國立臺東大學師範學院 國語文補救教學碩士在職專班 碩士論文

國立臺東大學師範學院 國語文補救教學碩士在職專班

碩士論文

指導教授：鄭承昌博士

閱讀理解策略對國小三年級學童數學應用題 題意理解之行動研究

研究生：黃敬芳 撰

中華民國一○九年十一月

國立臺東大學師範學院 國語文補救教學碩士在職專班

碩士論文

閱讀理解策略對國小三年級學童數學應用題 題意理解之行動研究

研究生：黃敬芳 撰 指導教授：鄭承昌博士

中華民國一○九年十一月

誌謝辭

論文從盲人摸象到有如佛渡，全都要感謝鄭承昌教授毫不吝惜地指導，才能 在時限內完成。老師的妙語如珠，以及豐富的專業知識，讓原本思緒無限發散像 無頭蒼蠅的我，一瞬間有了定心骨；每一次的討論，總是帶著滿滿的收穫而歸。

溢於之情，不易言表，承昌老師，謝謝您！

距離大學畢業後的第二十年，拿到了這張碩士學位證書，對我而言，是一個 重大的里程碑，不僅是從工學院跨足到師範體系，也將家學淵源與自己的興趣做 了結合。回想起兩年前，在怡蓉的介紹之下，決定參加面試甄選，過程中給予許 多寶貴的建議；入學的第一個暑假，面對連續四天整整九小時的課程，體力和腦 力都是一大考驗。第二年的課程中，邀請到魏俊華教授開設了質性研究，魏公幽 默風趣的課堂氛圍，讓我們沉浸其中，也確定了以行動研究做為論文的研究方法。

敬愛的謝堅老師，認識至今，總是給予精闢的數學概念與學習脈絡，豐沛的 數學知識，為論文的數學部分奠定了堅實的基礎。謝謝老同學嘉宏，解決我在 EXCEL 上的問題。去年暑假遇到臺南大學的詹士宜教授，指點了閱讀理解策略，

在撰寫教案的過程中，洗滌了我的思緒與寫作能力；今年更大方分享數學公路地 圖與新書電子檔，讓我在論文撰寫的最後階段，能夠更加一鼓作氣完成。

最親愛的組員，我們一同從東鐘老師麾下，轉移到了承昌老師席下，相互扶 持，一起努力。淑媛，最美麗的洪老師，四年前在靜浦的相遇，改變了我的教師 生涯，相信自己，我們一定可以上岸的。秀如、秋萍，謝謝妳們的鼓勵，僕たち はきっと一人じゃないと思よ、君がいる。是的，我們做到了！

溫暖的小麥─諺宇是小天使，無條件地傾聽與關懷，讓我能快速再爬起來，

重新開始動筆寫論文；如姊如師的瑞娟，謝謝妳總是不遺於力的指點迷津，還有 小芳的特製點心，充實了我的胃和心靈；細心溫柔的淑美和淑瑱，謝謝妳們幫我 張羅文獻，確認用字遣詞；A324 寢室的室友們─憶婷、宥瑀、儀庭，有你們一 起熬夜的日子，真好；看不到小組─思涵、雅君、姿文，謝謝你們讓我加入，原 來課堂討論也能這樣歡樂；班代明鍵和春華小秘書，默默幫大家張羅許多後勤事 務，讓我們能夠安心奮戰。還有振興校長、柏瑜學姊、孟蕾老師、逢恩老師、婉 霞妹妹、盈均老師，謝謝您們的鼓勵與肯定，適時分享經驗，讓我有所依循。

最後要感謝我親愛的家人，爸爸、媽媽給予我，兩位妹妹敬雯、敬純，還有 每天晚上陪著我一起熬夜奮戰的二喵─訢與霏，人悄悄，月依依。翠簾垂。更挼 殘蕊，更捻餘香，更得些時，。三個暑假，轉眼即逝，驀然回首，貓兒仍在，夢 鄉最深處。學無止盡，仍會秉持這股動力，繼續鑽研，精進專業知能。

閱讀理解策略對國小三年級學童數學 應用題題意理解之行動研究

黃敬芳

國立臺東大學國語補救教學碩士在職專班

摘要

本研究之緣起，乃是研究者基於解決教學現場的問題，欲幫助學生擺脫學習 恐懼並改進個人教學技巧。採行動研究法，將閱讀理解策略融入數學科教學之中，

教導學生運用策略，找出題目中的關鍵線索，再依已具備的數學能力進行應用題 的運算以及解題，藉此提升學生在數學科題意理解程度，增進數學科的學習成效 以及改善數學科的學習態度。

本研究之主要研究目的有：一、透過閱讀理解策略教學，提升國小三年級學 童數學應用題題意理解能力。二、透過閱讀理解策略教學，改善國小三年級學童 數學科學習態度。三、透過行動研究模式，教師在過程中檢視自己的教學技巧與 效能，從中找到突破點。

本研究進行為期六週，運用每週 3 節數學課以及 1 節彈性課程，共介入 24 節課，使用108 學年度翰林版三年級數學課本，配合調整情境設計與佈題，以提 問引導學童思考。在數學科教學融入閱讀理解策略的教學下，研究主要發現有：

一、閱讀理解策略能幫助學生提升數學應用題題意理解程度。二、數學學業成就 佳的學生，其數學應用題題意理解表現較佳。三、閱讀理解策略能提升學生數學 科的學習態度。四、學習態度是學習成效穩固的關鍵。五、解題歷程能有效提高 數學應用題解題成功的機會。六、在行動研究進行過程中，教師不停檢視自己的 教學與學生的反應，有助於提升教學效能與品質。

關鍵字：閱讀理解、數學應用題、解題歷程、行動研究

An Action Research on Applying Reading

Comprehension Strategies to Third Grade Stude nts' Mathematics Word Problems Solving

Ching-Fang Huang

In-service Master Program of Remedial Teaching for the Chinese Language, National Taitung University

ABSTRACT

This research aims to resolve problems with on-site instruction on students' fears towards learning and improve the instructor's pedagogical skills. This study adopted an action research approach to integrate reading comprehension strategies into mathematics teaching and learning. Students were taught how to apply strategies to identify key clues in the problems, then calculate and solve the mathematics word problems using their inherent mathematical abilities. The aim was to increase students' understanding of mathematics word problems, enhance their learning effectiveness and improve their learning attitude towards mathematics. The three main research objectives of the study includes the following:

1) To apply reading comprehension strategies to enhance third grade students' understanding of mathematical word problems.

2) To apply reading comprehension strategies to improve third grade students' learning attitude towards mathematics.

3) The action research approach is taken so that the instructor can examine the performed pedagogical skills and efficacy to identify potential breakthrough points.

The study was conducted over a 6-week period, with a total of 24 interventions in the form of 3 mathematics lessons and 1 flexible lesson per week. The 3rd grade math textbook published by Hanlin for the 2019 school year was used. Problems were modified and designed according to different scenarios, and questioning was used to guide student thinking. By integrating reading comprehension strategies into mathematics teaching, the findings of this research include the following:

1) Reading comprehension strategy offers students the pathway to identify the themes of applied mathematical problems and improve their comprehension.

2) Top-performing students in mathematics have better thematic comprehension of applied mathematical problems.

3) Reading comprehension strategy can effectively improve students' learning attitudes concerning mathematics.

4) Learning attitude is the key to stable learning efficacy.

5) Problem-solving processes can effectively raise students' success rate in solving applied mathematical problems.

6) During the action research process, the instructor maintained consistent self- observation documentation in the pedagogical approaches and student responses, and the records help improve teaching efficacy and quality.

Keywords: Reading Comprehension Strategies, Mathematics Word Problems Problem solving, Action Research.

