微积分 1 复习
微积分 1 复习
微积分课程
.
.
.
.
集合与函数
.
第一章
.
.
极限与连续
.
第二章
.
.
导数与微分
.
第三章
.
.
导数的应用
.
第四章
.
.
函数的定义域
例 1 求下列函数的定义域： ƒ() = p− 2 (1) ƒ() = ln(2− 1) (2) ƒ() = 1 2− 2 − 3 (3) 求函数的定义域时有三个基本要求： 1 根号里面要求大于等于零； 2 对数里面要求大于零； 3 分母要求不能等于零．.
.
函数的定义域
例 1 求下列函数的定义域： ƒ() = p− 2 (1) ƒ() = ln(2− 1) (2) ƒ() = 1 2− 2 − 3 (3) 求函数的定义域时有三个基本要求： 1 根号里面要求大于等于零； 2 对数里面要求大于零； 3 分母要求不能等于零．.
.
函数的定义域
例 1 求下列函数的定义域： ƒ() = p− 2 (1) ƒ() = ln(2− 1) (2) ƒ() = 1 2− 2 − 3 (3) 求函数的定义域时有三个基本要求： 1 根号里面要求大于等于零； 2 对数里面要求大于零； 3 分母要求不能等于零．.
.
函数的定义域
例 1 求下列函数的定义域： ƒ() = p− 2 (1) ƒ() = ln(2− 1) (2) ƒ() = 1 2− 2 − 3 (3) 求函数的定义域时有三个基本要求： 1 根号里面要求大于等于零； 3 分母要求不能等于零．.
.
函数的定义域
例 1 求下列函数的定义域： ƒ() = p− 2 (1) ƒ() = ln(2− 1) (2) ƒ() = 1 2− 2 − 3 (3) 求函数的定义域时有三个基本要求： 1 根号里面要求大于等于零；.
.
.
.
集合与函数
.
第一章
.
.
极限与连续
.
第二章
.
.
导数与微分
.
第三章
.
.
导数的应用
.
第四章
.
.
数列极限
对于数列极限，我们有如下基本公式： lim n→∞c = c .. 1 lim n→∞ 1 nk = 0 (k > 0) .. 2 lim n→∞ (−1)n nk = 0 (k > 0) .. 3.
.
数列极限
对于数列极限，我们有如下基本公式： lim n→∞c = c .. 1 lim n→∞ 1 nk = 0 (k > 0) .. 2 lim n→∞ (−1)n nk = 0 (k > 0) .. 3.
.
函数极限 I
对于 → ∞ 的函数极限，我们有如下基本公式： lim →∞c= c .. 1 lim →∞ 1 k = 0 (k 为正整数) .. 2 lim →+∞ 1 = 0 ( > 1) .. 3.
.
函数极限 I
对于 → ∞ 的函数极限，我们有如下基本公式： lim →∞c= c .. 1 lim →∞ 1 k = 0 (k 为正整数) .. 2 lim →+∞ 1 = 0 ( > 1) .. 3.
.
函数极限 II
对于 → 0 的函数极限，如果 ƒ() 是初等函数，0 在 ƒ() 的定义区间中，则有 lim →0ƒ() = ƒ (0).
.
函数极限 II
对于 → 0 的函数极限，如果 ƒ() 是初等函数，0 在 ƒ() 的定义区间中，则有 lim →0ƒ() = ƒ (0).
.
左极限和右极限
例 1 设 ƒ() = 3+ 2 ≤ 0 2+ 1 0 < ≤ 1 2 > 1 判断该函数在 → 0 及 → 1 时的极限是否存在． 定理 极限存在当且仅当左右极限都存在而且相等．.
.
左极限和右极限
例 1 设 ƒ() = 3+ 2 ≤ 0 2+ 1 0 < ≤ 1 2 > 1 判断该函数在 → 0 及 → 1 时的极限是否存在． 定理 极限存在当且仅当左右极限都存在而且相等．.
.
极限的四则运算
各种极限都有四则运算法则：
lim(ƒ () ± g()) = lim ƒ () ± lim g()
..
1
lim(ƒ () · g()) = lim ƒ () · lim g()
.. 2 lim ƒ() g() = lim ƒ() lim g() .. 3
.
.
等价无穷小代换
例 2 求下列极限： lim →0 e2 − 1 1− cos (1) lim →0 sin 2 tn 5 (2) 事实 等价无穷小代换有如下特点： 我们只有对 → 0 的代换公式； 只能对乘除因子代换，不能对加减项代换．.
.
等价无穷小代换
例 2 求下列极限： lim →0 e2 − 1 1− cos (1) lim →0 sin 2 tn 5 (2) 事实 等价无穷小代换有如下特点： 我们只有对 → 0 的代换公式； 只能对乘除因子代换，不能对加减项代换．.
.
等价无穷小代换
例 2 求下列极限： lim →0 e2 − 1 1− cos (1) lim →0 sin 2 tn 5 (2) 事实 等价无穷小代换有如下特点： 我们只有对 → 0 的代换公式；.
