數學教育第二十八期 (8/2009)
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探究「斜」平行四邊形的面積
柯志明、程翠娟
引言
一般的小學教科書在引入平行四邊形的面積時，都會以圖一的方法，
讓學生透過拼砌認識平行四邊形的面積等於「底
× 高」
。但這個拼砌方法 對於如圖二般的「斜」平行四邊形就行不通了，可是教科書一般都沒有對 這個情況作正面的討論。對「斜」平行四邊形避而不談，會令學生以為平 行四邊形面積公式只適用於圖一的「標準」平行四邊形。也有可能令他們 面對「斜」平行四邊形時，就算明知高的定義，也因「圖形局限所產生的 壓力」（the pressure of figural constraints，見 Fischbein，1993）而如圖三（a）、（b）或（c）般錯畫平行四邊形的高。
圖 一 圖 二
（a） （b） （c）
圖 三
本文旨在介紹筆者們設計的一些學與教課業，透過數方格及動態圖形 拼砌等策略，讓小學生認識無論多「斜」的平行四邊形，它的面積仍然是
「底
×
高」這個事實。?
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周界長，圖形大？
學生有時會誤以為一個圖形的周界愈長，面積就會愈大。為了幫他們 釐清概念，我們設計了一個簡報，讓學生先觀察圖四的幾個圖形。然後老 師可以提問學生：「以下四個圖形，哪一個的面積最大？為什麼？」我們估 計，有學生會以為平行四邊形 H 的面積最大，因為它的周界是最長的。
圖 四
寓探究於數格
我們接著設計一張工作紙，內有圖四的四個圖形（圖五）。學生可用數 方格的方法求得每一個圖形的面積，從而發現原來所有的圖形的面積都是 相等的。換句話說，平行四邊形的面積原來等於有相同的高和底的長方形 的面積。
圖 五
這個活動的目的是讓學生透過數方格探究一般規律。以平行四邊形 H 為例（圖六），透過數算面積，學生會發現每行左邊實線部份都全等於右邊 虛線的部份，從而得出平行四邊形的面積等於底（3 cm）乘以高（4 cm）。
完成這個活動後，學生基本上已發現了無論平行四邊形有多「斜」，它的面 積和一個有相同的底和高的長方形的面積是相等的。
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圖 六
回歸拼砌
最後，我們以 GeoGebra 設計了一個動態幾何檔案，讓教師向學生展示 平行四邊形的面積等於「底
× 高」這個事實
1。（a） （b）
圖 七
（a） （b）
圖 八
動態幾何檔案開啟後，電腦會顯示一個平行四邊形按鉛垂的方向被分 成兩份（圖七（a））。教師可將每部份拖拉至右邊的長方形中，以展示平行 四邊形的面積等於右邊長方形的面積，如圖七（b）所示。接著，教師可透 過拖拉改變平行四邊形的「斜度」，電腦會將平行四邊形按鉛垂及水平的方 向分割（圖八（a）），而這些分割部份恰好可以拼砌到長方形內（圖八（b））。
1 檔案的意念由天水圍天主教小學的吳禮昌老師提供，謹此鳴謝。
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最後，教師按「結論」鈕，向學生總結大家的發現：平行四邊形的面積等 於「底
× 高」
（圖九）。圖 九
結語：終極證明？
圖 十 是 平 行 四 邊 形 面 積 公 式 的 一 個 「 以 圖 為 證 」（ Proofs without
Words）：一張直角梯形的顏色紙放在一個和它全等的透明膠文件夾裡，將
這張紙拉出，突出的平行四邊形部份的面積必定等於文件夾裡的長方形空 位的面積。但筆者們覺得這個方法對小學生來說太過抽象。也許，當學生 們經過本文的數方格活動及動態圖形拼砌後，對平行四邊形的高和面積有 了充份的理解，圖十就會變得較為「實在」，可以作為對平行四邊形面積公 式的一個「終極」證明了。
圖 十
各同工若有興趣使用本文的簡報、工作紙及動態幾何檔案，可於以下 教育局的網上學與教支援網址下載。
http://cd1.edb.hkedcity.net/cd/bcalt/math/KS2_new/KS2-M7-3/KS2-M7-3-f.htm
參考文獻
Fischbein, E. (1993). The Theory of Figural Concepts. Educational studies in Mathematics 24: 139 – 162.
作者電郵： [email protected]