目次

摘要 ... I

ABSTRACT ... II

第一章 緒論 ... 1

研究動機... 1

研究假設... 3

研究目的... 3

名詞釋義... 4

研究限制... 6

第二章 文獻探討 ... 7

數學應用題的類型與學習困難... 7

數學應用題的解題歷程與策略... 12

數學應用題與閱讀理解的關係... 19

第三章 研究方法 ... 23

研究流程與設計... 23

研究人員與情境... 27

教學規劃... 30

研究工具... 39

資料分析... 42

第四章 研究結果與綜合討論 ... 47

研究的前置工作─蒐集相關的資料... 47

研究的第一階段─面對現實的衝突... 54

研究的第二階段─調整教學的流程... 64

研究的第三階段─欣迎收穫的時節... 74

研究的第四階段─擴大觀察的範圍... 85

第五章 結論與建議 ... 101

結論... 101

建議... 102

參考文獻 ... 105

壹、中文部分 ... 105

貳、日文部分 ... 109

參、外文部分 ... 110

附錄 ... 112

附錄一 國小三年級的學習重點 ... 112

附錄二 課文本位閱讀理解策略（一至三年級） ... 118

附錄三 數學科學習態度量表 ... 119

附錄四 數學應用題題意理解測驗專家效度彙整 ... 123

附錄五 數學應用題題意理解測驗題目 ... 135

表次

數學應用題題型舉例說明 ... 5

數學應用題加、減、乘法類型 ... 8

PÓLYA 解題歷程與說明 ... 13

PÓLYA、SCHOENFELD、MAYER、LESTER 之解題歷程比較 ... 15

學生數學應用題錯誤情形 ... 18

學生數學應用題作答表徵 ... 19

學生基本資料 ... 28

學生家庭概況與家長教養態度。 ... 29

第一至四單元的教學重點與閱讀理解策略 ... 31

數學應用題提問引導 ... 34

閱讀理解步驟提示單（簡要版） ... 38

PÓLYA 解題歷程之學習模式檢核表 ... 39

數學科態度量表專家意見彙整（節錄） ... 41

質性資料編碼對照表 ... 45

學生歷年學習扶助篩選測驗表現 ... 47

學生歷年數學科學習成就 ... 48

數學科學習態度量表各分量與總量表得分結果 ... 49

不同性別在數學科學習態度的 T 檢定摘要表 ... 51

不同數學能力在數學科學習態度的 T 檢定摘要表 ... 52

學生數學科的學習狀況表 ... 52

學生能力分組名單 ... 53

課堂小組討論分組名單 ... 53

PÓLYA 解題歷程與課堂使用的教學策略 ... 54

數學應用題題意理解第一次測驗學生類型人數 ... 57

數學應用題題意理解第一次測驗試題類型 ... 58

數學科題意理解第一次測驗異質型試題與說明 ... 59

不同性別學生在數學應用題題意理解第一次測驗的 T 檢定摘要表 ... 60

不同數學能力學生在數學應用題題意理解第一次測驗的比較 ... 61

第一次測驗時不同數學能力的 SCHEFFÉ 事後檢定 ... 61

題組型題目學生作答狀況說明 ... 62

數學應用題題意理解第二次測驗學生類型人數 ... 64

數學應用題題意理解第二次測驗試題類型 ... 66

數學科題意理解第二次測驗異質型試題與說明 ... 67

不同性別學生在數學應用題題意理解第二次測驗的 T 檢定摘要表 ... 69

不同數學能力學生在數學應用題題意理解第二次測驗的比較 ... 69

第二次測驗時不同數學能力的 SCHEFFÉ 事後檢定 ... 70

第一次測驗與第二次測驗得題比較 ... 70

閱讀理解元素與提示詞句 ... 72

閱讀理解元素與自我提問參考問題 ... 73

數學應用題題意理解第三次測驗學生類型人數 ... 74

數學應用題題意理解第三次測驗試題類型 ... 76

數學科題意理解第三次測驗異質型試題與說明 ... 77

不同性別學生在數學應用題題意理解第三次測驗的 T 檢定摘要表 ... 79

不同數學能力學生在數學應用題題意理解第三次測驗的比較 ... 80

第三次測驗時不同數學能力的 SCHEFFÉ 事後檢定 ... 80

第二次測驗與第三次測驗得題比較 ... 81

數學學習態度量表後測得分 ... 81

不同性別學生在數學科學習態度的 T 檢定摘要表 ... 83

不同數學能力學生在數學科學習態度的 T 檢定摘要表 ... 83

第一次測驗與第三次測驗得題比較 ... 85

數學科學習態度量表總量表得分前後測的 T 檢定摘要表 ... 88

「學習數學的信心」成對樣本 T 檢定的結果... 88

「學習數學時的做法」成對樣本 T 檢定的結果... 89

「學習數學的原因」成對樣本 T 檢定的結果... 89

「學習數學的成就感」成對樣本 T 檢定的結果... 90

「數學課的參與度」成對樣本 T 檢定的結果... 90

不同性別的學生其數學學習態度在前後測的比較 ... 91

不同數學能力的學生其數學學習態度在前後測的比較 ... 91

不同數學能力的學生其數學學習態度的敘述統計摘要 ... 92

學生在解題遇到困難時的解決方法 ... 96

學生在解題遇到困難時的教學策略 ... 98

圖次

背景知識與解題歷程的關係 ... 16

圖示語言（線段圖） ... 22

研究流程圖 ... 25

研究設計 ... 26

單元活動規劃 ... 33

解決問題登山圖 ... 37

數學科學習態度量表前測得分分布圖 ... 50

第一次測驗學生答題情形圖 ... 56

第一次測驗試題答題情形圖 ... 58

第一次測驗試題作答整體表現長條圖 ... 60

第二次測驗學生答題情形圖 ... 65

第二次測驗試題答題情形圖 ... 66

第二次測驗試題作答整體表現長條圖 ... 68

第三次測驗學生答題情形圖 ... 75

第三次測驗試題答題情形圖 ... 76

第三次測驗試題作答整體表現長條圖 ... 79

數學科學習態度量表後測得分分布圖 ... 82

數學應用題題意理解三次測驗學生得題長條圖 ... 86

數學科學習態度量表前後測得分差距分布圖 ... 87

不同學生在數學科學習態度量表前後測得分差異長條圖 ... 92

不同學生在「學習數學的信心」前後測得分差異長條圖 ... 93

不同學生在「學習數學時的做法」前後測得分差異長條圖 ... 94

不同學生在「學習數學的原因」前後測得分差異長條圖 ... 94

不同學生在「學習數學的成就感」前後測得分差異長條圖 ... 95

第一章 緒論

本研究之目的在於使用閱讀理解策略進行教學，幫助國小三年級學生提升數 學應用題的題意理解，期許學童在數學的學習過程中，能夠更加理解數學應用題，

其題目所表達的意思，不再對數學敬而遠之或是恐懼；也期盼能增加他們對於數學 的學習動機，進而建立良好的學習態度。進行研究的過程中，能更加瞭解學生的想 法，也可檢視並調整自己的教學方式，以作為教學上的改進；並且幫助學生勇於面 對數學應用題解題上的恐懼，協助察覺困難之所在。

本章一共有五節。第一節為研究動機，第二節是研究假設，第三節是研究目的，

第四節為名詞釋義，最後第五節則是研究限制，以下依序分述之。

研究動機

過年期間，與高中友人聚會，席間一位目前擔任高職數學教師的同學，聽聞研 究者在國小任職，便說：「數學要好好教啊！我的學生上課都無精打采，提不起勁，

都是你們前面沒有教好，我現在才這麼難教。」

雖然不是嚴厲指責，友人也是帶著微笑說著，但話中所呈現的教學現場，和研 究者所熟悉的國小教室竟然大相逕庭。在小學中低年級的教室裡，常常可以看到踴 躍舉手，想要表達想法的學生；在時間許可的情況下，有許多老師更是安排實際操 作的課程，讓學生們有機會可以親身體驗。在校進行數學領域共同備課時，高年級 老師們反應有些學生不太喜歡數學，寧願多寫幾張國語考卷，也不願意嘗試解答數 學題目。

而此點和詹志禹（1997）提到在國小所有科目中，最容易引起焦慮，也最感到 困難的科目，正是數學這一科的說法不謀而合。另外在鍾思嘉、林青青與蔣治邦

（1991）的研究中也發現到，隨著學生年級的增加，他們對數學的興趣反而越來越 低落。造成這種情形的原因是什麼呢？研究者對於這樣的說法感到十分好奇，開始 著手進行探究。

