勾股定理證明-G045
【作輔助圖】
1. 以 AB 為邊，向外作一正方形 AHKB ，以BC 為邊，向外作一正方形 CBDE ，以 AC 為邊，向外作一正方形 CAGF 。
2. 延長 GF 並與 DE 延長線交於 P 點，連接 PC 。 3. 延長 HA 與 GF 交於Q 點。
4. 延長 KB ，交 PE 於 R 點，且與 CE 交於 O 點。
5. 從 C 點作 HK 的垂線交於 L 點。
6. 從 H 點作 AC 的平行線交 CL 於 M 點，交 BK 於 N 點 7. 連接 MK 。
A B
H
E F
G
D C
K P
N M
L
Q R
O
【求證過程】
以直角三角形 ABC 的三邊分別向外作三個正方形，證明正方形 AHKB 的區域，經 過圖形的切割、拼合與平移等過程，重新拼合出與正方形 CBDE 與正方形 CAGF 相等的 區域，最後由面積相等推出畢氏定理的關係式。
1. 證明四邊形 AHMC 與四邊形 CMKB 都是平行四邊形：
由作圖的平行關係可知四邊形 AHMC 是平行四邊形，得到 CM AH BK，又因 為 CM // BK ，所以四邊形 CMKB 也是平行四邊形，得到
MK CB且 MK // CB .
2. 證明三角形 KNM 與三角形 BOC 全等，且三角形 MHK 與三角形 CAB 全等：
因為 MK CB，又由平行關係可知 NMK OCB且 MNK COB，所以 KNM BOC
(AAS 全等).
又因為 MK CB、 MH CA與 HK AB，可證明 MHK CAB
(SSS 全等).
3. 證明三角形 QGA 與三角形 BCA全等，得到 QGPF， AQ AH ：
因為GAQ90 CAQ CAB, AG AC,AGQ ACB90﹐所以 QGA BCA
(ASA 全等), 得到
QGCBCEPF﹐ AQ AB AH
4. 證明三角形 PFC 與三角形 QGA 全等且三角形 PCE 與三角形 RBD 全等：
因為 PF QG，又 FCGA且PFC QGA90，所以 PFC QGA
(SAS 全等).
得到 FPC GQA，因此 PC // QA(同位角相等)，進而得到 P C L 共線，且 PC // QA// RB ，又 PR // BC ，所以四邊形 PRBC 為平行四邊形，得到 PCRB，
又利用平行關係得到對應角相等，所以 PCE RBD
(AAS 全等).
5. 證明五邊形 AHNBC 與五邊形 QAORP 全等：
利用平行關係可知四邊形 AHNO、四邊形 QACP 均為平行四邊形，所以 HN AO，
AC QP、又 AH AQ，且由平行關係可得到對應角相等，所以 .
AHNBC QAORP
五邊形 五邊形
6. 證明四邊形 PCOR 面積與四邊形 OBDE 面積相等：
因為 PCE RBD，所以
.
PCOR PCE ROE
RBD ROE
OBDE
四邊形 面積＝ 面積－ 面積
＝ 面積－ 面積
＝四邊形 面積
7. 最後利用面積關係推出畢氏定理的關係式：
( )
( )
. ) (
AHKB KNM MHK AHNB
BOC CAB AHNB
BOC AHNBC
BOC QAORP
BOC PCOR PFC ACFQ
BOC OBDE QGA ACFQ
CBDE CAGF
正方形 面積＝ 面積＋ 面積＋四邊形 面積
＝ 面積＋ 面積＋四邊形 面積
＝ 面積＋五邊形 面積
＝ 面積＋五邊形 面積
＝ 面積＋ 四邊形 面積＋ 面積＋四邊形 面積
＝ 面積＋四邊形 面積 ＋ 面積＋四邊形 面積
＝正方形 面積＋正方形 面積
得到
2 2 2
, AB CB CA 即
2 2 2
. c a b
【註與心得】
1. 來源：這個證明出自於以下書籍或期刊：
Benj. F. Yanney and James A. Calderhead(1897). New and Old Proofs of the Pythagorean. The American Mathematical Monthly, 4(6/7), 168-170.
2. 心得： 此證明過程是透過拼圖的方式，先將正方形 AHKB 內的區塊，利用形狀全 等的區塊來重新拼合，以相等面積但形狀不同的區塊去拼出另兩股的正方 形區域。此題完全不使用推移的想法與底高的面積計算概念，雖然輔助線 圖形與 G040，G042 類似，但方法是不一樣的。
3. 評量：
國中 高中 教學 欣賞 美學
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