤

2) 0 (2) (

x² + +x

1) (

x+

1) (

³ x−

2) ＞ 0

（提示：仿例題 7 討論每個因式的正負號）

解 解 解

解 (1) 〔解法一〕

考慮每個因式的正負號：

x＋2 在 x＜－2 時為負，x＞－2 時為正

(

x−

1)

2 在 x＝1 為零，其餘為正

因此可得下表：

x

(

−∞ −

， 2 ) ( 2 1)

−

， (1 ，

∞

)

x＋2

－ ＋ ＋

(

x−

1)

2

＋ ＋ ＋

(

x−

1) (

2 x+

2) － ＋ ＋

因此不等式 (

x−

1) (

² x+ ≤

2) 0

的解為 x≤ −

2

或 x＝1，

亦可記為 (

^{−∞ −， 2}

]

^U

[

^{1 1，}

]

〔解法二〕

畫

y= −

(

x

1) (

² x+

2)

的概略圖形如上圖

因此不等式 (

x−

1) (

² x+ ≤

2) 0

的解為 x≤ −

2

或 x＝1，

亦可記為 (

^{−∞ −， 2}

]

^U

[

^{1 1，}

]

(2) 〔解法一〕

考慮每個因式的正負號：

2 1

x + +x ^{的判別式 b2}−

⁴

^ac= −

¹

²

⁴ ． ． ^{1 1}

= −

³ ＜ ⁰ ，故

x²+ +x 1 ^恆正

(

x+

1)

3 在 x＜－1 時為負，在 x＞－1 時為正

x－2 在 x＜2 時為負，在 x＞2 時為正

因此可得下表：

x

(

−∞ −

， 1 ) (

−

1 ， 2 ) (2 ，

∞

)

2 1

x + +x

^{＋ ＋ ＋}

(

x+

1)

3

－ ＋ ＋

x－2

－ － ＋

2 3

(

x + +x

1) (

x+

1) (

x−

2) ＋ － ＋

因此不等式 (

x²+ +x

1) (

x+

1) (

³ x−

2) ＞ 0

的解為 x＜－1 或 x＞2，

亦可記為 (

−∞

，

−

1) U (2 ，

∞

)

〔解法二〕

畫

y=

(

x²+ +x

1) (

x+

1) (

³ x−

2) ＞ 0

的概略圖形如上圖

因此不等式 (

x²+ +x

1) (

x+

1) (

³ x−

2) ＞ 0

的解為 x＜－1 或 x＞2，

亦可記為 (

−∞

，

−

1) U (2 ，

∞

)

8. 若

k 為實數且對所有的實數 x，不等式 x²+ +

(

k

1)

x+ + ≥

(

k

2) 0 均成立，試求

k 的範圍

解

解 解

解 因為

x²+ +

(

k

1)

x+ + ≥

(

k

2) 0

恆成立，

表示函數

y= + +x²

(

k

1)

x+ +

(

k

2)

的圖形會是下圖兩者之一

（總之不會落到 x 軸以下）

如果是第一種（如圖(一)），則判別式

b²−4ac=0

如果是第二種（如圖(二)），則判別式

b²−

4

ac

＜ 0 因此綜合起來判別式

b²−4ac≤0

^，即

(

k+

1)

2 −

4(

k+ ≤

2) 0 ，

整理得

k² −

2

k− ≤

7 0 ，解得

1 2 2− ≤ ≤ +k 1 2 2

圖(一) 圖(二)

9. 設

m 為實數，已知二次函數 y=mx²+

3

x+m

的圖形恆在一次函數

y＝3x＋2 圖形的上

方，試求 m 值的範圍

（提示：題目條件表示代入相同的 x 時，二次函數的值永遠比較大）

解 解 解

解 因為

y=mx²+

3

x+m 的圖形恆在一次函數 y＝3x＋2 圖形的上方，

則

mx²+

3

x+m

＞ 3

x+

2 ，即

mx²+

(

m−

2) ＞ 0 ， 故

y=mx²+

(

m−

2)

的值恆正

因此 m＞0 且判別式

b²−

4

ac=

0

²−

4

m

． (

m−

2) ＜ 0 ， 得 ( 2)

0

0

m

m m

 



−

＞

＞

，

， 因此 m 值的範圍為 m＞2

10. 已知三次函數 f（x）＝－（x－1） （x＋1）（x＋c）的圖形如下圖，試求：

(1) c 的值

(2) 不等式

f x

( )

≥

0 的解 解 解 解

解 (1) 圖形通過（0，3），故 f（0）＝3

則 f（0）＝－（0－1）（0＋1）（0＋c）＝c＝3，故 c＝3

(2) 因為 f（x）＝－（x－1）

（x＋1）（x＋3），

故

f x

( )

≥

0

的解為 x≤ −

3

或 − ≤ ≤

1

x

1 ， 亦可記為 (

^{−∞ −， 3}

]

^U

[

^−1，1

]

三 三 三

三、挑戰題 挑戰題 挑戰題 挑戰題

11. 已知三次函數

f x

( )

= +x³ ax²+ +bx c

之圖形如下圖所示，試求不等式 (

f x+

2) ＞ 的解 0

解 解 解

解 由題圖可知，不等式 f（x）＞0 的解為

−

1 ＜ ＜

x

0

或 x＞1

令 t＝x＋2，故 f（x＋2）＞0 即為 f（t）＞0，得－1＜t＜0 或 t＞1 即

−

1 ＜

x+

2 ＜ 0

或 x＋2＞1，解得 −

3 ＜ ＜

x −

2

或 x＞－1，

亦可記為 (

−

3 ，

−

2) U ( 1

−

，

∞

)