觀察高年級的數學課程，在有限的時間裡，需要進行許多相當有難度、以及多 技巧的學習內容，因此有些老師不得不將教學重點放在規則和解題技巧上，以求正 確又快速的得到答案，但是這樣造成課堂上大多只是老師的聲音，學生不是在抄筆 記，就是重複地進行計算，致使數學變成枯燥乏味的代名詞，殊為可惜。更有些學 生因為無法理解題目的意思，長期下來變得不喜歡數學，甚至討厭、恐懼學習數學。

因此藉由這個研究，想嘗試改善以下三個層面的狀況。

目前中年級的數學課本與習作裡，數學應用題題目長度，大約是一至三行，但 是在每年 5 月下旬開始施測的學習扶助篩選測驗中，有些數學題目行數超過了五 行，許多學生在這樣訊息龐大的文字敘述中，無法掌握題意的重點所在，導致無法 順利解題；加上中年級採電腦作答，和平時的紙筆、口說評量方式不同，也增加學 生在解題時的認知負擔。

研究者近幾年在教學現場中也發現，有很多學生對於數學的基本運算，可以達 到熟練和精熟的程度，卻在數學應用題的題意理解上遇到挫折，但是在考試的壓力 及緊張之下，於是對題目中的關鍵字直接轉換成運算方式，例如看到「共」就認為 是加法運算；或者是用題目中出現的數字隨意進行運算，以致呈現出來的解題表現 千奇百怪。有的學童甚至對於數學學習抱持負面、悲觀的態度，認為自己沒有數學 細胞，腦筋不好，理解力差，一定無法將數學學好。

研究者在教學現場觀察到以上現象，深感現今教育雖著重閱讀理解能力和數 學能力的培養，但兩者之間似乎缺乏有效連結，學童讀題後未能有效理解，因而無 法建立有效的解題計畫，更遑論順利解決問題。

已經上路的十二年國教課綱，以「自發」、「互動」、「共好」為理念，總綱中提 到學校教育應該要讓學生們喜歡學習、熱愛學習，讓他們能夠成為主動的學習者，

也就是俗稱的「自動好」。而國語文教育則從培育語文能力，讓學生能夠表情達意，

以養成解決問題與反省思辨的能力。數學也有同樣的理念，用簡潔、精確的方式連 結文字及符號，透過教學方式的調整，提供學生們有感的學習機會（教育部，2018a）。

那麼，數學科的學習，能不能讓他們也有解決問題與思辨的能力呢？美國作家 Hirsch、Kett 與 Trefil (1993) 在「文化素養辭典」一書中提到，數學素養是現今身 為世界公民的我們，不可或缺的重要能力之一。他們在九年後的「新文化素養辭典」

一書中更加強調這點，特別是在這個快節奏的信息時代，我們比過往的每個時刻都 更需要一個簡明扼要的信息來源，具備解決問題與思辨能力將是首要任務 (Hirsch, Kett, & Trefil, 2002)。

研究者將探討國小三年級學童在面對數學應用題時常見的解題方式，將這些 方式予以分類，並設計相關數學應用題閱讀理解策略教學法，將閱讀理解策略融入 數學科教學，期能幫助學童了解題意，提高他們的解題意願，對於數學的學習能夠 更覺有趣；而對研究者來說，也能讓自己的教學方式與技巧更加切合學生需要。

研究者認為，若是能在中年級就讓學生們知曉一些學習策略，並且有機會熟練 這些策略，這樣在面對課業上的變化時，不再徬徨無措，這樣不是很好嗎？

研究假設

本研究欲以閱讀理解策略教學協助國小三年級學童面對數學應用題，以其解 題能力與學習動機之探討為主題，並根據研究結果提出具可行方向，期盼藉由研究 發現提供國小教師數學教學方式之參考。為了確認本研究的可行性，並因應教學現 場的預期，本研究待驗證的假設如下：

一、 數學科教學融入閱讀理解策略後，國小三年級學童數學應用題題意理 解程度有所提升。

二、 數學科教學融入閱讀理解策略後，國小三年級學童數學科學習態度有 所改善。

研究目的

本研究之研究目的有以下四點：

一、 將閱讀理解策略融入數學科教學，提升國小三年級學童數學應用題題 意理解能力。

二、 將閱讀理解策略融入數學科教學，改善國小三年級學童數學科學習態 度。

三、 透過課堂觀察與課後訪談，探討接受透過閱讀理解策略教學後，學童 對於數學應用題的解題仍有困難的原因。

四、 透過資料分析，了解學童在作答過程中的答題情形，以及試題品質，藉 此調整教學方式。

名詞釋義

考量國小三年級學童的身心發展以及先備經驗後，本研究融入數學科教學的 閱讀理解策略有：預測、推論、摘要、心智圖、做筆記、自我提問﹝六何法﹞以及 理解監控（拆字釋義、由文推意）等策略。

若用簡單的話來解釋閱讀理解策略的話，就是眼睛在讀取訊息後，於腦海中分 析、思索，讀者用自己的方式去瞭解意涵，或是和以往的舊經驗作比對後再重新詮 釋，形成自己專屬的解釋。而策略是用來讀者幫助提高理解的程度與效率，這點在 目前已經上路的國語文領綱中有明確規定（教育部，2018b）。

同理，數學閱讀可以拆解成數學+閱讀，或是閱讀+數學，也有人將數學比喻成 一種語言；數學閱讀是一種認知歷程，更是一種屬於內隱的心理過程。讀者在閱讀 文本後取得訊息，這些訊息需要經過提出假設、推敲可能性以及檢驗證明等步驟，

甚至要加上一些想像，最初的假設才能得以證實。卲光華（1999）提到，這樣的過 程並非每次都能順利得到結果，假證、推理、驗證與想像這幾項步驟往往是不斷循 環反覆的，不僅需要運用數學符號，更要能理解專業術語和相關公式；文字與圖表 是幫助解讀閱讀材料的好幫手，能夠加強我們類化新概念，並且減少適應與記憶的 時間。

林素微（2020）於文中提到，「數學」與「閱讀」是兩種有關係的能力，而閱 讀是學習數學的手段之一，彼此有著難以割捨的交互作用。約自國小三年級開始，

學生在具備識字能力後，可以進行「閱讀中學習」，前述的閱讀理解策略能夠幫助 學生有效率的瞭解問題，從而解決問題。

本研究之數學應用題係指依據九年一貫數學學習領域課程綱要編制之審定本 教科書-翰林版第五冊數學應用題為主。為瞭解學童在作答過程中，是因理解題意 才建立解題計畫，運用算式或圖示表徵幫助思考，並解出答案。因此本研究數學應 用題的設計以課本和習作題型為基礎，仿照學習扶助篩選測驗及學力檢測的題型，

調整題目的敘述；並考量學生的年齡與身心發展狀況，總答數調整在 30 題以內。

而是非題、選擇題等題型，因為同樣有文字敘述，學生需要在讀題後才能作答，

與計算題的步驟不同，故在本研究中與應用題列屬同一類。下頁表 1 為數學應用 題的題型與示例說明。

數學應用題題型舉例說明

計算題 應用題

螞蟻從6 開始，向右邊走 3 格，會 停在哪一個數？

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

864＋355 撲滿裡原有864 元，又放入 355 元，現在撲滿裡有幾元？

260×3 看一場電影要花260 元，看 3 場一 共要花多少元？

6834-2175 妹妹去年的壓歲錢有2175 元，今年 的壓歲錢有6834 元，妹妹今年的壓 歲錢比去年多幾元？

3 10

× 𝟏𝟏 × 𝟓

（ ）64 個百可以換成幾個千和 4 個百？

○１ 6 個 ○２ 5 個

○３ 4 個 ○４ 3 個。

（ ）只要有兩個邊，就可以構 成一個角。

一個角會有（ ）條邊和

（ ）個頂點。

資料來源：研究者自行整理。

研究限制

研究者為班級導師，以自身任教的國小三年級學童為研究對象，全班人數共計 16 人，男生 6 位，女生 11 位；其中有兩位於民國 99 年出生，已滿 9 足歲；其餘 則分別在民國 100 年間出生。且學校位於非山非市區域，與都會區學校和偏遠學 校並不完全相同，若要將研究結果推論於其他地區，須考量其他變項。