.
洛必达法则
例 3 求下列极限： lim →0 − sin tn3 (1) lim →π2 cos sin cos 3 (2) 事实 洛必达法则有如下特点： 如果能用等价无穷小代换，优先使用它； 如果某个乘除因子的极限不为零，可以先求出该 因子极限．.
.
洛必达法则
例 3 求下列极限： lim →0 − sin tn3 (1) lim →π2 cos sin cos 3 (2) 事实 洛必达法则有如下特点： 如果能用等价无穷小代换，优先使用它； 如果某个乘除因子的极限不为零，可以先求出该 因子极限．.
.
洛必达法则
例 3 求下列极限： lim →0 − sin tn3 (1) lim →π2 cos sin cos 3 (2) 事实 洛必达法则有如下特点： 如果能用等价无穷小代换，优先使用它；.
.
函数极限
00 型 ∞0 型 1∞ 型 ∞− ∞ 型 0· ∞ 型 ∞ ∞ 型 0 0 型.
.
关于 1
∞型极限
例 4 求极限 lim →∞ + 1 − 1 ． 定理 1 若 → 时，() → 0，b() → ∞，则有 lim → 1+ () b() = elim→()b().
.
关于 1
∞型极限
例 4 求极限 lim →∞ + 1 − 1 ． 定理 1 若 → 时，() → 0，b() → ∞，则有 lim → 1+ () b() = elim→()b().
.
连续与间断
例 5 求函数 ƒ() 的间断点，并判断其类型．其中 ƒ() = 1 2, ¶ 1, ̸= 0 2− 4 − 2 , > 1, ̸= 2 注记 函数的间断点通常在这两种点中出现： 1 使得分母为零的点； 2 分段函数的交界点．.
.
连续与间断
例 5 求函数 ƒ() 的间断点，并判断其类型．其中 ƒ() = 1 2, ¶ 1, ̸= 0 2− 4 − 2 , > 1, ̸= 2 注记 函数的间断点通常在这两种点中出现： 使得分母为零的点；.
.
.
.
集合与函数
.
第一章
.
.
极限与连续
.
第二章
.
.
导数与微分
.
第三章
.
.
导数的应用
.
第四章
.
.
导数公式
(C)′ = 0 (α)′ = αα−1 ()′ = ln (log)′ = 1 ln (sin )′ = cos (rcsin )′ = 1 p 1−2.
.
导数公式
(C)′ = 0 (α)′ = αα−1 ()′ = ln (log)′ = 1 ln (sin )′ = cos (rcsin )′ = 1 p 1−2.
.
导数公式
(C)′ = 0 (α)′ = αα−1 ()′ = ln (log)′ = 1 ln (sin )′ = cos (rcsin )′ = 1 p 1−2.
.
导数公式
(C)′ = 0 (α)′ = αα−1 ()′ = ln (log)′ = 1 ln (sin )′ = cos (rcsin )′ = 1 p 1−2.
.
导数公式
(C)′ = 0 (α)′ = αα−1 ()′ = ln (log)′ = 1 ln (sin )′ = cos (rcsin )′ = 1 p 1−2.
.
导数公式
(C)′ = 0 (α)′ = αα−1 ()′ = ln (log)′ = 1 ln (sin )′ = cos (rcsin )′ = 1 p 1−2.
.
导数的四则运算
导数有如下四则运算法则： ( ± )′ = ′ ± ′ (C)′ = C′ ( · )′ = ′· + · ′ ′ = ′· − · ′ 2.
.
导数的四则运算
导数有如下四则运算法则： ( ± )′ = ′ ± ′ (C)′ = C′ ( · )′ = ′· + · ′ ′ = ′· − · ′ 2.
.
导数的四则运算
导数有如下四则运算法则： ( ± )′ = ′ ± ′ (C)′ = C′ ( · )′ = ′· + · ′ ′ = ′· − · ′ 2.
.
导数的四则运算
导数有如下四则运算法则： ( ± )′ = ′ ± ′ (C)′ = C′ ( · )′ = ′· + · ′ ′ = ′· − · ′ 2.
.
复合函数求导
例 1 求下列函数的导数： (1) ƒ() = e2； (2) ƒ() = p2+ 1； (3) ƒ() = cos(ln )． 定理 设 y = ƒ (), = g()，则有 y′ = y′ · ′.
.
复合函数求导
例 1 求下列函数的导数： (1) ƒ() = e2； (2) ƒ() = p2+ 1； (3) ƒ() = cos(ln )． 定理 设 y = ƒ (), = g()，则有 y′ = y′ · ′.
.
隐函数求导
例 2 对下面的方程求导数 y′ ： 2+ y2 = y + 1 对于隐函数求导，要注意 (φ())′ = φ ′()； (φ(y))′ = φ ′(y)y′ ．.
.
隐函数求导
例 2 对下面的方程求导数 y′ ： 2+ y2 = y + 1 对于隐函数求导，要注意 (φ())′ = φ ′()； (φ(y))′ = φ ′(y)y′ ．.
