文興高中 高中數學第三冊習作甲 3-2 平面向量的內積
3-2 平面向量的內積 重點一 向量的夾角與內積
例題1 設 a
＝（1 0﹐ ），b
＝（1 1﹐ ），試求：
(1) a
． b
＝ 。 (2) a
與 b
兩向量的夾角為 θ，則 θ＝ 。 解 (1)由內積的定義得 a
． b
＝1×1＋0×1＝1 (2)cosθ＝
a b a b
．
∣∣∣∣
＝ 2 2 2 2 1
1 0＋＋ 1 1
＝ 1
2 ＝ 2 2
θ＝45°
例題2 設 a
＝（－1 1﹐ ），b
＝（x﹐y），
(1) 若 a
⊥ b
，則 x，y 的關係式為 。 (2) 若 a
// b
，則 x，y 的關係式為 。 解 (1)∵a
⊥ b a
． b
＝0
（－1）x＋1×y＝0 x－y＝0 (2)∵a
// b
1 x
－ ＝1 y
x＋y＝0 例題3
如下圖，ABCDEF 是邊長為 1 的正六邊形，則下列各內積的大小排列為何？
(A)AB．AB (B)AB． AC
(C)AB．AD (D)AB．AE (E)AB．AF 。
解 (A)AB．AB
＝│AB
│2＝1 (B)AB． AC
＝│AB││ AC
│cos∠BAC＝1× 3 ×cos30°＝
3 2 (C)AB．AD＝│AB││AD│cos∠BAD＝1×2×cos60°＝1 (D)AB．AE＝│AB││AE│cos∠BAE＝1× 3 ×cos90°＝0 (E)AB．AF ＝│AB││AF │cos∠BAF＝1×1×cos120°＝－
1 2
∴ ＞(A)＝(C)＞(D)＞(E)(B)
重點二 內積的性質
文興高中 高中數學第三冊習作甲 3-2 平面向量的內積
例題4 兩向量 a
與 b
之間的夾角是 120°且大小分別是 6 與 4，試求：
(1) │ a
＋ b
│＝ 。 (2) │2 a
＋3 b
│＝ 。 解 (1)│ a
＋ b
│2＝（ a
＋ b
）．（ a
＋ b
）＝│ a
│2＋2 a
． b
＋│ b
│2
＝36＋2×6×4×cos120°＋16＝28
∴ a│
＋ b
│＝ 28 ＝2 7 (2)│2 a
＋3 b
│2＝（2 a
＋3 b
）．（2 a
＋3 b
）＝4│ a
│2＋12 a
． b
＋9│ b
│2
＝4×36＋12×6×4×cos120°＋9×16＝144
∴ a│2
＋3 b
│＝12 例題5
(1) 設 a
， b
為兩向量，若│ a
＋ b
│＝4，│ a
－ b
│＝2，則 a
． b
＝ 。 (2) 若兩向量 a
， b
滿足 3 a
＋2 b
＝ 0
，且│ b
│＝6，則 a
． b
＝ 。 解 (1)│ a
＋ b
│2＝│ a
│2＋2 a
． b
＋│ b
│2＝16………
│ a
－ b
│2＝│ a
│2－2 a
． b
＋│ b
│2＝4 ………
－得 4 a
． b
＝12 ∴ a
． b
＝3 (2)由 3 a
＋2 b
＝ 0 得 a
＝－
2 3 b
，知 a
， b
反向且│ a
│＝
2 3│ b
│＝4 故 a
． b
＝│ a
││ b
│cos180°＝4×6×（－1）＝－24
重點三 柯西不等式 例題6
x，y 為實數，x2＋y2＝52，則：
(1) 2x＋3y＋1 的範圍為 。
(2) 發生最大值時的數對（x﹐y）＝ ；發生最小值時的數對
（x﹐y）＝ 。 解 (1)令 u
＝（x﹐y）， v
＝（2 3﹐ ）│u
│2＝x2＋y2，│ v
│2＝13， u
． v
＝2x＋3y 由柯西不等式得（x2＋y2）×13 （2x＋3y）2 －26 2x＋3y 26
∴－25 2x＋3y＋1 27 (2)當 u
// v
，2 x
＝3 y
＝t，將 x＝2t，y＝3t 代入 x2＋y2＝52 得 t＝±2 令 t＝2 時，x＝4，y＝6 2x＋3y＋1 有最大值為 27
即發生最大值時的數對（x﹐y）＝（4 6﹐ ）
令 t＝－2 時，x＝－4，y＝－6 2x＋3y＋1 有最小值為－25 即發生最小值時的數對（x﹐y）＝（－4﹐－6）
重點四 正射影公式 例題7
已知 a
＝（2 1﹐ ），b
＝（4﹐－3），則：
(1) b 在 a
的正射影為 。 (2) a
在 b
的正射影長為 。 解 (1) a
． b
＝2×4＋1×（－3）＝5
│ a
│2＝22＋12＝5
文興高中 高中數學第三冊習作甲 3-2 平面向量的內積
b 在 a
的正射影為 2 a b
a
．
∣∣
a
＝ 5
5（2 1﹐ ）＝（2 1﹐ ）
(2)│ b
│2＝42＋（－3）2＝25 a
在 b
的正射影為 2 a b
b
．
∣∣
b
＝ 5
25（4﹐－3）＝
4 3
5 5
，－ 故 a
在 b
的正射影長為
2 2
4 3
5 5
＋－
＝1
例題8
設平面上三點 A（－3 3﹐ ），B（7 8﹐ ），C（0 7﹐ ），試求：
(1) AB在 AC
上的正射影為 。
(2) 點 B 在直線 AC 上的正射影點為 。 解 AB＝（10 5﹐ ）， AC
＝（3 4﹐ ） (1)AB在 AC
上的正射影為 2
AB AC AC
．
∣∣
AC
＝
10 3 5 4 25
＋
（3 4﹐ ）＝（6 8﹐ ） (2)設點 B 在直線 AC 上的正射影點為 H（x﹐y）
則AH
＝（6 8﹐ ）（x＋3﹐y－3）＝（6 8﹐ ）
∴x＝3，y＝11 H（3 11﹐ ）
故點 B 在直線 AC 上的正射影點為（3 11﹐ ）
重點五 向量內積在平面幾何的應用 例題9
平行四邊形 ABCD，若│AB│＝5，│ BC
│＝7，則：
(1) AC2＋BD2＝ 。
文興高中 高中數學第三冊習作甲 3-2 平面向量的內積
(2) AC
．BD＝ 。
解 (1) AC2＋BD2＝2（AB2＋ BC2）＝2（52＋72）＝148 (2) AC
．BD＝（AB＋ BC
）．（ BC
－AB）
＝│ BC
│2－│AB
│2
＝72－52＝24
例題10
△ABC 中，若AB＝3， BC ＝6， AC ＝5，M 為 BC 之中點，則AM ＝ 。
解 利用中線定理：AB2＋ AC2＝2
2 2
2 AM BC
＋
9＋25＝2（AM 2＋32） AM 2＝8
∴AM ＝2 2