閱讀理解策略教學是本研究的自變項，數學應用題題意理解表現為依變項。但 影響前述二者的因素相當多，研究者在時間、人力、物力的限制下，本研究以性別 和數學能力兩項分別進行討論，唯對於研究過程與結果的探討可能不盡理想，後續 研究者可針對其他因素做更深入的探討或更詳盡的檢核。

礙於研究者能力有限，本研究的參考文獻以中、英、日文發表的著作和論文為 主，其他語言所發表的文獻，僅做間接參考之用。

第二章 文獻探討

本研究為了解國小三年級學童閱讀理解策略教學是否相對提升其數學應用題 題意理解之行動研究，首先探討數學應用題解題之理論與研究，包括數學應用題的 意涵與類型，第二節是解題歷程和解題策略，從前人的研究中找尋適合的方法。第 三節則是數學應用題與閱讀能力之研究，歸納數學應用題題意理解與閱讀理解能 力之相關性，並探討二者之間的關係，以下依序分述之。

數學應用題的類型與學習困難

教育部（2018c）期待在國小六年、國中三年、高中三年，共計十二年的國民 基本教育之後，每一位國民都能具備良好的溝通能力，與他人能夠建立良好的互動 關係，而這些和數學有什麼關係呢？有人說，數學其實是一種語言，使用各種符號 來表達想法、邏輯與思考過程，這正是溝通的方式之一；國小數學應用題又多來自 於日常生活之中，經由這樣的學習，希望學童們能夠將數學運用到自己周遭的事物 之中，養成解決問題的能力與習慣。

本節就目前在國小數學應用題較常見的類型，以及學生對於數學應用題方面 的常見學習困難進行探討。

在深究數學應用題的類型之前，我們先來想想，什麼是數學應用題呢？

數學應用題，也就是一般常說的應用問題，通常以文字來描述問題的情境，所 以又被稱為「情境題」，學生可以在這些情境中，嘗試運用自己的計算能力（李貞 慧、葉啟村，2003）。

白雲霞（2012）數學應用題透過詞彙組合與變化的方式，可以創造出許多類型 的問題，不但是數學概念的應用，還存有閱讀理解的問題，為學生提供了一個使用 計算能力在各種情況下的機會。Muir、Beswick 與 Williamson (2008) 的研究中指 出，對於學生而言，數學應用題是他們在數學學習中，最常遇到瓶頸的題型。

而數學應用題有哪些類型呢？以本研究所用的 108 學年度翰林版數學第五冊 來說，前四單元以「數」為主軸，分別討論數線「10000 以內的數與其加、減」，還 有「乘法」，故以下將以加法、減法與乘法的數學應用題做討論。

為了更加瞭解課程綱要，研究者參加了相關研習；席間講師提及數學應用題可 以依「語意結構」、「問題情境」、「運算符號」等不同層面來分類，其中「語意結構」

在影響數學應用題難度方面有著舉足輕重的地位，題目的文字敘述方式是造成數 學應用題難度差異的主要因素 (Carpenter, 1985; Nesher, 1982; Fuson, 1992)。

若將國小數學課本中常見的加減法應用題以「語意結構」來做區分，可以分成

「改變」、「合併」、「比較」和「等化」四種類型，而對於這樣的分類方式，國內外 對此有興趣的研究者，不約而同有著相當一致的看法（Carpenter & Moser, 1982;

Nesher, Greeno, & Riley, 1982; 翁嘉英，1988；呂玉琴，1997；古明峰，1998 ；李 貞慧，2002；楊明樺、劉曼麗，2017）；若再依計算運作方向以及未知數所在位置，

則能夠再區分出不同的數學應用題題型（呂玉琴，1998；蔣治邦，2001）。

Greer (1992) 在整理有關乘法數學應用題的相關研究後，依照應用題的問題情 境，將乘法應用題分為十類：「等組」、「等量」、「速率」、「單位互換」、「倍數比較」、

「部分／整體」、「倍數改變」、「配對」、「陣列」與「量的積」；目前在國小三年級 的乘法應用題，大多為等組型、倍數比較型、單位互換以及陣列型，等量型、比率、

倍數比較、部分／整體、配對型則在高年級數學中漸次出現。

研究者將以上有關數學應用題加法、減法與乘法的論點與國小三年級上學期 的數學課本題目做一整理，如下表2 所示：

數學應用題加、減、乘法類型 問題

情境 分類 類型說明 題型示例 參考列式

改變

添加

在A 中，移入 B，問答案 C 的型式。

例：快樂國小的學生，上學期一 共有252 位學生，暑假期間轉入 5 位學生，請問這學期有幾位學 生呢？

A + B = ( C )

拿走

從A 中，移出 B，問答案 C 的型式。

例：快樂國小的學生，上學期一 共有252 位學生，寒假期間轉出 5 位學生，請問這學期有幾位學 生呢？？

A -B = ( C )

合併 併加

同時合併A、

B 二數，問答 案C 的型式。

例：快樂國小的學生，今年一共 有135 個女生和 168 個男生，請 問現在總共有幾位學生呢？

A + B = ( C )

比較

較多

將A、B 二數 量加以比較 後，解決多出 數量的問題型 式。

例：快樂國小的學生，今年一共 有135 個男生，和 168 個女生。

請問：女生比男生多幾個人呢？ A -B = ( C )

較少

將A、B 二數 量加以比較 後，解決不足 數量的問題型 式。

例：快樂國小的學生，今年一共 有135 個男生和 168 個女生。請 問：請問：男生比女生少幾個人 呢？

A -B = ( C )

等化

添加

比較類和改變 類的混合類 型，題目雖然 是問B 要再增 加多少才會和 A 一樣多，卻 是用減法找出 C 的問題型 式。

例：快樂國小的學生，今年一共 有135 個男生和 168 個女生。請 問：男生要再增加幾個人才會和

女生的人數一樣多呢？ B+ ( C )=A A-B = ( C )

拿走

比較類和改變 類的混合類 型，題目問A 要減少多少才 會和B 一樣 多，可以直接 用減法找出C 的問題型式。

例：快樂國小的學生，今年一共 有135 個男生和 168 個女生。請 問：女生要減少幾個人才會和男

生的人數一樣多呢？ A-( C )=B A-B = ( C )

等組

每組內的數量 一樣多，求出 總量的語意結 構。

例：每個人有5 顆鈕扣，4 個人 共有多少顆鈕扣？

A×B=C

倍數 比較

以「某一個是 另一個的多少 倍」來敘述的 情境，此種比 較型問題牽涉 到基準量和比 較量二個量。

例

小華的薰香是小明的3 倍， 如 果小明有20 個薰香，小華有幾 個薰香？

媽媽今年的年齡是妹妹的5 倍，

妹妹今年7 歲，請問媽媽今年幾 歲？

A×B=C

單位 互換

國小三年級已 接觸過公分與 毫米的關係，

其餘單位經驗 仍在具體操作 階段。

已知1 公分=10 毫米，則 3 公分 是幾毫米？

A×B=C

陣列

計算方格板遮 住（塗色）的 正方形或長方 形格子數量。

A×B=C

資料來源：研究者自行整理。

Von Glasersfeld (1987) 認為學童在學習時，不是被動等待師長的給予，再把這 些知識吸收成為自己的，他們必須要主動構築屬於自己的知識和技能；但是，在這 樣的過程中，學童不僅需要時間摸索，還可能在沒有目標的情形下產生錯誤的概念，

爾後遇到正確觀念或是接受指導時，反而造成困惑與迷惘，更有可能影響之後的學 習興趣或動機（張景媛，1994）。因此邱上真（1992）特別呼籲，除了引導學童主 動學習外，授課後的評量更應該考慮學生錯誤類型的分析，並以下一節將提到的解 題歷程做為分析時的主軸，來了解學生何種階段發生困難，如此方能適時安排適宜 的策略，讓學生能夠自己練習解決問題，增加成功時的信心。

蔣治邦與鍾思嘉（1991）對數學符號和運算規則認識及解決問題的方法研究結 果發現：一年級學童在倒數方面或了解數物過程方面尚有缺陷，傾向以數算的方式 來找到答案。隨著年級的增長，學童們逐漸能夠解決更多類型的應用問題，但也發 現部分二年級學童較無法進行逆運算，能依著問題描述列出算式，但不具有逆推的 能力。研究也指出中部分學童可能會在沒有判讀題目的情形下，就題目中出現的數 字和字詞進行運算，此點和研究者在教學現場的觀察有異曲同工之處，學童會因為 什麼原因忽略題目原本的條件呢？這點讓研究者認為值得探討。