.
.
.
集合与函数
.
第一章
.
.
极限与连续
.
第二章
.
.
导数与微分
.
第三章
.
.
导数的应用
.
第四章
.
.
罗尔定理
定理 如果函数 ƒ() 满足下列条件： (1) 在闭区间 [,b] 上连续， (2) 在开区间 (,b) 内可导， (3) ƒ() = ƒ (b)， 则至少存在一点 ξ ∈ (,b) 使得 ƒ′(ξ) = 0..
.
拉格朗日定理
定理 如果函数 ƒ() 满足下列条件： (1) 在闭区间 [,b] 上连续， (2) 在开区间 (,b) 内可导， 则至少存在一点 ξ ∈ (,b) 使 ƒ′(ξ) = ƒ(b)−ƒ ()b− ..
.
柯西定理
定理 如果函数 ƒ() 和 g() 满足下列条件： (1) 在闭区间 [,b] 上都连续， (2) 在开区间 (,b) 内都可导， (3) 在开区间 (,b) 内 g′() ̸= 0, 则至少存在一点 ξ ∈ (,b) 使 gƒ′′(ξ)(ξ) = gƒ(b)−ƒ ()(b)−g()..
.
单调区间与极值
例 1 求下列函数的单调区间与极值： (1) ƒ() = 3− 32+ 7; (2) ƒ() = 12+2. 事实 对于单调区间与极值，有如下基本结果： ƒ′() > 0 的区间为单调增加区间； ƒ′() < 0 的区间为单调减少区间； ƒ′() = 0 或者不存在的点很可能为极值点．.
.
单调区间与极值
例 1 求下列函数的单调区间与极值： (1) ƒ() = 3− 32+ 7; (2) ƒ() = 12+2. 事实 对于单调区间与极值，有如下基本结果： ƒ′() > 0 的区间为单调增加区间； ƒ′() < 0 的区间为单调减少区间；.
.
函数的最值
事实 一般地，对于函数在闭区间 [,b] 上的最值， 我们只需考虑下述这些可疑点： 导数为零的点； 导数不存在的点； 区间的端点． 事实 特殊地，若函数在区间（开或闭，有限或无限） 上可导，且在区间内只有一个驻点，则有 如果该驻点为极大值，则它也是最大值； 如果该驻点为极小值，则它也是最小值．.
.
函数的最值
事实 一般地，对于函数在闭区间 [,b] 上的最值， 我们只需考虑下述这些可疑点： 导数为零的点； 导数不存在的点； 区间的端点． 事实 特殊地，若函数在区间（开或闭，有限或无限） 上可导，且在区间内只有一个驻点，则有.
.
凹向与拐点
例 2 求下列曲线的凹向与拐点： (1) ƒ() = 4− 23+ 1; (2) ƒ() = ( − 2)53. 事实 对于凹向与拐点，有如下基本结果： ƒ′′() > 0 的区间为凹（上凹）区间； ƒ′′() < 0 的区间为凸（下凹）区间； ƒ′′() = 0 或者不存在的点很可能为拐点．.
.
凹向与拐点
例 2 求下列曲线的凹向与拐点： (1) ƒ() = 4− 23+ 1; (2) ƒ() = ( − 2)53. 事实 对于凹向与拐点，有如下基本结果： ƒ′′() > 0 的区间为凹（上凹）区间； ƒ′′() < 0 的区间为凸（下凹）区间；.
.
曲线的渐近线
例 3 求曲线 ƒ() = −11 的渐近线： 事实 对于曲线的渐近线，我们有如下定义： 若 lim →∞ƒ() = b，则 y = b 为水平渐近线； 若 lim →ƒ() = ∞，则 = 为铅垂渐近线．.
.
曲线的渐近线
例 3 求曲线 ƒ() = −11 的渐近线： 事实 对于曲线的渐近线，我们有如下定义： 若 lim →∞ƒ() = b，则 y = b 为水平渐近线； 若 lim →ƒ() = ∞，则 = 为铅垂渐近线．.
.
边际与弹性
若 y = ƒ () 可导，则变化率 ƒ′() = lim Δ→0 Δy Δ 也称为 ƒ() 的边际函数． 总成本函数 C(Q) =⇒ 边际成本 C′(Q) 总收益函数 R(Q) =⇒ 边际收益 R′(Q) 若 y = ƒ () 可导，则相对变化律 Ey E = limΔ→0 Δy/ y Δ/ = y ′ y 称为 ƒ() 的弹性函数．.
.
边际与弹性
若 y = ƒ () 可导，则变化率 ƒ′() = lim Δ→0 Δy Δ 也称为 ƒ() 的边际函数． 总成本函数 C(Q) =⇒ 边际成本 C′(Q) 总收益函数 R(Q) =⇒ 边际收益 R′(Q) 若 y = ƒ () 可导，则相对变化律 Ey E = limΔ→0 Δy/ y Δ/ = y ′ y 称为 ƒ() 的弹性函数．.