此外，謝慧齡（2004）也發現不少學童會誤用「關鍵字」，最常見的是一看到

「共有」、「比…多」就用加法，而看到「相差」、「比…少」」就用減法。在不了解 題意下，純粹以「關鍵字」來決定運算符號的做法，常常會造成無法順利進行解題。

Fuson、Carroll 與 Landis (1996) 的研究指出，學童遇到關係句和所需求解的答案，

兩者語意不一致時，較容易產生解題錯誤，這樣的情形常常在加減法的比較型和等 化型問題中可以見到。

除了列出的算式與題意不符之外，也有不少學童有大數減小數的迷思，這點和 上述的「關鍵字」作答法，同樣屬於題意理解不清；無論是加法或減法，在運算過 程中都會有進退位的問題，學童發生這樣的狀況時，屬於計算錯誤的類型，但是這 樣的情況相較於題意未理解而言，容易處理許多，一般學童在師長提醒與多加練習 之後，即能自行順利解決問題。

而在乘法應用題方面的研究中指出，乘法應用題的類型會影響學童選擇不同 的解題策略，也因為解題策略選擇的不同，導致後來的解題表現有所差異（許美華，

2000；陳淑琳，2002）。

研究者在教學現場中觀察，三年級上學的學童，由於剛剛離開二年級，多樹學 童的解題表現仍然趨向具體、明顯，例如用手指頭數算、實物操作以及圖片或簡圖 示意，屬於直接表徵的類型；也有部分學童能夠在讀題後以算式記錄過程（陳淑琳，

2002；陳小玲，2005）；也因為習慣了直接表徵的方式，在乘法應用題中，學童對 於等組型問題是最容易自己解決的，反之最不容易解決的是配對型問題。目前最常 使用南一、康軒、翰林三家出版社的第五冊數學課本，乘法應用題大多為等組型問 題，能夠增加學童在剛開始學習乘法時的成功機會（南一書局，2019；康軒文教事 業，2019；翰林出版，2019）。

劉湘川與林原宏（1995）的研究指出，對於學童而言，數學應用題裡出現的數 值型態與其大小，讓他們對於題目的難易度會有不同的感受，以整數數值型態較容 易， 而小數數值則比較困難；而數值大小的影響方面，最容易的是「一位數×一位 數」問題，其次為「二位數×一位數」的問題，最困難的則是「一位數×二位數」

的問題，可見學童受乘數的數值大小影響較被乘數為大（陳淑琳，2002）。

數學應用題的解題歷程與策略

本節討論數學應用題解題策略，了解學生在面對數學應用題可以採取的解決 方式，以及解題策略在本研究中的地位。

我們在面對日常生活中的問題時，需要利用我們曾學過的知識和技能來解決 問題，也就是解題（problem solving）。國小課程中與「解決問題」步驟最為相關的，

就是數學。數學的學習有其獨特性，往往會用來培養學生的分析、思考、推理與邏 輯能力，讓他們從多次的練習中，將所學到的數學技能實際運用出來，達到與生活 作結合的目的。許多數學教育家也將研究重點放在數學解題上，希望在教學過程中，

讓學生明白數學和平常生活息息相；它是解決問題的教學，而且未來將面臨到的問 題可能遠比現在更複雜，因此有必要教導學生們解決問題的策略（劉秋木，2009）。

在古明峰（1998）的研究中更指出，在數學學習的相關研究中，應用題的解題 歷程為其探討的重要主題之一。學生自從進入小學就讀開始，就會發現數學應用題 在數學課程中扮演著相當重要的角色，相較於計算題，應用題會涉及更複雜的認知 歷程，因此課文的布題多半會以日常的生活事件為例，用語文型態來描述問題情境，

期望在這樣的安排下，學童能夠更容易理解如何將思考及運算技巧與題目情境做 結合。Lavidas、Komis 與 Gialamas (2013) 認為在解決數學應用題時，吾人必須掌 握數學概念，並且運用相關數學概念來找出下一個問題，進而解決問題，而數學概 念為具體思維到抽象思維的轉變，因為數學應用題提供對於抽象數學概念理解的 基礎，能有效解決數學問題，因此數學應用題特別能夠展現出來這些數學概念。

Pólya (1945) 的著作「How to solve it.」中提出解題歷程模式，不僅是很詳細完 整的說明在不同的解題階段裡，可以進行的解題歷程與目標，也探討了在教室裡的 情形，還提供了啟發法小辭典。不過要注意的地方在於，雖然解題歷程有其階段性，

但解題歷程是一個不斷重複過程，必需要來來回回反覆檢核，不只是一個單純的線 性歷程。

實際上進行解題時，並不需要從第一步驟、第二步驟、第三步驟按部就班地進 行至第四步驟，才可以順利完成解題。有時進行至第二步時發現線索不夠，此時可 以再回到第一步驟，重新開始。同理，在進行第三步驟時，也有可能需要回到第二 步驟，甚至第一步驟都有可能，而且解題者是可以這樣做的。這樣做的目的是在釐 清問題，找出合適的程序與解答，這些反覆思索的過程終將成為最後成功的基石。

茲將Pólya 解題歷程與說明列於表 3。

Pólya 解題歷程與說明

Pólya 解題歷程

瞭解問題

解題者需要清楚了解解題目的，以及問題裡存在的各種 關係，例如：這個問題中的未知數是什麼？已知數是什麼？

已知條件是什麼？已知數和未知數之間有什麼關係？等。

擬定計畫

解題者思考不同的已知條件或定理，考量各種可能獲致 答案的方式，嘗試各種不同的輔助問題，擬定一個可能解決 問題的計畫，例如：你知道有什麼和這個問題類似的題目 嗎？你能從已知數中找到什麼線索呢？如果暫時無法解出眼 前的問題，可以先試著解決一些相關的問題等。

執行計畫

依據擬定好的解題計畫執行解題，並逐步檢查所執行的 每一個步驟，例如：確定每一個步驗的正確性？是否能確定 每個步驗都是正確的？

驗證回顧

解題者要能回顧整個解題的過程，並驗算答案與思考解 答的過程的合理性，以加深對數學知識的理解。例如：你可 以再次確認剛剛得到的答案嗎？你能否能用不同方法得到相 同答案？你能否把這個方法或結果，應用到其他問題上？

等。

資料來源：研究者自行整理。

在數學的解題歷程中，涉及解題者複雜的心智活動。數學家們提出這些解題的 步驟或歷程，主要用意是要讓學生能將這些解題步驟或歷程，實際應用於數學解題 上，進而變成學生的思維習慣，成為獨立的解題者。由前述諸多研究者的研究，我 們可以知道解題歷程有助於解決數學應用題，故而備受重視。

自 Pólya (1945) 提出問題解決的理論與階段後，數學的解題歷程便開始受到 許多學者的注目，學者探究解題的歷程和解題時的知識類型，提出了數種的數學解 題模式。

Schoenfeld (1985) 提出的解題歷程較 Pólya 的更加詳細，前六個步驟依序是：

閱讀、分析、探索、計畫、執行、驗證，和Pólya 的解題歷程大致相同，Schoenfeld 增加了屬於後設認知的兩個步驟─控制與信念。

Lester (2013) 特別強調後設認知的部分，他將後設認知的成分分為個人、工作 及策略三項。Lester 認為後設認知在解題歷程中，扮演了監控、調整和修正的角色，

要能夠確實執行解題歷程，就必須藉助於後設認知的運作。

Mayer (1992) 從認知心理學問題表徵及訊息處理論的觀點，將解題歷程分為 問題轉譯、問題整合、解題計畫、執行解題四個階段。前面二項屬於問題表徵階段，

將文字語言從心理的符號轉換數學的符號，並加以整合成相對應的數學基模。後面 二項則屬於問題解決階段，也就是執行數學元素運算的過程；在此階段，學生需要 從對前階段的問題理解，選擇正確的解題策略，並進行解題以得到答案；另外在稍 晚的研究中，與Lester、Schoenfeld 同樣在後設認知方面加入了「監控」（Mayer，

2008）。

另外，Kingsdorf 與 Krawec (2014) 指出學生在解題時，需要各種不同的知識，

包含事實知識、語意知識、基模知識、策略知識、與演算知識等，國內學者也有同 樣的觀點，張景媛（1994）的研究以放聲思考法，針對國中生進行數學文字題的錯 誤概念分析，來源有語言知識、基模知識、策略知識與程序性知識；由此可知，要 指導學生學會自己解決數學問題，教師就需要了解數學解題歷程中的各項子技能，

同時了解學生可能會面臨的各種困難，才能擬訂有效的教學策略，適時指導所需知 識和技能，協助學生學習數學。

研究者將前述Pólya、Mayer、Lester、Schoenfeld 以及 Kingsdorf 與 Krawec 的 論點整理於下頁表4。

Pólya、Schoenfeld、Mayer、Lester 之解題歷程比較

知識分類 Pólya (1945) Schoenfeld (1985) Lester (2013) Mayer (1992)

事實知識

語意知識 瞭解問題

閱讀

問題的察覺

問題轉譯

分析

問題的理解

問題整合 探索

基模知識 策略知識 演算知識

擬定計畫 計畫

目標的分析

解題計畫

執行計畫 執行

計畫的執行 執行驗證 驗證回顧 驗證 過程的評估

後設認知

控制 個人 解題監控

(2008)加入

信念 工作

策略

特色 最早提出解 題歷程

將後設認知加入解題歷程中，強 調其在解題歷程的重要性

注重階段間的 轉換，特別是 語言到數學運 算的過程。

資料來源：研究者自行整理。

孫扶志（1996）和江美娟（2002）分別針對國小四年級數學低成就學生與國小 四五年級的數學學習障礙學生，採用Montague 的認知－後設認知的解題策略，來 探究學生們的解題表現。前者的研究結果發現，解題策略對於學生在數學文字題的 解題過程中，遷移階段和保留階段的學習有明顯的幫助。不過在後設認知與動機信

念方面沒有明顯的提升；後者的研究結果顯示，在接受過策略教學後，學生在應用 問題整體的得分有明顯增加，且減少使用關鍵字解題的情形。

邱上真、王惠川、朱婉艷與沈明錦（1992）的研究指出有系統之解題歷程，能 幫助學生有效解決問題，將Pólya 解題歷程中的「瞭解問題」調整為閱讀與理解問 題、探究問題；「擬訂計畫」調整為選擇策略；「執行計畫」調整為執行解題；「驗 證回顧」調整為驗算（回顧與驗證解答）。並在結果中指出數學科能力發展測驗以 及數學科學業成績有中度以上的相關性，因此擬以數學能力做為研究結果的討論 項目之一。

另外，在邱上真、詹士宜、王惠川與吳建志（1995）的研究結果中也顯示解題 歷程導向教學對學生之解題表現有正面效果；其研究中的教學程序採示範、引導、

評量等步驟，擬以這些步驟，加上責任轉移的概念，調整教學程序為：教師示範、

教師引導、師生共做、學生獨做以及教學評量等步驟；而這項研究中的教學內涵與 前段所提 Mayer 的解題歷程─問題轉譯、問題整合、解題計劃、解題執行與監控 有異曲同工之妙，差別僅有「驗證」一項，可在執行解題計劃時加入。

但實際上，解題歷程又是如何運作的呢？從一開始讀題時，就需要解題者本身 的語意知識和事實知識，幫助自己瞭解題目的意思，在本研究中，屬於解題的背景 知識。能理解題意之後，才能依據本身已經學會的策略知識和演算知識來擬訂解題 計畫；這個階段中，策略知識運用的越熟練，所擬定的解題計畫就越有解題的效率，

也就是俗話說的又快速又正確，但與速算法並不相同。

背景知識與解題歷程的關係

讀題  分析  計畫  執行  驗證 事實知識 語意知識

基模知識 策略知識

演算知識

後設認知

回過頭來想一想，當學生看到數學應用題時，會有什麼反應呢？鍾思嘉等

（1991）隨年級增加，對於數學反而越來越沒有學習的興趣。反過來想，若在越低 年級時建立了較高的學習動機，讓學生在學習數學時有更多的成功機會，是不是就 可以讓他們喜歡數學的時間久一些呢？那麼身為老師，應該怎麼做呢？

從國小學生6~11 歲的年齡來看，絕大部份的時間仍然處於具體運思期，能夠 進行邏輯性的思考，但是需要借助具體的事物或實物操作，尚不能進行抽象思考。

吳雅各（2013）提出數量關係分析、問題中心推理以及圖示輔助分析三種方法，幫 助學生來解答數學應用題。以下將針對數學應用題的錯誤類型與作答表徵進行討 論。

鄭惠萍（2007）依據 Mayer（1992）的理論，來探討比較型的加減法應用題的 解題表現和錯誤類型。在整理問題轉譯、問題整合、解題計畫、執行驗證與解題監 控各階段分別的主要困難後，發現有共通點，那就是「關係」。

同本章前一節所言，加減法應用題中有改變型與比較型，改變型的題目若依題 目敘述來區分的話，可分成起始量、改變量、結果量，而比較類的題目中則是差異 量、比較量、參照量。因為求解位置的不同，題目敘述的方式也不同，對於學習者 而言，需要仔細辨別題意；等化添加型為加減法應用題中，學習者最容易遇到題意 理解困難的類型。

秦麗花（1995a）以三年級數學學習障礙學生做為研究對象，分析他們在數學 應用題上的解題錯誤類型後發現，檢驗工作不足，是學童常見的錯誤情形；他們，

常常在執行運算後就寫下答案中的數字，漏掉單位，也沒有回顧答案的合理性，是 否符合題目的情境 (Kingsdorf & Krawec, 2014)。

此外，在執行計劃時發生失誤，例如加法進位，減法退位發生錯誤，以及運算 不熟練，多半在除法運算和乘數為兩位數以上較常出現。而對於數學的基本概念模 糊不清時，也很容易發生解題錯誤，學童常在這樣的情況下盲目運算；而土田泰子

（2008）的研究中指出，學童在知識不足，觀念錯誤或忘記曾學過的知識等情形下，

也會有盲猜瞎算的做法。部分學童會發生違反作答規定的情形，例如選擇題直接填 答計算出的答案，而不是寫出相對應的選項；或是題目交代以「代號」回答，卻填 入計算出的答案。

當學生不具備足夠解題能力，或是本身缺乏作答動機時，會有不願意進行解題 活動的情形；而若是題目太難或超出學習範圍的話，學生也會在看到題目時產生焦 慮情緒，進而不願意進行解決問題的步驟，雖然兩者都是不願著手構思解題計畫，

進行解題過程，但背後的成因並不相同。

王雪瑜（2006）將學生常見的數學應用題錯誤情形分成數學概念不足、計算、

應用題解題、學習態度的四種面向，茲將前述研究者在研究結果中，所提及的錯誤 情形整理如下，擬以表中所列之錯誤情形，做為後續研究分析之用。

學生數學應用題錯誤情形

數學概念 計算 應用題解題 學習態度

數學認知方面錯 誤

位值錯誤 無法了解題意 缺乏作答動機

運算符號意義不 了解

基本運算錯誤 擬定解題計畫有 問題

數學焦慮情緒

運用錯誤程序 不太會使用解題 策略

由左至右運算的 錯誤

解題執行與回顧 能力不足 計算技巧生疏

資料來源：研究者自行整理。

學者對「表徵」有著不同的見解，在第一章名詞釋義時曾提及，閱讀是一種轉 換的過程，對於數學應用題來說，即是在於閱讀文字後，轉化為數學語言來進行運 算，兩者之間雖然外表不甚相同，卻是在描述同樣的情境或故事。

而蔣治邦（1992）在其研究中以國小中低年級學童為對象，探討其理解題意之 發展。從數學的觀點來看，表徵是指用某一種形式來將解題活動類型表現出來，以 達成溝通的目的；常見的表徵有：文字、圖形、符號、實物、……等，各有其特有 的系統，這些表徵系統間之轉換越順暢，越收相輔相成之效。另外，指導學生概念 構圖策略，發現對於學生的理解能力與概念構圖能力具有良好成效（吳裕聖、曾玉

村，2003；梁淑芳，2009）。其實學生們不是不會，只是需要引導；至於應該如何 引導，就是教學者們專業的地方了。

許瑋芷與陳明溥（2010）設計了不同的數學表徵，發現使用可以促進學習者的 推理思考表現，更可以提升其數學學習態度；解題時所採用的表徵以及表徵的呈現 方式，也和學習者的心智年齡、背景知識息息相關（李心儀，2016）。

Lesh、Post 與 Behr (1987) 以學生運思觀點來看，表徵可詮釋為心智過程模式 化所使用的符號系統，像是圖形、符號、文字、具體操作物等，也就是將學生內心 的概念及運思過程轉為能夠看見的具體外在表現事物。

學生數學應用題作答表徵

真實腳本 具體操作物 靜態圖形 口語用詞 符號 文字敘述 古式積木 數線 一打、一手 數學符號 常用表格 分數板 線段圖 閏年、平年 算式

扣條 流程圖 大月、小月 科學記號 圓規 平面圖形 平日、週末 圖示 三角板 立體圖 旬、刻 單位縮寫 量角器

資料來源：研究者自行整理。

數學應用題與閱讀理解的關係

數學和閱讀？很多人學生認為這是兩個完全不同調性的事，甚至可以說是平 行線，覺得「閱讀」是國語、英語等語文科科目的事情，而數學只要記住公式、公 式、定理等就可以了。但是實際上我們會發現有不少的學生從小學開始就對數學應 用題望而生畏，到了高中學習數學更是困難重重。

而數學學習與閱讀能力有什麼關係呢？其實數學語言是一種高度抽象的語言，

有其自身的一套使用規範以及特殊的含義，因此需要學生擁有數學閱讀能力。再者，

什麼是數學閱讀？數學閱讀又有什麼特殊性呢？數學閱讀，簡單的說就是在讀完

一段文字敘述後，用數學符號或圖案表徵來表示剛剛的文字陳述的內容，這是一個 將抽象念想轉化為具體形式的過程；或者將數學符號或圖案表徵代表的意思改用 文字語言的形式來描述。

而我們在學習數學知識的時候，其實就是一個數學閱讀過程，在推論、迷思、

假設、證明之間，最後摸索出自己的方式來陳述所學的公式或定理，。在面對解題 過程時，首先就需要通過閱讀，將文字語言結合自己的理解，轉譯成相應的數學語 言，從而實現問題的解決。

在新課綱上路以後，對於學生閱讀能力的要求越來越多。許多標榜「素養」的 題目，若是學生的閱讀能力跟不上的話，經常「審題不清」，導致無法解決數學問 題。因此，需要加強數學閱讀能力的培養，多多研究數學語言，充分提高數學閱讀 的能力。

「數學」與「閱讀」皆是需要具備的能力，他們之間存在著交互作用（林素微，

2020）。數學閱讀是一項專門的學科閱讀技能，除了需要具備數學先備知識外，還 需要能夠理解數學圖示的意思，知道數學詞彙和數學符號的涵義，明白且能夠使用 運算符號以及尺規作圖程序和技巧。

針對二年級學生進行研究，將學生們分為閱讀困難、數學困難與兩者皆有的組 別，其結果指出「只有數學困難」的學生比「同時有閱讀和數學困難」者，可更快 地學會數學。「只有閱讀困難」的學生和「同時有閱讀和數學困難」者，在閱讀學 習上差不多。因此閱讀能力對數學學習是具有影響力的；但數學能力並非影響閱讀 學習的因素 (Jordon, Kaplan, Hanich, 2002)。

此外，國內學者亦曾對語言能力和數學學習困難進行探討，不少學生是因為檢 索數學事實發生阻滯，而造成解決數學問題時的困難。楊淑蘭（2016）提出數學教 學可由生活情境問題為中心，以和真實生活做連結；佈題時由淺入深，從簡單句開 始，依據需要再逐漸複雜化，例如使用較難的語彙或句型。

秦麗花（2003a）的研究顯示文本改編可提升學生閱讀理解，但未證明教師閱 讀指導能有效提升學生的閱讀理解。而在稍晚的研究中，秦麗花（2003b）使用自 編的「語文理解測驗」和「圖形空間測驗」來了解不同程度兒童數學文本閱讀理解 困難所在；發現無論語文程度或數學先備知識充足與否，學童們共同的數學文本閱 讀困難之處在於不會操作工具、不會配合圖片閱讀、不會摘錄文章重點等三方面。

隔年，秦麗花與邱上真（2004）以國小四年級學生為研究對象，並依學生的語 文程度分組，發現學生的語文程度雖有不同，但對於數學理解與數學閱讀技能都有 不同程度的交集。

綜合以上文獻可知，在數學科的教學過程中，除了傳達數學的觀念和練習計算 技巧外，身為教學者，應該要留心學生的語言能力，包含閱讀理解以及口語表達，。

而想要讓學生的語文閱讀理解能力與數學能力能夠穩定進步，安排適合的閱讀理 解策略與適時補充數學先備知識是必要的工作項目。

若要了解學童對於應用題的閱讀理解能力，可從經常答錯的態樣進行分析。

Yancey（1981）分析了學童對解決數學應用題感到困難的原因，研究中指出主要是 由於應用題的幾項特徵所造成的，研究者將這些特徵依照Pólya 的解題歷程，再予 以分類如下：

（一） 瞭解問題階段

造成學生不易瞭解應用題題意的原因有：問題情境不是學生所熟悉的，或是文 字敘述不符合學生活經驗，例如以高鐵、捷運等交通工具，對於大多數東部的學生 而言，是非常陌生的名詞。若是所使用的字彙高於學生的閱讀理解程度，也有可能 造成學生在瞭解問題時的認知負擔。此外在題目中，不用「數字」表示觀念。例如，

用「一半」或「兩倍」等字眼，而不用「^𝟏

𝟐」或「2 倍」，這樣的表達方式也有可能 讓學生在瞭解問題時產生困難。還有，可能是題目未將需要計算的資料依序列出，

或是文字敘述中，有許多無關資料摻雜在題目裡，以及題目中有許多線索字需要特 別注意等，這些都會增加學生在「瞭解問題」時的難度，我們很容易在學生的回答 中，發現到胡亂抓數字拼湊答案的情形。

（二） 擬訂計畫階段

讓學生在擬訂計畫時容易遇到困難的原因有：題目呈現時，並未伴隨輔助圖表 出現，或是必要的資料，需從題目中推論出來。必須獨自面對空白的欄位，自己擬 訂或構思解題計畫，對多數學童而言是相當不容易的；如何利用前一階段讀懂的資 訊，加上各項背景知識（語意知識、事實知識、演算知識、基模知識、策略知識）

後，嘗試安排各種可行的方案，這個階段也是承接閱讀和的數學解題重要關鍵。

（三） 執行計畫階段

學生在執行計畫時容易遇到困難的原因則是：需藉由許多計算步驟，才能得到 答案或是計算過程較複雜與沉悶。因為執行計畫的時間超過學童的專注力持續時 間，增加了順利解決問題的難度。

（四） 驗證回顧階段

不少學童在得到答案後，就不太願意回頭檢視解題歷程，重新思索整個過程

（古明峰，1998）。即使提醒多次，願意嘗試的學童仍為極少數，在教學現場常可 見到這樣的風景，「寫完了！」、「再檢查一次。」，有些學生可能會回應「不要！」， 但更多的是陽奉陰違地胡亂審視自己的考卷。等到發下考卷時才驚呼：「啊！我又 粗心大意了……」，但木已成舟，只能徒呼負負，自己告訴自己下次小心謹慎些，

這樣的循環並非良性的，勢必要有所改善。

秦麗花（2007）於文中提到圖示象徵的轉化與解讀，以下是數學課本中常見的 線段圖，學生要能解讀出每一條線段與文字敘述的關係。換言之，若是能夠在讀題 後，自行繪製線段圖，對於解題將是一大助力。

圖示語言（線段圖）

研究者在蒐集文獻與相關研究時發現，數學應用題在多數人心中一直是相當 值得探討的議題，惟關注對象多為高年級及國中以上學生，雖然也有以低年級學生 為對象的研究，但主題多為加減法應用題的比較型問題；而針對低成就學童和學習 障礙學生的研究也有不少，但有關國小三年級普通班學童的研究，目前看來顯得較 為薄弱。

閱讀與數學息息相關，因此研究者擬以一位國小三年級導師的立場，運用自身 所學以及周邊所有可用資源，並配合現行課程綱要與審定版課本，從分析數學應用 題題型開始，採用閱讀理解策略和數學解題歷程，補充數學先備知識，並建立學童 們驗算檢查的習慣，期望在理想與現實間取得平衡，為學童們找到適合的學習方式，

以重拾學習數學的樂趣與自信心。

第三章 研究方法

本章就研究流程與設計、研究對象與場域、教學設計、研究工具、資料分析等 項目，依序分述如下。

研究流程與設計

根據前述研究動機與目的，研究者在蒐集相關文獻並閱讀之後，決定採取行動 研究的方式，探討數學科的教學融入閱讀理解策略後，在教學法的調整之下，幫助 學生在數學科的學習上能夠更有技巧與信心。研究進行方式參考（蔡清田，2013；

張德銳等，2014）於書中提到的步驟，並採螺旋式模式，目的在於讓研究者能夠透 過明確的步驟引導，按部就班的完成每個步驟中的表格，使得行動研究不是漫無目 的地蒐集資料，而是有系統的審視想法，再逐步完成構思、並實際執行，省思後修 正再操作一次；期間一同蒐集資料，最後統整分析，做出合理結論與建議的完整研 究過程。研究流程如後頁圖3 所示。

（一） 教師觀察

研究者接任新班級前，會在開學前進行電話訪問或家庭訪問，由家長告知學生 覺得困難的科目是「數學」的比例最高。而在更新學務系統資料時，為求資料正確 會直接請學生勾選「最困難的科目」，同樣也是「數學」居冠。在學習態度的呈現 方面，遇到數學時，表示不喜歡的情緒的孩子十分常見，而有害怕、退卻行為的也 不在少數。

（二） 學生反應

研究者部份學生花了許多時間在數學上，卻未能將努力轉化到成績表現，看著 他們擦乾眼淚重新再來的神情，讓研究者為之動容；詢問，有的學生說是父母期待，

也有學生提到數學學好以後，在球場上才會有好表現，……等等。

由以上兩點，將研究主題定向在數學教學上，在研究的過程中，摸索理論與實 務結合的方式，並且逐漸調整自己的教學方式。

研究者蒐集數學應用題的相關文獻，包括數學解題歷程、數學應用題的類型、

數學應用題錯誤類型、數學科教材教法等等，同時也就研究主題與研究對象做相關 資料的蒐集。再將這些文獻依主題整理之後發現，或許在數學科教學上可以從指導 學生如何運用策略著手。

研究者決定以閱讀理解策略做為改變數學科教學主軸後，以前面所閱讀的文 獻做為底蘊，配合教學現場所須執行的教材，構思教學設計。並將開學前的訪問單 中，家長回覆的意見，並且參考學生一、二年級時的成績和學習扶助篩選測驗結果，

依學生特質做編組安排。

前置工作準備就緒後，於108 年 9 月 30 日正式開始進行閱讀理解策略融入數 學科教學。過程中蒐集量性資料與質性資料，量性資料包含學童的數學應用題題意 理解測驗成績以及數學科學習態度量表的得分，此二項於本章第四節詳述之；質性 資料則有學童的學習態度、學習狀況的觀察，學童的課堂表現與作業狀況以及學童 和家長的訪談紀錄，研究者的教材教法和課後省思。且為避免個人盲點，邀請專家 協助觀看測驗試題、量表題目、訪談紀錄以及研究者的省思札記，給予建議和回饋。

由於行動研究可以幫助現職教師確定問題，並在過程中不斷構思、發現、監督、

反省、修正、行動，從中探求解決之道。更提供教育合作研究的空間，增進同事間 良好關係。基於以上原因，選擇「行動研究」為本研究的研究方法。再者，使用 EXCEL 做為主要分析資料的工具，原因在於容易取得，且操作容易，只要知道統 計公式，大多能依數學運算規則計算出結果。並利用S-P 表與 SPSS 計算資料間的 統計關係，找尋可以改進的項目。

研究者於資料分析後開始撰寫研究結論，並重新檢視研究流程，為此次研究做 一最後詮釋。在回顧的過程中，思索本研究對於研究者的改變與影響，並且建議未 來可能的應用方向。

研究流程圖 發現問題

診斷問題

結論與省思 選擇方法與分析資料 擬定與實施行動計畫

1. 開學前的訪問單

2. 數學科學習態度量表前測 3. 學習扶助篩選測驗

4. 一、二年級評量成績

1. 數學科學習態度量表後測 2. 學生訪談紀錄

3. 第一次定期評量成績 4. 教師省思紀錄

閱讀理解策略介紹 指導學生做課堂筆記

第一階段（預測、理解監控）

教學單元：數線、10000 以內的數 數學應用題題意理解第一次測驗

第二階段（推論、自我提問）

教學單元：10000 以內的加與減 數學應用題題意理解第二次測驗

第三階段（摘要、心智圖）

教學單元：乘法

數學應用題題意理解第三次測驗

考量研究對象的心智年齡與認知負荷，研究設計採用螺旋式和漸進式的方式 進行，希望在這樣的教學模式之下，學童們能夠循序漸進地學會策略的使用，並熟 練策略的使用時機。研究設計如圖4 所示，於教學前後施測數學科學習態度量表，

並在一段時間的教學後施測數學應用題題意理解測驗，以檢視教學成效，依據測驗 結果調整後續教學。

研究設計圖

Q1數學科學習態度量表施測

X1閱讀理解策略融入數學科教學

O1數學應用題題意理解第一次測驗

X2閱讀理解策略融入數學科教學

O2數學應用題題意理解第二次測驗

X3閱讀理解策略融入數學科教學

O3數學應用題題意理解第三次測驗

Q2數學科學習態度量表施測

108 年 9 月 27 日

108 年 10 月 4 日

108 年 11 月 8 日 108 年 10 月 18 日

108 年 11 月 11 日

國小階段的數學多採用Bruner 的教育理論來設計，即是著名的「螺旋式課程」。 例如「10000 以內的數」這個單元，在學生的經驗裡，已經學習了「10 以內的數」、

「20 以內的數」、「100 以內的數」，「200 以內的數」以及「10000 以內的數」等單 元，因此對於「10000 以內的數」的單元名稱算是熟悉，學習時的緊張感會大幅降 低。

在考量授課時間與定期評量範圍之後，採取責任逐漸轉移的執行模式，一開始 由研究者自己示範，將想法與構思進行放聲思考，學童以專心聆聽為原則，先引導 學童了解數學應用題題的語意，理解題目中各數量的關係後，再規劃解題計畫。研 究者採用備課→教學→觀察→測驗→分析→省思→調整→再教學的步驟，檢視自己 的教學效能，以期能更貼近教學目標。

預期在學童建立了初步知識架構後，再按 Vygotsky (1978)的鷹架理論安排學 生任務。依問題難易度與學生能力來考量任務的適合與否，學生若能在不倚靠他人 的情形下自行完成的稱為「可獨立處理工作」；反之則為「需協助才可完成的工作」。 在這兩種任務之間，有一層模糊地帶，一般稱為「進側發展區」或「可發展區域」， 需要協助學習者將新的知識與舊有的知識做好聯繫，這個關鍵人物由一開始的老 師，漸次轉移到同儕夥伴上。

研究人員與情境

本研究的研究對象為安安國小的三年級學生，實驗開始時已滿9 歲的學生有 2 人，佔11.76%；其餘學生則為 8 足歲。其中男生有 6 位，佔 35.29%；而女生則有 11 人，佔了全班的 64.71%。

由於是新接班級，開學前即進行家庭訪問和電話訪談，了解學生在家學習情形 以及家庭狀況，部分家長表示孩子最不喜歡的科目就是數學，也有孩子表示對於數 學這科有些害怕，擔心升上三年級以後會跟不上；研究者再將開學至今的學習情形 一同整理於表 7 學生基本資料中，發現上課容易分心的孩子不在少數，因此對於 如何幫助學生集中注意力，增加他們能夠專心執行任務的時間，會是首要任務。而